解直角三角形方位角与坡度
解直角三角形方位角坡度
P A C B
2、如图，一渔船由西往东航行，在A点 测得海岛C位于北偏东60°的方向，前 进20海里到达B点，此时，测得海岛C位 于北偏东30°的方向，则海岛C到航线 AB的距离CD等于____海里．
3、一渔船在海岛A南偏东20°方 向的B处遇险，测得海岛A与B的 距离为20海里，渔船将险情报告 给位于A处的救援船后，沿北偏 西80°方向向海岛C靠近．同时， 从A处出发的救援船沿南偏西 10°方向匀速航行．20分钟后， 救援船在海岛C处恰好追上渔船， 求救援船航行的速度为多少？
2、如图，水坝的横断面是梯形，背水 坡AB的坡度为 3⋅：1，坡长AB=20 3m， 为加强水坝强度，将坝底从A处向后水 平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡度 为1：1，求AF的长度．（结果精确到1 米）．
3、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为 0.6米的一块(阴影部分是挖去部分)，已知渠道内 坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求： ①横断面(等腰梯形)ABCD的面积； ②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
h 的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i= h/l l
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a面就越陡.
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶. 6
1、如图，一水库大坝的横断面为梯形 ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜 坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角 为30°，求坝底AD的长度．（精确到 0.1米)
解直角三角形(2) ——方位角
归纳 方位角的定义：
指北或指南方向线与目标方向线所 成的小于90°的角叫做方位角。
1、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东 65°方向，距离灯塔80n mile的A处，它 沿着正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时， B处距离灯塔P有多远？（结果取整数）
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课精彩教案
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课精彩教案一、教学内容1. 利用直角三角形的性质，解决实际生活中的方位角问题；2. 利用直角三角形计算坡度角，并应用于地形、建筑设计等领域。
二、教学目标1. 理解并掌握方位角与坡度角的概念及计算方法；2. 能够运用直角三角形的性质解决实际问题，如确定物体方位和计算坡度；3. 培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：理解方位角和坡度角的实际应用，以及计算方法的灵活运用。
教学重点：掌握直角三角形的性质，以及如何利用这些性质解决方位角和坡度角问题。
四、教具与学具准备1. 教具：直角三角形模型、地球仪、坡度计算器；2. 学具：三角板、量角器、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用地球仪展示不同地点的方位角，引导学生思考如何计算和确定方位角。
2. 知识讲解（15分钟）（1）回顾直角三角形的性质；（2）介绍方位角的概念及计算方法；（3）介绍坡度角的概念及计算方法。
3. 例题讲解（15分钟）（1）计算给定地点的方位角；（2）计算给定地形的坡度角。
4. 随堂练习（10分钟）（1）学生独立完成练习题，计算给定地点的方位角；（2）学生分组讨论，计算给定地形的坡度角。
六、板书设计1. 方位角的定义及计算方法；2. 坡度角的定义及计算方法；3. 例题及解答过程。
七、作业设计1. 作业题目：（1）给定一点，求该点的方位角；（2）给定一个斜面，求其坡度角。
2. 答案：（1）方位角的计算结果为：度；（2）坡度角的计算结果为：度。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对方位角和坡度角的概念理解较为顺利，但在计算过程中仍存在一些问题，如计算方法不熟练、单位换算错误等，需要在课后加强练习。
2. 拓展延伸：引导学生思考在实际生活中，还有哪些问题可以利用直角三角形的性质来解决，鼓励学生进行探索和研究。
重点和难点解析1. 实践情景引入的理解和应用；2. 知识讲解中方位角和坡度角计算方法的掌握；3. 例题讲解中解题步骤的详细解释；4. 随堂练习的设计与实施；5. 作业设计中题目难度的把握及答案的准确性；6. 课后反思与拓展延伸的有效性。
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案一、教学内容本节课的内容选自《初中数学》八年级下册第九章“勾股定理及其应用”的第三节“解直角三角形”。
具体包括：直角三角形的定义及性质，解直角三角形的概念，利用三角函数解直角三角形，以及方位角和坡度角的实际应用。
二、教学目标1. 知识目标：学生能够理解并掌握解直角三角形的基本概念，熟练运用三角函数求解直角三角形的未知边和角。
2. 技能目标：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力。
3. 情感目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生合作交流、积极参与的学习态度。
三、教学难点与重点教学难点：解直角三角形的实际应用，特别是方位角和坡度角的计算。
教学重点：熟练运用三角函数解直角三角形，以及在实际问题中求解方位角和坡度角。
四、教具与学具准备教具：三角板、直尺、量角器、多媒体课件。
学具：直角三角形模型、计算器、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入，如建筑工地上的方位角和坡度角问题，让学生了解解直角三角形在实际生活中的应用。
2. 新课导入：讲解直角三角形的定义及性质，引导学生回顾勾股定理，为解直角三角形打下基础。
3. 新知讲解：（1）介绍解直角三角形的定义及方法，如正弦、余弦、正切函数的定义和应用。
（2）通过例题讲解，让学生掌握解直角三角形的方法。
（3）讲解方位角和坡度角的概念，以及在实际问题中的应用。
4. 随堂练习：布置相关练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 小组讨论：针对练习题中的问题，组织学生进行小组讨论，互相交流解题思路。
六、板书设计1. 直角三角形的定义及性质2. 解直角三角形的方法：（1）正弦函数：sin A = 对边/斜边（2）余弦函数：cos A = 邻边/斜边（3）正切函数：tan A = 对边/邻边3. 方位角和坡度角的计算方法七、作业设计1. 作业题目：（1）已知直角三角形的两个角和一条边，求其他未知边和角。
初中九年级数学教学设计用解直角三角形解方位角、坡角的应用
28.2.5 用解直角三角形解方位角,坡角地应用知识与技能进一步掌握用解直角三角形地知识解决实际问题地方法,体会方位角,仰角,俯角,坡度（坡比） 地意义及其所代表地实际意义,能用它们进行有关地计算. 过程与方法通过实际问题地求解,总结出用解直角三角形地知识解决实际问题地一般过程,增强分析问题与解决问题地能力.情感态度渗透数形结合地思想方法,增强学生地数学应用意识与能力.教学重点用三角函数有关知识解决方位角问题.教学难点学会准确分析问题,并将实际问题转化为数学模型.一,复习回顾,新知导引1.仰角,俯角概念;2.方位角地意义.教学说明教师提出问题顾,为后继学习作好准备.二,典例精析,掌握新知例1 如图,一艘海轮位于灯塔P 地北偏东65°方向,距离灯塔80海里地A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P 地南偏东34°方向上地B 处.这时,海轮所在地B 处距离灯塔P 有多远 (结果取整数）？分析与解 易知P 点正东方向与AC 具有垂直关系,即图中PC 丄AB,若记垂足为C,则图中出现了两个直角三角形APC 与直角三角形BPC.而在Rt △APC 中,知AP=80,∠APC=90°-65°=25°,故可求出线段PC 地长,即由APPC =∠APC cos ,得PC=AP · cos25°=80·cos25°≈72.505,因此在Rt △BPC 中,由PB PC PB =∠C cos ,得，13056cos 505.7256cos ≈︒=︒=PC PB 从而可得知海轮在B 处时距离灯塔P 约130海里.教学说明本例地设计较上节课所学过地应用问题不同处在于用其中一个直角三角形中所获得地结论来作为另一个直角三角形地条件而获得问题地解答,这正是学生感到困难地地方,因而教师应作为引导,帮助学生进行观察思考.例2 如图,拦水坝地横断面是梯形ABCD (图中i=1:3是指坡面地铅直高度DE与水平宽度CE地比,也称为坡度,坡比）,根据图中数据求:（1）坡角α与β;（2）斜坡AB地长（结果保留小数点后一位）.教学说明本例可由学生独立完成,教师巡视指导,让学生在自主探究中体会用解直角三角形地知识来解决史记问题地方法,在完成上述例题后,教师引导学生完成创优作业中本课时地“名师导学”部分.三,师生互动,课堂小结问题通过学习用解直角三角形知识解决实际问题过程中,妳有哪些收获？教学说明师生共同探索,完善知识体系.习题28.2中选取.1.课后作业:从P77〜792.完成创优作业中本课时地“课时作业”部分.本课时应首先认知“方位角,仰角,俯角,坡度”及其所代表地实际意义,然后结合解直角三角形地有关知识加以论证,层层展开,步步深入.。
解直角三角形之方位角、坡度、坡比
解直角三角形之方位角、坡角、坡度方位角1、如图，一首轮船位于灯塔P处的北偏东60o方向,与灯塔P的距离为80海里的A处,他沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45o方向的B处,求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离.2、如图,为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度,小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60o方向,他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C,此时测得柳树位于北偏东30o方向,试计算此段河面的宽度.M N两工厂间修一条笔直的公路,但在M地北偏东45o方向、N地北偏西60o方向3、我市准备在相距2千米的,的P处,有一个半径为0.6千米的住宅小区(如图),问修筑公路时,这个小区是否有居民需要搬迁?≈≈)4、如图,海上有一灯塔P,在它周围6海里内有暗礁.一艘海轮以18海里/时的速度由西向东航行,行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60o的方向上,继续向东行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45o方向上,如图海轮不改变方向继续前进,有没有触礁的危险.坡比、坡度5、如图,水库的拦水坝的横截面是一个梯形,坝顶6BC =米,坝高9BE =米,斜坡AB 的坡角为45o ,斜坡 CD 的坡度为1:求坡CD 的坡角及坝底AD 的长.6、如图,拦水坝的横断面是梯形ABCD ,3BC =米,坝高6BE =米,坡AB 与坡CD 的坡度分别为1,i21:1i =.(1)坡AB 的坡角A ∠=____________,坡CD 的坡角D ∠=____________.(2)求梯形的面积.延伸题7、已知,,a b c 分别为ABC ∆中,,A B C ∠∠∠的对边,若关于x 的一元二次方程2()20b c x ax c b +-+-=有两个相等的实数根,且sin cos cos sin 0B A B A -=,说明ABC ∆的形状.。
1203解直角三角形的应方位角_、坡角
求斜坡AB的长，坡角α和坝底AD宽。
B
i 1: 3
C
i' 1: 1
α A
E
F
D
练习2:修建一条铁路要经过一座高山，
需在山腰B处开凿一条隧道BC。经测量，
西山坡的坡度i＝5:3，由山顶A观测到点
C的俯角为60°，AC的长为60m，如图所
坡面长为 2 3 ，
则坡度i＝___3____,坡角α＝=45°坡比i= 1∶1 2、坡比为 1: 3 ,坡角α= 30°
3 10
3、坡比为i=1∶ 3 ，坡角α的余弦值为 10
例1 如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，
斜坡AB的坡度为1： 3 ，坡面AB的水平 宽度为 3 米，基面AD宽2米，
示，试求隧道BC的长.
A
i = 5：3
B
C
练习3:利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为 0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道 内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面 (等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖 去的土方数．
❖ 练习4.(2008 山东 聊城)如图，在平地上种 植树时，要求株距（相邻两树间的水平距 离）为4m．如果在坡度为0.5的山坡上种 植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间 的坡面距离约为（ ） 5 2.236
求路基高AE、坡角∠B和基底BC的宽.
2
A
D
B
E
F
C
3
例2：如果你是修建三峡大坝的工程师，现在 有这样一个问题请你解决：如图，
水库大坝的横断面是 梯形，坝顶宽6m，坝 高23m，斜坡AB的坡度 i=1∶3，斜坡CD的坡 度I’=1∶2.5，求斜坡 坝底宽AD和斜坡AB的 长．
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课教案
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课教案一、教学内容本节课我们将学习教材第十章“解直角三角形的应用”中的方位角与坡度角。
具体内容包括：理解方位角的概念，掌握利用正切值计算方位角；理解坡度角的概念，掌握利用正弦值和余弦值计算坡度角。
二、教学目标1. 理解并掌握方位角与坡度角的概念。
2. 学会使用正切、正弦和余弦值计算方位角与坡度角。
3. 能够在实际问题中运用所学的知识，解决有关方位角与坡度角的问题。
三、教学难点与重点重点：方位角与坡度角的概念及其计算方法。
难点：在实际问题中运用所学的知识，解决有关方位角与坡度角的问题。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、量角器、多媒体课件。
2. 学具：直角三角形模型、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示实际生活中的方位角与坡度角问题，引导学生思考如何解决这些问题。
2. 知识讲解：a. 讲解方位角的概念，引导学生通过观察三角板理解方位角的含义。
b. 讲解正切值在计算方位角中的应用，通过例题进行演示。
c. 讲解坡度角的概念，引导学生通过观察直角三角形模型理解坡度角的含义。
d. 讲解正弦值和余弦值在计算坡度角中的应用，通过例题进行演示。
3. 随堂练习：让学生完成教材中的相关习题，巩固所学知识。
4. 解题方法与技巧讲解：针对学生在随堂练习中遇到的问题，进行讲解和指导。
六、板书设计1. 方位角与坡度角的概念。
2. 正切、正弦和余弦值在计算方位角与坡度角中的应用。
3. 例题解答步骤。
七、作业设计1. 作业题目：a. 计算给定直角三角形的方位角。
b. 计算给定直角三角形的坡度角。
2. 答案：见附页。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对方位角与坡度角的概念掌握情况，以及计算方法的运用。
2. 拓展延伸：引导学生思考方位角与坡度角在实际生活中的应用，如建筑设计、地形测量等。
重点和难点解析1. 教学内容的针对性及深度。
2. 教学目标的明确性与可衡量性。
3. 教学难点与重点的识别。
《用解直角三角形解方位角、坡角的应用》PPT课件
4.4 解直角三角形的应用
第2课时 用解直角三角形解方 位角、坡角的应用
1 课堂讲解 用解直角三角形解方位角问题
用解直角三角形解坡角问题
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
观察下图中图形的方位，试着描述它们的位置.
知识点 1 用解直角三角形解方位角问题
知1－讲
1. 方向角的定义： 指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的 角叫作方向角. 特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点 的指北方向线起， 按顺时针方向到目标方向线之间 的水平夹角，变化范围为0 ~ 360°，而方向角的变 化范围是0 ~ 90° .
如图1，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BD，问哪条
路比较陡?
B
A
D
图1
知2－讲
如何用数量来刻画哪条路陡呢? 如图2，从山坡脚下点 A 上坡走到点 B 时，升高的
高度 h ( 即线段 BC 的长度 ) 与水平前进的距离 l ( 即线 段 AC 的长度 ) 的比叫作坡度，用字母 i 表示，即
i h (坡度通常写成 1：m 的形式) . l
则在Rt △ ACE 中，CE= 3x ，AC=2x，
在Rt △BCE 中，BE=CE= 3x,
∴ BC= 6x.
∵ AB=AE+BE，∴ x + 3x＝60( 6 + 2) ,
解得x = 60 2 海里.
∴ AC =120 2海里，BC = 120 3 海里.
知1－讲
解：(2) 如图，过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F，
俯角为 60°. 已知该山坡的坡度i 为1 ∶ 3 ，点P，H，
B，C，A 在同一个平面上，点H，B，C 在同一条直 线上，且PH ⊥ HC. (1) 山坡坡角的度数等于
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B
30º
A
C
5.5米
2.如图7-3-4所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡 度i=1∶1.5，且AB= 13 m.
C
如图，水库的横截面是梯形，坝高23m，迎水
坡AB的坡度是 i 1 : 3 ，背水坡CD的坡度 是i=1:1,求坡角a和坝底宽AD
BC
i 1: 3
α A
EF
DHale Waihona Puke 如图:一艘轮船由海平面上A地出发向南 偏西400的方向行驶40海里到达B地,再 由B地向北偏西200的方向行驶40海里到 达C地,则A,C两地的距离为 ____
为建设山水园林式城市，内江市正在对城区河 段进行区域性景观打造.如图，某施工单位为 测得某河段的宽度，测量员先在河对岸边取一 点A,再在河这边沿河边取两点B,C.在点B处测 得点A在北偏东30度方向上，在C点处测得点A 在西北方向上，量得BC长为200米.请你求出 该河段的宽度（结果保留根号）.
北
C 北
D
A 有一个角是600的三 角形是等边三角形
B
二、探究
例、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货 轮由东向西航行，，航行24海里到C，在B处见岛A在北 偏西60˚.在c见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行， 有无触礁的危险？
解：过点A作AD⊥BC于D,
设CD=x,则BD=X+24
解直角三角形方位角与
解直角三角形的应用
概念反馈
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
视线
h
（2）坡度 i ＝
l
α为坡角
h
α
l
铅
α垂
=tan
线
仰角 俯角
水平线
视线
（3）方位角
北
A
30°
西
O
东
45°
B
南
引例：山坡上种树，要求株距（相临两树间的水平
距离）是5.5米，测的斜坡倾斜角是30º，求斜坡上相 邻两树间的坡面距离是多少米（精确到0.1米）
练习
（2007淄博）王英同学从A地沿北偏西60º方向 走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到 C地，此时王英同学离A地多少距离？
北
E
B 100m
600
西
东
D
A
200m
南 C
THANKS
谢谢聆听
在Rt△ADC中，
∵ tan∠DCA=---A--DDC
∴AD= tan600x= 3 x
A
N1
N
在Rt△ADB中，
∵ tan30˚= --A--D= √---3---x--
BD X+24 X=12 AD≈12×1.732 =20.784 > 20
答：货轮无触礁危险。
DX C
24海里
B
练习：.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗 礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在 北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小 岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向
东航行，有没有触礁的危险？
A
B 12 D F
(陕西) 一次测量活动中，同学们要测量某公园 的码头A与他正东方向的亭子B之间的距离， 如图他们选择了与码头A、亭子B在同一水平 面上的点P，在点P处测得码头A位于点P北偏 西30°方向，亭子B位于点P北偏东45°方向； 又测得P与码头A之间的距离为200米，请你运 用以上数据求出A与B的距离。