方向角与方位角问题
年级：九年级下册科目：数学主备: 审核：
课题：28.2 方位角与方向角问题
学习目标：
能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．
重点与难点
1．重点：直角三角形的解法．
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。
一、用一用
用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．
方位角与方向角
1．方向角
指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如图（1）中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图（1）的目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．
（1）（2）
2．方位角
从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．?如图（2）中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．
用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点
在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）?之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．
解题时一般有以下三个步骤：
1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．
2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．
3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、?角）之间关系解有关的直角三角形．
例1、如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，?距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，?到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）
分析：因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC?是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP?均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC?互余的关系求∠BPC．
解：如图，在Rt△APC中，
∵ cos（90°-65°）=___________________
∴ PC=_____________________________
=
在Rt△BPC中，∠B=34°，
∵sinB=__________________，
∴PB=____________________________________≈_______ 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
例2、解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，?要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如图（1）所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如图（2）所示的山高h时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．
（1）（2）
与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图（3）表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sinα．
（3）
在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．
然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，还会更多地了解这方面的容．
二、总一总
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，?转化为解直角三角形的问题）．
2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．
3．得到数学问题的答案．
4．得到实际问题的答案．
三、做一做
（一）、选择题．
1．如图，轮船航行到C 处时，观测到小岛B 的方向是北偏西35°，那么同时从B 观测到轮船的方向是（ ）．
A ．南偏西35°
B ．东偏西35°
C ．南偏东55°
D ．南偏东35° https://www.360docs.net/doc/668721797.html, 东
北B C
(第1题) (第5题) (第8题)
2．?身高相同的三个小朋友甲、?乙、?丙放风筝，?他们放出的线长分别是300m ，250m ，200m ，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（ ）．
A ．甲的最高
B ．乙的最低
C ．丙的最低
D ．乙的最高
3．一日上午8时到12时，若太线与地面所成角由30°增大到45°，?一棵树的高为10m ，则树在地面上影长h 的围是（ ）．
A ．5 B ．10≤h ≤3．10 C 中，AB=6，AC=3，则∠B 最大值是（ ）． A ．30° B ．45° C ．60° D ．无法确定 5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m ，坝高2m ，斜坡AB 的坡角为45°，?斜坡CD 的坡度i=1：2，则坝底AD 的长为（ ）． A ．42m B ．（3m C ．78m D ．（3）m 6．△ABC 中，已知1cos 2A -+（tanB-3）2=0且AB=4，则△ABC 的面积是（ ）． A ．43 B ．4 C ．23 D ．2 7．一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（ ）． A ．72 B ．142 C ．7 D ．14 8．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m ；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC ，?使午间光线不能直接射入室，那么挡光板AC 的宽度应为（ ）． A ．1.8tan80°m B ．1.8cos80°m C ． 1.8sin 80? D ．1.8cot80°m 9．若菱形的边长为4，它的一个角为126°，则较短的对角线长为（ ）． A ．4sin54° B ．4cos63° C ．8sin27° D ．8cos27° 10．如图，上午9时，一条船从A 处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，?11时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是（ ）． A ．20海里 B ．36海里 C ．72海里 D ．40海里 北 B A N C (第10题) (第11题) 11．如图，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1?米高 的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，?请你计算电线杆AB的高为（）． A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 二、填空题． 12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，?该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m，则旗杆高度为______m．（?用含根号的式子表示） 13．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，?再向塔底前进a 米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________． ? ? ?14．?如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD，?根据图示数据得下底宽AD=______米． (第14题) (第15题) 15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=?30°，则顶点B的坐标是________． 16．如图，?燕尾槽的外口宽AD=?90mm，?深为70mm，?燕尾角为60?°，?则里口宽为________． (第16题) (第17题) 17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45?°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______． 三、解答题． 18．甲、乙两船同时从港口O 出发，甲船以16．1海里/小时的速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A 处并观测到B 处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v ．（精确到0.1海里/小时） （参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60） 19．去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成了一所综合性大学，?为了方便A 、B 两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A 、B 两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段AB ），经测量，在A 地的北偏东60°方向，B 地的北偏西45°方向的C?处有一个半径为0.7千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？ 60?https://www.360docs.net/doc/668721797.html, 45? B A C 直线定向 令狐采学 确定地面上两点之间的相对位置，除了需要测定两点之间的水平距离外，还需确定两点所连直线的方向。一条直线的方向，是根据某一标准方向来确定的。确定直线与标准方向之间的关系，称为直线定向。 一、标准方向 1．真子午线方向 通过地球表面某点的真子午线的切线方向，称为该点的真子午线方向。真子午线方向可用天文测量方法测定。 2．磁子午线方向 磁子午线方向是在地球磁场作用下，磁针在某点自由静止时其轴线所指的方向。磁子午线方向可用罗盘仪测定。 3．坐标纵轴方向 在高斯平面直角坐标系中，坐标纵轴线方向就是地面点所在投影带的中央子午线方向。在同一投影带内，各点的坐标纵轴线方向是彼此平行的。 二、方位角 测量工作中，常采用方位角表示直线的方向。从直线起点的标准方向北端起，顺时针方向量至该直线的水平夹角，称为该直线的方位角。方位角取值范围是0?～360?。因标准方向有真子午线方向、磁子午线方向和坐标纵轴方向之分，对应的方位角分别称为真方位角（用A表示）、磁方位角（用Am表示）和坐标方位角（用α表示）。 三、三种方位角之间的关系 因标准方向选择的不同，使得一条直线有不同的方位角，如图????所示。过点的真北方向与磁北方向之间的夹角称为磁偏角，用δ表示。过点的真北方向与坐标纵轴北方向之间的夹角称为子午线收敛角，用γ表示。 δ和γ的符号规定相同：当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向东侧时，δ和γ的符号为“＋”；当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向西侧时，δ和γ的符号为“－”。同一直线的三种方位角之间的关系为： （????）； （????）； （????） 四、坐标方位角的推算 ．正、反坐标方位角 如图?? 所示，以A为起点、B为终点的直线AB的坐标方位角αΑB，称为直线AB的坐标方位角。而直线BA的坐标方位角αBA，称为直线AB的反坐标方位角。由图?? 中可以看出正、反坐标方位角间的关系为： 二 计算坐标与坐标方位角的基本公式 控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐标，控制点的坐标是根据边长及方位角计算出来的。下面介绍计算坐标与坐标方位角的基本公式，这些公式是矿山测量工中最基本最常用的公式。 一、坐标正算和坐标反算公式 1．坐标正算 根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、边长计算待定点的坐标，这种计算在测量中称为坐标正算。 如图5—5所示，已知A 点的坐标为A x 、A y ，A 到B 的边长和坐标方位角分别为AB S 和AB α，则待定点B 的坐标为 AB A B AB A B y y y x x x ?+=?+= ｝ （5—1） 式中 AB x ? 、AB y ?——坐标增量。 由图5—5可知 AB AB AB AB AB AB S y S x ααsin cos =?=? ｝ （5—2） 式中 AB S ——水平边长； AB α——坐标方位角。 将式（5-2）代入式（5-1），则有 AB AB A B AB AB A B S y y S x x ααsin cos +=+= ｝ （5—3） 当A 点的坐标A x 、A y 和边长AB S 及其坐标方位角AB α为已知时，就可以用上述公式计算出待定点B 的坐标。式（5—2）是计算坐标增量的基本公式，式（5—3）是计算坐标的基本公式，称为坐标正算公式。 从图5—5可以看出AB x ?是边长AB S 在x 轴上的投影长度， AB y ?是边长AB S 在 y 轴上的投影长度，边长是有向线段，是在 实地由A 量到B 得到的正值。而公式中的坐标方位角可以从0°到360°变化，根据三角函数定义，坐标方位角的正弦值和余弦值就有正负两种 情况，其正负符号取决于坐标方位角所在的象限，如图5—6所示。从式（5—2）知，由于三角函数值的正负决定了坐标增量的正负，其符号归纳成表5—3。 直线定向 确定地面上两点之间的相对位置，除了需要测定两点之间的水平距离外，还需确定两点所连直线的方向。一条直线的方向，是根据某一标准方向来确定的。确定直线与标准方向之间的关系，称为直线定向。 一、标准方向 1．真子午线方向 通过地球表面某点的真子午线的切线方向，称为该点的真子午线方向。真子午线方向可用天文测量方法测定。 2．磁子午线方向 磁子午线方向是在地球磁场作用下，磁针在某点自由静止时其轴线所指的方向。磁子午线方向可用罗盘仪测定。 3．坐标纵轴方向 在高斯平面直角坐标系中，坐标纵轴线方向就是地面点所在投影带的中央子午线方向。在同一投影带内，各点的坐标纵轴线方向是彼此平行的。 二、方位角 测量工作中，常采用方位角表示直线的方向。从直线起点的标准方向北端起，顺时针方向量至该直线的水平夹角，称为该直线的方位角。方位角取值范围是0?～360?。因标准方向有真子午线方向、磁子午线方向和坐标纵轴方向之分，对应的方位角分别称为真方位角（用A表示）、磁方位角（用A m表示）和坐标方位角（用α表示）。 三、三种方位角之间的关系 因标准方向选择的不同，使得一条直线有不同的方位角，如图4-19所示。过1点的真北方向与磁北方向之间的夹角称为磁偏角，用δ表示。过1点的真北方向与坐标纵轴北方向之间的夹角称为子午线收敛角，用γ表示。 δ和γ的符号规定相同：当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向东侧时，δ和γ的符号为“＋”；当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向西侧时，δ和γ的符号为“－”。同一直线的三种方位角之间的关系为： （4-14）； （4-15）； （4-16） 四、坐标方位角的推算 1．正、反坐标方位角 基本计算1直线定向与坐标推算 一、直线定向 1、正、反方位角换算 对直线AB而言,过始点A的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直线的夹角αAB就是AB的正方位角,而过端点B的坐标纵轴平行线指北端顺时针至自线的夹角αBA的反方位角,同一条直线的正、反方位角相派180°、,即同一自线的下反方位角 αAB=αBA+180° 上式右端,若αBA＜180°,用“+”号,若αBA＞180°,用“—”号。 2、象限角与方位角的换算 一条直线的方向有时一也可用象限角表示,所谓象限角就是揣从坐标纵轴的指北端或指南端起始,至直线的锐角,用R表示,取值范围为0°~90°。为了说明肖线所在的象限,在R前应加注直线所在象限的名称。四个象限的名称分别为北东〔NE?、南东(5E ) ,南酉(sw)、北西(NW)。象限角与坐标方位角之间的换算公式列于表1-4。 3、坐标方位角的推算 测量工作中一般不直接测定每条边的方向,而就是通过与已知方向进行连测,推算出各边的坐标方位角。 设地而有相邻的A、B、C三点,连成折线(图1-17),已知AB边的方位角αAB。,又测定了AB与BC之间的水平角β,求BC边的方位角气αBC,即就是相邻边坐标方位角的推算。水平角β又有左、右之分,前进方向左侧的水平角为β左,前进方向右侧的水平角β右。 设三点相关位置如图1-I7(c)所示,应有 αBC=αAB+β左+180°(1一14) 设三点相关位置如图1-I7沪)所不,应有 αBC=αAB+β左+180°=αAB+β-180°(1一15) 若按折线前进方向将AB视为后边,BC边视为前边,综合上二式即得相邻边坐标方位角推算的通式:α前=α后+β左±180°(1一16) 显然,如果测定的就是AB与BC方向之间的前进方向右侧水平角β右,因为有β左=360°-β右。代入上式即得通式:α前=α后-β右±180° 上二式右端,若前两项计算结果＜180°,180°前而用“十”号,否则180°前而用“一”号。 二、坐标推算 1、坐标的正算 方位角与方向角 1．方向角:指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如西南方向． 2．方位角:从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。取值范围为0到360度比如正东方向就是方位角为90度，正西方向就方位角为270度。 懂了吗？呵呵！！ 抬头时目光与水平面的夹角叫做仰视角 低头时目光与水平面的夹角叫做俯视角 方位角的表示方法是什么? （1）真方位角。某点指向北极的方向线叫真北方向线，而经线，也叫真子午线。 由真子午线方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的真方位角，一般用A表示。通常在精密测量中使用。 （2）磁方位角。地球是一个大磁体，地球的磁极位置是不断变化的 真方位角，某点指向磁北极的方向线叫磁北方向线，也叫磁子午线。在地形图南、北图廓上的磁南、磁北两点间的直线，为该图的磁子午线。由磁子午线方向的北端起，顺时针量至直线间的夹角，称为该直线的磁方位角，用Am表示。 （3）坐标方位角。由坐标纵轴方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的坐标方位角，常简称方位角，用a表示。 真方位角(T rue bearing) 所有角度以正北方设为000°，顺时针转一圈后的角度为360°。 因此： 正北方：000°或360° 正东方：090° 正南方：180° 正西方：270° 罗盘方位角(Compass bearing) 正北和正南作首要方位，正东和正西为次要方位，在两者之间加 方位角的具体用法上角度。因此角度只会由0°至90°。因此： 正北方：N0°W 或N0°E 正东方：N90°E 或S90°E 正南方：S0°W 或S0°E 正西方：N90°W 或S90°W 假若两者加上与目标的距离，就会成为极坐标：直角坐标系（笛卡尔坐标系）以外的另一种坐标系统。 1、按给定的坐标数据计算方位角αBA、αBP ΔxBA=xA-xB=+123.461m ΔyBA=yA-yB=+91.508m 由于ΔxBA>0，ΔyBA>0 可知αBA位于第Ⅰ象限，即 【方位角（azimuthangle）】从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角。 （一）方位角的种类由于每点都有真北、磁北和坐标纵线北三种不同的指北方向线，因此，从某点到某一目标，就有三种不同方位角。 （1）真方位角。某点指向北极的方向线叫真北方向线，而经线，也叫真子午线。由真子午线方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的真方位角，一般用Ａ表示。通常在精密测量中使用。 （2）磁方位角。地球是一个大磁体，地球的磁极位置是不断变化的，某点指向磁北极的方向线叫磁北方向线，也叫磁子午线。在地形图南、北图廓上的磁南、磁北两点间的直线，为该图的磁子午线。由磁子午线方向的北端起，顺时针量至直线间的夹角，称为该直线的磁方位角，用A m表示。 （3）坐标方位角。由坐标纵轴方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的坐标方位角，常简称方位角，用α表示。方位角在测绘、地质与地 球物理勘探、航空、航海、炮兵射击及部队行进时等，都广泛使用。不同的方位 角可以相互换算。军事应用：为了计算方便精确，方位角的单位不用度，用密位作单位。换算作：360度=6000密位。 【三种方位角之间的关系】 因标准方向选择的不同，使得同一条直线有三种不同的方位角，三种方位角 之间的关系如图4-19所示。 Ａ12 为真方位角，A m12为磁方位角，α12为坐标方位角。 过1点的真北方向与磁北方向之间的夹角称为磁偏角（δ），过1点的真北方 向与坐标纵轴北方向之间的夹角称为子午线收敛角（γ）。 真方位角Ａ12＝磁方位角A m12＋磁偏角δ＝坐标方位角α12＋子午线收敛角γ α12＝A m12＋δ－γ（1） Ａ12＝A m12＋δ（2） Ａ12＝α12＋γ（3） （4） δ和γ的符号规定相同：当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向东侧时，δ和γ的符号为“＋”；当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向西侧时，δ和γ的符号为“－”。 同一直线的三种方位角之间的关系为（注意在计算时带上δ和γ的符号）： 坐标方位角和大地方位角的关系示意图 4.3.3 角的比较和运算（二） 教学目标 一、知识与能力 能正确运用角度表示方向,并能熟练运算和角有关的问题 二、过程与方法 能通过实际操作,体会方位角在是实际生活中的应用,培养学生的抽象思维. 三、情感、态度、价值观 能积极参与数学学习活动,培养学生对数学的好奇心和求知欲 教学重难点 重点：方位角的表示方法 难点：方位角的准确表示 教学过程 一、情景导入 1.海上,缉私艇发现离它500海里处停着一艘可疑船只（如图）,立即赶往检查．现请你确定缉私艇的航线,画出示意图．并用语言描述出来. A·可疑船 B·缉私艇 2.实生活中,有一种角经常用于航空、航海,测绘中领航员常用地图和罗盘进行这种角的测定,这就是方位角,方位角应用比较广泛,现什么是方位角呢？ 二、学习新知 方位角其实就是表示方向的角,这种角以正北,正南方向为基准描述物体的方向,如“北偏东300”,“南偏西400”等,方位角不能以正东,正西为基准,如不能说成“东偏北600,西偏南500”等,但有时如北偏东450时,我们可以说成东北方向. 三、实践与应用 例1 如图：指出图中射线OA、OB所表示的方向. 例2 若灯塔位于船的北偏东300,那么船在灯塔的什么方位？ （要让学生画出相应图形,结合图形来回答） （换成其它的方位角再回答然后找到规律） 例3 如图,货轮O在航行过程中发现灯塔A在它的南偏东600的方向上,同时在它北偏东600,南偏西100,西北方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D,仿照表示灯塔方位的方法,画出表示客轮B、货轮C、海岛D方向的射线. （教师分析,一学生上黑板,学生点评） 四、小结 这节课你学到了什么？还有什么想法吗？ 五、参考练习：1.请使用量角器、刻度尺画出下列点的位置. （1）点A在点O的北偏东300的方向上,离点O的距离为3cm. （2）点B在点O的南偏西600的方向上,离点O的距离为4cm. （3）点C在点O的西北方向上,同时在点B的正北方向上. 年级：九年级下册科目：数学主备: 审核： 课题：28.2 方位角与方向角问题 学习目标： 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题． 重点与难点 1．重点：直角三角形的解法． 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。 一、用一用 用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题． 方位角与方向角 1．方向角 指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如图（1）中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图（1）的目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向． （1）（2） 2．方位角 从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．?如图（2）中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°． 用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点 在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）?之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解． 解题时一般有以下三个步骤： 1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知． 2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形． 3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、?角）之间关系解有关的直角三角形． 例1、如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，?距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，?到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里） 分析：因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC?是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP?均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC?互余的关系求∠BPC． 解：如图，在Rt△APC中， ∵ cos（90°-65°）=___________________ ∴ PC=_____________________________ = 在Rt△BPC中，∠B=34°， ∵sinB=__________________， ∴PB=____________________________________≈_______ 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里． 《方位角与方向角问题》教案 复习引入 本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题． 探究新知 （一）方位角与方向角 1．方向角 教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如课本图28．2-1中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向． 图28．2-1 图28．2-2 2．方位角 教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．?如课本图28．2-2中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点 教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）?之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解． 解题时一般有以下三个步骤： 1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知． 2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形． 3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、?角）之间关系解有关的直角三角形． （三）例题讲解 教师解释题意：如课本图28．2-8所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，?距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，?到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里） 教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC?是东西走向的一条直线．AB 是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP?均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC?互余的关系求∠BPC．教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书． 解：如课本图28．2-8，在Rt△APC中， PC=PA·cos（90°-65°） =80×cos25°≈80×0.91=72.8． 在Rt△BPC中，∠B=34°， ∵sinB=PC PB ， ∴PB= 72.872.8 sin sin340.559 PC B =≈ ? ≈130.23． 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，?要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-9所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L． 图28．2-9 图28．2-10 与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？ 三、三种方位角之间的关系 因标准方向选择的不同，使得一条直线有不同的方位角，如图4-19所示。过1点的真北方向与磁北方向之间的夹角称为磁偏角，用δ表示。过1点的真北方向与坐标纵轴北方向之间的夹角称为子午线收敛角，用γ表示。 δ和γ的符号规定相同：当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向东侧时，δ和γ的符号为“＋”；当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向西侧时，δ和γ的符号为“－”。同一直线的三种方位角之间的关系为： δ+=m A A （4-14）； γα+=A （4-15）； γδα-+=M A （4-16） 四、坐标方位角的推算 1．正、反坐标方位角 2 图4-19 三种方位角之间的关系 如图4-20所示，以A 为起点、B 为终点的直线AB 的坐标方位角αΑB ，称为直线AB 的坐标方位角。而直线BA 的坐标方位角αBA ，称为直线AB 的反坐标方位角。由图4-20中可以看出正、反坐标方位角间的关系为： ?±=180BA AB αα （4-17） 2．坐标方位角的推算 在实际工作中并不需要测定每条直线的坐标方位角，而是通过与已知坐标方位角的直线连测后，推算出各直线的坐标方位角。如图4-21所示，已知直线12的坐标方位角α12，观测了水平角β2和β3，要求推算直线23和直线34的坐标方位角。 y 图4-20 正、反坐标方位角 由图4-21可以看出： 21222123180βαβαα-?+=-= 32333234180βαβαα+?+=+= 因β2在推算路线前进方向的右侧，该转折角称为右角；β3在左侧，称为左角。从而可归纳出推算坐标方位角的一般公式为： 左后前βαα+?+=180 （4-18） 右后前βαα-?+=180 （4-19） 计算中，如果α前＞360?，应自动减去360°；如果α前 ＜0?，则自动加上360?。 五、象限角 1 3 4 图4-21 坐标方位角的推算 【方位角(azimuthangle)】从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角。 (一)方位角的种类由于每点都有真北、磁北与坐标纵线北三种不同的指北方 向线，因此，从某点到某一目标，就有三种不同方位角。 (1)真方位角。某点指向北极的方向线叫真北方向线，而经线，也叫真子午线。由真子午线方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的真方位角，一 般用A表示。通常在精密测量中使用。 (2)磁方位角。地球就是一个大磁体，地球的磁极位置就是不断变化的，某点指向磁北极的方向线叫磁北方向线也叫磁子午线。在地形图南、北图廓上的磁南、磁北两点间的直线，为该图的磁子午线。由磁子午线方向的北端起，顺时针量至直线间的夹角，称为该直线的磁方位角，用A m表示。 (3)坐标方位角。由坐标纵轴方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的坐标方位角，常简称方位角，用a表示。方位角在测绘、地质与地球物理勘探、航空、航海、炮兵射击及部队行进时等，都广泛使用。不同的方位角可以相互换算。军事应用：为了计算方便精确，方位角的单位不用度，用密位作单位。换算作:360度=6000密位。 【三种方位角之间的关系】 因标准方向选择的不同，使得同一条直线有三种不同的方位角，三种方位角之间的关系如图4-19所示。 A 12为真方位角,A m12为磁方位角,a 12为坐标方位角。 过1点的真北方向与磁北方向之间的夹角称为磁偏角(S )，过1点的真北方向与坐标纵轴北方向之间的夹角称为子午线收敛角(丫)。 a 12+子午线收敛角丫 真方位角A 12 =磁方位角A m12 +磁偏角3=坐标方位角 a 12= A m12 +3 — Y (1) A 12= A m12+3 ⑵ A 12= a 12+ 丫⑶ 好门—…'1 心-X]⑷ 3与丫的符号规定相同：当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向东侧时，3与丫的符号为“ + ” ;当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向西侧时，3与丫的符号为“一”。 同一直线的三种方位角之间的关系为(注意在计算时带上3与丫的符号): 坐标方位角与大地方位角的关系示意图 上式中：丫为平面子午线收敛角，当站点在中央子午线西侧时丫为负，在东侧时为正；3为 二 计算坐标与坐标方位角的基本公式 控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐标，控制点的坐标是根据边长及方位角计算出来的。下面介绍计算坐标与坐标方位角的基本公式，这些公式是矿山测量工中最基本最常用的公式。 一、坐标正算和坐标反算公式 1．坐标正算 根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、边长计算待定点的坐标，这种计算在测量中称为坐标正算。 如图5—5所示，已知A 点的坐标为A x 、A y ，A 到B 的边长和坐标方位角分别为AB S 和 AB α，则待定点B 的坐标为 AB A B AB A B y y y x x x ?+=?+= ｝ （5—1） 式中 AB x ? 、AB y ?——坐标增量。 由图5—5可知 AB AB AB AB AB AB S y S x ααsin cos =?=? ｝ （5—2） 式中 AB S ——水平边长； AB α——坐标方位角。 将式（5-2）代入式（5-1），则有 AB AB A B AB AB A B S y y S x x ααsin cos +=+= ｝ （5—3） 当A 点的坐标A x 、A y 和边长AB S 及其坐标方位角AB α为已知时，就可以用上述公式计算出待定点B 的坐标。式（5—2）是计算坐标增量的基本公式，式（5—3）是计算坐标的基本公式，称为坐标正算公式。 从图5—5可以看出AB x ?是边长AB S 在x 轴上的投影长度，AB y ?是边长AB S 在y 轴上的投影长度，边长是有向线段，是在实地由A 量到B 得到的正值。而公式中的坐标方位角可以从0°到360°变化，根据三角函数定义，坐标方位角的正弦值和余弦值就有正负两种 情况，其正负符号取决于坐标方位角所在的象限，如图5—6所示。从式（5—2）知，由于 一、直线定向 1、正、反方位角换算 对直线而言，过始点的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直线的夹角是的正方位角，而过端点的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直线的夹角则是的反方位角，同一条直线的正、反方位角相差，即同一直线的正反方位角 ＝ (1-13) 上式右端，若< ，用“＋”号，若，用“－”号。 2、象限角与方位角的换算 一条直线的方向有时也可用象限角表示。所谓象限角是指从坐标纵轴的指北端或指南端起始，至直线的锐角， 用表示， 取值范围为。为了说明直线所在的象限， 在前应加注直线所在象限的名称。四个象限的名称分别为北东（NE）、南东（SE）、南西(SW)、北西(NW)。象限角和坐标方位角之间的换算公式列于表1-4。 表1-4 象限角与方位角关系表 象限角与方位角换算公式 = =－ =＋ =－ 3、坐标方位角的推算 测量工作中一般并不直接测定每条边的方向，而是通过与已知方向进行连测，推算出各边的坐标方位角。 设地面有相邻的、、三点，连成折线（图1-17），已知边的方位角，又测定了和之间的水平角，求边的方位角，即是相邻边坐标方位角的推算。水平角又有左、右之分，前进方向左侧的水平角为，前进方向右侧的水平角。 设三点相关位置如图1-17()所示，应有 ＝＋＋ (1-14) 设三点相关位置如图1-17()所示，应有 ＝＋＋－＝＋－ (1-15) 若按折线前进方向将视为后边，视为前边，综合上二式即得相邻边坐标方位角推算的通式： ＝＋(1-16) 显然，如果测定的是和之间的前进方向右侧水平角，因为有＝－，代入上式即得通式 ＝－ (1-17) 上二式右端，若前两项计算结果<，前面用“＋”号，否则前面用“－”号。 4.3.3余角和补角（2）-----方位角 主备：黄海生 教学目标 1．在具体的现实情境中，认识方位角。能根据图形指出某射线的方向，会根据方向角画出图形。 2．进一步提高抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力。 教学重点：会根据语言描述准确的画出表示方向的射线；会根据图形中的射线说出其方位。 教学难点：结合实际问题画出表示方向的射线。 教学过程： 一、情境创设 提出问题：你能具体的描绘一下你家与学校的方位吗？ 二、探究新知 1．理解方位角： （1）认识方位（如图）：正东、正南、正西、正北、东南、西南、西北、东北。 （2）如图，写出四条方向线的名称。指出，在几何中，通常以正北、正南方向为基准，来描述物体运动的方向。 （3）结合实际理解方向：你面向东方站立，你的左手方向 是 ，你的背后是 。 2．例题讲解 如图，货轮O 在航行过程中，发现灯塔A 在它的南偏东600 的方向上，同时，在它的北偏东400 、南偏西100 、西北方向上又分别发现客轮B 、货轮C 和海岛D 。仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B 、货轮C 和海岛D 方向的射线。 三、新知应用 1.A 看B 的方向是北偏东21°，那么B 看A 的方向（ ） A 、南偏东69° B 、南偏西69° C 、南偏东21° D 、南偏西21° 西北 西南 东南 东北 北 西南东 45? 30? 60?68? O 东 南 西 2.在点O 北偏西60°的某处有一点A ，在点O 南偏西20°的 某处有一点B ，则∠AOB 的度数是（ ） A 、100° B 、70° C 、180° D 、140° 3.如图，已知射线OB 的方向是南偏东600 ，OA 、OC 分别平分∠NOB 和∠NOE 。 （1）请直接写出：OA 的方向是 ，OC 的方向是 ； （2）求∠AOC 的度数， 4.学校、公园和商店在平面图上的标点分别是A 、B 、C 三 点.若公园B 在学校A 的南偏西42°方向 ，商店C 在学校A 的北偏东50°方向 ，请画出图形，并求∠BAC . 5.动手画一画 考察队从P 地出发，沿北偏东60°前进5千米到达A 地， 再沿东南方向前进到达C 地，C 地恰好在P 地的正东方向。请画图标出P 、A 、C 的位置。 四、小结 1.方位角一般是以南北方向为基准；在画图表示方位时，首先要确定初始位置。 2.在理解方位角的基础，能确定具体物体的方位。 五、作业： 1.课本139页第8、12题； 2.基训P118页-P121页第8题（基础夯实）。 说课： 本节课的教学目标是在具体的现实情境中，认识方位角。能根据图形指出某射线的方向，会根据方向角画出图形；进一步提高抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力。教学重点是会根据语言描述准确的画出表示方向的射线；会根据图形中的射线说出其方位。教学难点是结合实际问题画出表示方向的射线。 在本节课的教学中应注意以下几点，一是要准确理解方位角，在说方位角时一般是以南北方向为基准的；二是要会根据语言的描述，画出表示方向的射线，此时关键要先确定初始位置；三是根据方向角解决较复杂的实际问题（两个对象以上）。 南 西 东 北 南 西 O B N S E W A C 创新实验课作业报告 姓名：王紫潇苗成国 学号：1121830101 1121830106 专业：飞行器环境与生命保障工程 课题一双轴驱动机构转角到天线波束空间指向 课题意义：随着科学技术的迅猛发展，特别是航天科技成果不断向军事、商业领域的转化，航天科技得到了极大的发展，航天器机构朝着高精度、高可靠性的方向发展。因此对航天机构的可靠性、精度、寿命等要求越来越高，对航天器机构精度的要求显得愈发突出，无论是航天器自身的工作，还是航天器在轨服务都对其精度有着严格的要求。航天器中的外伸指向机构通常指的是星载天线机构，星载天线是航天器对地通信的主要设备，肩负着对地通信的主要任务，同时随着卫星导航的广泛应用，星载天线就愈发的重要起来，而其指向精度的要求就愈发的突出，指向精度不足，将会导致通信信号质量下降，卫星导航精度下降等结果。民用方面移动通信和车载导航等，军用方面舰船导航、精确打击等这些都对星载天线的指向精度有着极高的依赖性。 因此，星载天线的指向精度是非常重要的。要保证星载天线的指向精度，首先就是要确保星载天线驱动机构在地指向精度分析的正确性，只有这样才能对接下来的在轨指向精度分析和指向误差补偿进行分析。星载天线驱动机构的末端位姿误差主要来源于机构的结构参数误差和热变形误差，这些误差是驱动机构指向误差最原始的根源，由于受实际生产加工装配能力和空间环境的限制，这些引起末端指向误差的零部件结构参数误差是必须进行合理控制的，引起结构参数变化的热影响因素是必须加以考虑的，只有这样才能使在轨天线驱动机构指向精度动态分析和误差补偿都得到较理想的结果。纵观整个星载天线驱动机构末端位姿误差的分析，提出源于结构参数误差和热变形误差引起的星载天线驱动机构末端位姿误差的研究是必要的。 发展现状：星载天线最初大多是以固定形式与卫星本体相连的，仅仅通过增大 天线波束宽度和覆盖面积来提高其工作范围，对其精度要求不是很高，但是随着航天科技的不断发展和市场需求的不断变化，这就要求，星载天线要具备一定的自由度，因此促使了星载天线双轴驱动机构的发展。星载天线双轴驱动机构能够实现对卫星天线的二自由度驱动，是空间环境下驱动天线运动的专用外伸执行机构。卫星天线的二自由度运动能够满足对地通信、星间通信、卫星导航定位、以及对目标的实时观测跟踪，在满足这些需求的同时也要保证其精度的提高，随着需求的不断提高，精度已经成为衡量星载天线双轴驱动机构性能的一个重要指标，同时也是系统设计与实现的一个难点。综上所述可以看出，星载天线双轴驱动机构是驱动卫星天线系统进行准确空间定位的核心部分。 与此同时，我国对星载天线驱动机构的研究、生产制造技术进行了一定时间的学习积累，也成功的应用到了一些卫星上，具有一定的自主能力。自2000 年后，我国在发射的卫星中，有很多采用了自主研发的天线驱动机构。相应的研究单位也蓬勃发展，航天科技集团、上海航天局等相关单位对星载天线驱动机构的研究已经取得了很大的成就和进展。特别是伴随着我国自主导航系统—北斗导航系统的不断发展，以及空间实验室和“嫦娥计划”的不断深入。星载天线双轴驱动机构得到了极大地发展。即便如此，我们跟国外还是有一定差距的，目前国内与国外的差距主要在双轴驱动机构精度、使用寿命、可靠性方面，因此还是需要进行深入研究，提高其精度、使用寿命、可靠性。 那么，我们小组也秉承着对航天事业的极大热忱开始对天线指向问题进行研 方位与方位角 一、方位的功用 方位有何功能？为何会有方位的产生？若没有方位一个人将难以描述自身所在之处，因此我们需要一套大家所认可的方式来定义我们的空间坐标，使人能在空间上轻易描述自身所在位置或与自身所在的相对位置，因此人们想出各种定义方位的方式来解决这样的问题。当一个人有了方位的观念后，他便可以轻易的告诉其它人自身所在位置，或其它物品所在位置，或自身即将前往的位置，如：「我要往东走」。 二、方位与方向 1.方向与方向角 方向：指某一特定直线所朝向的位置称之。 方向角：以南北为基准朝东西两侧所量取的角度称之。 2.方位与方位角 方位：指固定某一特定方向为基准，以其作为出其它方向起算的依据，所订出的位置称之。 方位角：以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°。 反方位角：与方位角相反方向的方位角称之，亦即方位角旋转180度所得之结果（反方位角 = 方位角 + 180度）。 反方位角计算：若超过180度减180度；若不足180度加180度。 三、定位的工具 一般我们常见的方位辨识及定位的工具包括有指北针、罗盘以及现代技术发展的GPS（Global Positioning System ）等。 1.指北针 指北针是利用地球磁场作用来指示北方，然后以北方为起始点，定其为零顺时针方向依序订出各方位角，可由此来指示方向，定位上必须配合地图的运用来寻求相对位置才能明了自身所处之处。 2.罗盘 中国从远古时代就已经发现了磁石的存在，指南针在中国历代一直被使用着，到了宋代人们发明了人工磁化的方法,制造了指南鱼和指南针，指南针获取更为简便也更具实用价值。它是以天然磁石磨擦钢针制成,在地磁的作用下保持指南性能，然后把它装置在方位盘上,称之为罗盘，其原理和指北针相同指示的方向不 测绘常识(方位角) 测绘常识(方位角) 2008-12-27 14:29:45 新闻类别：测绘基础常识 -------------------------------------------------------------------------------- [1] 显示全部 方位角 从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角。 由于每点都有真北、磁北和坐标纵线北三种不同的指北方向线，因此，从某点到某一目标，就有三种不同方位角。 （1）真方位角。某点指向北极的方向线叫真北方向线，而经线，也叫真子午线。从某点的真北方向钱起，依顺时针方向到目标方向钱间的水手夹．角，叫该点的真方位角。通常在精密测量中使用。 （2）地球是一个大磁体，地球的磁极位置是不断变化的，某点指向磁北极的方向线叫磁北方向线，也叫磁子午线。在地形图南、北图廓上的磁南、 磁北两点间的直线，为该图的磁子午线。从某点的磁北方向线起，依顺时针方向到目标方向线间的水平夹角，叫该点的磁方位角。 （3）坐标方位角。从某点的坐标纵线北起，依顺时针方向到目标方向钱 间的水平夹角，叫该点的坐标方位角。 方位角在测绘、地质与地球物理勘探、航空、航海、炮兵射击及部队行进时等，都广泛使用。不同的方位角可以相互换算。 在地图上认识国界 国家的边界，也叫国界。是一国领土与邻国的地理分界线。边界线以内就是一个国家神圣不可侵犯的领土。在地图上，边界线确实是一条弯弯曲曲的线条，但是在实地并不是这样。一个国家的领土是主权国管辖的全部疆域，包括陆地、水域及其底土和上空。所以说，国家的边界其实是由地表边界线为基准向上向下作垂直面而构成的，好比一座看不见的高墙。因此，边界是一个垂直干地表的封闭面，而不是一条线，这个面向上到很高很高的天空，向下到很深很深的地壳。 边界的形成也是一个漫长的历史过程。古代社会，由于科学技术水平的限制，国家间在领土的争夺上主要是地表，而对于空中和底土尚未认识，当领空主权问题随之而来。随着航空工业的发展，时的边界也就只是一条线。．随着工业的快速发展、工业生产所需资源日益为各国所重视，而工业所需资源大部分蕴藏于底土，有的还在海底，在开发底土的过程中，就又出现了底土主权的问题。因此，在领空和底土问题出现后，国际上也相应提出了一些保护措施，并以国际法的形式确定下来。比如飞机和轮船，特别是军用飞机和军舰不能随便进入别国领空和领海，潜艇在水下也不能进入别 基本计算1直线定向和坐标推算 一、直线定向 1、正、反方位角换算 对直线AB而言，过始点A的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直线的夹角αAB是AB的正方位角，而过端点B的坐标纵轴平行线指北端顺时针至自线的夹角αBA的反方位角，同一条直线的正、反方位角相派180°.，即同一自线的下反方位角 αAB=αBA+180° 上式右端，若αBA＜180°，用“+”号，若αBA＞180°，用“—”号。 2、象限角与方位角的换算 一条直线的方向有时一也可用象限角表示，所谓象限角是揣从坐标纵轴的指北端或指南端起始，至直线的锐角，用R表示，取值范围为0°~90°。为了说明肖线所在的象限，在R前应加注直线所在象限的名称。四个象限的名称分别为北东〔NE?、南东(5E ) ,南酉（sw)、北西(NW)。象限角和坐标方位角之间的换算公式列于表1-4。 3、坐标方位角的推算 测量工作中一般不直接测定每条边的方向，而是通过与已知方向进行连测，推算出各边的坐标方位角。 设地而有相邻的A、B、C三点，连成折线(图1-17)，已知AB边的方位角αAB。，又测定了AB和BC之间的水平角β，求BC边的方位角气αBC，即是相邻边坐标方位角的推算。水平角β又有左、右之分，前进方向左侧的水平角为β左，前进方向右侧的水平角β右。 设三点相关位置如图1-I7（c）所示，应有 αBC=αAB+β左+180°（1一14） 设三点相关位置如图1-I7沪)所不，应有 αBC=αAB+β左+180°=αAB+β-180°（1一15） 若按折线前进方向将AB视为后边，BC边视为前边，综合上二式即得相邻边坐标方位角推算的通式:α前=α后+β左±180°（1一16） 显然，如果测定的是AB和BC方向之间的前进方向右侧水平角β右，因为有β左=360°-β右。代入上式即得通式：α前=α后-β右±180° 上二式右端，若前两项计算结果＜180°，180°前而用“十”号，否则180°前而用“一”号。 二、坐标推算 1、坐标的正算 第四章→第四节→直线定向 二、直线方向的表示方法 （一）方位角 从过直线段一端的基本方向线的北端起，以顺时针方向旋转到该直线的水平角度，称为该直线的方位角。方位角的角值为0°～360°取值。如图4-16所示，因基本方向有三种，所以方位角也有三种，真方位角、磁方位角、坐标方位角。 以真子午线为基本方向线，所得方位角称为真方位角，一般以表示。 以磁子午线为基本方向线，则所得方位角称为磁方位角一般以来表示。 以坐标纵轴为基本方向线所得方位角，称为坐标方位角（有时简称方位角），通常以来表示。 （二）象限角 对于直线定向，有时也用小于90°的角度来确定。从过直线一端的基本方向线的北端或南端，依顺时针（或逆时针）的方向量至直线的锐角，称为该直线的象限角，一般以“”表示。象限角的角值为0°～90°。图4-17所示, 为经过O点的基本方向线，O1、O2、O3、O4为地面直线，则、、、分别为四条直线的象限角。若基本方向线为真子午线，则相应的象限角为真象限角。若基本方向线为磁子午线，则相应的象限角为磁象限角。仅有象限角的角值还不能完全确定直线的位置。因为具有某一角值（例如50°）的象限角，可以从不同的线端（北端或南端）和不同的方向（向东或向西）来度量。所以在用象限角确定直线的方向时，除写出角度的大小外，还应注明该直线所在象限名称：北东、南东、南西、北西等。例如图4-17中，直线O1、O2、O3、O4的象限角相应地要写为北东、南东、南西、北西，它们顺次相应等于第一、二、三、四象限中的象限角。象限角也有正反之分，正反象限角值相等，象限名称相反。 （三）坐标方位角与象限角的关系 同一直线的坐标方位角与象限角之间的关系如表4-2所列。 （四）正反坐标方位角的关系(见图4-18) 相对来说一条直线有正、反两个方向。直线的两端可以按正、反方位角进行定向。若设定直线的正方向为，则直线的方位角为正方位角，而直线ＢＡ的方位角就是直线的反方位角。反之，也是一样。 若以为直线正坐标方位角，则为反坐标方位角，两者有如下的关系； 若＜180°则有： =+180° 若＞180°则有： =-180 故正、反方位角的一般关系式为： =180°（4-14）方位角与象限角
计算坐标与坐标方位角的基本公式
方位角与象限角
角度计算和坐标计算
方位角与方向角
三种方位角之间的关系
(人教版初中数学)方位角
方向角与方位角问题
[初中数学]方位角与方向角问题教案 人教版
方位角计算
三种方位角之间的关系
已知两点坐标求方位角
方位角计算公式
方位角_
天线方位角 俯仰角以及指向计算..
方位角
测绘常识方位角
角度计算和坐标计算
象限角与坐标方位角