2020年高二数学上学期期末考试试题
高二数学上学期期末考试试题
一、单选题（每小题5分，共60分） 1．复数11i
z i
-=
+的虚部为（ ） A ．i
B ．i -
C ．1
D ．1-
2．抛物线2
2y x =-的焦点坐标是（ ） A ．1(,0)2-
B ．12（0,-）
C ．1(0,)8-
D ．1
(,0)8
- 3．24x >成立的一个充分非必要条件是（ ） A ．23x > B ．
2x >
C ．2x ≥
D ．3x >
4. 党的十八提出：倡导“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善”社会主义核心价值观。
现将这十二个词依次．．写在六张规格相同的卡片的正反面（无区分），（如“富强、民主”写在同一张卡片的两面），从中任意抽取1张卡片，则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是（ ）
A ．
1
3 B ．
1
6
C ．
56 D ．2
3 5. 已知数列{}n a 满足1(1)1n n a a +-=，且11
2
a =-，则2020a =（ ）
A ．3
B ．12-
C ．23
D ．1345
2
6．已知等差数列
{}n a 满足3434a a =，则该数列中一定为零的项为（ ）
A ．6a
B ．7a
C ．8a
D ．9a
7．《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，依等次差(即等
差)降之， 上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得（ ）斤？
A ．581
B ．778
C ．439
D ．776
8. 若直线(1)20x m y m +++-=与直线280mx y ++=平行，则m 的值为（ ） A ．1 B ．2- C ．1 或2- D ．2
3
-
9. 记“1，2，3，4，5”这组数据的方差为21S ，“98，99，100，102，x ”这组数据的
方差为22S ，若22
12S S =，则x 为（ ）
A ．97
B ．101
C ．101或98.5
D ．103 10．空间四点(1,0,0)010(0,0,1)(,2,3)A B C D x 、（，，）、、共面，则x =（ ）
A ．4-
B ．1-
C ．1
D ．4
11. 平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且
1160,45,A AD A AB DAB ︒∠=∠=∠=︒则1BD =( )
A ．
31- B ．
21- C ．32- D ．
32-
12. 椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们的交点为P ，且 123
F PF π∠= .若椭圆的离心
率为 32
，则双曲线的离心率为（ ）
A ．1336
B ．32
4 C ．3
D ．2
二、填空题(每小题5分，共20分)
13. 已知数列{}n a 的前n 项和2
,n S n n =+则n a =
14. 对任意的实数k ，直线2(1)20k x ky +--=被圆22
2240x y x y +---=截得的最
短弦长为
15. 若复数z 满足4z i z i ++-=，则z 在复平面内对应点的轨迹方程是
（结果要求化简）
16. 12F F 、分别为椭圆2
214
x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，且1260F PF ︒∠=，
则12F PF ∆的内切圆半径等于
三、解答题
17．（10分）某校高二年级800名学生参加了
地理学科考试，现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[)4050，
；第二组[)5060，
；……；第六组[]90100，，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）求每个学生的成绩被抽中的概率； （2）估计这次考试地理成绩的平均分和中位数； （3）估计这次地理考试全年级80分以上的人数。
18．（12分）已知等差数列{}n a 满足1473690,18,a a a a a a ++=++=-前n 项和为n S .
（1）求9S （2）记n n b a =，求数列{}n b 的前9项和9T .
19．（12分）已知圆C ：()()2
2
1+11x y --= （1）求过点
A ()24，且与圆C 相切的直线方程。
（2）若(),P x y 为圆C 上的任意一点，求()()2
2
23x y +++的取值范围。
20．（12分） 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，
PA PB ⊥,2PA PB ==
,且PAB ABCD ⊥平面平面，M 为CD 中点.
（1）求证AP PM ⊥；
（2）求二面角B PC D --的正弦值的大小。
21．（12分）已知双曲线C 的焦点在y 轴上，虚轴长为4，且与双曲线22143
x y -=有
相同渐近线.
（1）求双曲线C 的方程。
（2）过点()20M ，的直线l 与双曲线的异支相交于A B 、两点，若415AOB S ∆=，求直线l 的方程。
22．（12分）已知椭圆C :22221x y a b +=(0)a b >>经过点13,2⎫⎪⎭且离心率为32.
（1）求椭圆方程；
（2是否存在直线2(0)y kx k =-≠，使椭圆C 上存在不同两点A B 、关于该直线对称？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由。
P
B
A
D
M
C。
江苏省连云港市2019-2020学年度高二上学期期末考试试题 数学【含解析】
2.双曲线 的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据双曲线的渐近线的定义求得。
【详解】双曲线 的渐近线方程是 ，故选：B.
【点睛】此题是容易题，考查双曲线的基本定义。
3.“M＜N”是“ ” （ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【详解】因为 ， ， ，故 ， ，故选:BD。
【点睛】此题考查充分条件和必要条件的概念，属于基础题。
12.设P是椭圆C： 上任意一点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，则（ ）
A.PF1＋PF2＝ B. ﹣2＜PF1﹣PF2＜2
C. 1≤PF1·PF2≤2D. 0≤ ≤1
【答案】ACD
【解析】
【分析】
15.已知椭圆C： (a＞b＞0)的焦距为2．准线方程为x＝3，则该椭圆的标准方程是_______；直线 与该椭圆交于A，B两点，则AB＝_______．
【答案】 (1). (2).
【解析】
分析】
根据椭圆的定义和准线方程可求得第一问，联立椭圆和直线方程再通过韦达定理计算可求得第二问。
【详解】 ，解得 ，再解出 ，所以椭圆的标准方程是 。设A坐标为 ，B坐标为 ，直线AB的斜率为k。则
13.准线方程为 的抛物线的标准方程是．
【答案】
【解析】
抛物线的准线方程为 ，说明抛物线开口向左，且 ，所以抛物线的标准方程是 ．
14.中国古代数学某名著中有类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，毎天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了_______里．
辽宁省抚顺二中、沈阳二中等2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题-解析版
辽宁省抚顺二中、沈阳二中等2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知X 的分布列为：设21Y X =+，则Y 的数学期望()E Y 的值是（ ） A ．16-B ．23C ．1D ．2936【答案】B 【分析】根据分布列的性质，求得13a =，得到()16E X =-，再由21Y X =+，即可求得随机变量Y 的期望. 【详解】由题意，根据分布列的性质，可得11126a ++=，解得13a =，所以随机变量X 的期望为()11111012636E X =-⨯+⨯+⨯=-， 又由21Y X =+，所以随机变量Y 的期望为()()12212()163E Y E X =+=⨯-+= 故选：B. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及期望的计算及性质的应用，其中解答中熟记分布列的性质和期望的公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 2．某批数量很大的产品的次品率为p ，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（ ） A ．3p B ．()31p p -C ．3341C p pD ．334C p【答案】C 【分析】本题可通过n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率的求法得出结果. 【详解】因为次品率为p ，从中任意取出4件， 所以恰好含有3件次品的概率为3341C p p ， 故选：C.3．若n 是正奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋅⋅⋅+被9除的余数为（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】C 【分析】由题意可得，此题求得是(91)1n--被9除的余数，利用二项式定理展开，可得结论【详解】解：因为n 是正奇数，则1122177771n n n n nn n n n C C C C ---+++⋅⋅⋅++-(71)1(91)1n n =+-=--1122199991n n n n nn n n n C C C C ---=-++⋅⋅⋅+--，所以它被9除的余数为12nn C --=-，即它被9除的余数为7，故选：C4．设随机变量()25,X N σ~，若()100.4P X a >-=，则()P X a >=A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2【答案】A 【详解】因为随机变量()25,X N σ~，所以(5)(5)P X P X >=<,因为(10)0.4P X a >-=，所以()0.6P X a >=,故选A.5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为( )A ．BCD ．【答案】C 【分析】首先求出向量OA OB λ+的坐标，及向量OA OB λ+的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可． 【详解】因为()1,?00A ，，()0,1,1B -， 所以()1,?00(0OA OB ，λλ+=+，1-，1)(1=，λ-，)λ， 1OA OB λ+=+2OB =()2OA OB OB λλ+⋅=，所以cos 112022==-，所以0λ<， 且4λ= 解得λ=，故选C ． 【点睛】本题考查的知识要点：空间向量的数量积，空间向量的模及夹角的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．6．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ） A ．23B ．35C ．12D ．25【答案】D 【分析】设男生甲被选中为事件A ，女生乙也被选中为事件B ，分别求得1()2P A =，1()5P AB =，再结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件A ，其概率为25361()2C P A C ==，设女生乙也被选中为事件B，其概率为14361 ()5CP ABC==，所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为()2 (|)1()5215P ABP B AP A===.故选：D.【点睛】本题主要考查了条件概率的求解，其中解答中正确理解题意，熟练应用条件概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.7．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A．84B．54C．42D．18【答案】C【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为1233232218C A AA=种；②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不加以区分，此时，排法种数为14242224C AA=种.综上所述，共有182442+=种不同的排法.故选：C．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．8．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，圆2222+x y a b =+与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A ，B ，四边形21AF BF的周长p 与面积S 满足p = ）A B C ．2D ．3【答案】C 【分析】由双曲线的定义知122AF AF a -=，结合四边形的周长知122pAF AF +=，得到1AF ，2AF 的长度，从而得到矩形21AF BF 的面积，再利用p =助勾股定理2221212AF AF F F +=得到,a c 关系，即可求得离心率.【详解】由双曲线的定义可知122AF AF a -=，又OA OB =，12OF OF =，可知四边形21AF BF 是平行四边形，所以122pAF AF +=联立解得14p AF a =+，24pAF a =-， 又线段12F F 为圆的直径，由双曲线的对称性可知四边形21AF BF 为矩形，所以四边形21AF BF 的面积221216p S AF AF a =⋅=-，又p =232p S =，即2223216p p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2232p a =，由2221212AF AF F F +=，得222248p a c +=，即2232a c =，即2e =. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．二、多选题9．在()821x -的展开式中，下列说法正确的有（ ） A ．展开式中所有项的系数和为82 B ．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C ．展开式中二项式系数的最大项为第五项D ．展开式中含3x 项的系数为448- 【答案】BCD 【分析】由二项展开式的性质逐个判断即可. 【详解】对于A ，令1x =，可知展开式中所有项的系数和为1，错误；对于B ，展开式中奇数项的二项式系数和为821282=，B 正确；对于C ，易知展开式中二项式系数的最大项为第五项，C 正确；对于D ，展开式中含3x 的项为()()35538C 21448x x -=-，D 正确.故选：BCD . 【点睛】本题考查二项展开式的相关性质，属于基础题. 10．下列命题中，正确的命题是( )A ．已知随机变量服从(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则23p = B ．已知()()0.34,0.71P BA P B ==，则()0.37P BA =C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=- D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为()~10,0.8X X B ，，则当8X =时概率最大【答案】BCD 【分析】选项A ：利用二项分布期望、方差公式计算判断； 选项B ：由互斥事件概率的加法公式计算判断； 选项C ：利用正态分布图象的对称性即可判断；选项D ：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出x k =，10k ≤，k ∈N 时的概率，通过解不等式求出k 的范围即可判断. 【详解】对于选项A ：随机变量服从二项分布(),B n p ，()30E X =，()20D X =，可得30np =，()120np p -=，则13p =，选项A 错误； 对于选项B ：A A +为必然事件，所以()B B A A BA B A =+=+，而BA 与B A 互斥，()()()()()()0.710.340.37P B P BA P BA P BA P B P BA ∴=+⇒=-=-=，选项B正确；对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=，则()1012P p ξ<<=-，()()110012P P p ξξ-<<=<<=-，选项C 正确；对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ， 当x k =时，对应的概率()10100.2kkkP X k C -==⋅0.8⋅，所以当1k时，()()()10101110(1)104110.80.210.80.2kk kk k k P X k k C P X k C k-----=-⋅⋅===-⋅⋅，由()()()41111P X k k P X k k =-=≥=-得444k k -≥，即4415k ≤≤， 因为*k N ∈，所以18k ≤≤且*k N ∈，又()()01P X P X =<=， 即8k时，概率()8P X =最大，故选项D 正确．故选：BCD 【点睛】二项分布的概率公式()(1)(,)k k n kn P X k C p p k N k n -==⋅-∈≤，可用作商法确定其中的最大值或最小值．11．已知曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，则下列结论正确的是（ ）A ．当4k =时，曲线C 为圆B ．当0k =时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y = C ．“4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件D ．存在实数k 使得曲线C 【答案】AB 【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，对于A 总，当4k =时，曲线C 的方程为222x y +=，此时曲线C 表示圆心在原点，的圆，所以是正确的；对于B 中，当0k =时，曲线C 的方程为22162y x -=，可得a b ==曲线C 渐近线方程为y =，所以是正确的；对于C 中，当曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--表示焦点在x 轴上的双曲线时，则满足2060k k ->⎧⎨-<⎩，解得6k >，所以 “4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确；对于D 中，当曲线C 的方程为22126x y k k+=--时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时26k k -=-，解得4k =，此时方程表示圆，所以不正确. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.12．如图，正三棱柱11ABC A B C -中，11BC AB ⊥、点D 为AC 中点，点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点则以下结论正确的是A ．()1112DA A A B A BC =-+B ．若//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于2ACC ．异面直线AD 与1BCD ．若点E 到平面11ACC A EB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案. 【详解】解析：对于选项A ，()1112AD A A B A BC =-+，选项A 错误； 对于选项B ，过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D ．以D 为坐标原点，1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，10B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,，所以122a BC a b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,,，122a AB a b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,． ∵11BC AB ⊥，∴110BC AB ⋅=，即22202a b ⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得2b a =．因为//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于1BB =．选项B 正确．对于选项C ，在选项A 的基础上，002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，()0,0,0D ，1022a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,，所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,，122a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,，因为2111cos ,6||||aBC DA BC DA BC DA a ⎛⎫- ⎪⋅<>===-，所以异面直线1,BC DA 所成C 正确． 对于选项D ，设点E 在底面ABC 的射影为1E ，作1EF 垂直于AC ，垂足为F ，若点E 到平面11ACC A EB ，即有12E F EB =，又因为在1CE F ∆中，112E F E C =，得1EB E C =，其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离，故点E 满足抛物线的定义，另外点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点，所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.三、填空题13．第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有________． 【答案】150【分析】将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：1,1,3或1,2,2，利用平均分堆方法计算分组个数，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内，利用排列知识及分步计算原理得解． 【详解】将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：1,1,3或1,2,2.这种分组方法一共有231455252C N C C =+⨯=，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内共有336A =种不同的分法.所以某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组的安排方法共有33256150M N A =⨯=⨯=种． 【点睛】本题主要考查了平均分堆方法，还考查了分类思想及排列计算，属于中档题． 14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图的“01-三角”在“01-三角”中，从第1行起，设第()n n N +∈次出现全行为1时，1的个数为n a ，则3a 等于_______．【答案】8 【分析】分析第6、7行各数，将所有的奇数全部转化为1，确定第三次出现全为1的情形所出现的行数，进而可求得3a 的值. 【详解】第1行和第3行全是1，已经出现2次，依题意，第6行原来的数是()606,rC r r N ≤≤∈，166C =为偶数，不合题意；第7行原来的数是()707rC r ≤≤，即1、7、21、35、35、21、7、1，一共有8个，全部转化为1，这是第三次出现全为1的情形，所以，38a =. 故答案为：8. 【点睛】关键点点睛：求解有关杨辉三角型数阵的推理，一般要观察行之间数据的特点，进而利用归纳推理求解.15．将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多2人的分配的方法总数为a ，则二项式53x a⎛ ⎝的展开式中含x 项的系数为__________．(用数字作答)【答案】52- 【分析】根据排列、组合的定义，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】由题意可知：2123126a C C A =⋅⋅=，所以553=2x x a⎛⎛ ⎝⎝，二项式52x ⎛ ⎝的通项公式为：455531551()(()(1)22r r r r r r rr x T C C x ---+=⋅⋅=⋅⋅-⋅，令45133r r -=⇒=，所以x 项的系数为3533515()(1)22C -⋅⋅-=-， 故答案为：52-16．已知M ，N 为抛物线28y x =上两点，O 为坐标原点，且90MON ∠=︒，则MN的最小值为______. 【答案】16 【分析】先设出直线MN 的方程，联立抛物线方程，利用判别式大于0来确定,M N 的存在性，设()11,M x y ，()22,N x y ，将90MON ∠=︒转化为向量相乘为0，利用根与系数的关系建立关系式，即可求出.【详解】设直线:MN x ty m =+，代入28y x =， 得2880y ty m --=，264320t m ∴∆=+>，即220t m +>，设()11,M x y ，()22,N x y ，128y y m ∴=-，90MON ∠=︒，12120OM ON x x y y ∴⋅=+=，221212064y y y y ∴+=，280m m ∴-=，故8m =，12MN y y ∴=-==16≥，当且仅当20t =时等号成立，∴MN 的最小值为16.故答案为：16. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，这类综合应用题的特点是：计算过程特别复杂、繁琐，所以对计算能力要求较高.四、解答题17．（1）某地区空气质量监测资料表明，某天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？（2）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占25%，二厂生产的占35%，三厂生产的占40%，又知这三个厂的产品次品率分别为5%,4%,2%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？ 【答案】（1）0.75；（2）0.0345． 【分析】（1）利用条件概率的计算公式算出即可；（2）设事件B 为“任取一件为次品”，事件i A 为“任取一件为i 厂的产品”，1,2,3i =，任何利用()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++算出即可. 【详解】()1设A 表示“某天的空气质量为优良”，设B 表示“随后一天的空气质量为优良”，由题意得()()()()()0.8,0.6,0.75P BA P A P BA P B A P A ====所以已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率是0.75()2设事件B 为“任取一件为次品”，事件i A 为“任取一件为i 厂的产品”，1,2,3i =，123,,A A A 两两互斥，且123A A A =Ω，由全概率公式得()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++因为()()()1230.25,0.35,0.4P A P A P A ===()()()1230.05,0.04,0.02P B A P B A P B A ===故()()()()()()()112233|||P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.050.350.040.40.02=⨯+⨯+⨯0.0345=所以从这批产品中任取一件是次品的概率是0.034518．（1）直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点()2,1P 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．（2）圆心在直线4y x =-上，且与直线:10l x y +-=相切于点()3,2P -，求圆的方程．【答案】（1）0x =或34y x =-或3y x =-+±（2）()()22148x y -++=． 【分析】（1）根据点到直线的距离公式，结合斜率存在情况，进行分类讨论，求得直线方程. （2）两种方法，方法一：设圆的标准方程，分别满足题干中条件，求得参数即可；方法二：由过圆心及切点的直线与切线垂直，从而求得圆心坐标，两点间距离求得半径，从而求得圆的方程. 【详解】（1）①当所求直线经过坐标原点且斜率不存在时，方程为0x =，符合题意 ②当所求直线经过坐标原点且斜率存在时，设其方程为y kx =，由点到直线的距离公式可得2=解得34k =-故所求直线的方程为34y x =-当直线不经过坐标原点且斜率存在时，依题意设所求直线为y x b =-+ 即0x y b +-=2=解得3b =±故所求直线的方程为3y x =-+±综上可知，所求直线的方程0x =或34y x =-或3y x =-+±（2）法一：设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=则有()()222432b a a b r r ⎧⎪=-⎪⎪-+--=⎨=解得1,4,a b r ==-=所求圆的方程为()()22148x y -++=法二：过切点()3,2P -且与10x y +-=垂直的直线23y x +=-由423y x y x =-⎧⎨+=-⎩，得14x y =⎧⎨=-⎩所以圆心为()1,4-所以半径r ==所以所求圆的方程为()()22148x y -++= 【点睛】关键点点睛：（1）对斜率的存在情况分类讨论求解；（2）利用圆与切线的关系求得圆中参数.19．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响.(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大． 【分析】（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为X ，Y ，由于~(6,3,4)X H ，2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，分别写出分布列，再求期望值均为2；（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差. 【详解】（1）设X 为甲正确完成面试题的数量，Y 为乙正确完成面试题的数量， 依题意可得：~(6,3,4)X H ，∴1223461(1)5C C P X C ⋅===，4212363(2)5C C P X C ⋅===，3042361(3)5C C P X C ⋅===， ∴X 的分布列为：∴1232555EX =⨯+⨯+⨯=．2~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴0303211(0)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12132162(1)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 212321124(2)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333218(3)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴Y 的分布列为：∴01232279927EY =⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）2221312(12)(22)(32)5555DX =⨯-+-⨯+-⨯=，2121333(3)DY np p =-=⨯⨯=，∵DX DY <，∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 【点睛】本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性.20．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 【答案】（1）丙；（2）1130【分析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解. 【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=. 因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大. （2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 上的中点.二面角P AC E--.（1）求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值； （2）求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）3；（2）3. 【分析】（1）建立空间坐标系，根据二面角大小计算PC ，得出平面EAC 的法向量m ，计算PA 与m 的夹角得出线面角的正弦值；（2）计算CD 与平面ACE 的夹角正弦值，再计算D 到平面ACE 的距离. 【详解】（1）取AB 的中点F ，连接CF ，//CD AB ，12CD AB AF ==，AB AD ⊥，AD CD =， ∴四边形ADCF 是正方形，CF AB ∴⊥，CF CD ∴⊥，以C 为原点，以CD ，CF ，CP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系C xyz -， 设PC h =，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，11,,222h E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,0,P h ，∴()1,1,0CA =，11,,222h CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()1,1,AP h =--，设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =，则·0·0m CA m CE ⎧=⎨=⎩，即0110222x y hx y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 令1x =可得21,1,m h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面PAC 的一个法向量为(),,n a b c =，则·0·0n CA n AP ⎧=⎨=⎩，即00a b a b hc +=⎧⎨--+=⎩，则0b ac =-⎧⎨=⎩，令1a =，则()1,1,0n =-，·cos ,2m n m n m n∴<>==⨯，二面角P AC E --的余弦值为3，∴3=，解得2h =，∴()1,1,2AP =--，()1,1,1m =-，·cos 36,AP m AP m AP m∴<>=== ∴直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3；（2）由（1）可得()1,0,0CD =，则·1cos 1,CD m CD m CD m<>===⨯ 设直线CD 与平面EAC 所成角为α，则sin α=， D ∴到平面EAC 的距离为·sin CD α=.【点睛】本题主要考查求线面角的正弦值，考查求点到面的距离，利用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率是e ，定义直线eby =±为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±，长轴长为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，直线l 交椭圆C 于E ，F 两不同点（点E ，F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥，若点P 满足2OP OE OF =+，求直线AP 的斜率的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；（2）5656⎡-⎢⎣⎦. 【分析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程，联立方程组求得216a =，212b =，24c =，则椭圆方程可求；（2）分直线l x ⊥轴与直线l 不垂直于x 轴两种情况讨论，当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠），联立直线方程与椭圆方程，消元由0∆>，得到2216120k t -+>，再列出韦达定理，由AE AF ⊥则0AE AF ⋅=，解得47k t =-，再由2OP OE OF =+，求出P 的坐标，则178AP k k k=+，再利用基本不等式求出取值范围；【详解】解：（1）由题意得：e b ab c==28a =，又222a b c =+， 联立以上可得：216a =，212b =，24c =，∴椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）由（1）得()4,0A ，当直线l x ⊥轴时，又AE AF ⊥，联立224,1,1612y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2732160x x -+=， 解得47x =或4x =，所以47E F x x ==，此时4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AP 的斜率为0. 当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠）， 联立223448y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，整理得()2223484480k x ktx t +++-=， 依题意()()2222644344480k t k t ∆=-+->，即2216120k t -+>（*）且122834kt x x k +=-+，212244834t x x k-⋅=+. 又AE AF ⊥，()()()()()()121212124444AE AF x x y y x x kx t kx t ∴⋅=-⋅-+⋅=-⋅-+++()()222212122732161(4)16034t kt k k x x kt x x t k ++=+⋅+-+++==+， 22732160t kt k ∴++=，即()()7440t k t k ++=，47k t ∴=-且t 满足（*）， ()121222862,,3434kt t OP OE OF x x y y k k ⎛⎫∴=+=++=- ⎪++⎝⎭，2243,3434kt t P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭， 故直线AP 的斜率2222331344716412874834AP t t k k k kt k kt k k k k+==-==+++--++， 当0k <时，7788k k k k ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭当且仅当78k k -=-，即4k =-时取等号，此时056AP k -≤<；当0k >时，78k k +≥=78k k =，即4k =时取等号，此时0AP k <≤；综上，直线AP 的斜率的取值范围为5656⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于难题.。
2020-2021学年湖北省武汉外国语学校高二上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省武汉外国语学校高二上学期期末数学试题一、单选题1．两个事件互斥是两个事件对立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据互斥事件和对立事件的定义及必要不充分条件定义可得答案.【详解】互斥事件是指事件A 和B 的交集为空，也叫互不相容事件，也可叙述为：不可能同时发生的事件，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中不会同时发生； 对立事件是指AB 为不可能事件，A B 为必然事件，那么称A 事件与事件B 互为对立事件，其含义是：事件A 和事件B 必有一个且仅有一个发生，不会同时发生. 所以对立一定互斥但互斥不一定对立． 故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查必要不条件充分的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．2．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．4B ．2C D ．【答案】A【分析】求出双曲线的右焦点坐标，根据抛物线22y px =的焦点(,0)2p与双曲线2213x y -=的右焦点重合可得4p =. 【详解】由双曲线2213x y -=得223,1a b ==，所以222314c a b =+=+=，2c =，所以双曲线的右焦点为(2,0)，因为抛物线22y px =的焦点(,0)2p 与双曲线2213x y -=的右焦点重合，所以22p=，所以4p =. 故选：A 3．曲线cos x y x =在点(2π，0)处的切线的斜率为（ ） A ．2πB ．2π-C ．-2πD ．24π【答案】B【分析】求出函数的导数，然后可得答案. 【详解】2sin cos =x x xy x --'所以曲线cos x y x =在点(2π，0)处的切线的斜率为2222πππ-=-⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B4．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面的次数等于反面次数的概率为（ ） A ．38B ．316C ．516D ．58【答案】A【分析】利用二项分布的知识求出答案即可.【详解】出现正面的次数等于反面次数的概率为2224113228C ⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：A5．已知()()201f x x xf =-'-，则()2f 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-【答案】C【分析】对函数()f x 求导，求出()0f '的值，可得出函数()f x 的解析式，进而可求得()2f 的值. 【详解】()()201f x x xf =-'-，()()20f x x f ''∴=-，()()00f f ''∴=-，可得()00f '=，()21f x x ∴=-，因此，()22213f =-=.故选：C.6．已知向量OA →=(1，0，1)，OB →=(0，1，1)，O 为坐标原点，则三角形OAB 的面积为（ ） A ．12B ．3C ．1D ．3 【答案】D【分析】利用向量的夹角公式可得cos AOB ∠，进而可求出sin AOB ∠，最后由三角形面积公式可得结果.【详解】∵()1,0,1OA =，()0,1,1OB =， ∴2OA =，2OB =，1cos 2OA OB AOB OA OB⋅∠==⋅， 由于0AOB π<∠<，所以3AOB π∠=，所以三角形OAB 的面积为1133sin 2223222OA OB π⨯=⨯⨯⨯=， 故选:D.7．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为底面ABCD 内一点，若P 到棱CD ，A 1D 1距离相等的点，则点P 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】D【分析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D xyz -，求出点P 的轨迹方程即可判断.【详解】如图示，过P 作PE ⊥AB 与E ，过P 作PF ⊥AD 于F ，过F 作FG ∥AA 1交A 1D 1于G ，连结PG ，由题意可知PE=PG以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D xyz -，设(),,0P x y ，由PE=PG 得：1x -=，平方得：()2211x y --=即点P 的轨迹是双曲线. 故选：D.【点睛】立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，有两种处理方法：(1)很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义法)； (2)要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式． 8．过点P 32,4m m +⎛⎫ ⎪⎝⎭向圆C :224690x y x y +-++=作切线，切点分别为A ，B .则PA PB →→⋅的最小值为（ ）A ．B ．6C ．D ．92【答案】B【分析】将圆的方程配成标准式，画出草图，设APC θ∠=，则()()22212sin P C B P P ACA θ→→⋅=--，又sin AC PCθ=，所以223212P PB PA PC C →→+-⋅=，利用平面直角坐标系下任意两点的距离公式及二次函数的性质得到216PC ≥，再根据对勾函数的性质计算可得；【详解】解：圆C :224690x y x y +-++=，即圆C :()()22234x y -++=，圆心为()2,3C -，半径2r如图，设APC θ∠=，由对称性BPC θ∠=且PA PB =，所以()()()222222cos 2cos 2cos 212sin PA PA P P PB PB A A A PC C CCθθθθ→→→→→⋅=⋅==-=--因为sin AC PCθ=，所以()222222321212AC PB ACPC PA PC PC PC →→⎛⎫ ⎪⋅=--+ ⎪⎭-=⎝ 因为32,4m P m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2222322522316164165m PC m m +⎛⎫⎛⎫=-++=++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令2t PC =，则[)16,t ∈+∞，所以3212P t PB A t →→=+-⋅，因为函数()3212f x x x+=-在)82,⎡+∞⎣上单调递增，(0,82上单调递减，因为[)16,x ∈+∞，所以()()min 166f x f ==故选：B【点睛】本题解答的关键是将PA PB →→⋅进行转化，转化为223212PC PC+-，再根据对勾函数的性质计算可得；二、多选题9．下列说法不正确的是（ ） A ．曲线的切线和曲线有且只有一个交点B ．曲线的切线和曲线可能有无数个交点C ．已知ln 2y =，则12y '=D ．函数3()f x x =在原点处的切线为x 轴 【答案】AC【分析】对选项A 、B ，根据切线的定义列举一个反例进行判断；对选项C ，这个错误很明显；对选项D ，利用导数的几何意义求切线即可.【详解】对选项A ，例如：cos y x =在(0,1)处的切线和cos y x =有无数个交点，故A 错误，从而也可知B 正确；对选项C ，2,0y ln y ='=，故C 错误；对选项D ，由3()f x x =，得2()3f x x '=，所以(0)0f '=.所以函数3()f x x =在原点处的切线方程是0y =，即为x 轴，故D 正确. 故选：AC.10．已知曲线22:1C mx ny +=，m 、n 为实数，则下列说法正确的是（ ） A ．曲线C 可能表示两条直线B ．若0m n >>，则C 是椭圆，长轴长为C ．若0m n =>，则CD ．若0m n ⋅<，则C 是双曲线，渐近线方程为y = 【答案】AC【分析】取0m >，0n =可判断A 选项的正误；将曲线C 的方程化为标准方程，可判断B 选项的正误；将方程化为圆的标准方程，可判断C 选项的正误；分00m n >⎧⎨<⎩和0m n <⎧⎨>⎩两种情况讨论，将曲线C 的方程化为标准方程，求出双曲线的渐近线方程，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若0m >，0n =，则曲线C 的方程为21mx =，即x=， 此时，曲线C 表示两条直线，A 选项正确；对于B 选项，若0m n >>，则110n m>>，曲线C 的标准方程为22111x y m n+=，此时，曲线C 表示焦点在y，B 选项错误； 对于C 选项，若0m n =>，曲线C 的方程为221x y m+=， 此时，曲线CC 选项正确； 对于D 选项，若0m >，0n <，则曲线C 的方程为22111x y m n-=-， 曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，则21a m=，21b n =-，此时，双曲线C的渐近线方程为b y x a =±=； 当0m <，0n >时，则曲线C 的方程为22111y x n m-=-， 曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则21a n =，21b m=-， 所以，双曲线C的渐近线方程为a y x b =±=. 综上所述，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法：（1）定义法：直接利用a 、b 求得比值，则焦点在x 轴上时，渐近线方程为by x a=±，焦点在y 轴上时，渐近线方程为ay x b=±； （2）构造齐次式：利用已知条件结合222a b c =+，构建b a 的关系式（或先构建c a的关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可. 11．下列不等式中恒成立的是（ ） A ．a b a b ⋅≤⋅B ．2,,11a b R a b+∈≥+C ．,0a b c c >>>，则b b ca a c+<+D．,a b R +∈≥【答案】ACD【分析】根据向量的数量积和基本不等式判断各选项．【详解】因为cos ,1a b <>≤，所以cos ,a b a b a b a b ⋅=<>≤，A 正确；0,0a b >>，11a b +≥211a b≤=+B 错；因为,0a b c c >>>，()0()b bc c b a a a c a a c +--=<++，C 正确； 22,,2a b R a b ab+∈+≥，222a b ab +≥≥D 正确．故选ACD ．12．已知函数()sin(cos )f x x =，下列关于该函数结论正确的是（ ） A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x的图象关于直线2x π=对称C ．()f xD ．()f x x =在区间（0,2π）内有唯一的根【答案】ACD【分析】计算出()(2)f x f x π+=，可判断A ，由()()f x f x π-=-可判断B ，max ()sin1sin3f x π=<，即可判断C ，令()()()sin cos ,0,2g x f x x x x x π⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，利用单调性和零点存在定理可判断D.【详解】()()()()(2)sin cos 2sin cos f x x x f x ππ+=+==，故A 正确 因为()()()()()()sin cos sin cos sin cos fx x x x f x ππ-=-=-=-=-所以()f x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 错误 因为[]cos 1,1x ∈-，所以max ()sin1sin3f x π=<=C 正确令()()()sin cos ,0,2g x f x x x x x π⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭()()sin cos cos 10g x x x '=--<所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，因为()0sin10g =>，022g ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭所以()f x x =在区间（0,2π）内有唯一的根，故D 正确故选：ACD三、填空题13．一组数据2，4，x ，8，10的平均值是6，则此组数据的方差是_______. 【答案】8【分析】由条件求得6x =，然后算出答案即可. 【详解】因为2481065x ++++=，解得6x =所以此组数据的方差是()()()()()2222226466686+106=85-+-+-+--故答案为：814．已知球的体积V 是关于半径r 的函数，34()3r V r π=，则r =2时，球的体积的瞬时变化率为________ 【答案】16π【分析】利用瞬时变化率的概念求解即可.【详解】3324(2)424[126()](2)(2)333r r r r V V r V πππ+∆⋅∆+∆+∆∆=+∆-=-=， 24[126()]3V r r r π∆∴=+∆+∆∆， 当r ∆趋于0时，Vr∆∆趋于16π.故答案为：16π.15．已知梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，32AE EC = ，若双曲线以A 、B 为焦点，且过C 、D 、E 三点，则双曲线的离心率为_______【分析】以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设(),0A c -、(),0B c ，求出点C 的坐标，利用32AE EC =求出点E 的坐标，将点E 的坐标代入双曲线方程，可得出关于e 的方程，即可解得该双曲线的离心率的值. 【详解】2AB CD =，以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xOy ，设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由于双曲线的焦点为A 、B ，可设(),0A c -、(),0B c ， 由于双曲线过C 、D 两点，且//CD AB ，由双曲线的对称性可知，点C 、D 关于y 轴对称，则12CD AB c ==， 将12x c =代入双曲线方程可得222214c y a b -=，可得22214ey b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2,124c e C ⎛- ⎝， 设点(),E x y ，由()322AE EC AC AE ==-可得25AE AC =， 即()223,,1524c e x c y ⎛+=- ⎝，可得2352154c x c b e y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2252154x c b e y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以，点2221554c b e E ⎛-- ⎝，将点E 的坐标代入双曲线方程可得22441125254c e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即2225144e e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，可得27e =，1e >，解得e =..【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.四、双空题16．平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱彼此的夹角都为60，3AB AD ==，12AA =.则（1）对角线1AC =________；（2）三棱锥1A ABD -的外接球的体积为_________.【分析】（1）计算出()2211AC AB AD AA =++的值，即可求得对角线1AC 的长；（2）在射线1AA 上取点M ，使得3AM =，则三棱锥A BDM -为正四面体，可将正四面体A BDM -置于正方体APMQ EBFD -，以点A 为坐标原点，AP 、AQ 、AE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系。
高中数学选择性必修二 北京市朝阳区高二上学期期末考试数学试题(含答案)
故答案为：①③④
16.把正奇数列按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，则在第n（n∈N*）组里有________个数；第9组中的所有数之和为________.
【答案】①. ②.2465
【解析】
②函数 在 和 分别单调递减，故②错误；
③因为 ，则当 时， ，故 时的瞬时速度是10 m/s，故③正确；
④ ， ，由 解得 ，由 解得 ，
所以当 时， 的图象更“陡峭”，当 时， 的图象更“陡峭”，故④错误.
故选：A.
8.如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（）
点 在抛物线上，
所以 ，
则 ，又 ，
所以直线 方程为 ，
联立抛物线方程 得到 ，
解得 或 ，
因为点 在 轴下方，所以 ,
由焦半径公式得： ，
故选：D.
7.下列有四个说法：
①若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有且只有一个公共点：
②函数 在定义域上单调递减；
③某质点沿直线运动，位移 （单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式 则 时的瞬时速度是10 m/s；
（II）选①：当直线 斜率不存在时， 的方程为 ，恰好与圆相切，满足题意；
当直线 斜率存在时，设 的方程为 ，即 ，
则圆心到直线 的距离为 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，即 ，
综上，直线 的方程为 或 ；
选②，可得 在圆上，即 为切点，
则切点与圆心连线斜率为 ，则切线斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
故选：B.
10.如图，在三棱锥O-ABC中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c.M为△ABC内部及其边界上的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为a0，b0，c0，则 （）
2020年高二数学上册期末考试试卷及答案
精选教育类应用文档，如果您需要使用本文档，请点击下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！祝同学们期末考出好成绩！欢迎同学们下载，希望能帮助到你们！2020年高二数学上册期末考试试卷及答案试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则( C)A．⌝p：∃x∈R，sinx≥1B．⌝p：∀x∈R，sinx≥1C．⌝p：∃x∈R，sinx>1 D．⌝p：∀x∈R，sinx>12．等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( B)．A．160 B．180 C．200 D．2203．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝60°，则c的值等于( C )．A．5 B．13 C．13D．374．若双曲线x2a 2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D)A.73B.54C.43D.535．在△ABC中，能使sinA＞32成立的充分不必要条件是( C)A．A∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3B．A∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，2π3C．A∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2D．A∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，5π66．△ABC中，如果Aatan＝Bbtan＝Cctan，那么△ABC是( B)．A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形7. 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE 时，AF∶FD的值为( B)A．1∶2 B．1∶1 C．3∶1 D．2∶18．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线A B1夹角的余弦值为( A)A.55B. 53C.255 D. 359．当x ＞1时，不等式x ＋11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( D )． A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]10．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧4≤ 34 ≥30 ≥y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( A )．A ．73B ．37C ．43D ．3411．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是( A )A ．a ≤－4B ．a ≥－4C ．a ≥－12D ．a ≤－1212．定义域为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2(x －3)2，若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围为 ( B )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22B. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，33C. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，55D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，66解析 由于定义为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，得f (－1＋2)＝f (－1)－f (1)＝0，即f (1)＝0，故f (x ＋2)＝f (x )，可知f (x )的周期T ＝2，图象以x ＝2为对称轴，作出f (x )的部分图象，如图，∵y ＝log a (x ＋1)的图象与f (x )的图象至少有三个交点，即有log a (2＋1)>f (2)＝－2且0<a <1，解得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，33。
山西省朔州市怀仁市2020-2021学年高二上学期期末(理科)数学试卷 (解析版)
2020-2021学年山西省朔州市怀仁市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．抛物线y＝x2的准线方程为（）A．B．y＝﹣2C．x＝﹣2D．x＝﹣2．“3＜m＜7”是“方程＝1为椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知双曲线的渐近线方程为，则其对应的双曲线方程不可能为（）A．B．C．D．x2﹣4y2＝6 4．已知函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．﹣1是函数f（x）的极小值点B．﹣4是函数f（x）的极小值点C．函数f（x）在区间（﹣∞，﹣4）上单调递增D．函数f（x）在区间（﹣4，﹣1）上先增后减5．椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，则△AFB的面积是（）A．1B．2C．4D．86．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且|FA|•|FB|＝8，则|AB|＝（）A．6B．7C．8D．97．已知椭圆+y2＝1（m＞1）和双曲线﹣y2＝1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随m，n的变化而变化8．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．已知A（﹣3，0），B是圆x2+（y﹣4）2＝1上的点，点P在双曲线的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（）A．9B．2+4C．8D．710．已知点A，B是双曲线的左、右顶点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若|F1F2|＝2，P是双曲线上异于A，B的动点，且直线PA，PB的斜率之积为定值4，则|AB|＝（）A．2B．C．D．411．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE12．已知函数f（x）是定义在R上连续的奇函数，当x＞0时，xf'（x）+2f（x）＞0，且f （1）＝1，则函数g（x）＝f（x）﹣的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（共4小题）.13．已知椭圆C：+＝1的AB的中点M的坐标为（2，1），则直线AB的方程为．14．如果F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|＝6，则△ABF2的周长是．15．已知函数f（x）＝在（0，1）内存在最小值，则a的取值范围为．16．如图，P为椭圆+＝1上一个动点，过点P作圆C：（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形PACB面积最大时，•的值为．三、解答题（共6小题）.17．设命题p：方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：实数a使曲线x2+y2﹣4x﹣2y﹣a2+6a+12＝0表示一个圆．（1）若命题p为真命题，求实数a取值范围；（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数a的取值范围．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD且PC＝BC＝2AD＝2CD ＝2，PA＝2．（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD．（2）若M为侧棱PD的中点，求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．19．已知函数．（Ⅰ）当时，判断函数f（x）是否有极值；（Ⅱ）若时，f（x）总是区间（2a﹣1，a）上的增函数，求实数a的取值范围．20．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线交抛物线C于M，N两点，且|MN|＝2．（1）求p的值；（2）抛物线C上一点Q（x0，1），直线l：y＝kx+m（其中k≠0）抛物线C交于A，B 两个不同的点（A，B均与点Q不重合）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，k1k2＝，直线l是否定点？若是，求出所有定点；若不是，请说明理由．21．已知双曲线x2﹣y2＝1的焦点是椭圆的顶点，F1为椭圆C的左焦点且椭圆C经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右顶点A作斜率k（k＜0）的直线交椭圆C于另一点B，连结BF1，并延长BF1，交椭圆C于点M，当△AOB的面积取得最大值时，求△ABM的面积．22．已知函数f（x）＝ax2+（2﹣a）lnx+2．（1）求函数在点（1，f（1））处的切线方程，并讨论函数f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）≥（a+2）x在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．抛物线y＝x2的准线方程为（）A．B．y＝﹣2C．x＝﹣2D．x＝﹣解：根据题意，抛物线的方程为：y＝x2，则其标准方程为：x2＝8y，其焦点在y轴正半轴上，且p＝4，则其准线方程为：y＝﹣2；故选：B．2．“3＜m＜7”是“方程＝1为椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当m＝5时，方程为圆，“方程为椭圆”则，解得“3＜m＜5或5＜m＜7”，∴“3＜m＜7”是“方程为椭圆”的必要不充分条件．故选：B．3．已知双曲线的渐近线方程为，则其对应的双曲线方程不可能为（）A．B．C．D．x2﹣4y2＝6解：的渐近线方程为：；的渐近线方程为：；的渐近线方程为：y＝±2x；x2﹣4y2＝6，的渐近线方程为：；故选：C．4．已知函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．﹣1是函数f（x）的极小值点B．﹣4是函数f（x）的极小值点C．函数f（x）在区间（﹣∞，﹣4）上单调递增D．函数f（x）在区间（﹣4，﹣1）上先增后减解：结合导函数的图象，f（x）在（﹣∞，﹣4）递减，在（﹣4，+∞）递增，对于A，﹣1不是f（x）的极值点；对于B，﹣4是函数f（x）的极小值点；对于C，函数f（x）在区间（﹣∞，﹣4）上单调递减；对于D，函数f（x）在区间（﹣4，﹣1）上单调递增；故选：B．5．椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，则△AFB的面积是（）A．1B．2C．4D．8【分析】由椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，AF⊥BF，可得|AO|＝2，求出A的纵坐标，再求出三角形△AFB的面积．解：椭圆中a＝4，b＝2，c＝2，∵椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，AF⊥BF，∴|AO|＝|BO|＝|OF|＝2，设A（x，y），则x2+y2＝12，∵椭圆，联立消去x，化简可得|y|＝，∴三角形△AFB的面积是2×＝4，故选：C．6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且|FA|•|FB|＝8，则|AB|＝（）A．6B．7C．8D．9【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的斜率为k，联立方程组消元，根据根与系数的关系和弦长公式即可得出|AB|的值．解：抛物线y2＝4x，p＝2，抛物线的焦点坐标为F（1，0），设直线AB方程为y＝k（x﹣1），联立方程组，消去y得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝1，抛物线的准线方程为x＝﹣1，故|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴|FA||FB|＝（x1+1）（x2+1）＝x1+x2+x1x2+1＝x1+x2+2＝8，∴|AB|＝|FA|+|FB|＝x1+x2+2＝8．故选：C．7．已知椭圆+y2＝1（m＞1）和双曲线﹣y2＝1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随m，n的变化而变化【分析】由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|＝2，由椭圆的定义|PF1|+|PF2|＝2，再由|F1F2|＝2，利用勾股定理能判断△F1PF2的形状．解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|＝2，①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|＝2，②∵m﹣n＝2，∴n＝m﹣2，①2+②2得|PF1|2+|PF2|2＝2（m+n），又∵椭圆+y2＝1（m＞1）和双曲线﹣y2＝1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，∴m﹣1＝n+1，∴m﹣n＝2，∴|PF1|2+|PF2|2＝2（m+n）＝4m﹣4，|F1F2|2＝（2）2＝4m﹣4，∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|，则△F1PF2的形状是直角三角形故选：B．8．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设出双曲线方程，通过坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD，推出点在双曲线上，然后求解离心率即可．解：设双曲线的方程为，则OC＝a．因为AB＝BC＝CD，所以CD＝2OC，所以OD＝3OC＝3a．因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以点在双曲线上，代入双曲线方程得，解得．所以双曲线的离心率为．故选：D．9．已知A（﹣3，0），B是圆x2+（y﹣4）2＝1上的点，点P在双曲线的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（）A．9B．2+4C．8D．7【分析】设双曲线右焦点为M，利用双曲线定义可求出|PA|＝|PM|+4，再利用圆的性质把PB的距离转化为P到圆心的距离减去半径，然后再利用两点间距离最短即可求解．解：设圆心为C，双曲线右焦点为M（3，0），且|PB|+|BC|≥PC|，即|PB|≥|PC|﹣1，|PA|＝|PM|+4，所以|PB|+|PA|≥|PC|+|PA|+3≥|MC|+3＝8，如图所示：当且仅当M，B，C三点共线时取得等号，故选：C．10．已知点A，B是双曲线的左、右顶点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若|F1F2|＝2，P是双曲线上异于A，B的动点，且直线PA，PB的斜率之积为定值4，则|AB|＝（）A．2B．C．D．4【分析】设A（﹣a，0），B（a，0），P（x，y）求出斜率，利用斜率乘积推出a、b关系，结合焦距，转化求解a，即可推出|AB|．解：设A（﹣a，0），B（a，0），P（x，y），则，所以，又因为，所以，又因为c2＝a2+b2，所以a＝1，b＝2，所以|AB|＝2a＝2，故选：A．11．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE【分析】取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得D正确；由余弦定理可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，可得A，B正确．A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得C不正确．解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE＝∠MFB，MF＝A1D＝定值，FB＝DE＝定值，由余弦定理可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故A正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确．故选：C．12．已知函数f（x）是定义在R上连续的奇函数，当x＞0时，xf'（x）+2f（x）＞0，且f （1）＝1，则函数g（x）＝f（x）﹣的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据题意，设h（x）＝x2f（x），由函数的零点与方程的关系分析可得函数g（x）＝f（x）﹣的零点就是方程x2f（x）＝1的根，分析可得h（x）为R上连续的奇函数，且在R上为增函数，又由f（1）的值可得h（1）的值，据此可得方程x2f（x）＝1只有一个根，即函数g（x）＝f（x）﹣只有1个零点，可得答案．解：根据题意，若g（x）＝f（x）﹣＝0，变形可得g（x）＝＝0，设h（x）＝x2f（x），则函数g（x）＝f（x）﹣的零点就是方程x2f（x）＝1的根，h（x）＝x2f（x），其定义域为R，又由f（x）为定义在R上连续的奇函数，则h（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝﹣h（x），则h（x）为R上连续的奇函数，h（x）＝x2f（x），则h′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[xf'（x）+2f（x）]，又由当x＞0时，xf'（x）+2f（x）＞0，则有h′（x）＞0，即函数h（x）为（0，+∞）上的增函数，又由h（x）为R上连续的奇函数，且h（0）＝0，则h（x）为R上的增函数，又由f（1）＝1，则h（1）＝f（1）＝1，则方程x2f（x）＝1只有一个根，故函数g（x）＝f（x）﹣只有1个零点，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆C：+＝1的AB的中点M的坐标为（2，1），则直线AB的方程为x+2y ﹣4＝0．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则2＝，，＝k．代入椭圆方程可得：＝1，＝1．相减化简整理即可得出．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则2＝，，＝k．代入椭圆方程可得：＝1，＝1．∴+＝0，∴＝0，解得k＝﹣．∴直线AB的方程为：y﹣1＝（x﹣2），化为：x+2y﹣4＝0．故答案为：x+2y﹣4＝0．14．如果F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|＝6，则△ABF2的周长是28．【分析】本题涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，可用定义处理，由定义知|AF2|﹣|AF1|＝8①，|BF2|﹣|BF1|＝8②，两式相加再结合已知|AB|＝6即可求解．解：由题意知：a＝4，b＝3，故c＝5．由双曲线的定义知|AF2|﹣|AF1|＝8①，|BF2|﹣|BF1|＝8②，①+②得：|AF2|+|BF2|﹣|AB|＝16，所以|AF2|+|BF2|＝22，所以△ABF2的周长是|AF2|+|BF2|+|AB|＝28故答案为：2815．已知函数f（x）＝在（0，1）内存在最小值，则a的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）．【分析】f′（x）＝x2+2x+（1﹣a2），由函数f（x）＝在（0，1）内存在最小值，可得f′（x）＝（x+1）2﹣a2在（0，1）内存在一个零点，因此f′（0）•f′（1）＜0．解：f′（x）＝x2+2x+（1﹣a2），∵函数f（x）＝在（0，1）内存在最小值，∴f′（x）＝x2+2x+（1﹣a2）＝（x+1）2﹣a2在（0，1）内存在一个零点，∴f′（0）•f′（1）＜0，即（1﹣a2）（4﹣a2）＜0，解得：﹣2＜a＜﹣1，或1＜a＜2．故答案为：（﹣2，﹣1）∪（1，2）．16．如图，P为椭圆+＝1上一个动点，过点P作圆C：（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形PACB面积最大时，•的值为．【分析】连接PC，设∠APC＝θ，当四边形PACB面积最大时，就是|PA|最大，结合椭圆性质可得当点P在椭圆左顶点时，|PC|最大，利用向量数量积公式求解．解：连接PC，设∠APC＝θ，由切线性质可得|PA|＝|PB|，四边形PACB面积S＝|PA|×1×2＝|PA|，当四边形PACB面积最大时，就是|PA|最大，|PA|＝，结合椭圆性质可得当点P在椭圆左顶点时，|PC|最大，此时|PA|＝，则sin，，•的值为|PA|2cos2θ＝8×（1﹣×2）＝，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设命题p：方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：实数a使曲线x2+y2﹣4x﹣2y﹣a2+6a+12＝0表示一个圆．（1）若命题p为真命题，求实数a取值范围；（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数a的取值范围．【分析】（1）由题意（a﹣3）（2a+7）＜0，解得a的取值范围．（2）利用复合命题的真假性可以得出p，q一真一假，进而求出实数a的取值范围．解：（1）由题意（a﹣3）（2a+7）＜0，解得．所以a的范围是．（2）命题q：实数a使曲线x2+y2﹣4x﹣2y﹣a2+6a+12＝0表示一个圆，（x﹣2）2+（y﹣1）2＝a2﹣6a﹣7表示圆．则需a2﹣6a﹣7＞0，解得a＞7或a＜﹣1，∵命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假∴得﹣1≤a＜3或得或a＞7∴a的取值范围为．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD且PC＝BC＝2AD＝2CD ＝2，PA＝2．（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD．（2）若M为侧棱PD的中点，求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．【分析】（1）证明AD⊥CD，AB⊥AC，结合AB⊥PC，证明AB⊥平面PAC，然后证明平面PAC⊥平面ABCD．（2）取BC的中点E，则AE、AD、求出平面ACD的一个法向量，平面MAC的法向量利用空间向量的数量积求解二面角M﹣AC﹣P的余弦值即可．【解答】（1）证明：∵在底面ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，且，∴AB＝AC＝2，，∴AB⊥AC，又∵AB⊥PC，AC∩PC＝C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，∴AB⊥平面PAC，又∵AB⊂平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．（2）解：∵PA＝AC＝2，，∴PA⊥AC，又∵PA⊥AB，AB∩AC＝A，AB⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD．取BC的中点E，则AE、AD、AP三条直线两两垂直，以A为坐标原点，AE、AD、AP所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，，，所以，，由（1）知平面ACD的一个法向量，设平面MAC的法向量为，则，令，则，所以平面MAC的一个法向量为，所以，，所以二面角M﹣AC﹣P的余弦值．19．已知函数．（Ⅰ）当时，判断函数f（x）是否有极值；（Ⅱ）若时，f（x）总是区间（2a﹣1，a）上的增函数，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求函数的导数，f′（x）＞0在（﹣∞，+∞）上恒成立，得到函数的单调性，从而可判定是否有极值．（Ⅱ）先求出极值点，f′（x）＝0的点附近的导数的符号的变化情况，得到函数的单调区间，函数f（x）在区间（﹣∞，0）与（，+∞）内都是增函数，只需（2a﹣1，a）是区间（﹣∞，0）与（，+∞）的子集即可．解：（Ⅰ）当时，cosθ＝0，f（x）＝4x3，则f（x）在（﹣∞，+∞）内是增函数，故无极值．（II）f′（x）＝12x2﹣6x cosθ，令f′（x）＝0，得x1＝0，x2＝．①当θ＝时，则f（x）在（﹣∞，+∞）内是增函数，故只要2a﹣1＜a即a＜1时，f（x）总是区间（2a﹣1，a）上的增函数，②当时，＞0．则函数f（x）在区间（﹣∞，0）与（，+∞）内都是增函数．由函数f（x）在（2a﹣1，a）内是增函数，则参数a须满足不等式组或由于，故cosθ∈（0，）故要使不等式2a﹣1≥cosθ关于参数θ恒成立，必有2a﹣1≥，解得则a≤0或综上①②可得，实数a的取值范围是a≤0或．20．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线交抛物线C于M，N两点，且|MN|＝2．（1）求p的值；（2）抛物线C上一点Q（x0，1），直线l：y＝kx+m（其中k≠0）抛物线C交于A，B 两个不同的点（A，B均与点Q不重合）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，k1k2＝，直线l是否定点？若是，求出所有定点；若不是，请说明理由．【分析】（1）求得抛物线的焦点F和准线方程，设出MN的方程，联立抛物线方程，可得x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得所求值；（2）求得抛物线方程和Q的坐标，设出A，B的坐标，联立直线l的方程和抛物线方程，可得y的二次方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得m+1＝﹣3k，即可得到直线l恒过的定点．解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，过焦点F（，0）且斜率为1的直线方程设为y＝x﹣，代入抛物线的方程可得x2﹣3px+＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2＝3p，由抛物线的定义可得|MN|＝x1+x2+p＝3p+p＝2，可得p＝；（2）由（1）可得抛物线的方程为y2＝x，从而可得Q（1，1），设A（x3，y3），B（x4，y4），由y＝kx+m与抛物线方程y2＝x联立，可得ky2﹣y+m＝0，k≠0，△＝1﹣4km＞0，y3+y4＝，y3y4＝，k1k2＝•＝•＝＝＝＝﹣，即有m+1＝﹣3k，满足△＞0，则直线l：y＝k（x﹣3）﹣1，即直线l恒过定点（3，﹣1）．21．已知双曲线x2﹣y2＝1的焦点是椭圆的顶点，F1为椭圆C的左焦点且椭圆C经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右顶点A作斜率k（k＜0）的直线交椭圆C于另一点B，连结BF1，并延长BF1，交椭圆C于点M，当△AOB的面积取得最大值时，求△ABM的面积．【分析】（1）根据题意，求出双曲线的焦点坐标，即可得椭圆的顶点坐标，可得a的值，将点的坐标代入椭圆的方程可得，解可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，设直线AB的方程为y＝k（x﹣），与椭圆的方程联立，可得，分析可以用k表示△AOB的面积，由基本不等式的性质分析可得答案．解：（1）根据题意，双曲线x2﹣y2＝1的焦点为（±，0），则椭圆的顶点为（±，0），且椭圆C经过点．则有，解得，所以C的方程为．（2）由已知结合（1）得，所以设直线，联立，得，得，当且仅当，即时，△AOB的面积取得最大值，所以，此时B（0，1），所以直线BF1：y＝x+1，联立，解得，所以，点到直线BF1：y＝x+1的距离为，所以．22．已知函数f（x）＝ax2+（2﹣a）lnx+2．（1）求函数在点（1，f（1））处的切线方程，并讨论函数f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）≥（a+2）x在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）依题意，对f（x）求导的f′（x），由导数的几何意义可得k切＝f′（1），再由点斜式可得y﹣f（1）＝k切（x﹣1），进而可得切线的方程；分三种情况若0≤a≤2，若a＞2，若a＜0，讨论函数f（x）的单调性．（2）根据题意可得h（x）＝ax2﹣（a+2）x+（2﹣a）lnx+2，且h（1）＝0．对h（x）求导，得h′（x）＝，分三种情况①当时，②当时，③当a≤0时，函数h（x）的单调性，进而确定是否能使得h（x）min≥0，进而可得实数a的取值范围．解：（1）依题意，，因为f'（1）＝a+2，且f（1）＝a+2，所以函数在点（1，a+2）处的切线方程为y＝（a+2）x，又，若0≤a≤2，f'（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增，若a＞2，当时，f'（x）＜0，故函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，若a＜0，当时，f'（x）＞0，当时，f'（x）＜0，故函数f（x）在上单调递增，在单调递减．综上，若0≤a≤2，函数在（0，+∞）上单调递增，若a＞2，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，若a＜0，函数f（x）在上单调递增，在单调递减．（2）令h（x）＝f（x）﹣（a+2）x，则h（x）＝ax2﹣（a+2）x+（2﹣a）lnx+2，h（1）＝0．因为，①当时，因为x≥1，所以，所以h'（x）≥0，此时h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）＝0，符合．②当时，，因为x≥1，x﹣1≥0，所以由h'（x）＜0，得，此时h（x）在上单调递减，所以当时，h（x）＜h（1）＝0，不合要求，舍去③当a≤0时，2ax+a﹣2＜0，h'（x）＜0，h（x）在[1，+∞）上单调递减，所以当x∈[1，+∞）时，h（x）＜h（1）＝0，不合要求，舍去综上所述，实数a的取值范围是．。
哈尔滨市第九中学2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学试题-含答案
哈尔滨市第九中学2020--2021学年度.上学期期末学业阶段性评价考试高二学年数学学科(理)试卷(考试时间:120分钟满分:150分共2页第I 卷(选择题共60分)一､选择题(本大题共12小题,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.过点M(-4,3)和N(-2,1)的直线方程是A.x -y+3=0B.x+y+1=0C.x -y -1=0D.x+y -3=02.双曲线221169y x -=的虚半轴长是 A.3 B.4 C.6 D.83.直线x+y=0被圆22|6240x y x y +-++=截得的弦长等于A.4B.2 .C .D 4.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河."诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为221,x y +≤若将军从点A(4,-3)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马"的最短总路程为A.8B.7C.6D.55.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F,过点F 的直线与抛物线交于A,B 两点,满足|AB|=6,则线段AB 的中点的横坐标为A.2B.4C.5D.66.直线kx -y+2k+1=0与x+2y -4=0的交点在第四象限,则k 的取值范围为A.(-6,-2) 1.(,0)6B - 11.(,)26C -- 11.(,)62D -- 7.设12,F F 分别为双曲线22134x y -=的左,右焦点,点P 为双曲线上的一点.若12120,F PF ︒∠=则点P 到x 轴的距离为.A .B .C .D 8.已知点A(-2,3)在抛物线C 2:2y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B,记C 的焦点为F,则直线BF 的斜率为1.2A2.3B3.4C4.3D 9.已知点(x,y)满足:221,,0x y x y +=≥,则x+y 的取值范围是.[A B.[-1,1] .C .D10.设双曲线221916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB 的面积为32.15A 34.15B 17.5C 19.5D 11.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B,F 为其右焦点,若AF ⊥BF,设∠ABF=α,且[,]64ππα∈则该椭圆的离心率e 的取值范围是.A .1]B .C .D12.如图,,AB ､CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,E 是母线PB 的中点,已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于1.2A B.1.C.D 第II 卷(非选择题共90分)二､填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.圆222200x y x y ++--=与圆2225x y +=相交所得的公共弦所在直线方程为___.14.若三个点(-2,1),(-2,3),(2,-1)中恰有两个点在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上,则双曲线C 的渐近线方程为___. 15.椭圆221123x y +=的焦点分别是12,F F 点P 在椭圆上,如果线段1PF 的中点在y 轴上,那么1||PF 是2||PF 的___倍.16.过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点,且A,B 两点在准线上的射影分别为M,N ，,,MFN BFN AFM MFN S S S S λμ∆∆∆==则λμ=___. 三､解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)在①圆经过C(3,4),②圆心在直线x+y -2=0上,③圆截y 轴所得弦长为8且圆心E 的坐标为整数;这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,进行求解.已知圆E 经过点A(-1,2),B(6,3)且___;(1)求圆E 的方程;(2)求以(2,1)为中点的弦所在的直线方程.18.(本题满分12分)已知抛物线C:22(0)y px p =>,焦点为F,准线为1,抛物线C 上一点M 的横坐标为3,且点M 到焦点的距离为4.(1)求抛物线的方程;(2)设过点P(6,0)的直线'l 与抛物线交于A,B 两点,若以AB 为直径的圆过点F,求直线'l 的方程.19.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2acosθ(a>0),且曲线C 与直线l 有且仅有一个公共点.(1)求a;(2)设A,B 为曲线C.上的两点,且,3AOB π∠=求|OA|+|OB|的最大值.20.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos ,sin .x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2:4cos .C ρθ=(1)求曲线2C 的直角坐标方程;(2)若点A(1,0),且1C 和2C 的交点分别为点M,N,求11||||AM AN +的取值范围.21.(本题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为12(F F 且过点1).2 (1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆的上顶点为B,过点(-2,-1)作直线交椭圆于M,N 两点,记直线MB,NB 的斜率分别为,,MB NB k k 试判断MB NB k k +是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,说明理由.22.(本题满分12分)已知点F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点,过点F 的直线l 交椭圆于M,N 两点,当直线l 过C 的下顶点时,l当直线l垂直于C的长轴时,△OMN的面积为3 . 2(1)求椭圆C的标准方程;(2)当|MF|=2|FN|时,求直线l的方程;(3)若直线l上存在点P满足|PM|,|PF|,|PN|成等比数列,且点P在椭圆外,证明:点P在定直线上.。
2020-2021学年浙江省温州市乐清市知临中学高二上学期期末考试数学试卷带讲解
令 ，结合等差数列前n项和公式有：
，
令 ，
则 ，
据此可知函数 在 上单调递减，
， ，
即 的取值范围是 .
16.3名男生和3名女生站成一排，要求男生互不相邻，女生也互不相邻且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同站法有__________种（用数字作答）．
40
2020学年第一学期期末质量检测
高二数学试卷
一､选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 ，集合 ， ，则 （）
A. B.
C D.
B
【分析】求出集合 、 ，利用补集和交集的定义可求得集合 .
【详解】因为 ，
，
则 或 ，因此， .
故选：B.
故答案为： ，20
14.已知函数 ，则函数 的最小正周期 __________，在区间 上的值域为__________．
①. ②.
【详解】函数的解析式：
∴函数f(x)的最小正周期
∴当 时, ，
当 时, ，但取不到.所以值域为 .
15.已知等差数列 满足： ， ，数列的前 项和为 ，则 的取值范围是__________．
（2）求函数的单调区间.
（1） 或 ， ；
（2）当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；当 ， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， .
【分析】（1）通过恒等变换可得 ，可得 或 即可求得 ，再由 即可得解；
（2）当 由 ， ，分离出 即可得解，而当 ，奇单调性和 的单调性相反即可得解.
【小问1详解】
（1）证明过程见解析；
（2）证明过程见解析
2020-2021学年天津市和平区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本卷共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝4B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝22．（4分）已知数列{a n}，满足a n+1＝，若a1＝，则a10＝（）A．B．2C．1D．﹣13．（4分）已知双曲线的一个焦点在直线x+2y＝5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 4．（4分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0平行，则a＝（）A．2B．1C．D．5．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且有，则＝（）A．B．C．D．6．（4分）等比数列{a n}中，若a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，则a3的值为（）A．2B．±2C．D．±7．（4分）抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A．2B．3C．4D．58．（4分）已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则实数a的值为（）A．B．C．D．9．（4分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题．每小题4分，共20分．10．（4分）抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是．11．（4分）设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1⊥l2，则实数m ＝．12．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．13．（4分）已知数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），则a n＝．14．（4分）若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是．三、解答题：本大题共4题，共44分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤．15．（10分）已知等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．16．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，E是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值．17．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设左、右焦点分别为F1，F2，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若⊥，求直线l方程．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n，并证明：T n＜2．2020-2021学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本卷共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝4B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝2【解答】解：圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的标准方程是：（x﹣1）2+（y+1）2＝4．故选：C．2．（4分）已知数列{a n}，满足a n+1＝，若a1＝，则a10＝（）A．B．2C．1D．﹣1【解答】解：数列{a n}，满足a n+1＝，当a1＝时，解得a2＝2，当n＝2，解得，当n＝3时，解得，所以数列的周期为3．故．故选：A．3．（4分）已知双曲线的一个焦点在直线x+2y＝5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，而直线x+2y＝5与x轴交点为（5，0），则c＝5，进而有9+a2＝25，解可得a2＝16，则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y＝±x；故选：A．4．（4分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0平行，则a＝（）A．2B．1C．D．【解答】解：已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，将点P（2，2）代入圆（x﹣1）2+y2＝5恒成立，则点P在圆上．即过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切的切线只有一条，令过点P（2，2）的切线的方程为y﹣2＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2＝0，由此切线与ax﹣y+1＝0平行，两直线的斜率相等且y轴截距不等，可得k＝a且﹣2k+2≠1；由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径r＝＝，k＝﹣，即a＝﹣；故选：C．5．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且有，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由等差数列的性质可得：＝＝＝＝．故选：C．6．（4分）等比数列{a n}中，若a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，则a3的值为（）A．2B．±2C．D．±【解答】解：由题意a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，故有a2a4＝4又{a n}为等比数列∴a2a4＝a32，∴a3＝±2．故选：B．7．（4分）抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y＝﹣1，∴点A到准线的距离为4+1＝5，根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，∴点A与抛物线焦点的距离为5，故选：D．8．（4分）已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则实数a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0），则有，联立可得：y＝，即两圆公共弦所在直线的方程为y＝，圆C1：x2+y2＝4，其圆心为（0，0），半径r＝2，若公共弦的弦长为2，则圆C1的圆心C1到公共弦的距离d＝＝，又由a＞0，则有＝，解可得a＝，故选：A．9．（4分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设点P在x轴上方，坐标为，∵△F1PF2为等腰直角三角形∴|PF2|＝|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e＝故选：D．二、填空题：本大题共5小题．每小题4分，共20分．10．（4分）抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是（﹣2，0）．【解答】解：∵抛物线方程y2＝﹣8x，∴焦点在x轴，p＝4，∴焦点坐标为（﹣2，0）故答案为（﹣2，0）．11．（4分）设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1⊥l2，则实数m＝．【解答】解：直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，由l1⊥l2，得3m+（m﹣2）＝0，即4m＝2，解得m＝．故答案为：．12．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图∴B（1，2，0），C（0，2，0）E（1，1，0），D1（0，0，1），＝（0，1，0），＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，﹣1，1），设平面D1EC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，2），∴点B到平面D1EC的距离：d＝＝＝．故答案为：．13．（4分）已知数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），则a n＝2n﹣1．【解答】解：数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），所以，，…，，所以＝，所以．故答案为：2n﹣1．14．（4分）若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是[1﹣，3]．【解答】解：如图所示：曲线y＝3﹣，即y﹣3＝﹣，平方可得（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y＝x+b的距离等于半径2，可得＝2，∴b＝1+，或b＝1﹣．结合图象可得1﹣≤b≤3，故答案为：[1﹣，3]．三、解答题：本大题共4题，共44分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤．15．（10分）已知等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则，解得：a1＝1，d＝2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，S n＝＝n2．（2）b n＝＝＝，∴数列{b n}的前n项和为T n＝+…+＝＝．16．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，E是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值．【解答】解：（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，∵ABCD为正方形，∴O是AC的中点，∵E是PC的中点，∴OE∥P A，∵P A⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴P A∥平面BDE．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，1，1），C（0，2，0），＝（2，2，0），＝（0，1，1），设平面BDE的法向量＝（x，y，z），则，设x＝1，则＝（1，﹣1，1），平面DEC的法向量＝（1，0，0），设平面BDE与平面DEC的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值为．17．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设左、右焦点分别为F1，F2，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若⊥，求直线l方程．【解答】解：（Ⅰ）由e＝＝，且a＝2，则c＝1，b＝＝，故椭圆C的方程为+＝1；（Ⅱ）F1（﹣1，0），F2（1，0），设经过右焦点F2的直线l的方程为x＝my+1，与椭圆方程3x2+4y2＝12联立，可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，由⊥，即AF1⊥BF1，k•k＝•＝﹣1，即有（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（my1+2）（my2+2）+y1y2＝（1+m2）y1y2+2m（y1+y2）+4＝（1+m2）•（﹣）+2m•（﹣）+4＝0，解得m＝±，则直线l的方程为x＝±y+1，即为y＝±（x﹣1）．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n，并证明：T n＜2．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n①．所以当n＝1时，．当n≥2时，S n﹣1＝1﹣a n﹣1②，①﹣②得：a n＝S n﹣S n﹣1＝a n﹣1﹣a n，整理得2a n＝a n﹣1，故（常数），所以数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列；所以，首项符合通项，所以．证明：（2）设，所以①，②，①﹣②得：＝，所以．。
什宁县第一中学2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题文
A． 1 2
B． 8 15
C． 16 29
D． 16 31
9．现要做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为 27 且用料最
省,则水桶底面圆的半径为（ ）
A．
3 2
B． 3
C． 2 3
D． 6
10．已知双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的左、右焦点分别为
， F1
F2
，过
点 F1 且斜率为 2 的直线 l 与双曲线 C 的渐近线在第一象限交于点 2
值为（ )
A．6
B．7
C．10 D．13
12．若函数
f
(x)
kex
1 2
x2
在区间
(0, )
上单调递增，则实数
k
的取值
范围是
A．
(1 e
,
)
B． (0, )
C．
[1 e
,
)
D．[0, )
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分)
13．双曲线 x2 y2 1的焦点到渐近线的距离为__________． 3
甘肃什宁县第一中学 2020_2021 学年高二数学上学期期末考试试题文
甘肃省静宁县第一中学 2020—2021 学年高二数学上学期期末考试试题 文
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分)
1．已知命题 p： xR, x2 x 1 0，下列 P 形式正确的是（
）
.A． ，使得 p:x0R
x02 x0 1 0
OA
a,
OB
b,所以
a
b
3，且
1 2
ab
1,