二维正态分布
概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
统计决策
基于二维正态分布，可以制定统 计决策规则，例如置信区间和预 测区间的确定。
在金融领域的应用
1 2 3
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，如期权定 价模型，以模拟两个相关资产的价格变动。
风险管理
在金融领域，二维正态分布可用于评估投资组合 的风险，例如计算投资组合的VaR值（风险价 值）。
例如，对于二维正态分布的均值向量，可以通过样本数据的均值向量进行检验， 判断其与理论值是否存在显著差异。
非参数检验
非参数检验是在总体分布形式未知或认为总体分布形式与理论分布形式存在较大差异的情况下，利用 样本数据对总体分布进行检验的方法。在二维正态分布的情境下，非参数检验通常包括核密度估计、 散点图和多维距离等方法。
特性
分布函数具有连续性、非负性和归一性等特性，能够完整描述随机向量的概率 分布。
03
二维正态分布的应用
在统计学中的应用
参数估计
二维正态分布可以用于估计两个 变量的联合概率分布，从而对参 数进行估计，如线性回归中的参 数估计。
假设检验
在统计分析中，二维正态分布可 以用于检验两个变量之间是否存 在某种关系，例如相关性检验或 因果关系检验。
金融数据分析
二维正态分布可以用于分析金融数据，例如股票 价格和交易量的关系。
在物理和工领域的应用
信号处理
在通信和雷达信号处理中，二维正态分布可用于 描述信号的功率谱密度。
地震学
在地震学中，二维正态分布可用于描述地震事件 的时空分布。
图像处理
在图像处理中，二维正态分布可用于描述图像的 像素强度分布。
边缘分布的特性
总结词
边缘分布是指将二维正态分布的其中一个随机变量固定，得到的另一个随机变量 的分布。
概率论与数理统计正态分布4-3 二维正态分布课件
概率论与数理统计教程（第五版）
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§4.3 二维正态分布
2 2 设 ( X , Y ) ~ N ( , , , [定理3] x y x y , r) , 则 X 与 Y 独立的充要条件是 r 0.
证： 必要性：若随机变量 X 与Y 相互 独立， 则r 0 . 充分性：若 r 0 , 则二维正态分布的联合密度可化为：
I ( x) y2
r( x x )
y (1 r ) t e
t 2 2
dt
r y ( x x )
x
]e
t 2 2
dt
x
1 r
2
e
t 2 2
dt
r y ( x x )
所以
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§4.3 二维正态分布
y y r( x x ) ( x x ) 1 , 2 2 2 x 2(1 r ) y x
2
2
y y r( x x ) 1 [ ], 则 设t 2 y x 1 r
f ( x , y ) 2 π x y e
1
2 2 [ ( x x ) 2 x ( y y ) 2 y ] 2
1 2 π x
e ( x x )
2
2 ( 2 x )
1 2 π y
e
2 ( y y )2 ( 2 y )
f X ( x ) fY ( y ) . 所以,随机变量 X 与 Y相互独立.
x x
概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
二维正态分布的应用场景
金融领域
在金融领域中，二维正态分布常 用于描述股票价格或其他金融变 量的联合分布，帮助投资者进行 风险评估和投资组合优化。
自然学科
在物理、化学、生物等自然学科 中，二维正态分布可用于描述实 验数据的误差分布、气象数据的 联合概率分布等。
概率论与数理统计正态分 布4-3二维正态分布课件源自目录CONTENTS
• 二维正态分布概述 • 4-3二维正态分布特性 • 4-3二维正态分布的性质 • 4-3二维正态分布的统计推断 • 4-3二维正态分布的实际应用
01 二维正态分布概述
二维正态分布的定义
二维正态分布是概率论与数理统计中 一种重要的概率分布，描述了两个随 机变量之间相互独立且具有相同的正 态分布关系。
03
4-3二维正态分布描述了两个随机变量之间线性关系 的情况。
4-3二维正态分布的数学表达式
1
4-3二维正态分布的数学表达式为f(x1, x2) = (1 / (2πσ1σ2)) * exp(-((x1-μ1)^2/2σ1^2 + (x2μ2)^2/2σ2^2))。
2
该表达式描述了两个随机变量x1和x2的概率密度 函数，其中μ1, μ2, σ1^2 和σ2^2是常数。
方差齐性检验
通过检验各组数据的方差是否相等，判断数据是 否满足方差分析的前提条件。
方差分析表
列出各组数据的均值、方差、自由度和贡献度等 信息，用于比较不同组之间的差异。
05 4-3二维正态分布的实际 应用
在金融领域的应用
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，例如Black-Scholes模型， 以评估衍生品的价值。
概率论与数理统计 第四节 二维正态分布
可得 X N ( 1 , 12 ) , Y N ( 2 , 2 2 ) .
证
f X ( x)
1
f ( x , y )dy
2 1 2 1 2
x 1 y 2 y 2 2 x 1 2 1 exp ( ) 2 ( )( )( ) dy 2 1 2 2 2(1 ) 1
1 2 1 1 2
令
y 2
2
t
x 1 x 1 2 2 1 exp ( ) 2 ( ) t t dt 2 1 2(1 ) 1
1 2 1 1 2
x 1 x 1 2 2 1 exp ( ) 2 ( ) t t dt 2 1 2(1 ) 1
XZ 0
2 3．设( X , Y ) N ( 1 , 2 , 12 , 2 , )，则X 与Y 的非零
线性组合 aX bY 仍服从正态分布，且
2 aX bY N (a 1 b2 , a 2 12 b 2 2 2ab 1 2 )
随机向量
6
( x 1 )2 x 1 2 1 1 exp ( t ) dt exp 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2(1 ) x 1 t 2 ( x 1 ) 1 2 1 exp exp 1 ( ) dt 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 x 1 t 2 ( x 1 )2 1 u ）du (令 1 exp （ u) exp 2 2 2 2 1 2 1 1
第四章二维正态分布
则有：
( X Y ) (1 2 )
(n1
1)S12
(n2
1)S
2 2
11
~ t(n1 n2 2)
n1 n2 2
n1 n2
第四章 样本及抽样分布
证：X
Y
~
N
(1
2
,
2
n1
2)
n2
所以 ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1) 1/ n1 1/ n2
正态总
体N
(
1
,
2 1
),
N
(
2
,
2
2
)的简
单随
机样本，
且相互独立，则
S12
F
2 1
S22
~
F(n1 1, n2
1)
2 2
第四章 小 结
1 给出了总体、个体、样本和统计量的概念，要 掌握样本均值和样本方差的计算及基本性质。
2 引进了 分2 布、t分布、F分布的定义，会查 表计算。
(x)
(
(
n1 2
n1 n 2 2
)(
)
n2 2
)
(
n1 n2
)
n1 2
n1 1
x 2 (1
n1 n2
n1n2
x) 2
0
x0 其他
则称X服从自由度为n1, n2的F分布,简记为F(n1, n2 )
其中n1为第一自由度， n2为第二自由度
F-分布的上侧分位数 对于给定的(0 1)，称满足条件：
2
0
二维正态分布函数z=x+y的概率密度
二维正态分布函数是统计学中常见的概率密度函数之一。
在二维正态分布函数中，随机变量x和y分别服从均值为μ1和μ2，方差为σ1²和σ2²的正态分布。
那么二维正态分布函数z=x+y的概率密度即为所求。
接下来，我们将详细解析二维正态分布函数z=x+y的概率密度。
一、二维正态分布函数的定义二维正态分布函数是指在二维空间中，两个随机变量同时服从正态分布的概率密度函数。
其概率密度函数的表达式为f(x,y) = (1/2πσ1σ2√(1-ρ²))exp{-1/[2(1-ρ²)] * [(x-μ1)²/σ1² - 2ρ(x-μ1)(y-μ2)/σ1σ2 + (y-μ2)²/σ2²]}其中，σ1和σ2分别代表x和y的标准差，ρ代表x和y的相关系数，μ1和μ2分别代表x和y的均值。
二、二维正态分布函数z=x+y的概率密度二维正态分布函数z=x+y的概率密度即为所求。
我们需要将z表示为x和y的函数。
根据z=x+y，我们可以得到z = x + yz的均值和方差分别为μz = μ1 + μ2σz² = σ1² + σ2²我们带入以上的均值和方差到概率密度函数中，即可得到二维正态分布函数z=x+y的概率密度的表达式。
f(z) = (1/2πσz√(1-ρ²))exp{-1/[2(1-ρ²)] * [(z-μz)²/σz²]}三、二维正态分布函数z=x+y的性质1. 关于均值μz：二维正态分布函数z=x+y的均值为μz=μ1+μ2。
这意味着z的均值等于x和y的均值之和。
2. 关于方差σz²：二维正态分布函数z=x+y的方差为σz²=σ1²+σ2²。
这意味着z的方差等于x和y的方差之和。
3. 关于相关系数ρz：二维正态分布函数z=x+y的相关系数为ρz=1。
二维正态分布.ppt
数学与信息技术系
定义 设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f (x, y)
1
2 x y 1 r2
2
1 (1
r
2
)
(
x
x
2 x
)2
2
r
(
xx
)( y x y
y
)
(
y
y
2 y
)2
e 其中 x , y , x 0, y 0, r r 1 是分布参数
这种分布叫做二维正态分布。
x
)
t，得到
I(x) y1 r2来自t1r2
r(x x) x
t2 e 2 dt
y 1 r2
te
t2 2
dt
r
y
(x
x
)
1 r2
t 2
e 2 dt
x
r y (x x )
1 r2
t 2
e 2 dt
x
r y (x x ) 2 1 r2 x
t2
e 2 dt 2 ,
当z≤0时，显然， FZ(z)=0；当z>0时，
1
x2 y2
FZ (z)
2
e
x2 y2 z
2 dxdy
1
2
d
z
2
e2
d
1
z
e2
2 0
0
所以 Z的分布函数为
FZ
(z)
1
e
z 2
,
z
0
0, z 0
由此Z的概率密度为
fZ
(z)
1 2
e
z 2
,
z
0
二维正态分布定义
二维正态分布定义
二维正态分布是指具有两个连续随机变量的联合分布服从正态分布。
它可以由一对连续随机变量X和Y组成，其概率密度
函数可以表示为：
f(x,y) = 1 / (2πσxσy√(1-ρ^2)) * exp(-1 / (2(1-ρ^2)) * ((x-
μx)^2/σx^2 + (y-μy)^2/σy^2 - 2ρ(x-μx)(y-μy)/(σxσy)))
其中，μx和μy分别是X和Y的均值，σx和σy分别是X和Y 的标准差，ρ是X和Y之间的相关系数。
二维正态分布具有以下性质：
1. X和Y的边缘分布分别为正态分布，即X和Y分别服从正
态分布。
2. X和Y之间的相关系数ρ决定了它们的线性关系的强度和
方向。
当ρ为0时，X和Y相互独立。
当ρ为正数时，X和Y
正相关；当ρ为负数时，X和Y负相关。
3. 二维正态分布具有椭圆形状，其椭圆的形状和大小由σx，
σy和ρ决定。
若σx=σy且ρ=0，椭圆的主轴与坐标轴平行，
表示X和Y相互独立，具有相同的方差；若σx>σy或σx<σy，椭圆的主轴与坐标轴不平行，表示X和Y具有不同的方差；
当ρ≠0时，椭圆发生旋转，表示X和Y之间存在相关关系。
4. 二维正态分布的期望向量为(μx, μy)，协方差矩阵为：
Cov(X,Y) = [[σx^2, ρσxσy],
[ρσxσy, σy^2]]
协方差矩阵表示X和Y之间的相关性，对角线上的元素是
方差，非对角线上的元素是协方差。
二维正态分布的公式
二维正态分布的公式二维正态分布是概率论和数理统计中的一个重要概念，它的公式看起来有点复杂，但其实理解起来也没那么可怕。
咱先来说说二维正态分布的公式长啥样哈。
它一般写成这样：\[f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1-\rho^{2}}}\exp\left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^{2})}\left[ \frac{(x-\mu_{1})^{2}}{\sigma_{1}^{2}} - 2\rho\frac{(x-\mu_{1})(y-\mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}} + \frac{(y-\mu_{2})^{2}}{\sigma_{2}^{2}} \right] \right\}\]哎呀，是不是一瞅就觉得头疼？别慌，咱们一点点来拆解。
就说我之前教过的一个学生小明吧，他刚开始接触这个公式的时候，那叫一个头大，感觉这公式就像个外星密码。
有一次上课，我在黑板上写下这个公式，然后开始讲解，小明的眼神里充满了迷茫。
我问大家：“能看懂这个公式的结构吗？”其他同学都沉默不语，小明更是直接摇摇头。
我就从最基础的开始讲起，先解释每个符号代表的意思。
\(\mu_{1}\)和\(\mu_{2}\)分别是两个变量的均值，\(\sigma_{1}\)和\(\sigma_{2}\)是对应的标准差，\(\rho\)呢则是相关系数。
然后我给他们举了个例子，假设我们研究的是学生的数学成绩和语文成绩。
数学成绩的均值是 80 分（\(\mu_{1} = 80\)），标准差是 10 分（\(\sigma_{1} = 10\)）；语文成绩的均值是 75 分（\(\mu_{2} = 75\)），标准差是 8 分（\(\sigma_{2} = 8\)），而这两科成绩的相关系数是 0.6（\(\rho = 0.6\)）。
把这些具体的数值代入到公式里，再一步步计算概率密度。
二维正态分布
第14讲 二维正态分布 中心极限定理教学目的：了解二维正态分布，理解独立同分布的中心极限定理和棣莫佛—拉普拉斯定理。
教学重点：独立同分布的中心极限定理。
教学难点：应用独立同分布的中心极限定理解决实际问题。
教学学时：2学时 教学过程:第四章 正态分布§4.4 二维正态分布定义 若二维连续随机变量),(Y X 的联合概率密度为])())((2)([)1(21222222121),(y y yx y x x x y y x r x r y x er y x f σμσσμμσμσπσ-+-------=（ +∞<<∞-+∞<<∞-y x , ）则称),(Y X 服从二维正态分布，记作 ),,,,(~),(222r N Y X x y x σσμμ。
其中y x μμ,，1|| ,0 ,0<>>r y x σσ都是分布的参数。
),(y x f 满足概率密度的两条基本性质：（1）0),(≥y x f 。
（2）⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f 。
下面我们来讨论二维正态分布的边缘分布问题。
随机变量X 的边缘概率密度为⎰⎰∞+∞--∞+∞--==dy erdy y x f x f y x u y x X ),(2121),()(σπσ其中])())((2)([)1(21),(22222yy y x y x x x y y x r x r y x u σμσσμμσμ-+-----=2222])([)1(212)(xx yyx x x r y r x σμσμσμ----+-=设t x r y rxx yy=----])([1212σμσμ，则有⎰∞+∞----=dt eex f tx xX xx 22)(22221)(σμπσ222)(21x x x xeσμσπ--=由X 与Y 的对称性可求得Y 的边缘密度为)(y f Y 222)(21y y y yeσμσπ--=由此可见，二维正态分布的两个边缘分布都是正态分布，并且可以知道)(,)(),(),(Y D X D Y E X E y x y x ====σσμμ下面我们可以看到参数r 为随机变量Y X ,的相关系数。
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二维正态分布
一、设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，已知0)()(==Y E X E ，16)(=X D ，
25)(=Y D ，并且12),cov(=Y X ，求),(Y X 的联合概率密度．
解：已知0==y x μμ，416==x σ，525==
y σ，5
3),cov(),(===y x Y X Y X r σσ．从而 2516)53(1122=-=-r ，5
412=-r ． 进一步按公式])())((2)([)1(21222222121),(y y y x y x x x y y x r x r y x e r y x f σμσσμμσμσπσ-+-------=
，可得)
,(Y X 的联合概率密度为 )2550316((322522321),(y xy x e y x f +--=π
．
二、设随机变量X 与Y 独立，并且)1,0(~N X ，)2,1(~2N Y ．求随机变量3
2+-=Y X Z 的概率密度．
解：由题设，有
0)(=X E ，1)(=X D ，1)(=Y E ，4)(=Y D ．
又根据关于数学期望的定理和方差的定理以及独立正态随机变量线性组合的分布，我们有
2)3()()(2)32()(=+-=+-=E Y E X E Y X E Z E ．
8)3()()(4)32()(=++=+-=D Y D X D Y X D Z D ．
且)8,2())(,)((~N Z D Z E N Z =，故随机变量32+-=Y X Z 的概率密度为
16)2(82)2(2
2
41
821
)(--⨯--==z z Z e e z f ππ )(+∞<<-∞z ．
三、台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X (mm)表示轴的直径，随机变量Y (mm)表示
轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2
N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴
衬的内径与轴的直径之差在3~1(mm)之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴
衬可以配套使用的概率．
解：由题设，知随机变量X 与Y 是独立的，且)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ．设X Y Z -=根据独立正态随机变量线性组合的分布，我们有
)5.0,2()3.0)1(4.0,50)1(52(~2222N N Z =⨯-+⨯-+．
根据题目假设，我们知道当31≤-=≤X Y Z 时，轴与轴衬可以配套使用．于是所求概率
为
1)2(2)2()2()25
.022()5.0235.025.021()31(-Φ=-Φ-Φ=≤-≤-=-≤-≤-=≤≤Z P Z P Z P 9544.019772.02=-⨯=．
四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求：
（1） 任一时刻有70至86台车床在工作的概率；
（2） 任一时刻有不少于80台车床在工作的概率．
解：设ξ表示“任一时刻正在工作的车床数”，则)8.0,100(~B ξ．
808.0100=⨯=ξE ． 16)8.01(8.0100=-⨯⨯=ξD ．
（1）)5.2()5.1()16
8070()168086()8670(1,01,01,01,0-Φ-Φ=-Φ--Φ≈<<ξP 927.019938.09332.0)]5.2(1[)5.1(1,01,0=-+=Φ--Φ=
（2）)16
800()168080([1)800(1)80(1,01,0-Φ--Φ-≈<<-=≥ξξP P )20()0(2)20()0(11,01,01,01,0Φ-Φ-=-Φ+Φ-=5.015.02=--=．
五、在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费．在一年内一个人死亡的
概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元．问：
（1） 保险公司亏本的可能性是多大？
（2） 保险公司一年的利润不少于50000元的概率是多少？
解：设X 表示“一年内死亡的人数”，则)006.0,10000(~B X ．
60006.010000=⨯=EX ． 84.59)006.01(006.010000=-⨯⨯=DX ．
（1）)84
.596012084.596084.59600(1)1200(1)12100001000(-≤-≤--≈≤≤-=⨯>ξP X P X P 0)7.7(22)]7.7()7.7([11,01,01,0=-=---≈ΦΦΦ．
即保险公司不可能亏本．
（2）)84.591084
.596084.5960
()700()5000010001210000(≤-≤-=≤≤=≥-⨯X P X P X P
9032.01)756.7()293.1()756.7()293
.1(≈-Φ+Φ=-Φ-Φ≈． 即保险公司一年利润不少于50000元的概率为9032.0．。