2020版高中数学第三章概率3.3几何概型学案(含解析)新人教A版必修3

§3.3几何概型学习目标 1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义.2.会求一些简单的几何概型的概率.3.会用随机模拟的方法近似计算某事件的概率．知识点一几何概型的概念及特点1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．知识点二几何概型的概率公式事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积)成比例，故可用区域的测度代替基本事件数．P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.知识点三均匀随机数1．均匀随机数的定义如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数．2．均匀随机数的特征(1)随机数是在一定范围内产生的．(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等．3．均匀随机数的产生(1)计算器产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数是RAND.(2)Excel软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为“rand()”．(3)产生方法：①由几何概型产生；②由转盘产生；③由计算器或计算机产生．1．在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √)2．与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ×)3．随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √)4．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．( ×)题型一几何概型的识别例1 下列关于几何概型的说法错误的是( )A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性B．几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性答案 A解析几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个．反思感悟几何概型特点的理解(1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；(2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．跟踪训练1 判断下列概率模型是古典概型还是几何概型．(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．解(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果有6×6＝36(种)，且它们的发生都是等可能的，因此属于古典概型．(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，且它们的发生都是等可能的，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．题型二 几何概型的计算命题角度1 与长度有关的几何概型例2 取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率为多少？解 如图，记“剪得两段的长都不小于1m”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A 发生，因为中间一段的长度为1m ，所以事件A 发生的概率为P (A )＝13.反思感悟 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率． 跟踪训练2 (1)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13B.12C.23D.34(2)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为． 答案 (1)B (2)23解析 (1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知，所求概率为P ＝2040＝12.故选B.(2)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1，得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，则|x |≤1的概率P ＝23.命题角度2 与面积有关的几何概型例3 (1)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4B.π2－1C ．2－π2D.π4(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x ，y 组成有序数对(x ，y )，求满足x 2＋y 2≤4的概率． (1)答案 A解析 由题意知，将两个四分之一圆合在一起，其面积为12×π×12＝π2，矩形面积为2，则所求概率为2－π22＝1－π4.(2)解 在区间[－2,2]上任取两个实数x ，y 组成有序数对(x ，y )，区域Ω是边长为4的正方形区域，其中满足x 2＋y 2≤4的是图中阴影区域(如图所示)，S 阴＝π×22＝4π，所以P ＝4π16＝π4.反思感悟 解与面积有关的几何概型问题的关键点 (1)根据题意确认是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式求得概率．跟踪训练3 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m ，宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率．解 如图所示，区域Ω是长30m 、宽20m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)．所以P (A )＝184600＝2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率约为0.31. 命题角度3 与体积有关的几何概型例4 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h2的概率．解 如图，分别在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为13Sh ，区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为 13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78. 所以点M 到底面的距离小于h 2的概率为P ＝78.反思感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪训练4 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( ) A.6πB.32πC.3πD.233π 答案 D解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝32π，则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.随机模拟方法的应用典例 (1)(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]上随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n(2)如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为．答案 (1)C (2)83解析 (1)由题意得，(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示的正方形中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知，π41＝m n ，所以π＝4mn .(2)由几何概型的概率公式可得S 阴影S 正方形＝23， 又S 正方形＝4，所以S 阴影＝4×23＝83.[素养评析] (1)解决此类问题时应注意两点：一是选取适当的对应图形，二是由几何概型的概率公式正确地计算概率．(2)明确这类问题的运算对象，采用随机模拟的运算方法，设计运算程序，求得运算结果，这些就是数学核心素养中的数学运算.1．在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |＞1的概率为( ) A.78B.56C.34D.12 答案 A解析 问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23＝78.2．如图，在平面直角坐标系中，射线OT 为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内的概率是()A.16B.23C.13D.160 答案 A解析 ∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为60°，而整个角集合对应的角度为360°，∴该角终边落在∠xOT 内的概率P ＝60°360°＝16，故选A.3．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.112B.38C.116D.56 答案 C解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，由几何概型的概率计算公式，得看到黄灯的概率P ＝580＝116.4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是．答案π8解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.5．在区间[0,3]内任意取一个数，则此数大于2的概率为． 答案 13解析 由于区间[0,3]的长度为3，区间(2,3]的长度为1，故所求概率P ＝13.1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型． 2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题． 3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.一、选择题1．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( ) A.925B.1625C.310D.15 答案 D解析 以AG 为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG 的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图)．所以所求概率P ＝210＝15.2．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．3．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23 答案 C解析 △ABE 的面积是矩形ABCD 面积的一半，由几何概型知，点Q 取自△ABE 内部的概率为12.4．已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) A.110B.19C.111D.18 答案 A解析 设“乘客到达站台立即乘上车”为事件A ，试验的所有结果构成的区域长度为10min ，而构成事件A 的区域长度为1min ，故P (A )＝110.5．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为( ) A.16B.13C.23D.45 答案 C解析 设AC ＝x cm ，则BC ＝(12－x )cm(0＜x ＜12)， ∴矩形面积为x (12－x )cm 2，由x (12－x )＜32，解得x ＞8或x ＜4，∴0＜x ＜4或8＜x ＜12.∴所求概率为4＋412＝23，故选C.6．如图，在一个边长分别为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边长分别为a 3，a2，且高为b .现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是( )A.710B.57C.512D.58 答案 C解析 S 梯形＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋a 2b ＝512ab ，S 矩形＝ab .所以P ＝S 梯形S 矩形＝512. 7．在[0,5]之间随机取一个数作为x 的值，则使1<log 2(x －1)≤2成立的概率是( ) A.15B.25C.35D.45 答案 B解析 由1<log 2(x －1)≤2，得2<x －1≤4， 即3<x ≤5，则对应的概率P ＝5－35－0＝25.故选B.8．如图，在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°，DA ＝DC ，过顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM <33AC 的概率为( )A.33B.34C.32D.14答案 D解析 由题意，在等腰△ABC 中，∠ACB ＝120°，DA ＝DC ，则AC ＝3AD ，即AD ＝33AC ，AB ＝3AC ＝3AD ，所以要使过顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM <33AC ，只要AM <AD 即可，由DA ＝DC ，得∠ACD ＝∠CAD ＝180°－120°2＝30°，所以AM <33AC的概率为30°120°＝14.故选D.9．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0使f (x 0)＞0的概率为( ) A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8答案 C解析 如图，在[－5,5]上函数的图象和x 轴分别交于两点(－1,0)，(2,0)，只有x 0∈[－5，－1)∪(2,5]时，f (x 0)＞0，由题意，知本题是几何概型问题．记事件A 为“任取一点x 0，使f (x 0)＞0”，事件A 的区域长度是区间[－5，－1)与(2,5]的长度和，全体基本事件的长度是[－5,5]的区间长度．由几何概型的概率计算公式，得P (A )＝4＋310＝0.7.故选C.二、填空题10．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为． 答案 16π解析 点P 到点A 的距离小于等于a 可以看作是随机的，点P 到点A 的距离小于等于a 可视作构成事件的区域，棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1可视作试验的所有结果构成的区域，则用“体积比”公式计算概率，得 P ＝18×43πa 3a 3＝16π. 11．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为． 答案334π解析 设圆面半径为R ，如图所示△ABC 的面积S △ABC ＝3·S △AOC ＝3·12AC ·OD ＝3·CD ·OD＝3·R sin60°·R cos60°＝33R24，∴P ＝S △ABC πR 2＝33R 24πR 2＝334π. 12．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝.答案 3解析 当m ≤0时，不合题意．当m ≤2时，2m 6＝56无解．当2＜m ≤4时，由m ＋26＝56得m ＝3，综上m ＝3. 三、解答题13．(2018·惠州模拟)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图所示是赵爽的弦图．弦图是一个勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉(大小忽略不计)，试估计落在黄色图形内的图钉个数．解 设勾为a ，则股为3a ，所以弦为2a ，小正方形的边长为3a －a ，所以题图中大正方形的面积为4a 2，小正方形的面积为(3－1)2a 2，所以小正方形与大正方形的面积比为3－24＝1－32，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为⎝⎛⎭⎪⎫1－32×1000≈134.14．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过3的概率是多少？(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，其长度超过3的概率是多少？ (3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长度超过3的概率是多少？ 解 (1)设事件A ＝{弦长超过3}，弦长只与它跟圆心的距离有关， 当且仅当它与圆心的距离小于12时才能满足条件．由几何概型概率公式知P (A )＝12.(2)设事件B ＝{弦长超过3}，由于弦中点已确定，故弦被确定，当且仅当弦中点在以半径为12的同心圆内时才能满足条件． 由几何概型概率公式知P (B )＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12＝14.(3)设事件C ＝{弦长超过3}，如图，固定一点A 于圆周上，以此点为顶点作圆的内接正三角形ABC ，显然只有当弦的另一端点D 落在BC 上(不包括B ，C 两点)时，才有|AD |＞|AB |＝3，由几何概型概率公式知P (C )＝13.15．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为( ) A ．0.3 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8答案 C解析 画出图形(如图所示)，m ，n 所满足的区域为矩形ABCD ，而m >n 所满足的区域为梯形ABCE ，所以m >n 的概率P ＝S 梯形ABCES 矩形ABCD ＝15－9215＝0.7.故选C.16．某校早8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为．(用数字作答) 答案932解析 设小张和小王到校的时间分别为y 和x ， 则⎩⎪⎨⎪⎧30≤x ≤50，30≤y ≤50，y －x ≥5，则满足条件的区域如图中阴影部分所示．故所求概率P ＝12×15×1520×20＝932.。