二维正态分布
二维正态分布及二维均匀分布
第四章
二维正态分布及二维均匀分布
一、二维正态分布 二、二维均匀分布
一、二维正态分布
设二维随机变量 ( X ,Y ) 的联合概率密度函数为
f(x ,y ) 212 11 2e x p 2 (1 12 ) (x 1 2 1 )2
2(x1)1 (y22)(y 2 22)2 其中 1,2,1,1,为常数，
.
1 9 D (X ) 1 4 D (Y ) 2 1 3 1 2 C o v (X ,Y ) 3
Cov(X,Z)CovX,13X12Y
1C ov(X,X)1C ov(X,Y)
3
2
1D(X)1Cov(X,Y) 0
3
2
所以
D ( Z ) D XZ1 3 X 0 .D 1 2Y 2 C o v 1 3X ,1 2Y 0,| x Nhomakorabear2
fY(y)r2
r2 y2, | y|r
0,
| y|r
.
由于 f(x ,y ) fX (x )fY (y ),所以 X 与 Y 不相互独立。 又
E ( X
)
2r2
r
x
r
r2x2dx
0
E (Y
)
2r2
r
y
r
r2y2dy
0
E(XY )
1
r2
x2y2r2
xydxdy
0
于是 Cov(X,Y) E (X Y ) E (X ) E ( Y ) 0
f (x, y) 1A, (x, y)D 0, (x, y)D
则称 ( X ,Y ) 在区域 D 上服从二维均匀分布。
例如，矩形区域上的均匀分布，其概率密度函数为
f(x,y) (ba)1(dc), axb,cyd
二维正态分布函数z=x+y的概率密度
二维正态分布函数是统计学中常见的概率密度函数之一。
在二维正态分布函数中，随机变量x和y分别服从均值为μ1和μ2，方差为σ1²和σ2²的正态分布。
那么二维正态分布函数z=x+y的概率密度即为所求。
接下来，我们将详细解析二维正态分布函数z=x+y的概率密度。
一、二维正态分布函数的定义二维正态分布函数是指在二维空间中，两个随机变量同时服从正态分布的概率密度函数。
其概率密度函数的表达式为f(x,y) = (1/2πσ1σ2√(1-ρ²))exp{-1/[2(1-ρ²)] * [(x-μ1)²/σ1² - 2ρ(x-μ1)(y-μ2)/σ1σ2 + (y-μ2)²/σ2²]}其中，σ1和σ2分别代表x和y的标准差，ρ代表x和y的相关系数，μ1和μ2分别代表x和y的均值。
二、二维正态分布函数z=x+y的概率密度二维正态分布函数z=x+y的概率密度即为所求。
我们需要将z表示为x和y的函数。
根据z=x+y，我们可以得到z = x + yz的均值和方差分别为μz = μ1 + μ2σz² = σ1² + σ2²我们带入以上的均值和方差到概率密度函数中，即可得到二维正态分布函数z=x+y的概率密度的表达式。
f(z) = (1/2πσz√(1-ρ²))exp{-1/[2(1-ρ²)] * [(z-μz)²/σz²]}三、二维正态分布函数z=x+y的性质1. 关于均值μz：二维正态分布函数z=x+y的均值为μz=μ1+μ2。
这意味着z的均值等于x和y的均值之和。
2. 关于方差σz²：二维正态分布函数z=x+y的方差为σz²=σ1²+σ2²。
这意味着z的方差等于x和y的方差之和。
3. 关于相关系数ρz：二维正态分布函数z=x+y的相关系数为ρz=1。
二维正态分布.ppt
数学与信息技术系
定义 设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f (x, y)
1
2 x y 1 r2
2
1 (1
r
2
)
(
x
x
2 x
)2
2
r
(
xx
)( y x y
y
)
(
y
y
2 y
)2
e 其中 x , y , x 0, y 0, r r 1 是分布参数
这种分布叫做二维正态分布。
x
)
t，得到
I(x) y1 r2来自t1r2
r(x x) x
t2 e 2 dt
y 1 r2
te
t2 2
dt
r
y
(x
x
)
1 r2
t 2
e 2 dt
x
r y (x x )
1 r2
t 2
e 2 dt
x
r y (x x ) 2 1 r2 x
t2
e 2 dt 2 ,
当z≤0时，显然， FZ(z)=0；当z>0时，
1
x2 y2
FZ (z)
2
e
x2 y2 z
2 dxdy
1
2
d
z
2
e2
d
1
z
e2
2 0
0
所以 Z的分布函数为
FZ
(z)
1
e
z 2
,
z
0
0, z 0
由此Z的概率密度为
fZ
(z)
1 2
e
z 2
,
z
0
二维正态分布
所以( X ,Y )的联合密度为
f ( x, y) f X ( x) fY ( y)
1
( x1)2
e 232
1
e
y2 242
3 2
4 2
1 ( x1)2 y2 e . 18 32
24
6
四、相互独立的一维正态变量的线性组合
若 = 0，则有
f (x, y)
1
e
1[ 2
(
x 1
2 1
)2
(
y
2
2 2
)2
]
2 1 2
1
( x1 )2
e
2
2 12
2 2
,
2 1
2 2
4
f (x, y)
1
e
(
x 1
2
2 1
)2
2 1
1
e
(
y2
2
2 2
)2
2 2
前面说明,
若 (X,Y) ~
N
(1
,
2
,
i 1
i 1
即有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.
7
五、二维正态变量分量的线性组合
若
(
X
,Y
)
服从二维正态分布
N
(1
,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
，
则 X 与Y 的线性组合 aX bY 服从正态分布(其中 a, b
是不全为零的常数).
8
§4.6 二维正态分布
1
一、二维正态分布定义
二维标准正态分布
二维标准正态分布二维标准正态分布是统计学中一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
在二维标准正态分布中，每个变量都服从于标准正态分布，而且两个变量之间的相关系数为1。
本文将介绍二维标准正态分布的概念、性质以及在实际应用中的意义。
首先，我们来看一下二维标准正态分布的概念。
二维标准正态分布是指两个独立的标准正态分布变量X和Y的联合分布。
其概率密度函数可以表示为：f(x,y) = (1/2π) exp((x^2 + y^2) / 2)。
其中，(x,y)为二维平面上的点，f(x,y)为点(x,y)处的概率密度。
从这个概率密度函数可以看出，二维标准正态分布是关于原点对称的，而且密度随着点到原点的距离增大而减小。
其次，我们来看一下二维标准正态分布的性质。
由于X和Y都服从标准正态分布，因此它们的期望值和方差均为0和1。
此外，由于X和Y是独立的，所以它们的协方差为0，即两个变量之间没有线性相关性。
这意味着，在二维标准正态分布中，X和Y的变化是完全独立的，它们之间没有任何关联。
最后，我们来看一下二维标准正态分布在实际应用中的意义。
二维标准正态分布在统计学和概率论中有着广泛的应用，特别是在多元统计分析和假设检验中。
在实际数据分析中，我们经常需要研究两个变量之间的关系，而二维标准正态分布提供了一个理想的参照标准，帮助我们理解变量之间的相关性。
此外，二维标准正态分布还可以用来模拟和生成符合特定要求的随机变量，这在模拟实验和风险管理中有着重要的作用。
总之，二维标准正态分布是统计学中一个重要的概念，它不仅具有严谨的数学性质，而且在实际应用中有着广泛的意义。
通过对二维标准正态分布的深入理解，我们可以更好地理解和分析多变量数据，为实际问题的解决提供有力的支持。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
二维正态分布定义
二维正态分布定义
二维正态分布是指具有两个连续随机变量的联合分布服从正态分布。
它可以由一对连续随机变量X和Y组成，其概率密度
函数可以表示为：
f(x,y) = 1 / (2πσxσy√(1-ρ^2)) * exp(-1 / (2(1-ρ^2)) * ((x-
μx)^2/σx^2 + (y-μy)^2/σy^2 - 2ρ(x-μx)(y-μy)/(σxσy)))
其中，μx和μy分别是X和Y的均值，σx和σy分别是X和Y 的标准差，ρ是X和Y之间的相关系数。
二维正态分布具有以下性质：
1. X和Y的边缘分布分别为正态分布，即X和Y分别服从正
态分布。
2. X和Y之间的相关系数ρ决定了它们的线性关系的强度和
方向。
当ρ为0时，X和Y相互独立。
当ρ为正数时，X和Y
正相关；当ρ为负数时，X和Y负相关。
3. 二维正态分布具有椭圆形状，其椭圆的形状和大小由σx，
σy和ρ决定。
若σx=σy且ρ=0，椭圆的主轴与坐标轴平行，
表示X和Y相互独立，具有相同的方差；若σx>σy或σx<σy，椭圆的主轴与坐标轴不平行，表示X和Y具有不同的方差；
当ρ≠0时，椭圆发生旋转，表示X和Y之间存在相关关系。
4. 二维正态分布的期望向量为(μx, μy)，协方差矩阵为：
Cov(X,Y) = [[σx^2, ρσxσy],
[ρσxσy, σy^2]]
协方差矩阵表示X和Y之间的相关性，对角线上的元素是
方差，非对角线上的元素是协方差。
二维正态分布的公式
二维正态分布的公式二维正态分布是概率论和数理统计中的一个重要概念，它的公式看起来有点复杂，但其实理解起来也没那么可怕。
咱先来说说二维正态分布的公式长啥样哈。
它一般写成这样：\[f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1-\rho^{2}}}\exp\left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^{2})}\left[ \frac{(x-\mu_{1})^{2}}{\sigma_{1}^{2}} - 2\rho\frac{(x-\mu_{1})(y-\mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}} + \frac{(y-\mu_{2})^{2}}{\sigma_{2}^{2}} \right] \right\}\]哎呀，是不是一瞅就觉得头疼？别慌，咱们一点点来拆解。
就说我之前教过的一个学生小明吧，他刚开始接触这个公式的时候，那叫一个头大，感觉这公式就像个外星密码。
有一次上课，我在黑板上写下这个公式，然后开始讲解，小明的眼神里充满了迷茫。
我问大家：“能看懂这个公式的结构吗？”其他同学都沉默不语，小明更是直接摇摇头。
我就从最基础的开始讲起，先解释每个符号代表的意思。
\(\mu_{1}\)和\(\mu_{2}\)分别是两个变量的均值，\(\sigma_{1}\)和\(\sigma_{2}\)是对应的标准差，\(\rho\)呢则是相关系数。
然后我给他们举了个例子，假设我们研究的是学生的数学成绩和语文成绩。
数学成绩的均值是 80 分（\(\mu_{1} = 80\)），标准差是 10 分（\(\sigma_{1} = 10\)）；语文成绩的均值是 75 分（\(\mu_{2} = 75\)），标准差是 8 分（\(\sigma_{2} = 8\)），而这两科成绩的相关系数是 0.6（\(\rho = 0.6\)）。
把这些具体的数值代入到公式里，再一步步计算概率密度。
二维正态分布概率密度推导
二维正态分布概率密度推导二维正态分布是指两个随机变量X和Y的联合分布服从正态分布的概率分布，其概率密度函数为：f(x,y) = 1 / (2πσ1σ2√1-ρ^2) * exp{-1/2(1/(1-ρ^2)[((x-μ1)/σ1)^2 - 2ρ((x-μ1)/σ1)((y-μ2)/σ2) + ((y-μ2)/σ2)^2])}其中，μ1和μ2是X和Y的均值，σ1和σ2是X和Y的标准差，ρ是X和Y的相关系数。
这个公式看起来比较复杂，但是可以通过下面的推导来理解。
1. 首先，我们定义一个二维向量Z，其中第一个元素是X，第二个元素是Y，即：Z = [X Y]。
2. 然后，我们定义两个参数μ和Σ，分别表示Z的均值和协方差矩阵，即：μ = [μ1 μ2]Σ = [σ1^2 ρσ1σ2ρσ1σ2 σ2^2]其中，协方差矩阵中的对角线元素是各自变量的方差，而非对角线元素为协方差。
3. 接下来，我们可以使用多元正态分布的公式来表示Z的概率密度函数，即：f(z) = 1 / ((2π)^n/2*|Σ|^1/2) * exp{-1/2(z-μ)^TΣ^-1(z-μ)}其中，n是Z的维度，|Σ|表示Σ的行列式。
4. 将μ和Σ带入上式中，得到：f(z) = 1 / (2πσ1σ2√1-ρ^2) * exp{-1/2(1/(1-ρ^2)[((x-μ1)/σ1)^2 - 2ρ((x-μ1)/σ1)((y-μ2)/σ2) + ((y-μ2)/σ2)^2])}5. 从上述公式中可以看出，二维正态分布的概率密度函数是对X和Y的二次型函数进行指数化得到的。
由于二次型函数的几何意义是一个椭圆形，因此二维正态分布的等高线图是一个椭圆。
总之，二维正态分布是二元随机变量的联合分布函数，它的概率密度函数可以通过定义一个多元向量和相应的参数来推导得到。
通过计算协方差矩阵和相关系数，我们可以推导出该多元正态分布的概率密度函数的数学公式，从而为概率分布问题的解决奠定基础。
大学概率论二维正态分布
2
1
π x
y
e dx (ax2 2bxc)
于是
e dx (ax2 2bxc)
π
(
e
acb2 a
)
,
a
f Z (z)
1
e . [
z ( x
2(
2 x
y
2 y
)]2 )
2π
2 x
2 y
由此可见，Z 服从正态分布
N (x
y
,
2 x
2 y
).
定理2表明：
独立正态随机变量的和仍是正态随机变量.
解： 已知 x y 0 , x 16 4 , y
cov(X ,Y ) 12 , 于是 X与Y 的相关系数为 r R( X ,Y ) 12 3, 16 25 5
25 5 ,
概率论与数理统计教程（第四版）
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第四章
正态分布
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
z
0.015
0.010
0.005 0.000
-10
f (x,y) 2
-5
0
x
5
1 xy 1
exp
2
1 21 2
10
5
0 y
-5
10 -10
x
2 x
2
x
xy
y
2
x
x
y
y
2 y
2 y
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§4.3 二维正态分布
[定理1] 设二维随机变量 ( X ,Y )服从二维正态分布
二维正态分布各个参数的含义
二维正态分布各个参数的含义
二维正态分布是一种常见的概率分布，通常用于描述二维随机变量的概率分布情况。
它可以通过两个参数来完整地描述，分别是均值向量和协方差矩阵。
均值向量是一个包含两个元素的向量，分别表示二维随机变量在两个维度上的平均值。
我们可以把该向量看作是一个位置矢量，它决定了二维正态分布的中心位置。
均值向量的
每个元素都对应着一个具体的维度，在二维空间中可以表示为(x, y)。
协方差矩阵是一个2x2的方阵，用于描述二维随机变量在两个维度上的相关性和离散
程度。
它的对角线元素表示每个维度上的方差，而非对角线元素表示两个维度之间的协方差。
方差反映了随机变量在某个维度上的离散程度，而协方差则反映了两个维度之间的相
关性。
协方差矩阵反映了二维随机变量整体的分布特征。
通过均值向量和协方差矩阵，可以计算出二维正态分布的概率密度函数（PDF），从而对二维随机变量进行概率分布和统计分析。
PDF可以用来计算特定取值点的概率，或者计
算给定取值范围内的概率值。
需要注意的是，均值向量和协方差矩阵通过对观测数据进行统计分析得到，因此它们
可以用来对现实世界中的二维数据进行建模和分析。