解直角三角形方位角、坡度角
解直角三角形方位角与坡度
B
30º
A
C
5.5米
2.如图7-3-4所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡 度i=1∶1.5，且AB= 13 m.
C
如图，水库的横截面是梯形，坝高23m，迎水
坡AB的坡度是 i 1 : 3 ，背水坡CD的坡度 是i=1:1,求坡角a和坝底宽AD
BC
i 1: 3
α A
EF
DHale Waihona Puke 如图:一艘轮船由海平面上A地出发向南 偏西400的方向行驶40海里到达B地,再 由B地向北偏西200的方向行驶40海里到 达C地,则A,C两地的距离为 ____
为建设山水园林式城市，内江市正在对城区河 段进行区域性景观打造.如图，某施工单位为 测得某河段的宽度，测量员先在河对岸边取一 点A,再在河这边沿河边取两点B,C.在点B处测 得点A在北偏东30度方向上，在C点处测得点A 在西北方向上，量得BC长为200米.请你求出 该河段的宽度（结果保留根号）.
北
C 北
D
A 有一个角是600的三 角形是等边三角形
B
二、探究
例、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货 轮由东向西航行，，航行24海里到C，在B处见岛A在北 偏西60˚.在c见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行， 有无触礁的危险？
解：过点A作AD⊥BC于D,
设CD=x,则BD=X+24
解直角三角形方位角与
解直角三角形的应用
概念反馈
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
视线
h
（2）坡度 i ＝
l
α为坡角
h
α
l
铅
α垂
=tan
线
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课精彩教案
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课精彩教案一、教学内容1. 利用直角三角形的性质，解决实际生活中的方位角问题；2. 利用直角三角形计算坡度角，并应用于地形、建筑设计等领域。
二、教学目标1. 理解并掌握方位角与坡度角的概念及计算方法；2. 能够运用直角三角形的性质解决实际问题，如确定物体方位和计算坡度；3. 培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：理解方位角和坡度角的实际应用，以及计算方法的灵活运用。
教学重点：掌握直角三角形的性质，以及如何利用这些性质解决方位角和坡度角问题。
四、教具与学具准备1. 教具：直角三角形模型、地球仪、坡度计算器；2. 学具：三角板、量角器、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用地球仪展示不同地点的方位角，引导学生思考如何计算和确定方位角。
2. 知识讲解（15分钟）（1）回顾直角三角形的性质；（2）介绍方位角的概念及计算方法；（3）介绍坡度角的概念及计算方法。
3. 例题讲解（15分钟）（1）计算给定地点的方位角；（2）计算给定地形的坡度角。
4. 随堂练习（10分钟）（1）学生独立完成练习题，计算给定地点的方位角；（2）学生分组讨论，计算给定地形的坡度角。
六、板书设计1. 方位角的定义及计算方法；2. 坡度角的定义及计算方法；3. 例题及解答过程。
七、作业设计1. 作业题目：（1）给定一点，求该点的方位角；（2）给定一个斜面，求其坡度角。
2. 答案：（1）方位角的计算结果为：度；（2）坡度角的计算结果为：度。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对方位角和坡度角的概念理解较为顺利，但在计算过程中仍存在一些问题，如计算方法不熟练、单位换算错误等，需要在课后加强练习。
2. 拓展延伸：引导学生思考在实际生活中，还有哪些问题可以利用直角三角形的性质来解决，鼓励学生进行探索和研究。
重点和难点解析1. 实践情景引入的理解和应用；2. 知识讲解中方位角和坡度角计算方法的掌握；3. 例题讲解中解题步骤的详细解释；4. 随堂练习的设计与实施；5. 作业设计中题目难度的把握及答案的准确性；6. 课后反思与拓展延伸的有效性。
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案一、教学内容本节课的内容选自《初中数学》八年级下册第九章“勾股定理及其应用”的第三节“解直角三角形”。
具体包括：直角三角形的定义及性质，解直角三角形的概念，利用三角函数解直角三角形，以及方位角和坡度角的实际应用。
二、教学目标1. 知识目标：学生能够理解并掌握解直角三角形的基本概念，熟练运用三角函数求解直角三角形的未知边和角。
2. 技能目标：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力。
3. 情感目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生合作交流、积极参与的学习态度。
三、教学难点与重点教学难点：解直角三角形的实际应用，特别是方位角和坡度角的计算。
教学重点：熟练运用三角函数解直角三角形，以及在实际问题中求解方位角和坡度角。
四、教具与学具准备教具：三角板、直尺、量角器、多媒体课件。
学具：直角三角形模型、计算器、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入，如建筑工地上的方位角和坡度角问题，让学生了解解直角三角形在实际生活中的应用。
2. 新课导入：讲解直角三角形的定义及性质，引导学生回顾勾股定理，为解直角三角形打下基础。
3. 新知讲解：（1）介绍解直角三角形的定义及方法，如正弦、余弦、正切函数的定义和应用。
（2）通过例题讲解，让学生掌握解直角三角形的方法。
（3）讲解方位角和坡度角的概念，以及在实际问题中的应用。
4. 随堂练习：布置相关练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 小组讨论：针对练习题中的问题，组织学生进行小组讨论，互相交流解题思路。
六、板书设计1. 直角三角形的定义及性质2. 解直角三角形的方法：（1）正弦函数：sin A = 对边/斜边（2）余弦函数：cos A = 邻边/斜边（3）正切函数：tan A = 对边/邻边3. 方位角和坡度角的计算方法七、作业设计1. 作业题目：（1）已知直角三角形的两个角和一条边，求其他未知边和角。
课件：28.2.5 用解直角三角形解方位角、坡角的应用
导引：连接AE，在Rt△ABE中求出AE，且根据 ∠EAB的正切值求出∠EAB的度数，进而 得到∠EAF的度数，最后在Rt△EAF中解 出EF即可．
解：如图，连接AE.
在Rt△ABE中，AB＝3，BE＝ 3 ，
则AE= AB2 BE2 2 3.
∵tan ∠EAB= BE 3 , AB 3
∴∠EAB＝30°.
3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距 离灯塔2海里的A处．如果海轮沿正南方向航行到灯 塔的正东位置，则海轮航行的距离AB是( C ) A．2海里 B．2sin 55°海里 C．2cos 55°海里 D．2tan 55°海里
4 【2017·玉林】如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位 于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海 里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方 向上，此时轮船与灯塔P的距离是( B ) A．15 3 海里 B．30海里 C．45海里 D．30 3 海里
在Rt△AEF中，∠EAF＝∠EAB+∠BAC
＝30°+30°＝60°，
∴EF＝AE×sin ∠EAF＝ 2
3
3 3. 2
答：木箱端点E距地面AC的高度EF为3 m.
总结
(1)坡角是水平线与斜边的夹角，不要误解为铅垂线与 斜边的夹角；
(2)坡比是坡角的正切值．
1 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AF=DE = 6 m. 斜面坡度i= 1∶1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度 BF的比，斜面坡度i = 1∶3是指DE与CE 的比.根据图 中数据，求： （1）坡角α 和β的度数； （2）斜坡AB的长(结果 保留小数点后一位).
5 【中考·济宁】如图，斜面AC的坡度(CD与AD的比) 为1：2，AC＝3 5 米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶 端B点与A点有一条彩带相连．若AB＝10米，则旗 杆BC的高度为( A ) A．5米 B．6米 C．8米 D．(3＋ 5 )米
1203解直角三角形的应方位角_、坡角
求斜坡AB的长，坡角α和坝底AD宽。
B
i 1: 3
C
i' 1: 1
α A
E
F
D
练习2:修建一条铁路要经过一座高山，
需在山腰B处开凿一条隧道BC。经测量，
西山坡的坡度i＝5:3，由山顶A观测到点
C的俯角为60°，AC的长为60m，如图所
坡面长为 2 3 ，
则坡度i＝___3____,坡角α＝=45°坡比i= 1∶1 2、坡比为 1: 3 ,坡角α= 30°
3 10
3、坡比为i=1∶ 3 ，坡角α的余弦值为 10
例1 如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，
斜坡AB的坡度为1： 3 ，坡面AB的水平 宽度为 3 米，基面AD宽2米，
示，试求隧道BC的长.
A
i = 5：3
B
C
练习3:利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为 0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道 内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面 (等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖 去的土方数．
❖ 练习4.(2008 山东 聊城)如图，在平地上种 植树时，要求株距（相邻两树间的水平距 离）为4m．如果在坡度为0.5的山坡上种 植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间 的坡面距离约为（ ） 5 2.236
求路基高AE、坡角∠B和基底BC的宽.
2
A
D
B
E
F
C
3
例2：如果你是修建三峡大坝的工程师，现在 有这样一个问题请你解决：如图，
水库大坝的横断面是 梯形，坝顶宽6m，坝 高23m，斜坡AB的坡度 i=1∶3，斜坡CD的坡 度I’=1∶2.5，求斜坡 坝底宽AD和斜坡AB的 长．
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课教案
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课教案一、教学内容本节课我们将学习教材第十章“解直角三角形的应用”中的方位角与坡度角。
具体内容包括：理解方位角的概念，掌握利用正切值计算方位角；理解坡度角的概念，掌握利用正弦值和余弦值计算坡度角。
二、教学目标1. 理解并掌握方位角与坡度角的概念。
2. 学会使用正切、正弦和余弦值计算方位角与坡度角。
3. 能够在实际问题中运用所学的知识，解决有关方位角与坡度角的问题。
三、教学难点与重点重点：方位角与坡度角的概念及其计算方法。
难点：在实际问题中运用所学的知识，解决有关方位角与坡度角的问题。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、量角器、多媒体课件。
2. 学具：直角三角形模型、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示实际生活中的方位角与坡度角问题，引导学生思考如何解决这些问题。
2. 知识讲解：a. 讲解方位角的概念，引导学生通过观察三角板理解方位角的含义。
b. 讲解正切值在计算方位角中的应用，通过例题进行演示。
c. 讲解坡度角的概念，引导学生通过观察直角三角形模型理解坡度角的含义。
d. 讲解正弦值和余弦值在计算坡度角中的应用，通过例题进行演示。
3. 随堂练习：让学生完成教材中的相关习题，巩固所学知识。
4. 解题方法与技巧讲解：针对学生在随堂练习中遇到的问题，进行讲解和指导。
六、板书设计1. 方位角与坡度角的概念。
2. 正切、正弦和余弦值在计算方位角与坡度角中的应用。
3. 例题解答步骤。
七、作业设计1. 作业题目：a. 计算给定直角三角形的方位角。
b. 计算给定直角三角形的坡度角。
2. 答案：见附页。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对方位角与坡度角的概念掌握情况，以及计算方法的运用。
2. 拓展延伸：引导学生思考方位角与坡度角在实际生活中的应用，如建筑设计、地形测量等。
重点和难点解析1. 教学内容的针对性及深度。
2. 教学目标的明确性与可衡量性。
3. 教学难点与重点的识别。
《用解直角三角形解方位角、坡角的应用》PPT课件
4.4 解直角三角形的应用
第2课时 用解直角三角形解方 位角、坡角的应用
1 课堂讲解 用解直角三角形解方位角问题
用解直角三角形解坡角问题
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
观察下图中图形的方位，试着描述它们的位置.
知识点 1 用解直角三角形解方位角问题
知1－讲
1. 方向角的定义： 指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的 角叫作方向角. 特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点 的指北方向线起， 按顺时针方向到目标方向线之间 的水平夹角，变化范围为0 ~ 360°，而方向角的变 化范围是0 ~ 90° .
如图1，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BD，问哪条
路比较陡?
B
A
D
图1
知2－讲
如何用数量来刻画哪条路陡呢? 如图2，从山坡脚下点 A 上坡走到点 B 时，升高的
高度 h ( 即线段 BC 的长度 ) 与水平前进的距离 l ( 即线 段 AC 的长度 ) 的比叫作坡度，用字母 i 表示，即
i h (坡度通常写成 1：m 的形式) . l
则在Rt △ ACE 中，CE= 3x ，AC=2x，
在Rt △BCE 中，BE=CE= 3x,
∴ BC= 6x.
∵ AB=AE+BE，∴ x + 3x＝60( 6 + 2) ,
解得x = 60 2 海里.
∴ AC =120 2海里，BC = 120 3 海里.
知1－讲
解：(2) 如图，过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F，
俯角为 60°. 已知该山坡的坡度i 为1 ∶ 3 ，点P，H，
B，C，A 在同一个平面上，点H，B，C 在同一条直 线上，且PH ⊥ HC. (1) 山坡坡角的度数等于
28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度角解直角三角形
h
α
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α .
l
2.坡度（或坡比）
水平面
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h— l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
3.坡度与坡角的关系
i
h l
tan
坡度等于坡角的正切值
练一练 1.斜坡的坡度是 1 : 3 ，则坡角α=___3_0__度. 2.斜坡的坡角是45° ，则坡比是 __1_：__1__.
3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是__1_:__3__.
学案52页交流
h
α l
典例精析
学案52页反馈
例3 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡 向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升 了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
i=1:2
∴ ∠A≈26.57°
B
sin B sin 34 0.559
答：当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P 大约130.23n mile．
二 解与坡度有关的问题
学案51页交流
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？
右边的路BC陡些．
C
如何用数量来刻画哪条路 陡呢？
学案52页交流
坡
面
1.坡角
i= h : l
学案51页自学
65° A P
C 34°
B
学案51页自学
解：由题意知∠EPA＝65°，∠PBC＝∠FPB＝34°
∠APC＝90°－∠EPA＝25°
E
65° A
P
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在Rt△CDE中，∠CED=90°
tan DE i 1: 3
CE
18.4
AD 6m FE
i=1:3 β C
1.在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念(方位角;坡度、坡角等)
2.实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形)
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）；
h l
= tan a.
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
铅垂 高度
h
i h:l
i 坡度或坡比
坡角
l
l水平长度
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题 的策略
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根
据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要h=lsina，但是，当我们要测 量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这 是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l
l
h
α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直” 的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把 山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一 部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近 似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰 角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1l. h
α
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面 的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再 “积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化 曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的 基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中， 你会更多地了解这方面的内容．
AF 6x 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注 明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做 坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = h .
l
坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与水平
面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝
例5. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中 i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的 比），根据图中数据求：（1）坡角a和β;
（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
tan AF i 1：1.5
BF
i=1:1. 5
α B
33.7
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
交BD的延长线于点F，垂足为F， ∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
AF AD2 DF 2 2x2 x2 3x
60° B
A DF
在Rt△ABF中，
30°
tan ABF AF tan 30 3x
BF
12 x
解得x=6
解直角三角形（3）
方位角
• 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角.
• 如图：点A在O的北偏东30° • 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
北
A
30°
西
东
O
45°
B
南
例1. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
65° A P
C
34°
B
例4.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
A
60°
B 12
30°
DF
解：由点A作BD的垂线