第3节 二维正态分布
二维正态分布括号内五个参数
二维正态分布括号内五个参数二维正态分布是统计学中常用的概率分布之一，它可以用五个参数来描述。
本文将以这五个参数为标题，分别介绍二维正态分布的含义、性质、应用和计算方法。
一、均值向量二维正态分布的第一个参数是均值向量，它由两个实数组成，分别表示两个随机变量在平均水平上的取值。
在二维平面上，均值向量可以表示为一个点，在该点周围的取值概率较高。
例如，如果两个随机变量分别表示身高和体重，那么均值向量表示的就是身高和体重的平均水平。
二、协方差矩阵协方差矩阵是二维正态分布的第二个参数，它描述了两个随机变量之间的线性相关性。
协方差矩阵是一个对称矩阵，对角线上的元素表示每个随机变量的方差，非对角线上的元素表示两个随机变量之间的协方差。
协方差的正负表示两个随机变量的相关性，正相关表示随着一个随机变量的增加，另一个随机变量也增加，负相关则相反。
三、标准差标准差是协方差矩阵的平方根，它衡量了随机变量的变异程度。
标准差越大，随机变量的取值范围就越广，反之则越窄。
标准差可以帮助我们理解随机变量的分布情况，例如标准差较大的身高随机变量表示身高的变异程度较大，而标准差较小的体重随机变量表示体重的变异程度较小。
四、概率密度函数概率密度函数是描述二维正态分布的数学函数，它可以计算随机变量在某个取值点的概率。
概率密度函数通常表示为f(x,y)，其中x和y分别表示两个随机变量的取值，f(x,y)表示在这个取值点的概率密度。
概率密度函数可以帮助我们计算随机变量在某一区间内的概率，进而进行统计推断和假设检验。
五、边缘分布和条件分布边缘分布是指在二维正态分布中，将其中一个随机变量固定，另一个随机变量的分布。
边缘分布可以通过将概率密度函数关于另一个随机变量积分得到。
条件分布是指在给定另一个随机变量的取值条件下，另一个随机变量的分布。
条件分布可以通过将概率密度函数除以边缘分布得到。
二维正态分布在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在金融领域中，二维正态分布可以用来描述两个股票的收益率之间的关系，进而进行风险管理和资产配置。
概率论与数理统计正态分布4-3 二维正态分布课件
概率论与数理统计教程（第五版）
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§4.3 二维正态分布
2 2 设 ( X , Y ) ~ N ( , , , [定理3] x y x y , r) , 则 X 与 Y 独立的充要条件是 r 0.
证： 必要性：若随机变量 X 与Y 相互 独立， 则r 0 . 充分性：若 r 0 , 则二维正态分布的联合密度可化为：
I ( x) y2
r( x x )
y (1 r ) t e
t 2 2
dt
r y ( x x )
x
]e
t 2 2
dt
x
1 r
2
e
t 2 2
dt
r y ( x x )
所以
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§4.3 二维正态分布
y y r( x x ) ( x x ) 1 , 2 2 2 x 2(1 r ) y x
2
2
y y r( x x ) 1 [ ], 则 设t 2 y x 1 r
f ( x , y ) 2 π x y e
1
2 2 [ ( x x ) 2 x ( y y ) 2 y ] 2
1 2 π x
e ( x x )
2
2 ( 2 x )
1 2 π y
e
2 ( y y )2 ( 2 y )
f X ( x ) fY ( y ) . 所以,随机变量 X 与 Y相互独立.
x x
二维正态分布的条件期望
二维正态分布的条件期望
二维正态分布既简称又称“高斯分布”，它是一种在数学统计学中最为常见的多维概率分布类型，是概率论和统计学中重要的概念。
根据它可以更好地了解和描述各种事件发生的概率状况。
一般情况下，二维正态分布的条件期望和其概率密度函数具有一定的对称性，即条件期望点在坐标原点，概率在其任何方向上都有相同的概率。
另外，条件期望的曲线的横轴和纵轴的均值和标准偏差也有一定的规律，如二维正态分布图像中，可以看到，其条件期望的曲线向外伸展，随着离坐标原点越远，范围越大，概率密度函数越低，反之越小。
此外，二维正态分布的条件期望和其概率密度函数还可以用来估算二维随机变量，例如处可以用来正态分布推断不同空间中随机变量的期望值，分析其概率以及在不同随机变量取值的概率状况，从而用来分析和推断遇到的不同问题。
总的来说，二维正态分布的条件期望具有一定的对称性，常用来估算二维随机变量的期望值，以及其概率状况，可应用于推断和分析多种不同问题，从而更好地解决实际问题。
概率第十六讲 4.3-4.5
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X , Y 独立，X ~ N ( 1 , ), Y ~ N ( 2 , ) 2 2 2 2 aX bY ~ N ( a1 b2 , a 1 b 2 )
2 1 2 2
E ( aX bY ) aE ( X ) bE (Y ) a1 b2 D( aX bY ) a D( X ) b D(Y ) a b ？ a1 b2 , a 2 12 b ) aX bY ~ N( 2 ？ aX bY c ~ N( a1 b2 c , a b 2 2 )
1 fZ ( z ) e 2π 2
z2 24
, z
1 2z e 2 2
z2 8 z2 8
E | Z | | z | f Z ( z )dz 0
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dz
1 ( 4 e 2
)|
0
4 2
x
1 e 2
t2 2
dt
定理表明：若Yn～B(n, p), 则当n很大, Yn近似服从 N(np,np(1-p)).
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简证： 设Yn~B(n,p), 则Yn表示n重伯努利试验中的 “成功” 次数 . 1 如第i次试验成功 若设 X i i=1,2，…，n 0 如第i次试验失败 则 Yn= X1+X2+…+Xn Xi pk
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已知随机变量X , Y 分别服从N (1, 32 ), N (0, 4 2 ),
X Y (2) Cov( X , Z ) Cov( X , ) 3 2
二维标准正态分布
二维标准正态分布二维标准正态分布是统计学中的一个重要概念，它描述了两个随机变量同时服从标准正态分布的情况。
在实际应用中，我们经常会遇到多个随机变量之间的关联关系，而二维标准正态分布正是用来描述这种关联关系的理论模型之一。
首先，我们来看一下二维标准正态分布的概率密度函数。
设X 和Y是两个服从标准正态分布的随机变量，它们的概率密度函数可以表示为：f(x,y) = 1/(2π) e^(-1/2(x^2 + y^2))。
其中，e是自然对数的底，π是圆周率。
这个概率密度函数的图像是一个二维平面上的钟形曲面，中心位于坐标原点(0,0)，随着离中心的距离增加，曲面逐渐下降。
接下来，我们来探讨一下二维标准正态分布的性质。
首先是边缘分布的性质，即X和Y各自的边缘分布都是标准正态分布。
这意味着X和Y分别服从标准正态分布，与另一个变量无关。
其次是相关系数的性质，二维标准正态分布的相关系数为0。
这表示X和Y之间不存在线性相关关系，它们是相互独立的随机变量。
最后是条件分布的性质，给定Y的取值，X的条件分布仍然是标准正态分布；给定X的取值，Y的条件分布也是标准正态分布。
这意味着在已知一个随机变量的取值的情况下，另一个随机变量仍然是服从标准正态分布的。
在实际应用中，二维标准正态分布经常被用来描述两个随机变量之间的关联关系。
例如，在金融领域中，我们可以用二维标准正态分布来描述股票收益率之间的相关性；在气象学中，我们可以用它来描述温度和湿度之间的关联关系。
总之，二维标准正态分布是一个重要的概率分布模型，它可以帮助我们更好地理解和描述多个随机变量之间的关联关系。
通过对二维标准正态分布的深入研究，我们可以更好地应用它在实际问题中，为我们的决策提供更准确的信息和依据。
二维正态分布表达式
二维正态分布表达式
二维正态分布的期望公式：数F(X)=1/(√2π)T，方差公式：f=T*E^h。
二维正态分布，又名二维高斯分布（英语：Two-dimensionalGaussiandistribution，采用德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的名字冠名），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布。
在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。
期望值是该变量输出值的平均数。
期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
二维正态分布的应用场景
金融领域
在金融领域中，二维正态分布常 用于描述股票价格或其他金融变 量的联合分布，帮助投资者进行 风险评估和投资组合优化。
自然学科
在物理、化学、生物等自然学科 中，二维正态分布可用于描述实 验数据的误差分布、气象数据的 联合概率分布等。
概率论与数理统计正态分 布4-3二维正态分布课件源自目录CONTENTS
• 二维正态分布概述 • 4-3二维正态分布特性 • 4-3二维正态分布的性质 • 4-3二维正态分布的统计推断 • 4-3二维正态分布的实际应用
01 二维正态分布概述
二维正态分布的定义
二维正态分布是概率论与数理统计中 一种重要的概率分布，描述了两个随 机变量之间相互独立且具有相同的正 态分布关系。
03
4-3二维正态分布描述了两个随机变量之间线性关系 的情况。
4-3二维正态分布的数学表达式
1
4-3二维正态分布的数学表达式为f(x1, x2) = (1 / (2πσ1σ2)) * exp(-((x1-μ1)^2/2σ1^2 + (x2μ2)^2/2σ2^2))。
2
该表达式描述了两个随机变量x1和x2的概率密度 函数，其中μ1, μ2, σ1^2 和σ2^2是常数。
方差齐性检验
通过检验各组数据的方差是否相等，判断数据是 否满足方差分析的前提条件。
方差分析表
列出各组数据的均值、方差、自由度和贡献度等 信息，用于比较不同组之间的差异。
05 4-3二维正态分布的实际 应用
在金融领域的应用
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，例如Black-Scholes模型， 以评估衍生品的价值。
二维正态分布
试求常数 C 和各参数的值．
解
(
x,
y)
Cexp
1 2
x2 1 4
(
y 2)2 14
;
1
0,
2 1
1
4，2
2,
2 2
1
4，
0
,
1
2
C
.
2π 1 2 1 2
4
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f (x, y)
1
e
1
2(1
2
)
(
x 1
2 1
)2
2
(
x 1 )( y 2 2 1 2
)
(
y2
2 2
)2
的二维正态分布.
记作
(X
,
Y
)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
.
1
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可以证明,
若 (X,Y) ~
N
(
1
,
2
,
2 1
,
2 2
,
),
则
X
~
N
(
1
,
2 1
)
,
Y
~
N
(
Hale Waihona Puke 2,2 2
)
.
这就是说, 二维正态分布的两个边缘分布仍然
为正态分布, 而且其边缘分布不依赖于参数 . 因 此可以断定参数 描述了X与Y之间的某种关系!
所以在正态分布的场合,独立性与不相关性是等价的.
6
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例2 已 知X与Y分 别服 从 正态 分 布N (1,32 )和N (0,42 ),
二维标准正态分布
二维标准正态分布二维标准正态分布是统计学中一个重要的概念，它描述了两个随机变量同时服从标准正态分布的情况。
在实际应用中，我们经常会遇到多个变量之间的相关性，而二维标准正态分布可以帮助我们更好地理解和分析这种相关性。
本文将对二维标准正态分布的概念、性质和应用进行详细介绍。
首先，二维标准正态分布可以用一个二维平面上的曲线来表示，这个曲线呈椭圆形状，中心位于坐标轴的交点处。
椭圆的长短轴和方向与两个变量的相关性有关，相关性越强，椭圆越扁，相关性越弱，椭圆越圆。
通过观察这个椭圆，我们可以直观地了解两个变量之间的相关性强弱。
其次，二维标准正态分布的密度函数可以用数学公式来表示，其数学表达式为：f(x, y) = 1/(2π) e^(-1/2 (x^2 + y^2))。
其中，x和y分别代表两个变量的取值，e为自然对数的底。
这个数学公式描述了二维标准正态分布在不同取值下的概率密度，通过对这个函数的分析，我们可以得到关于两个变量的各种统计特征，比如均值、方差、协方差等。
另外，二维标准正态分布还有一些重要的性质，比如两个变量的线性组合仍然服从正态分布，这对于一些统计推断和模型拟合有着重要的应用。
此外，二维标准正态分布还与多元正态分布有着密切的联系，多元正态分布是指多个变量同时服从正态分布的情况，而二维标准正态分布可以看作是多元正态分布的特例。
在实际应用中，二维标准正态分布可以帮助我们分析和建模多个变量之间的相关性。
比如在金融领域，我们可以利用二维标准正态分布来描述股票收益率之间的相关性，从而进行风险管理和资产配置。
在生物统计学中，我们可以利用二维标准正态分布来研究两个生物特征之间的相关性，从而推断它们之间的遗传关系和生理机制。
总之，二维标准正态分布是统计学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析多个变量之间的相关性。
通过对二维标准正态分布的认识，我们可以在实际问题中更加准确地进行统计推断和建模分析，为决策提供更可靠的依据。
二维正态分布.ppt
数学与信息技术系
定义 设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f (x, y)
1
2 x y 1 r2
2
1 (1
r
2
)
(
x
x
2 x
)2
2
r
(
xx
)( y x y
y
)
(
y
y
2 y
)2
e 其中 x , y , x 0, y 0, r r 1 是分布参数
这种分布叫做二维正态分布。
x
)
t，得到
I(x) y1 r2来自t1r2
r(x x) x
t2 e 2 dt
y 1 r2
te
t2 2
dt
r
y
(x
x
)
1 r2
t 2
e 2 dt
x
r y (x x )
1 r2
t 2
e 2 dt
x
r y (x x ) 2 1 r2 x
t2
e 2 dt 2 ,
当z≤0时，显然， FZ(z)=0；当z>0时，
1
x2 y2
FZ (z)
2
e
x2 y2 z
2 dxdy
1
2
d
z
2
e2
d
1
z
e2
2 0
0
所以 Z的分布函数为
FZ
(z)
1
e
z 2
,
z
0
0, z 0
由此Z的概率密度为
fZ
(z)
1 2
e
z 2
,
z
0
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σ1 > 0,σ2 > 0, | ρ | < 1
则称( X,Y)服从参数为 则称 服从参数为 二维正态分布. 的二维正态分布
1, 2 ,σ1,σ2 , ρ
2 2 记作 ( X, Y ) ~ N(1, 2 ,σ1 ,σ2 , ρ) .
2
2 2 ( X, Y ) ~ N(1 , 2 ,σ1 ,σ2 , ρ), 则 可以证明, 可以证明 若
f ( x, y) =
1 2πσ1σ2
e
1 ( x1 )2 ( y2 )2 ] [ + 2 2 2 σ1 σ2
1 e = 2πσ1
( x1 )2
2 2σ1
1 e × 2πσ2
( y2 )2
2 2σ 2
,
6
1 f ( x1 e × 2πσ2
f ( x, y)
= 1 2πσ1σ2 1 ρ
e 2
( x1 )2 ( x1 )( y2 ) ( y2 )2 2ρ + 2 2 2 2σ1σ 2 2(1ρ ) σ1 σ2 1
4
例1
设随机变量 X 和Y 的联合概率密度为
( x , y ) = Cexp{2 x 2 2 y 2 + 8 y 8}
第三节
1
定义 若二维随机向量 ( X, Y ) 具有概率密度
f ( x, y)
= 1 2πσ1σ2 1 ρ
e 2
( x1 )2 ( x1 )( y2 ) ( y2 )2 2ρ + 2 2 2 2σ1σ 2 σ2 2(1ρ ) σ1 1
其中 1, 2 ,σ1 ,σ2 , ρ 均为常数, 且 均为常数
7
已知 X 与 Y 分别服从正态分布 N (1,3 2 )和 N ( 0,4 2 ), 例2
若 ρ XY = 0 , 求 ( X , Y )的联合密度 . 相互独立， 由 ρ XY = 0，知 X 与 Y 相互独立，
解
所以 ( X , Y )的联合密度为
f ( x , y ) = f X ( x ) fY ( y )
2 X ~ N ( 1 , σ ) , Y ~ N ( 2 , σ 2 ) .
2 1
这就是说, 这就是说 二维正态分布的两个边缘分布仍然 为正态分布, 为正态分布 而且其边缘分布不依赖于参数 ρ . 因 描述了X与 之间的某种关系 之间的某种关系! 此可以断定参数 ρ 描述了 与Y之间的某种关系 再次说明联合分布和边缘分布的关系: 再次说明联合分布和边缘分布的关系 由联合分布可以确定边缘分布； 由联合分布可以确定边缘分布； 但由边缘分布一般不能确定联合分布. 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
f ( x, y)
= 1 2πσ1σ2 1 ρ
2
e
( x1 )2 ( x1 )( y2 ) ( y2 )2 2ρ + 2 2 2 2σ1σ 2 σ2 2(1ρ ) σ1 1
2 2 可以证明， 可以证明，若( X, Y ) ~ N(1, 2 ,σ1 ,σ2 , ρ) ,
则其中的参数 ρ 即为 、Y 的相关系数，证明略. 即为X、 的相关系数，证明略. 若ρ = 0，则有 ，
得 cov( X , Y ) = 1 ,
1 1 所以( , 所以(X,Y )的协方差矩阵为 V = 1 1 .
9
练习： 练习：
P114 习题三
10
( y2 )2
2 2σ 2
2 2 前面说明, 前面说明 若 ( X, Y ) ~ N(1 , 2 ,σ1 ,σ2 , ρ), 则
2 X ~ N ( 1 , σ 12 ) , Y ~ N ( 2 , σ 2 ) .
所以ρ = 0时，有 f ( x, y) = f X ( x) fY ( y) , 时 不相关性， 必独立. 即若 X 与 Y 不相关性，则 X 与 Y 必独立. 所以在正态分布的场合,独立性与不相关性是等价的 所以在正态分布的场合,独立性与不相关性是等价的. 的场合 等价
和各参数的值． 试求常数 C 和各参数的值．
1 x 2 ( y 2) 2 + 解 ( x , y ) = Cexp ; 1 4 2 1 4
2 1 = 0, σ 12 = 1 4， 2 = 2, σ 2 = 1 4，ρ = 0 ,
C=
1 2 πσ 1σ 2 1 ρ 2
=
2
π
.
5
1 e = 3 2π ( x 1)2 2× 3 2 1 2× 4 2 e 4 2π y2
1 e = 24π
( x 1)2 y 2 18 32
.
8
例3 设随机变量 X 与 Y 都服从标准正态分布 N (0, 1) ， 并且 D( X Y ) = 0 ， 求二维随机向量 ( X , Y ) 的协方差 矩阵. 矩阵. 由题意知, 解 由题意知, DX = DY = 1 , D( X Y ) = 0 , 而 D( X Y ) = D ( X ) + D (Y ) 2Cov ( X , Y ) ,
3
例1
设随机变量 X 和Y 的联合概率密度为
( x , y ) = Cexp{2 x 2 2 y 2 + 8 y 8}
试求常数C 和各参数的值． 试求常数 和各参数的值．
1 x 2 ( y 2) 2 + 解 ( x , y ) = Cexp ; 1 4 2 1 4
2 1 = 0, σ 12 = 1 4， 2 = 2, σ 2 = 1 4，ρ = 0 ,