概率统计练2
《概率论与数理统计》课程练习计算题 2
三、解答题１.设对于事件A 、B C 、有=)(A P 4/1)()(==C P B P ，0)()(==BC P AB P ,8/1)(=AC P ,求A 、C B 、至少出现一个的概率。
解：由于，AB ABC ⊂从而由性质4知,0)()(=≤AB P ABC P ，又由概率定义知0)(≥ABC P ,所以0)(=ABC P ，从而由概率的加法公式得)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=8581341=-⨯= ２.设有10件产品,其中有３件次品,从中任意抽取５件，问其中恰有2件次品的概率是多少?解：设A 表示:“任意抽取的5件中恰有2件次品”。
则510)(C n =Ω。
５件产品中恰有2件次品的取法共有23C 37C 种，即23)(C A n =37C 。
于是所求概率为P A n A n ()()/()==Ω23C 37C /84/35510=C3．一批产品共有10个正品2个次品,从中任取两次，每次取一个(有放回)。
求:(1）第二次取出的是次品的概率；（2)两次都取到正品的概率;（3）第一次取到正品,第二次取到次品的概率。
解：设i A 表示:“第i 次取出的是正品”（i =１,2)，则（1）第二次取到次品的概率为)(2121A A A A P 611221221221210=⨯+⨯= (2)两次都取到正品的概率为 )(21A A P )|()(121A A P A P =362512101210=⨯=(3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为)(21A A P 3651221210=⨯= 4.一批产品共有10个正品2个次品,从中任取两次，每次取一个（不放回）。
求：(1）至少取到一个正品的概率；（2）第二次取到次品的概率;(3）恰有一次取到次品的概率。
解：设i A 表示:“第i 次取出的是正品”(i =1，2）,则(1）至少取到一个正品的概率)(121A A P -)|()(1121A A P A P -=66651111221=⨯-=(２）第二次取到次品的概率为)(2121A A A A P )|()()|()(121121A A P A P A A P A P +=611111221121210=⨯+⨯=（３)恰有一次取到次品的概率为)(2121A A A A P )|()()|()(121121A A P A P A A P A P +=331011101221121210=⨯+⨯=5．一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件,求：(1)两件都是正品的概率；(2）恰有一件次品的概率；(3）至少取到一件次品的概率。
概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)
第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。
中职数学概率统计练习题
中职数学概率统计练习题
练一：概率计算
1. 某班级有50名学生，其中30人擅长篮球，20人擅长足球，10人既擅长篮球又擅长足球。
从该班级中随机选一个学生，请计算该学生擅长篮球或足球的概率。
练二：条件概率
2. 一家电子产品公司生产电视机和电冰箱两种产品。
该公司的统计数据显示，电视机的次品率是5%，而电冰箱的次品率是3%。
另外，该公司生产的电视机和电冰箱的比例为3:2。
从该公司中随机选一个产品，请计算该产品是电视机的概率，且是次品的条件概率。
练三：二项分布
3. 一枚硬币正面向上的概率是0.6。
现在进行5次抛硬币的实验，请计算恰好有3次正面朝上的概率。
练四：正态分布
4. 某市一所高中的学生成绩服从正态分布，其平均分为80分，标准差为10分。
请计算学生中成绩大于90分的比例。
练五：抽样与估计
5. 某公司的员工数量为1000人。
为了对该公司员工的平均年
龄进行估计，从中随机抽取了100人并统计了他们的年龄。
请计算
在95%的置信水平下，对于该公司员工平均年龄的置信区间。
练六：相关与回归
6. 一个研究人员想要了解身高和体重之间的关系。
他在200名
成年男性中测量了他们的身高（单位：厘米）和体重（单位：千克）。
请计算身高和体重之间的相关系数，并解释其意义。
概率统计-习题及答案-（2）
2.12 考虑函数 3(2)02/5 ()0C x x x f x ?-<<=? ? 其他 能否作为随机变量的概率密度？如果能，试求出常数C 的值。 2.13 已知随机变量X 的概率密度为 01 ()0 Ax x f x < ?其他 ， 求：（1）系数A ；（2）概率{0.5}P X ≤； （3）随机变量X 的分布函数。 2.14 已知随机变量X 的概率密度为()x f x Ae
0}3{=>ηP 。 2.3 （1）ξ可能的取值为1，2，3。 从8个好灯泡和2个坏灯泡中任取3个，恰好取到k 个好灯泡和k -3个坏灯泡的概率为 3 10 32 8}{C C C k P k k -==ξ（3,2,1=k ）。 由此求得ξ的概率分布为
ξ的分布函数为 ???? ??? ≥==+=+=<≤==+=<≤==<=≤=31 }3{}2{}1{3215
2.5 已知某人在求职过程中每次求职的成功率都是0.4，问他预计最多求职多少次，就能保证有99%的把握获得一个就业机会？ 2.6 已知1000个产品中有100个废品。从中任意抽取3个，设X 为取到的废品数。 （1）求X 的概率分布，并计算X =1的概率。 （2）由于本题中产品总数很大，而从中抽取产品的数目不大，所以，可以近似认为是“有放回地任意抽取3次”，每次取到废品 的概率都是0.1，因此取到的废品数服从二项分布。试按照这一假设，重新求X 的概率分布，并计算X =1的概率。 2.7 一个保险公司推销员把保险单卖给5个人，他们都是健康的相同年龄的成年人。根据保险统计表，这类成年人中的每一个 人未来能活30年的概率是2/3。求： （1）5个人都能活30年的概率； （2）至少3个人都能活30年的概率； （3）仅2个人都能活30年的概率； （4）至少1个人都能活30年的概率。 2.8 一张答卷上有5道选择题，每道题列出了3个可能的答案，其中有一个答案是正确的。某学生靠猜测能答对至少4道题的概 率是多少？
概率统计高二练习题及答案
概率统计高二练习题及答案一、选择题1. 设随机试验S的样本空间Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}，事件A={2, 4, 6}，事件B={3, 4, 5}，则事件A∪B的元素个数是：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C2. 将两个硬币抛掷，它们的结果可以分别是正面（正）、反面（反）。
S表示随机试验“抛掷两个硬币，观察正反面”，事件A表示“至少有一个正面朝上”，则事件A的对立事件是：A. 两个硬币都是反面朝上B. 两个硬币都是正面朝上C. 两个硬币正反面朝上D. 至少有一个反面朝上答案：A3. 设随机试验S的样本空间Ω={1, 2, 3, 4, 5}，事件A={1, 2}，事件B={1, 3, 4}，则事件A∩B的元素个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：14. 设随机试验S的样本空间Ω={1, 2, 3, 4, 5}，事件A={1, 2}，事件B={3, 4}，则事件A∪B的元素个数是：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：45. 在某次抽查中，2人中至少有1人精通英语的概率为0.8，两人都不精通英语的概率为0.1，则恰有1人精通英语的概率为：A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4答案：C二、填空题1. 样本空间为Ω={1, 2, 3, 4, 5}的随机试验，以P表示概率函数，则P(Ω)=____。
答案：12. 设随机试验S可有n个结果，而其样本空间的元素个数为m个，则事件A发生的可能性大小为 ________。
答案：m/n3. 在某乡村学校的学生中，男生占40%，女生占60%，男生与女生都占的概率是______。
答案：04. 把两颗骰子分别投掷一次，事件A表示两颗骰子的点数和为8，则事件A发生的概率为________。
答案：5/365. 在两人赛马中，甲、乙、丙三匹马参赛，任一马获胜的概率均为1/3，则甲、乙、丙三匹马同时获胜的概率为______。
答案：0三、计算题1. 有n个袜子，有黑、白两种颜色，从中任取3只，问至少有1只黑袜子的概率是多少？答案：1 - (C(n, 3)/C(n, 3 - 0))*(C(n - 2, 3)/C(n, 3))2. 某商场推出一种新产品，调查发现客户购买此产品的概率为0.25，连续3个客户中至少有一个购买此产品的概率是多少？答案：1 - (1 - 0.25)^33. 一批零件中有5个次品，从中任取4个进行抽样，假设各个零件取得的概率相同，计算抽到至少1个次品的概率。
概率论与数理统计-练习题二
并计算概率 .(10分)
3.设二维随机变量 的概率密度为
，
（1）求常数 ；（2）求 的边缘概率密度(3) 判断X与Y是否独立.。(15分)
4. 设随机变量 的分布律为 求（1） (2) 的分布律(3) (10分)
5.某地区18岁的女青年的血压 服从 分布,在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X，（10分）
5.设随机变量 ， ,其协方差 ，则相关系数
二、单选题（每题2分，共计10分）
1. 已知 ,且 则 的取值为（）
(A) (B) (C) (D)
2.设随机变量X的分布律为 ．则 的值是（）．
( ) ( ) ( ) ( ) ．
3.设随机变量 相互独立， , ，则（）．
； 1
4. 设总体X～N , 是来自总体X的样本，在下面μ的无偏估计中最有效的为( ).
求 （
6.设总体 的概率密度函数为
， 是从 取出的样本观测值，求总体参数 的矩阵估计值和
最大似然估计值.（15分）
7假设某厂生产的一种钢索抗断强度 (单位： )服从正太分布 ，从中选取一个容量为9的样本，得 ，能否据此样本信息认为该批钢索的抗断强度为800(显著水平 )？( )（10分）
练习题二
一、填空题（每空2分，共计10分）
1.如果P(A)=0.4,P(B)=0.3, P(A∪B)=0.5,则P(AB)=
2.随机变量 服从（-1，4）上的均匀分布，则方程 有实根的概率为
3.一批零件的长度服从正态分布 ，从中随机地抽取16个零件，得到均值为50，已知 ，
则 的95%的置信区间是
4. 是总体 的样本， 分别是样本均值和样本方差，则 服从的分布是
概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析
第二章习题与答案同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！标红表示正确答案标蓝表示解析1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。
A普查B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】D统计报表2、人口普查规定标准时间是为了（）。
A确定调查对象和调查单位B避免资料的重复和遗漏。
C使不同时间的资料具有可比性D便于登记资料【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。
A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查4、分布数列反映( )。
A总体单位标志值在各组的分布状况B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】C总体单位标志值的差异情况D总体单位的差异情况5、与直方图比较，茎叶图( )。
A没有保留原始数据的信息B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。
为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。
课本P38】C更适合描述分类数据D不能很好反映数据的分布特征6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。
A大于该组上限的次数是多少B大于该组下限的次数是多少C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。
课本P33】D小于该组下限的次数是多少7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。
A. 200B. 250C. 500D. 300【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。
概率论与数理统计练习题2
1一、填空题（每题4分，共20分）1、假设事件A 和B 满足1)(=A B P ，则A 和B 的关系是__B A ⊂ _____________。
2、设随机变量)(~λπX ，且{}{},21===X P X P 则{}==k X P ____)... ,1,0( !22=-k k e k _________。
3、设X服从参数为1的指数分布，则=)(2X E ____2_______。
4、设),1,0(~),2,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则~Y X Z -=___)3,0(N________。
5、),16,1(~),5,1(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，令12--=Y X Z ，则=YZ ρ__32-__。
二、选择题（每题4分，共20分）1、将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ B ）A 、323B 、83C 、161D 、812、随机变量X 和Y 的,0=XY ρ则下列结论不正确的是（ B ） A 、)()()(Y D X D Y X D +=- B 、a X +与b Y -必相互独立 C 、X 与Y 可能服从二维均匀分布 D 、)()()(Y E X E XY E =3、样本n X X X ,,,21 来自总体X ，,)(,)(2σμ==X D X E 则有（ B ）A 、2i X )1(n i ≤≤都是μ的无偏估计 B 、X 是μ的无偏估计 C 、)1(2n i X i ≤≤是2σ的无偏估计D 、2X 是2σ的无偏估计4、设n X X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN 的样本，其中μ已知，2σ未知，则下列不是统计量的是（C ） A 、ini X ≤≤1minB 、μ-XC 、∑=ni iX 1σD 、1X X n -5、在假设检验中，检验水平α的意义是（ A ） A 、原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率 B 、原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率 C 、原假设0H 成立，经检验不能拒绝的概率D 、原假设0H 不成立，经检验不能拒绝的概率三、计算题（共28分）1、已知离散型随机变量的分布律为求：X 的分布函数，（2）)(X D 。
概率统计模拟试题及答案2
一、 选择题，根据题目要求，在题下选项中选出一个正确答案（本题共32分，每小题各4分）1.已知离散型随机变量X 的分布函数为0,10.3,13()0.5,341,4x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ ,则{1|3}P X X >≠=（ ）。
A.57 ; B.58； C.78； D.710 。
2.设321,,X X X 为来自总体X 的一个简单样本, 总体均值EX μ=，总体方差2DX σ=，下列几个总体均值μ的无偏估计量中，方差最小的是 。
A.123131ˆ5102X X X θ=++；B. 123111ˆ326X X X θ=++； C.123111ˆ333X X X θ=++； D. 123131ˆ3412X X X θ=+- 。
3.设随机变量),(~2σμN X , 则=-||μX E 。
A. 0 ； B μ. ； C. σ ； D.σπ22。
4.设总体2~(,)X N μσ，其中2σ 未知；12,,,n x x x 为来自总体X 的样本，给定01α<<， 下列表述中正确的结论是 。
A ．1122{((1P x tn x t n ααμα----≤≤+-=-；B.1122{((1P x tn x t n ααμα---≤≤+=-；C.22{((P x tn x t n ααμα--≤≤+-=；D. 1122{1P x z x z ααμα---≤≤+=-。
5. 设随机变量),(Y X 的分布函数为(,)F x y ，对任意实数z ，则有{max{,}}P X Y z >= 。
A.1(,)F z z - ；B. {}{}P X z P Y z >+>；C. (,)F z z ；D. {,}P Xz Y z >>。
6. 设随机变量Y X ,的二阶矩22,EX EY 存在，下列不等式中正确的结论是 。
A. 122|()|()E X EX >； B.111222222(||)()()E X Y EX EY +≥+；C.|(,)|Cov X Y ≥112222|()|()()E XY EX EY ≤⋅。
概率论与数理统计阶段练习2_参考答案
《概率论与数理统计》阶段练习2参考答案1、一报童卖报, 每份元,其成本为元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X 为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.2、设随机变量X 的概率分布为:0,,2,1,0,!}{>===λλ k k a K X P k.试确定常数a .解 依据概率分布的性质：,1}{0}{⎪⎩⎪⎨⎧==≥=∑k k X P k X P欲使上述函数为概率分布应有,0≥a ,1!0==∑∞=k kae K a λλ 从中解得.λ-=e a 注: 这里用到了常见的幂级数展开式.!0∑∞==k kK e λλ3、X 具有离散均匀分布, 即,,,2,1,/1)(n i n x X P i ===求X 的分布函数.解 将X 所取的n 个值按从小到大的顺序排列为)()2()1(n x x x ≤≤≤则)1(x x <时，,0}{)(=≤=x X P x F)2()1(x x x <≤时，,/1}{)(n x X P x F =≤=)3()2(x x x <≤时，,/2}{)(n x X P x F =≤=……)1()(+<≤k k x x x 时，,/}{)(n k x X P x F =≤=)(n x x ≥时，1}{)(=≤=x X P x F故 )(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=≥<),,max(,1),,2,1(),,min(,/),,min(,0111n j n n x x x x k n j x x x x n k x x x 当个不大于中恰好有且当当 4、设随机变量X 的概率分布为 4/12/14/1421i p X -, 求X 的的分布函数，并求{},2/1≤X P {},2/52/3≤<X P {}.32≤≤X P 5、设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它,011,12)(2x x x f π 求其分布函数)(x F .解 ⎰∞-=≤=x dt t f x X P x F )(}{)( 当,1-<x ;0)(=x F当,11≤≤-x ⎰⎰--∞--+⋅=x dt t dt x F 121120)(π21arcsin 112++-=x x xππ 当,1>x ,1)(=x F 故 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-++--<=.1,111,21arcsin 111,0)(2x x x x x x x F ππ 6、设随机变量X 具有概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,43,22,30,)(其它x x x kx x f }.2/71{)3();()2(;)1(≤<X P x F X k 求的分布函数求确定常数解 (1) 由⎰+∞∞-=,1)(dx x f 得,1224330=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎰⎰dx x kxdx 解得,6/1=k 于是X 的概率密度为.,043,2230,6)(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=其它x x x x x f(2) X 的分布函数为)(x F ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<≤<=⎰⎰⎰4,143,22630,60,03030x x dt t dt t x dt t x x x .4,143,4/2330,12/0,022⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<=x x x x x x x (3) ⎰=≤<2/71)(}2/71{dx x f X P ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2/73312261dx x xdx 2/73231242121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x ,4841= 或)1()2/7(}2/71{F F X P -=≤<.48/41=7、设某项竞赛成绩N X ~（65, 100），若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应定为多少解 设获奖分数线为,0x 则求使1.0}{0=≥x X P 成立的.0x)(1}{1}{000x F x X P x X P -=<-=≥,1.0106510=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=x 即,9.010650=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φx 查表得,29.110650=-x 解得,9.770=x 故分数线可定为78分. 8、在电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为，和. 假设电源电压X 服从正态分布N (220，252)，试求：(1) 该电子元件损坏的概率α;(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240伏的概率β.解 引入事件=1A {电压不超过 200 伏},=2A {电压不超过 200~240 伏},=3A {电压超过240伏}; =B {电子元件损坏}.由条件知),25,220(~2N X 因此⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=2522020025220}200{)(1X P X P A P ;212.0)8.0(1)8.0(=Φ-=-Φ= }240200{)(2≤≤=X P A P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤-=8.0252208.0X P .576.01)8.0(2=-Φ= }240{1}240{)(3≤-=>=X P X P A P .212.0)8.0(1=Φ-=(1) 由题设条件,,1.0)|(1=A B P ,001.0)|(2=A B P 2.0)|(3=A B P于是由全概率公式, 有.0642.0)|()()(31===∑=i i i A B P A P B P α (2) 由贝叶斯公式, 有 .009.0)()|()()|(222≈==B P A B P A P B A P β 9、已知某台机器生产的螺栓长度X (单位:厘米)服从参数,05.10=μ06.0=σ的正态分布. 规定螺栓长度在12.005.10±内为合格品, 试求螺栓为合格品的概率.解 根据假设),06.0,05.10(~2N X记,12.005.10-=a ,12.005.10+=b 则}{b X a ≤≤表示螺栓为合格品. 于是}{b X a P ≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=σμσμa b )2()2(-Φ-Φ= )]2(1[)2(Φ--Φ=1)2(2-Φ=19772.02-⨯=.9544.0=即螺栓为合格品的概率等于.10.已知)5.0,8(~2N X ，求(1) );7(),9(F F(2) }105.7{≤≤X P ; (3) };1|8{|≤-X P (4) }.5.0|9{|<-X P11.某种型号电池的寿命X 近似服从正态分布),(2σμN , 已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为%, 为使其寿命在x -μ和x +μ之间的概率不小于, x 至少为多少12、设)1,0(~N X , 求2X Y =的密度函数.解 记Y 的分布函数为),(x F Y 则}.{}{)(2x X P x Y P x F Y ≤=≤=显然, 当0<x 时，;0}{)(2=≤=x X P x F Y当0≥x 时, }{)(2x X P x F Y ≤=.1)(2}{-Φ=<<-=x x X x P从而2X Y =的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥-Φ=0,00,1)(2)(x x x x F Y 于是其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥='=0,00),(1)()(x x x x x F x f Y Y ϕ.0,00,212/⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-x x e x x π注: 以上述函数为密度函数的随机变量称为服从)1(2χ分布, 它是一类更广泛的分布)(2n χ在1=n 时的特例. 关于)(2n χ分布的细节将在第五章中给出.13、设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 求}2,min{X Y =的分布函数.解 根据已知结果, X 的分布函数⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x X λ Y 的分布函数}}2,{min{}{)(y X P y Y P y F Y ≤=≤=}}2,{min{1y X P >-=}.2,{1y y X P >>-= 当2<y 时，),(}{}{1)(y F y X P y X P y F X Y =≤=>-=当2≥y 时，.1)(=y F Y代入X 的分布函数中可得.2,120,10,0)(⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤=-y y e y y F y Y λ注：在本例中, 虽然X 是连续型随机变量, 但Y 不是连续型随机变量, 也不是离散型 随机变量, Y 的分布在2=y 处间断.14、设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布, 求X Y ln 2-=的概率密度.解 在区间 (0,1) 上, 函数,0ln <x 故,0ln 2>-=x y 02<-='xy 于是y 在区间),0(+∞上单调下降, 有反函数2/)(y e y h x -==从而 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=---其它,010,)()()(2/2/2/y y y X Y e dy e d e f y f 已知X 在在(0,1)上服从均匀分布,⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(x x f X代入)(y f Y 的表达式中, 得⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它,00,21)(2/y e y f y X即Y 服从参数为1/2的指数分布.15. 设X 的分布列为10/310/110/110/15/12/52101i p X - 试求: (1) 2X 的分布律; (2) 2X 的分布律.16. 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=.,0,0,/2)(2其它ππx x x f 求X Y sin =的概率密度.。
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概率论与数理统计练习（二）
一、填空题
1、A、B是两个随机事件，已知，则
(1) 若互斥，则 ;
(2) 若独立,则 ;
(3) 若,则 .
2、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只，
(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为：。
(2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为：。
(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再
取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： .
3、设随机变量X服从泊松分布，则 .
4、设随机变量X服从B（2，0. 8）的二项分布,则___ , Y服从B（8，0. 8）的二项分布, 且X与Y相互独立，则=____，_ 。
5 设某学校外语统考学生成绩X服从正态分布N（75，25），则该学校学生的及格率为 __ ，成绩超过85分的学生占比为 __。
其中标准正态分布函数值.
6、设二维随机向量的分布律是有
则__，的数学期望_________，的相关系数
_______。
7、设及分别是总体的容量为16，8的两个独立样本，分别为样本均值，
分别为样本方差。
则：， __，= ，
____，。
此题中
8、设是总体的样本，下列的统计量中，__ 是的无偏统计量，的无偏统计量中统计量最有效。
A. B. C. D.
9. 设某商店一天的客流量X是随机变量,服从泊松分布,为总体的样本，的矩估计量为____，160，168，152，153，159，167，161为样本观测值，则的矩估计值为
10、在假设检验中，容易犯两类错误，第一类错误是指：____,也称为_____错误。
二、已知随机变量X的密度函数
求：（1）常数，（2）（3）X的分布函数F（X）。
三、设随机变量X，Y的概率密度分别为：
，且随机变量X，Y相互独立。
（1）求（X，Y）的联合概率密度为：
（2）计算概率值。
(3)求概率密度
四、从总体~中抽取容量为25的一个样本，样本均值和样本方差分别是：，
求u的置信度为0.95的置信区间和的置信度为0.95的置信区间。
五、设总体X服从均匀分布,是X的一个样本，求的矩估计量
六、某地区参加外语统考的学生成绩近似服从正态分布,该校校长声称学生平均成绩为70分，现抽取16名学生的成绩，得平均分为68分，标准差为3分，请在显著水平下，检验该校长的断言是否正确。
（此题中）七、设某衡器制造厂商的数显称重器读数近似服从正态分布,现他声称他的数显称重器读数的标准差为不超过10克, 现检验了一组16只数显称重器,得标准差12克，试检验制造商的言是否正确（取），此题中。
八、某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取100件，经检验发现有84件为一级品,试以5%的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。
（已知，提示用中心极限定理）。