高数齐次方程
dx
v c1
注: 上述方法可适用于下述更一般的方程
( c2 c12 0 )
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例3. 求解
解: 作变换 x X h, y Y k ，原方程可化为
dY X Y h k 4 d X X Y hk 6
令 h k 4 0 得 h 1, k 5 hk 6 0
即 x X 1, y Y 5 , 得 dY X Y d X X Y
再令 u Y X
,
得
1u 1 u2
du dX X
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积分得
arctan u
1 2
ln
(1
u
2
)
ln
C
X
代回原变量, 得原方程的通解:
arctan
y x
5 1
1 2
ln
1
y5 x 1
2
dx x x
x
u xu 2u u2
分离变量
u
d
2
u
u
dx x
即 1 1 du dx
u 1 u
x
积分得 ln u 1 ln x ln C , 即 x (u 1) C
u
u
代回原变量得通解 x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y
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*二、可化为齐次方程的方程
( c2 c12 0 )
1.当 a1 b1 时,作变换 x X h, y Y k ( h, k 为待 ab
定常数), 则d x d X , d y dY , 原方程化为
ahbk c a1h b1k c1
第三节 齐次方程
第七章
一、齐次方程 *二、可化为齐次方程
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一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
解法: 令 u y , x
代入原方程得 u x d u (u)
dx
分离变量:
du dx
(u) u x
两边积分, 得
du
(u) u
dx x
积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.
ln
C (x 1)
得 C = 1 , 故所求特解为
思考: 若方程改为 提示:
如何求解?
第四节 目录 上页 下页 返回 结束
注：用一个新变量去代替整体变量的思想
如 dy f x y ,
dx 令 x + y = u ，则 y = u – x , 得
du 1 f u
dx 这是可分离变量的方程。
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例1. 解微分方程 y 解: 令 u y , 则y
u
y x
tan y . x
x u, 代入原方程得
x
u x u u tan u
分离变量
d u d x cos u d u d x
tan u x
sin u
x
两边积分
cos u sin u
d
u
dx x
令
, 解出 h , k
(齐次方程)
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求出其解后,
即得原方
程的解.
2.当 a1 b1 时, 原方程可化为
ab
dy a x by c (b 0)
dx
(a x by) c1
令 v a x by, 则
dv
a
bd y
dx
dx
dv a b v c (可分离变量方程)
得
ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x
故原方程的通解为 sin y C x ( C 为任意常数 ) x
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
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例2. 解微分方程
解: 方程变形为 dy 2 y y 2 , 令 u y , 则有
高数 第三节 齐次方程
分离变量法得
X 2 ( u2 2u 1) C ,
即 Y 2 2 XY X 2 C ,
将 X x 1,Y y 2 代回，
得原方程的通解
( y 2)2 2( x 1)( y 2) ( x 1)2 C , 或 x 2 2 xy y 2 2 x 6 y C1 .
dz x 2 z 3 , 令 sin y z dx 2 x 4 z 3 du 6 再令 x 2z u , dx 3 2u
两边积分后得 3u u2 6 x C , 变量还原得 3( x 2 sin y ) ( x 2 sin y ) 6 x C .
dy y y tan 例 3 求解微分方程 dx x x
例 4 求解微分方程
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x x 解 令u y ， 则 dy xdu udx，
x
( x ux cos u)dx x cos u( udx xdu) 0,
2
解
2u u u xu , 2 1 u u
2
1 1 1 2 1 dx [ ( ) ]du , 2 u 2 u u 2 u1 x
3 1 ln(u 1) ln(u 2) ln u ln x ln C , 2 2 u1 Cx. u ( u 2)
代回原方程, 得齐次方程的解 y u0 x.
y y 例1. 解微分方程 y tan . x x y 解: 令 u , 则 y u x u , 代入原方程得 x u x u u tan u cos u dx du 分离变量 sin u x cos u dx du 两边积分 sin u x 得 ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x y 故原方程的通解为 sin C x ( C 为任意常数 ) x ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
高数微分方程公式大全
高数微分方程公式大全微分方程是数学中的重要概念，包含了许多公式和方法。
下面我将从不同角度介绍一些常见的高等数学微分方程公式。
1. 一阶微分方程：可分离变量方程公式，dy/dx = f(x)g(y)，可通过分离变量并积分求解。
齐次方程公式，dy/dx = f(x)/g(y)，可通过变量代换或分离变量求解。
线性方程公式，dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过积分因子法或常数变易法求解。
2. 二阶微分方程：齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，可通过特征方程法求解。
非齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
欧拉方程公式，x²d²y/dx² + pxdy/dx + qy = 0，可通过变量代换或特征方程法求解。
3. 高阶微分方程：常系数线性齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = 0，可通过特征方程法求解。
常系数线性非齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
常系数二阶齐次方程公式，d²y/dx² + py' + qy = 0，可通过特征方程法求解。
4. 常见的变换和公式：指数函数变换，对于形如y = e^(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
对数函数变换，对于形如y = ln(x)的方程，可通过变量代换进行求解。
三角函数变换，对于形如y = sin(kx)或y = cos(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
常用公式，如指数函数的导数公式、对数函数的导数公式、三角函数的导数公式等。
高数第十二章 常系数齐次线性微分方程
即 r (r 2r 5) 0
2 2
得特征根 r1 r2 0, r3 1 2i , r4 1 2i
故所给方程的通解为
y C1 C2 x e x (C3 cos 2 x C4 sin 2 x).
21
d4w 例6 求方程 4 4 w 0的通解, 其中 0. dx
9
y1 , y2 仍是微分方程的解. 且
y1 e x cos x x cot x y2 e sin x
不是常数. 于是微分方程的通解为
y e (C1 cos x C2 sin x)
x
C1 , C2是任意常数.
由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通 解的方法称为特征根法.
定理 y e 是微分方程(2)的解 r是代数
rx
方程 r p1 r
n
n
n 1
pn1 r pn 0的根.
pn1 r pn 0为微分
称方程 r p1 r
n 1
方程(2)的特征方程.其根为(2)的特征根.
n阶常系数齐次线性微分方程的解的情况见 下表 :
解 特征方程为
r4 4 0
因 r 4 4 r 4 2r 2 2 4 2r 2 2
(r 2 2 )2 2r 2 2
(r 2 2r 2 )(r 2 2r 2 )
所以特征方程可写成 ( r 2 2r 2 )( r 2 2r 2 ) 0
p2 4q 特征根 r1,2 2 2 (1) p 4q 0; 分三种情形 : 2 (2) p 4q 0;
(3) p 2 4q 0.
高数微分方程总结
５、二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0 二阶常系数齐次线性方程 y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
解 （１） 由题设可得：
2 p( x)2x 0,
2 x3
p( x)( 1 ) x2
f ( x),
解此方程组，得
p( x) 1 , x
f
(x)
3 x3
.
（２） 原方程为 y 1 y 3 .
x
x3
显见 y1 1, y2 x2 是原方程对应的齐次方 程 的两个线性无关的特解 ，
又 y* 1 是原方程的一个特解， x
dt 2
即 x g x g , 99
x(0) 0, x(0) 0.
10m
o x
解此方程得
x(t)
1
(e
1 3
gt
1
e3
gt
) 1,
2
整个链条滑过钉子 ,即 x 8,
代入上式得
t 3 ln(9 80). (秒) g
最好的，不一定是最合适的；最合适的，才是真正最好的。 最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 快乐的人帮助别人，积极人的肯定自己。——王修强 对于每一个不利条件，都会存在与之相对应的有利条件。 人必须有自信，这是成功的秘密。 人一旦觉悟，就会放弃追寻身外之物，而开始追寻内心世界的真正财富。 这世间最可依赖的不是别人，而是你自己。不要指望他人，一定要坚强自立。 懂得感恩，感谢帮助你的每一个人。 不要因为小小的争执，远离了你至亲的好友，也不要因为小小的怨恨，忘记了别人的大恩。
07高数——线性方程组知识点速记
其中，A 为系数矩阵()=m n ijm na A ⨯⨯；1(,,)n x x x = 。
若将A 的第j 列元素看作是向量()1,2,,j j n α= ，则上述齐次线性方程组可用向量形式表示为11220n n x x x ααα+++= 若12,,,l βββ 是齐次方程组的l 个解向量，并且：（1）12,,,l βββ 线性无关；（2）方程组（1-8-4）的任意解向量都是12,,,l βββ 的线性组合，则称12,,,l βββ 是方程组的基础解系。
方程组的基础解系不唯一，但每个基础解系所含向量个数相同。
结论：若A 的秩()R A r =，则：①当r n =时，方程组只有零解。
②当r n <时，方程组有无穷多解，这时基础解系含有n r -个解向量。
并可按下列方法求基础解系：设A 中的r 阶子式11110rr rra a a a ≠ ，方程组与下列方程组同解可以分别取111111111111r r r r n nr rr r rr r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x++++++=---++=---⎧⎪⎨⎪⎩ 12100010,,,001r r n x x x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ n r -组数，由此可求得方程组的n r -个解向量，即为方程组的基础解系。
若12,,,t ξξξ 是齐次方程组0Ax =的一个基础解系，则齐次线性方程组0Ax =的通解是1122t t x k k k ξξξ=+++ ，其中12,,,t k k k 是任意常数。
高 数线性方程组知识点速记111122121122221122000n n n nm m mn n a x +a x a x a x a x a x a x a x a x ++=⎧⎪++ +=⎪⎨⎪++ +=⎪⎩ 可用矩阵形式表示为Ax =01111221211222200n n n n a x +a x a x a x a x a x ++=⎧⎪++ +=⎪⎨⎪ 可用矩阵形式表示为Ax =0线性方程组1、齐次线性方程组设常数项()12,,,m b b b b T= ，当12,,,m b b b 不全为零时，称Ax b =为非齐次线性方程组。
高中数学齐次式
高中数学齐次式齐次式是一种常见的关系式，它体现了数学的对称美。
有关二次曲线的题目往往运算量较大，引入齐次方程可以化繁为简，化难为易。
怎样应用呢？途径1一次方程二次化通过乘积，将两直线方程合成二次式，作为新曲线参与解题。
例1直线与双曲线及其渐近线交于A、B、C、D四点（如图1），求证|AC|=|BD|。
证明将两渐近线方程合成二次式即联立方程组，得由于（1）、（2）消去y，所得二次方程仅常数项不同，因此必有亦即AB、CD中点重合由平面几何知识知|AC|=|BD|例2已知：，试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对上任一点P，均存在以P为顶点，与外切、与内接的平行四边形？并证明你的结论。
解过P点作的一条直径PR（过椭圆中心的线段称为直径），作直径QS⊥PR，显然PQRS为菱形。
（想一想，为什么？）设PS方程为（此为直线的法线式方程，其中为PS垂线的倾角，p为O到PS距离）则直线OP、OS的方程可“合成”为即（可以证明此曲线方程是双曲线型过原点，且过P、S，故即为直线OP与OS两直线方程的“合成”）变形为由OP⊥OS可得所以而菱形PQRS与相切的充要条件为p=1即。
途径2常数字母化将直线方程变换为的形式进行代换，消去常数项，巧构齐次方程。
例3已知直线与二次曲线＋F=0，相交于M、N两点，试求直线OM、ON垂直的充要条件。
解由得代入二次曲线方程得x,y的齐次方程方程是x,y的齐次方程，因此，（*）表示过原点的两直线；又M、N坐标满足方程（*），因此，（*）就是OM、ON的方程。
（*）可改写成（其中G是常数不必算出）则OM⊥ON的充要条件是即例4已知圆C：，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由。
解设l的方程：，则代入圆的方程，得整理得由于，可得由OA⊥OB，则。
高数第4章第3节——可用变量代换法求解的一阶微分方程
代入原方程得 u u ln u , 即 x
u
du ln u
dx , x
du uln u , dx x
解得 ln | ln u | ln | x | ln | C | , 即: ln u Cx ,
所求通解为 ln x ln y C ln x .
*四、可化为齐次型的方程
形如
dy dx
a1 x a2 x
xx 代入原方程得 u xu ulnu, 分离变量, 两边积分,得
ln | ln u 1 | ln | x | ln | C | , 即 Cx ln u 1 , 故原方程的通解为 ln y ln x 1 Cx .
二、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
2) a1 a2 0的情形 b1 b2
设 a1 b1 k,则方程可改写成 a2 b2
dy dx
a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2
k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2
f (a2 x b2 y)
令u
a2 x
b2
y,则方程化为
du dx
a2
b2
为 1)的情形, 可化为变量分离方程求解.
解题步骤:
1)
由
aa21
x x
b1 y b2 y
c1 c2
0 ,
0
解得
x y
,
2)
令
X Y
x , 方程化为 y
dY dX
a1 X a2 X
b1Y b2Y
g( Y ), X
3) 再令 u Y ,将以上方程化为变量分离方程 , X
高数——齐次方程中齐次的解释
⾼数——齐次⽅程中齐次的解释
“齐次”从词⾯上解释是“次数相等”的意思。
中有两个地⽅⽤到“齐次”的叫法：
1、形如y'=f(y/x)的⽅程称为“”，这⾥是指⽅程中每⼀项关于x、y的次数都是相等的，例如x^2,xy,y^2都算是⼆次项，⽽y/x算0次项，⽅程y'=1+y/x中每⼀项都是0次项，所以是“”。
2、形如y''+py'+qy=0的⽅程称为“齐次”，这⾥“齐次”是指⽅程中每⼀项关于未知函数y及其导数y',y'',……的次数都是相等的（都是⼀次），⽽⽅程y''+py'+qy=x就不是“齐次”的，因为⽅程右边的项x不含y及y的导数，是关于y,y',y'',……的0次项，因⽽就要称为“⾮齐次”。
另外在⾥也有“齐次”的叫法，例如f=ax^2+bxy+cy^2称为⼆次齐式，即⼆次齐次式的意思，因为f中每⼀项都是关于x、y的⼆次项。
齐次多项式：
“齐次”从词⾯上解释是“次数相等”的意思。
后，各项次数都相同的多项式。
如x－２*y ，３*z是⼀次齐次式；3x*x＋y*y－８*z*z＋x*y－２y*z是⼆次齐次式。
⽐如说x的平⽅加2倍的xy加3倍的y的平⽅，这样⼆次项这⾥是指⽅程中每⼀项关于x、y的次数都是相等的，所以是⼆次齐次式，齐次多项式也类似。
高数下册第七章第五节一阶线性方程全微分方程
x
2). 3
25
五、1、( x y)2 2x C ；
2、 y 1 sin x 1 ； xC
2、2x ln y ln2 y C ；
3、 x Cy3 1 y2. 2
二、1、 y sin x 5ecos x 1；
2、2 y
x3
x
3e
1 x2
1
.
三、v
k1 k2
t
k1m k22
(1
k0
em
t
).
四、1、 xy x C ；
2、
x2 y2
C
2 3
x3 (ln
即
两端积分得对应齐u次 方Q程( x通)e解 P
(
x
)yd x C dx
e P C
(
x
)d
x
故原方程的通解
y
e
P(
x)d
x
Q(
x
)
e
P
(
x
)
d
x
d
x
C
即
y Ce P( x)d x
e P(x)d x
Q(
x
)
e
P
(
x
)d
x
d
x
齐次方程通解
u
2(x
3
1)2
C
3
4
例2. 求方程
dx xy
2 y
x y3
d
y
高数C6-2一阶微分方程
−y
e − y dy = sin xdx ,
- ∫ e dy = − ∫ sin xdx ,
e = cos x + C ,
-y
y = − ln(cos x + C ).
3
dy 例2 求微分方程 = 2xy 的通解. dx 解 分离变量 dy = 2xdx, 两端积分 ∫ dy = ∫ 2xdx, x ∫ 1 dx ⋅ e x dx + C ∫ x
sin x x
=e
1 = x
−lnx
(∫ sin x dx + C)
∫
⋅e
lnx
1 = ( −cos x + C) . x
dx + C
21
C( x) C′( x) 2C( x) 用常数变易法, 用常数变易法,令 y = , − 2 , 有 y′ = 2 3 x x x
− p( x)dx
= cos x ∫ sec2 xdx + C
= cos x ⋅ (tan x + C ).
18
例9 求微分方程 y′ + 1 y = sinx 的通解. x x
解法一：常数变易法. 解法一：常数变易法
dy 1 原方程所对应的齐次微分方程为： 原方程所对应的齐次微分方程为： + y = 0 dx x
∫ y =C e
− P( x)dx
∫ =C e
− tan xdx
= Ce
lncos x
= C cos x.
16
变换常数C ,令y = C ( x )cos x , 则