高考专题：平面向量中的三角形“四心”问题题型总结

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平面向量“四心”知识点总结与经典习题【强烈推荐】

平面向量“四心”知识点总结与经典习题【强烈推荐】平面向量的“四心”是指三角形的外心、内心、重心和垂心，它们各自具有特殊的性质。

在高中数学中，向量问题经常与“四心”问题结合考查。

因此，熟悉向量的代数运算和几何意义是解决这类问题的关键。

四心知识点总结如下：重心：1.重心是三角形三条中线的交点，也是重心到三角形三个顶点距离之和最小的点。

2.重心坐标为$(\frac{1}{3}(x_A+x_B+x_C),\frac{1}{3}(y_A+y_B+y_C))$。

垂心：1.垂心是三角形三条高线的交点，也是垂足到三角形三边距离之积最大的点。

2.若垂心为$O$，则有$OA\cdot OB=OA\cdot OC=OB\cdot OC$。

外心：1.外心是三角形三条中垂线的交点，也是到三角形三个顶点距离相等的点。

2.若外心为$O$，则有$OA=OB=OC$，或$(OA+OB)\cdot AB=(OB+OC)\cdot BC=(OC+OA)\cdot CA$。

内心：1.内心是三角形三条角平分线的交点，也是到三角形三边距离之和最小的点。

2.若内心为$O$，则有$a\cdot OA+b\cdot OB+c\cdotOC=0$，其中$a,b,c$为三角形三边的长度。

下面是一些经典题：1.在$\triangle ABC$中，$D,E,F$分别为$BC,CA,AB$的中点，$M$为重心，则$\vec{AM}$等于（）。

A。

$\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})$B。

$\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})$C。

$\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})+\vec{OG}$ D。

$\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})+\vec{OG}$ 答案：C2.在$\triangle ABC$中，$O$为坐标原点，$P$满足$\vec{OP}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})$，则$P$一定在（）上。

平面向量四心问题(最全)

平面向量四心问题近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上.例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的（）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为，所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选C.点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合.二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（　）.A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心解析:由.即.则，所以P为的垂心. 故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合.三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上.例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕.A、重心B、垂心C、外心D、内心解析：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了.四、外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上.例4 已知O是△ABC内的一点，若，则O是△ABC的〔〕.A．重心 B.垂心 C.外心 D.内心解析：，由向量模的定义知到的三顶点距离相等.故是的外心，选C.点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合三角形的“四心”与平面向量向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。

平面向量四心问题(全)

平面向量四心问题(全)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上.例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的（）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为，所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选 C.点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合.二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）.A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心解析:由.即.则，所以P为的垂心. 故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合.三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上.例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕.A、重心B、垂心C、外心 D、内心解析：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了.四、外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上.例4 已知O 是△ABC 内的一点，若，则O 是△ABC 的〔〕.A ．重心 B.垂心 C.外心 D.内心解析：，由向量模的定义知到的三顶点距离相等.故是的外心，选C.点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合三角形的“四心”与平面向量向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。

(完整版)平面向量中的三角形四心问题(可编辑修改word版)

讲义-一平面向量与三角形四心的交汇一. 四心的概念介绍(1) 重心一-中线的交点：重心将中线长度分成2： 1;(2) 垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；(3) 内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4) 外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等.二、四心与向量的结合(I)鬲+亦+冼= 6Q 0是AABC 的*心.(2) OA OB = OB'OC = OC OA^ 0 为 AABC 由墓心.(3)设zb. C 是三兔形的三条边瓠0旻A A RC 的内心 aOA-i~bOB ±cOC = 0 o O 为 MBC 的内卍，三、典型例题:例1： 0是平®上L 定点• A. B 、C 是平®上不共ft 的三个勲动点P 満足丽M 页+ >1(而+疋. X e [O.-i-oo) • «点P 的轨谜一定遷过例 2： (03全ffl 理4 )。

是孚面上一定点.A. B 、C 是孚®上不共些的三个点.动点P 満足AR AC T K- + =7), e [0,+oo).则点P 的轨连一定夏过MBC 的() AC是平面上的一定点• A . B , C 畏平B 上不共ft 的三个点，一 ------ + —).Ze[0.4oo). W 动点P 的轨迹L 定通过MBC 的(I AB \sinB I ACI sin C3》巳知0爰平《上的一定点.A. B. C 是平®上不共线的三个点，屁字gog.则动心轨―通过“吶2 lAfilcosfi lACIcosC (4)岡= OB = 0C oO 为AABCW 外心.A.外心B.内心 D.垂心0P = 04 +几(=• AB A.外心 B ・内心 C ・4心例 3： 1) 是平》上一定点，4. B. C 是平》上不共a 的三个点，0P = 0A + 2( AB I AC TfljcoH A.外心 )• A e [0,+®) •则点卩的紈逐一宦4过口5(?的(B,内心 C 重心 D.垂心2)巳知0 A ・童心 B ・垂心 C ・外心 D ・内心例4.已知商》0彳0戛0片満足条件+ O&+邮 =（h 丨少；曰O&14O 片1=1・求证：是正三角殆.例5. AABC 的外接B 的08心为Q •诵条边上的«的交点为R. O//=w （Q4 + O8 + OC ）・W 実*«・例6•点0晏三角恐ABC 卿i 平®内的一乩為足moB=5B5c=oc54.則点o 赴人肋（？的（C.三条中ft 的交点在△ABC 内求一点戸・ftAp2 + 3P'+Cp2*小.已知。

专题：平面向量与三角形四心问题

专题:平面向量与三角形四心问题三角形四心指的是三角形的垂心、重心、内心和外心，在高考中常常结合平面向量的知识进行考察，是高中数学的一个难点.很多学生对三角形四心总是产生混淆，面对与四心有关的问题也常常束手无策，为了解决广大学子的困扰，本文以四心的常见结论出发，借助几道经典的例题，对三角形四心问题进行系统梳理，希望能够为读者提供帮助.如果读者是在校高中生，则标注了星号的内容可作为拓展知识. 一、三角形的内心（1）定义：三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点（如图1）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的内心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0OC c OB b OA a . （注：本文中的边a ，b ，c 分别表示BC ，AC ，AB .角A ，B ，C 分别表示BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠.）证明：→→→→→→→→→→=+⋅++⋅+⋅⇔=⋅+⋅+⋅0)()(0AC OA c AB OA b OA a OC c OB b OA a→→→→=⋅+⋅+⋅++⇔0)(AC c AB b OA c b a →→→⋅+⋅=⋅++⇔AC c AB b AO c b a )(||||||||)(→→→→→→→⋅⋅+⋅⋅=⋅++⇔AC AC AC c AB AB AB b AO c b a)||||()(→→→→→+⋅=⋅++⇔AC ACAB ABbc AO c b a)||||(→→→→→+⋅++=⇔AC ACAB AB c b a bc AO （图1）⇔点O 在角A 的角平分线上，同理点O 也在角B 、C 的角平分线上. ⇔O 为△ABC 的内心.（3）常用性质性质1：))(||||(R AC ACAB AB∈+⋅→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.证明：如图所示，||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→AD ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→AE .设→→→+=AE AD AP ，由平行四边形法则知，四边形ADPE 为菱形，故直线AP 为A ∠的角平分线.))(||||(RAC ACAB AB∈+⋅∴→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.性质2：r c b a S ABC ⋅++=∆)(21（r △ABC 内切圆的半径）. 证明：由等面积法易证.性质3：O 为△ABC 的内心c b a S S S OAB OAC OBC ::::=⇔∆∆∆. 证明：由面积公式易证. （4）典例剖析例1-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)||||(→→→→→→++=AC ACAB ABOA OP λ,),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹经过△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由性质1知，答案为A .例1-2：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若cb a PCc PB b PA a PO ++++=→→→→（其中P 是△ABC 所在平面内任意一点），则O 是△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题意知→→→→→→++=++PC c PB b PA a PO c PO b aPO ，即+-→→)(PO PA a→→→→→=-+-0)()(PO PC c PO PB b ，化简得→→→→=⋅+⋅+⋅0OC c OB b OA a .根据内心的向量表示知，O 是△ABC 的内心，答案为A .例1-3：已知O 是△ABC 内的一点，且满足0)||||(=-⋅→→→→→AC ACAB ABOA ，则OA 所在的直线一定经过三角形的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→1e ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→2e .故0)(21=-⋅→→→e e OA ，即→→→→⋅=⋅21e OA e OA ,即>>=<<→→→→21,,e OA e OA .∴直线OA 与A ∠的角平分线重合，故OA 所在的直线一定经过三角形的内心，答案A .二、三角形的外心（1）定义：三角形外接圆的圆心，即三角形三边中垂线的交点（如图2）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的外心||||||→→→==⇔OC OB OA . （3）常用性质：奔驰定理*：已知O 为△ABC 内的一点（不一定为外心），则→→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅0OC S OB S OA S OAB OAC OBC .（该定理反之也成立）证明：不妨延长AO 到D （如下图），则（图2）=++===∆∆∆∆∆∆∆∆ACD ABD OAC OAB ACD OAC ABD OAB S S S S S S S S AD AO ABC OACOAB S S S ∆∆∆+，即→∆∆∆→+=AD S S S AO ABCOAC OAB .且根据B ，D ,C 三点共线知，→∆∆∆→∆∆∆→+++=AB S S S AC S S S AD OAC OAB OACOAC OAB OAB ，故→∆∆→∆∆→+=AB S S AC S S AO ABC OAC ABC OAB ，即)()(→→∆∆→→∆∆→-+-=-OA OB S S OA OC S S OA ABCOAC ABC OAB . →→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅∴0OC S OB S OA S OAB OAC OBC （反之易证）性质1*：O 为△ABC 的外心C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆.证明：如图2所示，O 为△ABC 的外心A R BOC R S OBC 2sin 212sin 2122=∠=⇔∆，B R AOC R S OAC 2sin 212sin 2122=∠=∆，C R AOB R S OAB 2sin 212sin 2122=∠=∆ C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆（R 为△ABC 外接圆半径）.性质2*：O 为△ABC 的外心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0)2(sin )2(sin )2(sin OC C OB B OA A . 证明：结合性质1与奔驰定理易证.（4）典例剖析例2-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足++=→→→2OCOB OP )cos ||cos ||(CAC AC BAB AB →→→→+λ，),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：设线段BC 的中点为D ，故)cos ||cos ||(C AC AC BAB AB OD OP →→→→→→++=λ，即)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB DP →→→→→+=λ,而)cos ||cos ||(CAC BC AC BAB BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+⋅=⋅λ，即)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||(CAC CBC AC B AB B BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+-⋅=⋅πλ0|)|||(=+-=→→BC BC λ 即→→⊥BC DP ，故点P 在线段BC 的垂直平分线上. ∴动点P 的轨迹一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-2：在△ABC 中，动点O 满足→→→→⋅=-BC AO AB AC 222，则点O 一定经过△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知→→→→→→⋅=+-BC AO AB AC AB AC 2))((，设D 为BC 的中点，则=⋅→→AD BC 2→→⋅BC AO 2,故0=⋅→→OD BC ,即→→⊥OD BC ，O ∴在BC 的垂直平分线上，故点O 一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-3：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，满足→→→→⋅=⋅BA OB AB OA ，=⋅→→BC OB→→⋅CB OC ，则O 为△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由→→→→⋅=⋅BA OB AB OA 知0)(=+⋅→→→OA OB AB ,即0)()(=+⋅-→→→→OA OB OA OB ，即||||→→=OA OB ,同理可得：||||→→=OC OB ，O ∴为△ABC 的外心，答案B .三、三角形的垂心（1）定义：三角形三条高的交点（如图3）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的垂心→→→→→→⋅=⋅=⋅⇔OC OB OC OA OB OA . 证明：→→→→→→→→→→→⊥⇔=⋅=-⋅⇔⋅=⋅BC OA BC OA OB OC OA OC OA OB OA 0)(.同理→→⊥AC OB ,O AB OC ⇔⊥→→为△ABC 的垂心.（3）常用性质性质1*：O 为锐角△ABC 的垂心⇔=∆∆∆OAB OAC OBC S S S ::C B A tan :tan :tan . （图3）证明：ACDOC b BCDOC a OF b OE a S S OAC OBC ∠⋅⋅∠⋅⋅=⋅⋅=∆∆sin sin ,且在直角△BCD 和直角△ACD 中有 B BCD cos sin =∠，A ACD cos sin =∠.故BAA B B A A b B a S S OAC OBC tan tan cos sin cos sin cos cos =⋅⋅=⋅⋅=∆∆. 同理，CBS S OAB OAC tan tan =∆∆. C B A S S S OAB OAC OBC tan :tan :tan ::=∴∆∆∆，反之易证.性质2*：当O 为锐角△ABC 的垂心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0tan tan tan C OC B OB A OA .证明：利用性质1和“奔驰定理”易证. （4）典例剖析例3-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ,得=⋅+-⋅=⋅+⋅=⋅→→→→→→→→→→→→→→)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||()cos ||cos ||(CAC CBC AC B AB B BC AB CAC BC AC BAB BC AB BC AP πλλ0|)|||(=+-→→BC BC λ，即→→⊥BC AP .P ∴在BC 边上的高上，过垂心，答案C .例3-2：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，且满足=+=+→→→→2222||||||||AC OB BC OA22||||→→+AB OC ,则O 是△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知2222||||||||→→→→-=-BC AC OB OA ，即=+⋅-→→→→)()(OB OA OB OA)()(→→→→+⋅-BC AC BC AC ，即0)()(=+⋅++⋅→→→→→→OB OA AB BC AC AB ,即02=⋅→→OC AB ，故→→⊥OC AB ，同理→→⊥OB AC ，→→⊥OA BC∴O 是△ABC 的垂心，答案C .例3-3：设O 是△ABC 的外心，点P 满足→→→→=++OP OC OB OA ,则P 是△ABC 的（）A .内心B .任意一点C .垂心D .重心解析：由题知→→→→→=-=+CP OC OP OB OA ，由于O 是△ABC 的外心，故→→→=+OD OB OA 2（D 为线段AB 的中点）且→→⊥AB OD ，即→→=OD CP 2，→→⊥∴AB CP ，同理→→⊥AC BP ，→→⊥BC AP ，故P 是△ABC 的垂心，答案C .四、三角形的重心（1）定义：三角形三条中线的交点（如图4）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的重心→→→→=++⇔0OC OB OA . （3）常用性质（图4 ）性质1：若O 为△ABC 的重心ABC OBC OAC OAB S S S S ∆∆∆∆===⇔31性质2：若O 为△ABC 的重心→→=⇔AF AO 32，→→=BD BO 32，→→=CF CO 32性质3：已知),(11y x A ，),(22y x B ,),(33y x C .若O 为△ABC 的重心)3,3(321321y y y x x x O ++++⇔.（4）典例剖析例4-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ，其中hC AC B AB ==→→sin ||sin ||（h 表示BC 边上的高），故)(hACh AB AP →→→+=λ→=AF h λ2（F 为线段BC 的中点）. P ∴在BC 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-2：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足])21()1()1[(31→→→→++-+-=OC OB OA OP λλλ，R ∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：设AB 的中点为D ，故])21()1(2[31→→→++-=OC OD OP λλ，由于+-3)1(2λ1321=+λ，即点P ，C ，D 三点共线. P ∴在AB 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-3：已知O 在△ABC 内，且满足→→→→=++0432OC OB OA ，现在到△ABC 内随机取一点，次点取自△OAB ，△OAC ，△OBC 的概率分别记为1P 、2P 、3P ,则（）A .321P P P ==B .123P P P >>C .321P P P >>D .312P P P >> 解析：法一：如图，延长OA ，OB ，OC 使得OA OD 2=,OB OE 3=，OC OF 4=, 故→→→→=++0OF OE OD ，即O 是△DEF 的重心，即△OED 、△ODF 、 △OEF 的面积相等，不妨令它们的面积都为1. 61=∴∆OAB S ，81=∆OAC S ，121=∆OBC S ,故321P P P >>，答案C . 法二：由“奔驰定理”知，k S OBC 2=∆，k S OAC 3=∆，kS OAB 4=∆（k 为比例系数），故321P P P >>，答案C .法三：根据三角形内心的向量表示，不妨设O 是以2k ，3k ，4k （k 为比例系数）为边长的三角形的内心，所以OBC OAC OAB S S S ∆∆∆>>,即321P P P >>，答案C .五、等腰（边）三角形的四心（1）等腰三角形等腰三角形只有顶角的角平分线与中线、高三线重合，其余的线不重合.另外，等腰三角形的四心不重合. （2）等边三角形性质1：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 四心合一. 性质2：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 三线合一. 六、欧拉线*瑞士数学家欧拉（1707~1783）于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：（如图5）任意△ABC （非等边三角形）的垂心D 、重心E 、外心F 三点共线，即欧拉线. （图5）特别地，（如图6）当△ABC 为直角三角形时（A 为直角），垂心D 与A 重合，外心F 在BC 的中点上，欧拉线为直角△ABC 的外接圆半径（或BC 边上的中线）.（图6）性质1：在任意三角形中，垂心与重心的距离是重心与外心距离的2倍，即EF DE 2=.。

平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(解析版)

微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上.AB ⋅PC +BC ⋅PC+CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB=PC ⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心.公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公【典型例题】题型一：重心定理例1.(2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足GA +GB +GC =0 ，则G 点是三角形ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心例2.(2023春·山东·高一阶段练习)已知G 是△ABC 的重心，点D 满足BD=DC ，若GD =xAB +yAC ，则x +y 为( )A.13B.12C.23D.1例3.(2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)记△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，点G 是△ABC 的重心，若BG ⊥CG ,5b =6c 则cos A 的取值是( )A.5975B.5775C.1115D.6175题型二：内心定理例4.(2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC，则λ+μ=______．例5.(2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中)已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP =OA +λAB AB +ACACλ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心例6.(2023·全国·高一假期作业)已知I 为△ABC 所在平面上的一点，且AB =c ,AC =b ,BC =a .若aIA+bIB+cIC =0 ，则I 是△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心例7.(2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛)在△ABC 中，cos A =34，O 为△ABC 的内心，若AO =xAB +yACx ,y ∈R ，则x +y 的最大值为( )A.23B.6-65C.7-76D.8-227题型三：外心定理例8.(2023春·湖北武汉·高一校联考期末)在△ABC 中，AB =2,AC =3,N 是边BC 上的点，且BN=公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公NC,O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO =( )A.3B.134C.92D.94例9.(2023春·河南许昌·高一统考期末)已知P 在△ABC 所在平面内，满足PA =PB=PC ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心例10.(2023春·四川自贡·高一统考期末)直角△ABC 中，∠C =90∘,AB =4,O 为△ABC 的外心，OA⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=( )A.4B.-4C.2D.-2例11.(2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习)已知O 为△ABC 的外心，若AB =1，则AB ⋅AO=( )A.-12B.12C.-1D.23题型四：垂心定理例12.(2023春·河南南阳·高一统考期中)若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心例13.(多选题)(2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中)已知O ，N ，P ，I 在△ABC 所在的平面内，则下列说法正确的是( )A.若OA =OB =OC，则O 是△ABC 的外心B.若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的垂心C.若NA +NB +NC=0，则N 是△ABC 的重心D.若CB ⋅IA =AC ⋅IB =BA ⋅IC=0，则I 是△ABC 的垂心例14.(2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习)设H 是△ABC 的垂心，且4HA+5HB+6HC =0 ，则cos ∠AHB =_____．【同步练习】一、单选题1.(2023·四川泸州·泸县五中校考二模)已知△ABC 的重心为O ，则向量BO=( )A.23AB +13ACB.13AB +23ACC.-23AB +13ACD.-13AB +23AC公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公2.(2023·全国·高三专题练习)对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论不正确的是( )A.AO ⋅AB =12AB2B.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCC.过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE =λAB ，AF =μAC ，则1λ+1μ=3D.AH 与AB AB cos B +ACACcos C 共线3.(2023·四川·校联考模拟预测)在平行四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，AG =xAB +yAD，则3x +y =( )A.73B.2C.83D.34.(2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习)过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =xAB ，AE =yAC ，且xy ≠0，则1x +1y=( )A.4B.3C.2D.15.(2023秋·上海·高二专题练习)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：OP =OA+λ(AB +AC ),λ>0，则直线AP 一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心6.(2023秋·湖北·高二校联考期中)O 是△ABC 的外心，AB =6,AC =10，AO =xAB +yAC,2x +10y=5，则cos ∠BAC =( )A.12B.13C.35D.13或357.(2023·湖南·高考真题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心8.(2023·全国·高一专题练习)已知点O ,P 在△ABC 所在平面内，满OA +OB +OC =0 ，PA =PB=PC ，则点O ,P 依次是△ABC 的( )A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心9.(2023·全国·高一专题练习)已知O ,A ,B ,C 是平面上的4个定点，A ,B ,C 不共线，若点P 满足OP=公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公OA +λAB +AC ，其中λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心10.(2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习)在△ABC 中，设O 是△ABC 的外心，且AO =13AB +13AC，则∠BAC 等于( )A.30° B.45° C.60° D.90°11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,AB =2,∠ACB =45°,O 是△ABC 的外心,则AC ⋅BC+OC ⋅AB的最大值为( )A.1B.32C.3D.7212.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，O 为△ABC 的内心，若AO =λAB +μBC ，则λ+μ=( )A.23B.34C.56D.3513.(2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)若O ，M ，N 在△ABC 所在平面内，满足|OA |=|OB |=|OC |,MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，且NA +NB +NC =0 ，则点O ，M ，N 依次为△ABC 的( )A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心14.(2023春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知点O ，P 在△ABC 所在平面内，且OA =OB=OC ，PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA，则点O ，P 依次是△ABC 的( )A.重心，垂心 B.重心，内心 C.外心，垂心 D.外心，内心二、多选题15.(2023春·河南·高一校联考期中)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法不正确的是( )A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BCD.OD +OE +OF =016.(2023·全国·高三专题练习)如图，M 是△ABC 所在平面内任意一点，O 是△ABC 的重心，则( )公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公A.AD +BE =CFB.MA +MB +MC=3MOC.MA +MB +MC =MD +ME +MFD.BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =017.(2023秋·重庆渝北·高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA+3OB +4OC =0 ，OA=1，则下列结论中正确的是( )A.OB ⋅OC =-78 B.AB =62C.∠A =2∠CD.sin ∠A =1418.(2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，下列四个选项中正确的是( )A.GH =2OGB.GA +GB +GC =0C.AH =2ODD.S △ABG =S △BCG =S △ACG19.(2023·全国·模拟预测)在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，点O 为△ABC 内的一点，则下列结论正确的是( )A.若AO =OD ，则AO =12OB +OCB.若AO =2OD ，则OB =2EOC.若AO =3OD ，则OB =58AB +38ACD.若点O 为△ABC 的外心，BC =4，则OB ⋅BC=-420.(2023春·河北石家庄·高一统考期末)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，垂心为H ，重心为G ，且AB =3，AC =4，下列说法正确的是( )A.AH ⋅BC=0 B.AG ⋅BC =-73C.AO ⋅BC =72D.OH =OA +OB +OC三、填空题公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公21.(2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中)已知△ABC 的顶点坐标A -6,2 、B 6,4 ，设G 2,0 是△ABC 的重心，则顶点C 的坐标为_________.22.(2023秋·山西吕梁·高三统考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA +3OB +4OC =0，OA =1，下列结论中正确的序号为______．①OB ⋅OC =-78；②AB =2；③∠A =2∠C ．23.(2023·河北·模拟预测)已知O 为△ABC 的外心，AC =3，BC =4，则OC ⋅AB =___________．24.(2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中)已知A ､B ､C 为△ABC 的三个内角，有如下命题：①若△ABC 是钝角三角形，则tan A +tan B +tan C <0；②若△ABC 是锐角三角形，则cos A +cos B <sin A +sin B ；③若G ､H 分别为△ABC 的外心和垂心，且AB =1,AC =3，则HG ⋅BC =4；④在△ABC 中，若sin B =25,tan C =34，则A >C >B ，其中正确命题的序号是___________.25.(2023秋·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试)在△ABC 中，AB =3，AC =5，点N 满足BN=2NC ，点O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO 的值为__________.26.(2023·全国·高三专题练习)已知G 为△ABC 的内心，且cos A ⋅GA +cos B ⋅GB +cos C ⋅GC =0，则∠A =___________．27.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，cos ∠BAC =13，若O 为内心，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为______．28.(2023·全国·高三专题练习)设I 为△ABC 的内心，若AB =2，BC =23，AC =4，则AI ⋅BC=___________公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上.AB ⋅PC +BC ⋅PC+CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB=PC ⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心.公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公【典型例题】题型一：重心定理例1.(2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足GA +GB +GC =0 ，则G 点是三角形ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心【答案】D【解析】因为GA +GB +GC =0 ，所以GA +GB =-GC =CG .以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD 交AB 于点O .如图所示:则CG =GD ，所以GO =13CO ，CO 是AB 边上的中线，所以G 点是△ABC的重心.故选：D例2.(2023春·山东·高一阶段练习)已知G 是△ABC 的重心，点D 满足BD=DC ，若GD =xAB +yAC ，则x +y 为( )A.13B.12C.23D.1【答案】A【解析】因为BD =DC，所以D 为BC 中点，又因为G 是△ABC 的重心，所以GD =13AD，又因为D 为BC 中点，所以AD =12AB +12AC ，所以GD =1312AB +12AC =16AB +16AC，所以x =y =16，所以x +y =13.故选：A例3.(2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)记△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，点G 是△ABC 的重心，若BG ⊥CG ,5b =6c 则cos A 的取值是( )A.5975B.5775C.1115D.6175【答案】D公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公【解析】依题意，作出图形，因为点G 是△ABC 的重心，所以M 是BC 的中点，故AM =12AB +AC，由已知得BC=a ,AC =b ,AB =c ，因为BG ⊥CG ，所以GM =12BC =12a ，又因为点G 是△ABC 的重心，所以GM =12GA ，则AM =12a +a =32a ，又因为AM 2=14AB +AC 2，所以94a 2=14c 2+b 2+2bc cos A ，则9a 2=c 2+b 2+2bc cos A ，又由余弦定理得a 2=c 2+b 2-2bc cos A ，所以9c 2+b 2-2bc cos A =c 2+b 2+2bc cos A ，整理得2c 2+2b 2-5bc cos A =0，因为5b =6c ，令b =6k k >0 ，则c =5k ，所以2×5k 2+2×6k 2-5×6k ×5k cos A =0，则cos A =122150=6175.故选：D .题型二：内心定理例4.(2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC，则λ+μ=______．【答案】9-372【解析】在△ABC ，由余弦定理得BC =AC 2+AB 2-2AC ⋅AB cos ∠BAC =7,设O ,Q ,N 分别是边AB ,BC ,AC 上的切点，设AN =AO =x ，则NC =QC =2-x ,BO =BQ =1-x ，所以BC =BQ +QC =1-x +2-x =7⇒x =3-72，由AP =λAB +μAC 得，AP ⋅AB =λAB +μAC ⋅AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB⇒AO =λ-μ，①同理由AP ⋅AC =λAB +μAC ⋅AC⇒2AN =-λ+4μ,②联立①②以及AN =AO =x 即可解得：λ+μ=3x =3×3-72=9-372，故答案为：9-372例5.(2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中)已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP =OA +λAB AB +ACACλ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】C【解析】因为AB AB 为AB 方向上的单位向量，ACAC为AC 方向上的单位向量，则AB |AB |+AC |AC |的方向与∠BAC 的角平分线一致，由OP =OA +λAB AB +AC AC ，可得OP -OA =λAB AB +ACAC，即AP =λAB AB +ACAC，所以点P 的轨迹为∠BAC 的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过△ABC 的内心.故选：C .例6.(2023·全国·高一假期作业)已知I 为△ABC 所在平面上的一点，且AB =c ,AC =b ,BC =a .若aIA+bIB+cIC =0 ，则I 是△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心【答案】B【解析】因为IB =IA+AB ,IC =IA +AC ，所以aIA +bIB+cIC =aIA +b IA +AB +c IA +AC =a +b +c IA +bAB +cAC =0 ，所以(a +b +c )IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC)，所以IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC)a +b +c =-b a +b +c ⋅AB +c a +b +cAC =-1a +b +c b ⋅AB +c ⋅AC =-bca +b +c AB c +AC b=-bca +b +c AB AB +AC AC，所以IA在角A 的平分线上，故点I 在∠BAC 的平分线上，同理可得，点I 在∠BCA 的平分线上，故点I 在△ABC 的内心，故选：B .例7.(2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛)在△ABC 中，cos A =34，O 为△ABC 的内心，若AO =xAB +yACx ,y ∈R ，则x +y 的最大值为( )公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公A.23B.6-65C.7-76D.8-227【答案】D【解析】如图：圆O 在边AB ,BC 上的切点分别为E ,F ，连接OE ,OF ，延长AO 交BC 于点D设∠OAB =θ，则cos A =cos2θ=1-2sin 2θ=34，则sin θ=24设AD =λAO =λxAB +λyAC∵B ,D ,C 三点共线，则λx +λy =1，即x +y =1λ1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OF =11+OF AO =11+OE AO=11+sin θ=11+24=8-227即x +y ≤8-227故选：D ．题型三：外心定理例8.(2023春·湖北武汉·高一校联考期末)在△ABC 中，AB =2,AC =3,N 是边BC 上的点，且BN=NC,O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO =( )A.3B.134C.92D.94【答案】B【解析】因为BN =NC，则N 是BC 的中点，所以AN =12AB +12AC ，设外接圆的半径为r ，所以AO ⋅AN =AO ⋅12AC +12AB =12AO ⋅AC +12AO ⋅AB =12r ×3×cos ∠OAC +12r ×2×cos ∠OAB =12×3×32+12×2×1=134．故选：B ．例9.(2023春·河南许昌·高一统考期末)已知P 在△ABC 所在平面内，满足PA =PB =PC ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心【答案】A【解析】PA =PB=PC 表示P 到A ,B ,C 三点距离相等，P 为外心．公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公故选：A ．例10.(2023春·四川自贡·高一统考期末)直角△ABC 中，∠C =90∘,AB =4,O 为△ABC 的外心，OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=( )A.4B.-4C.2D.-2【答案】B【解析】∵直角△ABC 中，∠C =90°，AB =4，O 为△ABC 的外心，∴O 为AB 的中点，即OA =OB =2，∴OA +OB =0 且OA ⋅OB =|OA |⋅|OB|⋅cos180°=-4，∴OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =-4+OC ⋅(OA+OB )=-4+0=-4，故选：B ．例11.(2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习)已知O 为△ABC 的外心，若AB =1，则AB ⋅AO=( )A.-12B.12C.-1D.23【答案】B【解析】因为点O 为△ABC 的外心，设AB 的中点为D ，连接OD ，则OD ⊥AB ，如图所以AB ⋅AO =AB ⋅(AD +DO )=AB ⋅AD +AB ⋅DO =12AB 2+0=12×12=12.故选：B .题型四：垂心定理例12.(2023春·河南南阳·高一统考期中)若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】D【解析】HA 2+BC 2=HB 2+CA 2⇒HA 2+BH +HC 2=HB 2+CH +HA2，得BH ⋅HC=CH ⋅HA ⇒HC ⋅BA =0，即HC ⊥BA ；HA 2+BC 2=HC 2+AB 2⇒HA 2+BH +HC 2=HC2+AH +HB 2，得BH ⋅HC =AH ⋅HB ⇒BH ⋅AC =0，即BH⊥AC ；HB 2+CA 2=HC 2+AB 2⇒HB 2+CH +HA 2=HC 2+AH +HB 2，CH ⋅HA =AH ⋅HB ⇒HA ⋅CB =0，即HA ⊥CB，所以H 为△ABC 的垂心.故选：D .例13.(多选题)(2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中)已知O ，N ，P ，I 在△ABC 所在的平公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公面内，则下列说法正确的是( )A.若OA =OB =OC，则O 是△ABC 的外心B.若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的垂心C.若NA +NB +NC=0，则N 是△ABC 的重心D.若CB ⋅IA =AC ⋅IB =BA ⋅IC=0，则I 是△ABC 的垂心【答案】ABCD【解析】对A ，根据外心的定义，易知A 正确；对B ，PB ⋅PA -PC =PB ⋅CA =0⇒PB ⊥CA ，同理可得：PA ⊥CB ,PC ⊥AB ，所以P 是垂心，故B正确；对C ，记AB 、BC 、CA 的中点为D 、E 、F ，由题意NA +NB =2ND =-NC ，则|NC |=2|ND |，同理可得：|NA |=2|NE |,|NB |=2|NF |，则N 是重心，故C 正确；对D ，由题意，CB ⊥IA ,AC ⊥IB ,BA ⊥IC ，则I 是垂心，故D 正确故选：ABCD .例14.(2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习)设H 是△ABC 的垂心，且4HA+5HB+6HC =0 ，则cos ∠AHB =_____．【答案】-2211【解析】∵H 是△ABC 的垂心，∴HA ⊥BC ，HA ⋅BC =HA ⋅HC -HB =0，∴HA ⋅HB =HC ⋅HA ，同理可得，HB ⋅HC =HC ⋅HA ，故HA ⋅HB =HB ⋅HC =HC ⋅HA ，∵4HA +5HB+6HC =0 ，∴4HA 2+5HA ⋅HB +6HA ⋅HC=0，∴HA ⋅HB =-411HA 2，同理可求得HA ⋅HB =-12HB 2，∴cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-411HA 2HB HA ，cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-12HB 2HB HA，∴cos 2∠AHB =211，即cos ∠AHB =-2211.故答案为：-2211．【同步练习】一、单选题1.(2023·四川泸州·泸县五中校考二模)已知△ABC 的重心为O ，则向量BO=( )公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公A.23AB +13ACB.13AB +23ACC.-23AB +13ACD.-13AB +23AC【答案】C【解析】设E ,F ,D 分别是AC ,AB ,BC 的中点，由于O 是三角形ABC 的重心，所以BO =23BE =23×AE -AB =23×12AC -AB =-23AB +13AC.故选：C .2.(2023·全国·高三专题练习)对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论不正确的是( )A.AO ⋅AB =12AB2B.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCC.过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE =λAB ，AF =μAC ，则1λ+1μ=3D.AH 与AB AB cos B +ACACcos C 共线【答案】B【解析】如图，设AB 中点为M ，则OM ⊥AB ，∴AO cos ∠OAM =AM ，∴AO ·AB =AO AB cos ∠OAB =AB AO cos ∠OAB =AB ⋅AB2=12AB 2，故A 正确；OA ·OB =OA ·OC 等价于OA ·OB -OC=0等价于OA ·CB =0，即OA ⊥BC ，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直，故B 错误；设BC 的中点为D ，则AG =23AD =13AB +AC =131λAE +1μAF=13λAE +13μAF，∵E ，F ，G 三点共线，∴13λ+13μ=1，即1λ+1μ=3，故C 正确；AB ABcos B +AC AC cos C ⋅BC =AB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BCAC cos C =AB BC cos π-B AB cos B +AC BC cos C ACcos C =-BC +BC =0，∴AB AB cos B +ACACcos C 与BC 垂直，又∵AH ⊥BC ，公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公∴AB AB cos B +ACACcos C与AH 共线，故D 正确.故选：B .3.(2023·四川·校联考模拟预测)在平行四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，AG =xAB +yAD，则3x +y =( )A.73B.2C.83D.3【答案】C【解析】如图，设AC 与BD 相交于点O ，由G 为△BCD 的重心，可得O 为BD 的中点，CG =2GO ，则AG =AO +OG =AO +13OC =43AO =43×12AB +AD =23AB +23AD，可得x =y =23，故3x +y =83.故选：C .4.(2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习)过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =xAB ，AE =yAC ，且xy ≠0，则1x +1y=( )A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】设△ABC 的重心为点G ，延长AG 交BC 于点M ，则M 为线段BC 的中点，因为D 、G 、E 三点共线，设DG =λDE，即AG -AD =λAE -AD ，所以，AG =1-λ AD +λAE =1-λ xAB +λyAC ，因为M 为BC 的中点，则AM =AB +BM =AB +12BC =AB+12AC -AB =12AB +12AC ，因为G 为△ABC 的重心，则AG =23AM =13AB +13AC，所以，1-λ x =λy =13，所以，1x +1y=31-λ +3λ=3.故选：B .5.(2023秋·上海·高二专题练习)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：OP =OA+λ(AB +AC ),λ>0，则直线AP 一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心C.重心D.垂心【答案】C公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公【解析】取线段BC 的中点E ，则AB +AC =2AE ．动点P 满足：OP =OA+λ(AB +AC )，λ>0，则OP -OA=2λAE 则AP =2λAE .则直线AP 一定通过△ABC 的重心．故选：C ．6.(2023秋·湖北·高二校联考期中)O 是△ABC 的外心，AB =6,AC =10，AO =xAB +yAC,2x +10y=5，则cos ∠BAC =( )A.12B.13C.35D.13或35【答案】D【解析】当O 在AC 上，则O 为AC 的中点，x =0,y =12满足2x +10y =5，符合题意，∴AB ⊥BC ，则cos ∠BAC =AB AC=35；当O 不在AC 上，取AB ,AC 的中点D ,E ，连接OD ,OE ，则OD ⊥AB ,OE ⊥AC ，则AB ⋅AO =AB AO cos ∠OAD =AB ×AO ×ADAO =12AB 2=18，同理可得：AC ⋅AO =12AC 2=50∵AB ⋅AO =AB ⋅xAB +yAC =xAB 2+yAB ⋅AC=36x +60y cos ∠BAC =18，AC ⋅AO =AC ⋅xAB +yAC =xAC ⋅AB +yAC 2=60x cos ∠BAC +100y =50，联立可得36x +60y cos ∠BAC =1860x cos ∠BAC +100y =502x +10y =5，解得x =14y =920cos ∠BAC =13，故选：D .7.(2023·湖南·高考真题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】D【解析】因为PA ⋅PB=PB ⋅PC ，则PB ⋅PC -PA =PB ⋅AC=0，所以，PB ⊥AC ，同理可得PA ⊥BC ，PC ⊥AB ，故P 是△ABC 的垂心.故选：D .公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公8.(2023·全国·高一专题练习)已知点O ,P 在△ABC 所在平面内，满OA +OB +OC =0 ，PA =PB=PC ，则点O ,P 依次是△ABC 的( )A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心【答案】A【解析】设AB 中点为D ，因为OA +OB +OC =0，所以OA +OB +OC =2OD +OC =0 ，即-2OD =OC ，因为OD ,OC有公共点O ，所以，O ,D ,C 三点共线，即O 在△ABC 的中线CD ，同理可得O 在△ABC 的三条中线上，即为△ABC 的重心；因为PA =PB=PC ，所以，点P 为△ABC 的外接圆圆心，即为△ABC 的外心综上，点O ,P 依次是△ABC 的重心，外心.故选：A9.(2023·全国·高一专题练习)已知O ,A ,B ,C 是平面上的4个定点，A ,B ,C 不共线，若点P 满足OP=OA +λAB +AC ，其中λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】A【解析】根据题意，设BC 边的中点为D ，则AB +AC =2AD，因为点P 满足OP =OA+λAB +AC ，其中λ∈R所以，OP -OA=AP =λAB +AC =2λAD ，即AP =2λAD ，所以，点P 的轨迹为△ABC 的中线AD ，所以，点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.故选：A10.(2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习)在△ABC 中，设O 是△ABC 的外心，且AO=13AB +13AC，则∠BAC 等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】依题意，因为AO =13AB +13AC ，所以O 也是△ABC 的重心，又因为O 是△ABC 的外心，所以△ABC 是等边三角形，所以∠BAC =60°.公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公故选：C .11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,AB =2,∠ACB =45°,O 是△ABC 的外心,则AC ⋅BC+OC ⋅AB的最大值为( )A.1B.32C.3D.72【答案】C【解析】解:由题知,记△ABC 的三边为a ,b ,c ,因为O 是△ABC 的外心,记AB 中点为D ,则有OD ⊥AB ,所以OD ⋅AB =0且CD =12CA +CB ,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB =CA ⋅CB +OD +DC ⋅AB =CA ⋅CB +OD ⋅AB +DC ⋅AB =CA ⋅CB -12CA +CB ⋅AB=CA ⋅CB -12CA +CB ⋅CB -CA=CA ⋅CB +12CA 2-CB 2=b ⋅a ⋅cos ∠ACB +12b 2-a 2=122ab +b 2-a 2 ①,在△ABC 中,由余弦定理得:cos ∠ACB =a 2+b 2-c 22ab=22,即a 2+b 2-c 2=2ab ,即a 2+b 2-2=2ab ,代入①中可得:AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1,在△ABC 中,由正弦定理得:a sin A=b sin B =csin C =222=2,所以b =2sin B ≤2,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1≤3,当b =2,a =c =2,A =C =45∘,B =90∘时取等,故AC ⋅BC +OC ⋅AB的最大值为3.公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公故选:C12.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，O 为△ABC 的内心，若AO=λAB +μBC ，则λ+μ=( )A.23B.34C.56D.35【答案】C【解析】由AO =λAB +μBC 得AO =λOB -OA +μOC -OB，则1-λ OA +λ-μ OB +μOC =0，因为O 为△ABC 的内心，所以BC OA +AC OB +AB OC =0，从而1-λ :λ-μ :μ=5:4:3，解得λ=712，μ=14，所以λ+μ=56.故选：C .13.(2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)若O ，M ，N 在△ABC 所在平面内，满足|OA |=|OB |=|OC |,MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，且NA +NB +NC =0 ，则点O ，M ，N 依次为△ABC 的( )A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心【答案】D【解析】因为|OA |=|OB |=|OC |，所以OA =OB =OC ，所以O 为△ABC 的外心；因为MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，所以MB ⋅(MA-MC )=0，即MB ⋅CA=0，所以MB ⊥AC ，同理可得：MA ⊥BC ，MC ⊥AB ，所以M 为△ABC 的垂心；因为NA +NB +NC =0 ，所以NA +NB =-NC ，设AB 的中点D ，则NA +NB =2ND，所以-NC =2ND，所以C ，N ，D 三点共线，即N 为△ABC 的中线CD 上的点，且NC =2ND ，所以N 为△ABC 的重心．故选：D ．公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公14.(2023春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知点O ，P 在△ABC 所在平面内，且OA =OB =OC ，PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则点O ，P 依次是△ABC 的( )A.重心，垂心 B.重心，内心C.外心，垂心D.外心，内心【答案】C【解析】由于OA =OB =OC ，所以O 是三角形ABC 的外心.由于PA ⋅PB =PB ⋅PC ，所以PA -PC ⋅PB =0,CA ⋅PB=0⇒CA ⊥PB ，同理可证得AB ⊥PC ,BC ⊥PA ，所以P 是三角形ABC 的垂心.故选：C二、多选题15.(2023春·河南·高一校联考期中)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法不正确的是( )A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BCD.OD +OE +OF =0【答案】BD【解析】对于A ，在△OAB 中，因为D 为AB 的中点，所以OD =12(OA +OB )，所以OA +OB =2OD ，所以A 正确，对于B ，因为△ABC 为正三角形，O 为△ABC 的重心，所以OA =OB =OC ，∠AOB =∠BOC =∠AOC =120°，设OA =OB =OC =a ，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =OA ⋅OB cos ∠AOB +OB ⋅OC cos ∠BOC +OC ⋅OAcos ∠AOC=a 2cos120°+a 2cos120°+a 2cos120°=-32a 2≠0，所以B 错误，对于C ，因为AO ⋅AB -AC =0，所以AO ⋅CB =0，所以AO ⊥CB，所以OA ⊥BC ，所以C 正确，对于D ，因为边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公所以OD =12(OA +OB )，OE =12(OB +OC )，OF =12(OA +OC )，因为O 为△ABC 的重心，所以CO =2OD ，所以2OD =-OC，所以OD +OE +OF =12(OA +OB )+12(OC +OB )+12(OA+OC )=OA +OB +OC=2OD +OC=-OC +OC =0 ，所以D 错误，故选：BD16.(2023·全国·高三专题练习)如图，M 是△ABC 所在平面内任意一点，O 是△ABC 的重心，则( )A.AD +BE =CFB.MA +MB +MC=3MOC.MA +MB +MC =MD +ME +MFD.BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =0【答案】BCD【解析】对于A 选项，由题意可知，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，所以，AD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +AC ，同理可得BE =12BA +BC ，CF =12CA +CB，所以，AD +BE =12AB +AC +12BA +BC =12AC +BC =-CF ，A 错；对于B 选项，由重心的性质可知AD =32AO ，BE =32BO ，CF =32CO，由A 选项可知，AD +BE +CF =32AO +BO +CO =0，所以，MA +MB +MC =MO +OA +MO +OB +MO +OC =3MO -AO +BO +CO =3MO ，B 对；对于C 选项，由重心的性质可知OD =12AO，OE =12BO ，OF =12CO ，所以，MD +ME +MF=MO +OD +MO +OE +MO +OF =3MO +12AO +BO +CO=3MO ，C 对；对于D 选项，BC ⋅AD =12AC -AB ⋅AC +AB =12AC 2-AB 2，同理可得CA ⋅BE =12BA 2-BC 2 ，AB ⋅CF =12CB 2-CA 2，公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公。

【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下：一．知识点总结 1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4）O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA OB ACAC |AB |AB OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二．范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心BCHA图6解析：因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB 是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

高考数学常考问题专题讲解平面向量与三角形四心知识的交汇

方向上的单位向量，
平分
,
)，令
化简得
（
)
（4）
为
典型例题：例 1：是平面上一定点，
的外心。是平面上不共线的三个点，动点满足
A．外心
，
，则点的轨迹一定通过
的（）
B．内心
C．重心
D．垂心
分析：如图所示
，
分别为边
的中点.
// 点的轨迹一定通过
的重心，即选 .
例 2：是平面上一
+ =0
点的轨迹一定通过
的垂心，即选 .
举一反三：通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若
点为
内任意一点，若点满足:
1．
2.
两点分别是
的边
; 上的中点,且
;
3.
;
4. 练习： 1．已知
数满足：
.
三个顶点
及平面内一点，满足
，则的值为（）
，若实
A．2
B．
C．3
D．垂心
6．
的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，
则实数 m =
的（），
A．三边均不相等的三角形 C．等腰非等边三角形
B．直角三角形 D．等边三角形
8．已知
三个顶点
，若
为（）
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．既非等腰又非直角三角形
练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C
A．外心
， B．内心
，则点的轨迹一定通过
的（）
C．重心
D．垂心
分析：
分别为
方向上的单位向量，

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专题：平面对量中三角形“四心”问题题型总结
在三角形中，“四心”是一组特别的点，它们的向量表达形式具有很多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新奇新颖的问题，不仅考查了向量等学问点，而且培育了考生分析问题、解决问题的实力．现就“四心”作如下介绍：
1．“四心”的概念与性质
(1)重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G 是△ABC 所在平面内的一点，则当点G 是△ABC 的重心时，有GA
＋GB ＋GC ＝0或PG ＝13
(PA ＋PB ＋PC )(其中P 为平面内随意一点)．反之，若GA ＋GB ＋GC ＝0，则点G 是△ABC 的重心．在向量的坐标表示中，若G ，A ，B ，C 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则有x ＝x 1＋x 2＋x 33，y ＝y 1＋y 2＋y 33.
(2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边．在向量表达形式中，若H 是△ABC 的垂心，则HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA 或HA 2＋BC 2＝HB 2＋CA 2＝HC 2＋AB 2
.反之，若HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA ，则H 是△ABC 的垂心． (3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．在向量表达形式中，若点I 是△ABC 的内心，则有|BC |·IA ＋|CA |·IB ＋|AB |·IC ＝0.反之，若|BC |·IA ＋|CA |·IB ＋|AB |·IC ＝0，则点I 是△ABC 的内心．
(4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．在向量表达形式中，若点O 是△ABC 的外心，则(OA ＋OB )·BA ＝(OB ＋OC )·CB ＝(OC ＋OA )·AC ＝0或|OA |＝|OB |＝|OC |.反之，若|OA |＝|OB |＝|OC |，则点O 是△ABC 的外心．
2．关于“四心”的典型例题
[例1] 已知O 是平面上的肯定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满意OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹肯定通过△ABC 的________心．
[解析] 由原等式，得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )，即AP ＝λ(AB ＋AC )，依据平行四边形法则，知AB ＋AC 是△ABC 的中线所对应向量的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．
[答案] 重
[点评] 探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特别线段所在直线重合，这可从已知等式动身，利用向量的线性运算法则进行运算得之．
[例2] 已知△ABC 内一点O 满意关系OA ＋2OB ＋3OC ＝0，试求S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB 之值．
[解] 延长OB 至B 1，使BB 1＝OB ，延长OC 至C 1，使CC 1＝2OC ，
连
接AB 1，AC 1，B 1C 1，如图所示，
则1OB ＝2OB ，1OC ＝3OC ，由条件，得OA ＋1OB ＋1OC ＝0，所以点O 是△AB 1C 1的重
心．从而S △B 1OC 1＝S △C 1OA ＝S △AOB 1＝13
S ，其中S 表示△AB 1C 1的面积，所以S △COA ＝19S ，S △AOB ＝16S ，S △BOC ＝12S △B 1OC ＝12×13S △B 1OC 1＝118
S . 于是S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝118∶19∶16
＝1∶2∶3. [点评] 本题条件OA ＋2OB ＋3OC ＝0与三角形的重心性质GA ＋GB ＋GC ＝0非常类似，因此我们通过添加协助线，构造一个三角形，使点O 成为协助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比．
[引申推广] 已知△ABC 内一点O 满意关系λ1OA ＋λ2OB ＋λ3OC ＝0，则S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝λ1∶λ2∶λ3.
[例3] 求证：△ABC 的垂心H 、重心G 、外心O 三点共线，且|HG |＝2|GO |.
[证明] 对于△ABC 的重心G ，易知OG ＝OA ＋OB ＋OC 2，
对于△ABC 的垂心H ，设OH ＝m (OA ＋OB ＋OC )，则 AH ＝AO ＋m (OA ＋OB ＋OC )＝(m －1) OA ＋m OB ＋m OC .
由AH ·BC ＝0，得[(m －1) OA ＋m OB ＋m OC ](OC －OB )＝0，
(m －1) OA ·(OC －OB )＋m (OC 2－OB 2
)＝0，因为|OC |＝|OB |，
所以(m －1) OA ·(OC －OB )＝0.但OA 与BC 不肯定垂直，所以只有当m ＝1时，上式恒
成立．所以OH ＝OA ＋OB ＋OC ，从而OG ＝13OH ，得垂心H 、重心G 、外心O 三点共线，且|HG |＝2|GO |.
[引申推广]
重心G 与垂心H 的关系：HG ＝13
(HA ＋HB ＋HC )． [点评] 这是闻名的欧拉线，提示了三角形的“四心”之间的关系．我们选择恰当的基底向量来表示它们，当然最佳的向量是含顶点A 、B 、C 的向量．
[例4] 设A 1，A 2，A 3，A 4，A 5 是平面内给定的5个不同点，则使1MA ＋2MA ＋3MA ＋4MA ＋5MA ＝0成立的点M 的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．5
D ．10
[解析] 依据三角形中的“四心”学问，可知在△ABC 中满意MA ＋MB ＋MC ＝0的点只有重心一点，利用类比的数学思想，可知满意本题条件的点也只有1个．
[答案] B
[点评] 本题以向量为载体，考查了类比与化归，归纳与猜想等数学思想．本题的具体解答过程如下：对于空间两点A，B来说，满意MA＋MB＝0的点M是线段AB的中点；对于空间三点A，B，C来说，满意MA＋MB＋MC＝0，可认为是先取AB的中点G，再连接CG，在CG上取点M，使MC＝2MG，则M满意条件，且唯一；对于空间四点A，B，C，D来说，满意MA＋MB＋MC ＋MD＝0，可先取△ABC的重心G，再连接GD，在GD上取点M，使DM＝3MG，则M满意条件，且唯一，不妨也称为重心G；与此类似，对于空间五点A，B，C，D，E来说，满意MA＋MB＋MC ＋MD＋ME＝0，可先取空间四边形ABCD的重心G，再连接GE，在GE上取点M，使EM＝4MG，则M满意条件，且唯一．。