二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义

(r n r r

n n

n n C a b C b n N -++

+∈①二项式展开式：右边的多项式叫做()n

a b +的二项展开式。展开式中各项的系数r

n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. (r r n n

n n C x C x n +++∈(1)r r n n n n n C x C x ++

+-①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即

2r

n

n n n C C +++=2r n

n n n C C ++

+=偶数项的二项式系数和：

，则0123

(1)(11)0n n

n n n n n n C C C C C -+-+-=-=，13

21

12

r r n n n C C C ++⋅⋅⋅=++

++⋅⋅⋅=012012021210

(1)(1)n n

n

n n n n n n n n n n n C a x a a x a x a x C a x a x a x a x a a a a +=+++++=+

++++=+---------++=-----①(1)(1)()

2

(1)(1)()

2

n n

n n n

n a a a a a a ----++-+=+--+=②

奇数项的系数和偶数项的系数和

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数如果二项式的幂指数)n

a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别6n n n C +⋅

6n n n C +⋅112216(666)6

n

n n n n n n n C C C C -+⋅=

⋅+⋅++⋅ 211661)[(16)1](71)66

n

n n n n C ++⋅-=+-=-

13 .n n

n C -+=

3

193n n

n n C C -++

+，则

33

012233

3333331(13)1

n n n n

n n n n n n n n C C C C C C C +++=+++++-=+-141

3

n -=

的系数；

解：

024213

21

12r r n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++

++⋅⋅⋅=，2n -∴所以中间两个项分别为6,7n n ==，5653551211()()462n

T C x x x

+==⋅题型六：最大系数，最大项；

例：已知1(2)n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项

解：

46n n C C +

项最大，

1(2)2x +10.4r ≤≤，又012r ≤≤项最大，110r T C +=101022r r r r C C C C ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，又010r ≤≤，展开式中系数最大的项为题型七：含有三项变两项；

解：

3(12)x +4(1)x -的展开式的通项是m n +=令的展开式中,展开式中不含常数项24,8n ≠，即

2006a x +20062006a x +20052005)(a x x +=1

()2S x =展开式的奇次幂项之和为20062)(22)-+2009a x +10,22a a ∴+20092009

2a ⋅⋅⋅+=-1

10,a x a +则