第2课时 与坡度、方位角有关的应用问题
第2课时与方位角、坡角有关的运用举例
【规律总结】 利用方位角解决直角三角形实际问题时,准确区分方位角,再建立直角 三角形模型.
类型二:坡度与坡角在直角三角形中的应用 例2 水库堤坝的横断面是梯形.测得BC长为6 m,CD长为60 m,斜坡的坡比为 1∶2.5,斜坡AB的坡比为1∶3,求: (1)斜坡CD的坡角∠D和坝底的宽(角度精确到1′,宽度精确到0.1 m);
第2课时与方位角、坡角 有关的运用举例
2020/8/15
2.坡度与坡角(重点) (1)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做 坡度 写成i=1∶m,如i=1∶5. (2)坡面与水平面的夹角α叫 坡角 .
.坡度一般用i来表示,即i=
,一般
坡度与坡角α的关系是
.
显然,坡度越大,坡角α就 i= =ta,n坡α面就
【思路点拨】 (1)理解坡度与坡角;
(2)若堤坝长L=150 m,问建造这个堤坝需用多少土石方?(精确到1 m3) 【思路点拨】 (2)准确掌握坡度与坡角的关系:i= =tan α.
【方法技巧】 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: (1)将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案.
A
2.(宁夏中考)如图是某水库大坝横断面示意图.其中AB,CD分别表示水库上下底面的水 平线,∠ABC=120°,BC的长是50 m,则水库大坝的高度h是( A )
3.(成都中考)如图,某山坡的坡面AB=200米,坡角∠BAC=30°,则该山坡的高BC的长为 100 米.
4.如果由点A测得点B在北偏东15°方向,那么点B测得点A的方向为 南偏西15° .
28.2.2 应用举例第2课时 方向角、坡度、坡角课件2023-2024学年人教版+数学+九年级下册
D.24 m
2.为加强防汛工作,某市对一拦水坝进行加固.如图所示,加固前拦水
坝的横断面是梯形 ABCD.已知迎水坡面 AB=12 m,背水坡面 CD=12 m,
∠B=60°,加固后拦水坝的横断面为梯形 ABED,tan E=
为 8
m.
,则 CE 的长
1.“绿水青山就是金山银山”.如图所示,某村准备在坡角为α的山坡
的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最
短距离是 (6 +6) n mile.
坡度与坡角问题
[例2] 如图所示,扶梯AB的坡度为4∶3,滑梯CD的坡度为1∶2.已知
AE=30 dm,BC=50 dm,BC∥AD,一女孩从扶梯走到滑梯的顶部,然后从
滑梯滑下,她经过的总路程是多少(结果保留根号)?
于灯塔 P 的北偏东 67°方向上的 B 处,此时与灯塔 P 的距离约为
50 n mile(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈). Nhomakorabea
3.如图所示,某河堤的横断面是梯形 ABCD,BC∥AD,迎水坡 AB 长 13 m,
且 tan∠BAE= ,则河堤的高 BE 为 12 m.
∴AF=AB·sin 50°≈40×0.77=30.8(n mile),
∴AE=AF+EF≈64(n mile).
在 Rt△ADE 中,AD=
°
≈
=80(n mile),
.
∴货船与 A 港口之间的距离约为 80 n mile.
上植树造林,要求相邻两树之间的水平距离为 5 m,那么这两树在坡面
上的距离 AB 为( B )
第2课时 与方位角、坡角有关的运用举例
6.如图,某海关缉私艇巡逻到达 A 处时接到情报,在 A 处北偏西 60°方向的 B 处发现一艘可疑 船只正以 24 海里/时的速度向正东方向前进,上级命令要对可疑船只进行检查,该艇立即沿北 偏西 45°的方向快速前进,经过 1 个小时的航行,恰好在 C 处截住可疑船只,求该艇的速度.(结 果保留整数, 6 ≈2.449, 3 ≈1.732, 2 ≈1.414)
(1)求点B距水平面AE的高度BH;
解:(1)过 B 作 BG⊥DE 于 G, Rt△ABH 中,i=tan∠BAH= 1 = 3 ,
33 ∴∠BAH=30°, ∴BH= 1 AB=5 米.
2
(2)求广告牌CD的高度.
(测角器的高度忽略不计,结果精确到 0.1 米.参考数据: 2 ≈1.414, 3 ≈1.732)
解:(2)由(1)得 BH=5,AH=5 3 , ∴BG=AH+AE=5 3 +15, Rt△BGC 中,∠CBG=45°, ∴CG=BG=5 3 +15. Rt△ADE 中,∠DAE=60°,AE=15, ∴DE= 3 AE=15 3 . ∴CD=CG+GE-DE=5 3 +15+5-15 3 =20-10 3 ≈2.7 m. 答:宣传牌 CD 高约 2.7 米.
∴需用土石方 V=Sl=1 498.9×150=224 835(m3),
答:斜坡 CD 的坡角约为 21°48′,坡底宽约为 128.6 m,建造这个堤坝需用土石方 224 835 m3.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/32021/9/3Friday, September 03, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/32021/9/32021/9/39/3/2021 12:34:09 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/32021/9/32021/9/3Sep-213-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/32021/9/32021/9/3Friday, September 03, 2021
第2课时-与方位角、坡角有关的运用举例
第2课时 与方位角、坡角有关的运用举例 1.上午9时,一条船从A处出发,以每小时40海里的速度向正东方向航行,9时30分到达B处,如图,从A,B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向,那么B处船与小岛M的距离为( B )
(A)20海里 (B)20海里 (C)15海里 (D)20海里 2.说出下列各角的方位. $
∠NOA是 北偏东55° ,? ∠BOS是 南偏东30° ,? ∠COS是 南偏西35° ,? ∠NOD是 西北方向 .? 3.某人沿着坡度为1∶的山坡向上走50 m,这时他离水平地面 25 m.? 4.在倾斜角为30°的斜坡上植树,若要求两棵树的水平距离为6 m,则斜坡上相邻两树的坡面距离为 4 m.? ! 5.一船上午9点位于灯塔A的东北方向,在与灯塔A相距64海里的B
港出发,向正西航行,到10时30分时恰好在灯塔的正北的C处,则此船
的速度为 海里/时.? 6.如图所示,某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路,需要测量山坡的坡度,即tan α的值.测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔,测得塔尖C的仰角为37°,塔底B的仰角为°.已知塔高BC=80米,塔所在的山高OB=220米,OA=200米,图中的点O,B,C,A,P在同一平面内,求山坡的坡度.(参考数据 sin °≈,tan °≈,sin 37°≈,tan 37° ≈
解:如图,过点P作PD⊥OC于D,PE⊥OA于E,则四边形ODPE为矩形. 在Rt△PBD中,∵∠BDP=90°,∠BPD=°, ∴BD=PD·tan∠BPD=PD·tan °; ~ 在Rt△CPD中,∵∠CDP=90°,∠CPD=37°,
∴CD=PD·tan∠CPD=PD·tan 37°; ∵CD-BD=BC,
∴PD·tan 37°-PD·tan °=80, ∴解得PD=320, ∴BD=PD·tan °≈320×=160, ∵OB=220, @ ∴PE=OD=OB-BD=60,
第2课时 与方向角、坡角有关的解直角三角形应用题
第2课时与方向角、坡角有关的解直角三角形应用题1.能运用解直角三角形解决航行问题.2.能运用解直角三角形解决斜坡问题.3.理解坡度i=坡面的铅直高度坡面的水平宽度=tan坡角.阅读教材P76，自学“例5”和“归纳”，掌握利用解直角三角形的知识解决方位角的实际问题.自学反馈独立完成后小组内交流①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:a.将实际问题抽象为数学问题，画出图形，转化为解的问题；b.根据条件的特点，适当地选用去解直角三角形；c.得到数学问题的答案；d.最后得到问题的答案.②已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的方向.活动1 小组讨论例1如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？解:如图,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.在Rt△ABD中,∵tan∠BAD=BD AD,∴BD=AD·tan55°.在Rt△ACD中,∵tan∠CAD=CD AD,∴CD=AD·tan25°.∵BD=BC+CD,∴AD·tan55°=20+AD·tan25°.∴AD=205525tan tan︒-︒≈20.79>10.∴轮船继续向东行驶,不会遇到触礁危险.应先求出点A距BC的最近距离，若大于10则无危险，若小于或等于10则有危险. 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)如图所示，A、B两城市相距100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？(参考数据:3≈1.732,2≈1.414)解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形.阅读教材P77练习2，自学关于坡度的问题，弄懂坡度与坡角的实际意义，理解铅垂高度与水平宽度的实际意义.自学反馈独立完成后小组内交流①拦水大坝的横断面为梯形，其中坡度i是指与的比，这个值与坡角的值相等.②坡度i一般写成1∶m的形式，坡度i的值越大，表明坡角越，即坡越陡.③已知一大坝的坡角为45°，则它的坡度i的值等于.通过书上的例题掌握“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的方法来解决一些实际和数学问题.活动1 小组讨论例2 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i′=1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到0.1 m)解:如图,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F,在Rt△ABE和Rt△CDF中,BEAE=13,CFFD=12.5,∴AE=3BE=3×23=69(m),FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m). ∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).∵斜坡的坡度i=13≈0.333 3,∴BEAE=0.333 3,即tanα=0.333 3.∴α≈18°26′.∵BEAB=sinα,∴AB=BEsin≈230.3162≈72.7(m).答:斜坡AB的坡角α约为18°26′,坝底宽AD为132.5 m,斜坡AB的长约为72.7 m.这类问题，首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将梯形予以分割，分割成特殊的四边形和直角三角形.活动2 跟踪训练如图，已知在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400 m到点D 处，测得点A的仰角为60°，求出AB的高度.第2小题，要过点D作AB和BC的垂线，构造两个直角三角形和一个矩形，将AB 分成两段来求.活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识:利用解直角三角形的知识解决实际问题.2.本节学习的数学方法:数形结合的思想和数学建模的思想.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学1】自学反馈①直角三角形锐角三角函数等实际②北偏东40°【合作探究1】活动2 跟踪训练过点P作PD垂直AB于点D，可求得PD≈63.4 m>50 m，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.【预习导学2】自学反馈①坡面的铅垂高度它的水平宽度正切②大③1【合作探究2】活动2 跟踪训练AB=(2003+200)m。
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）
方位角
概念：指南或指北的方向线于目标方向线构成小 于90°的角叫做方位角
例如： 1、点A在点O的北偏东30°方向 2、点B在点O的男偏西45°方向 （或西南方向）。
例2：如图，一搜船以40km/h的速度向正 东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60° 方向上，继续航行1h到达B处，这时测得 灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔 C处的四周30km内有暗礁，问这搜船继 续向东航行是否安全？
4.4 解直角三角形的应用 方位角、坡度与坡角有关的应用问题
观察
图中的(1)和(2)，哪个山坡比较陡？
(2)中的山坡比较陡.
（1）
（2）
动脑筋
如何用数量来反映哪个山坡陡呢？
（1）
（2）
如图，从山坡脚下点P上坡走到点N 时， 升高的高度h(即线段MN的长)与水平前进的距 离l(即线段PM的长度)的比叫作坡度，用字母i 表示，即
i hl
坡度通常写成 1 : m 的形式．
如图中的∠MPN叫作坡角(即山坡与地平面的夹角).
显然，坡பைடு நூலகம்等于坡角的正切. 坡度越大，山坡越陡.
例1 如图，一山坡的坡度 i = 1:2，小刚从
山坡脚下点P上坡走了240m到达点N，他上升
了多少米(精确到0.1m)？这座山坡的坡角是多
少度(精确到0.01°)？（
北
C
30°
60°
东
A
BD