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概率论与数理统计正态分布4-3 二维正态分布课件
概率论与数理统计教程（第五版）
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§4.3 二维正态分布
2 2 设 ( X , Y ) ~ N ( , , , [定理3] x y x y , r) , 则 X 与 Y 独立的充要条件是 r 0.
证： 必要性：若随机变量 X 与Y 相互 独立， 则r 0 . 充分性：若 r 0 , 则二维正态分布的联合密度可化为：
I ( x) y2
r( x x )
y (1 r ) t e
t 2 2
dt
r y ( x x )
x
]e
t 2 2
dt
x
1 r
2
e
t 2 2
dt
r y ( x x )
所以
概率论与数理统计教程（第五版）
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§4.3 二维正态分布
y y r( x x ) ( x x ) 1 , 2 2 2 x 2(1 r ) y x
2
2
y y r( x x ) 1 [ ], 则 设t 2 y x 1 r
f ( x , y ) 2 π x y e
1
2 2 [ ( x x ) 2 x ( y y ) 2 y ] 2
1 2 π x
e ( x x )
2
2 ( 2 x )
1 2 π y
e
2 ( y y )2 ( 2 y )
f X ( x ) fY ( y ) . 所以,随机变量 X 与 Y相互独立.
x x
一轮复习北师大版二项分布与正态分布课件ppt(共27张PPT)
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
(2)正态曲线的性质 ①曲线在x轴的上方，与x轴不相交． ②曲线关于直线x＝μ 对称 . ③曲线在x＝μ时位于 最高点 . ④当x<μ时，曲线 上升 ；当x>μ时，曲线 下降 . 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线
向它无限靠近．
⑤当μ一定时，曲线形状由σ确定．σ越大，曲线越 “矮胖”，表示总体的分布越 分散 ；σ越小，曲线 越“瘦高”，表示总体的分布越 集中 .
①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为
“成功”和“失败”；
②每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率为1－p；
③各次试验是相互独立的．
用X表示这n次试验中成功的次数，则P(X＝k)
＝
.
若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为 n，p的二项分布，简记为 X～B(n，p) .
复习目标
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
1．二项分布是重要分布之一，判断一个随机变量是
否服从二项分布，要看两点：
(1)是否为n次独立重复试验；
(2)随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发
生的次数．
注意：①在实际应用中，往往出现数量“较
大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独
立重复试验，进而可以判断是否服从二项分布．
第76讲 二项分布与正态分布
第第7766讲讲相二 二互项项分分独布布与与立正正态态分分的布布 ，各学生的选择相互之间没有影响．
第76讲 二项分布与正态分布
第76讲 第76讲
二 二项项分分(布布1与与)正正求态态分分其布布 中甲、乙两人选做同一题的概率；
二维正态分布及二维均匀分布
第五节
第四章
二维正态分布及二维均匀分布
一、二维正态分布 二、二维均匀分布
一、二维正态分布
设二维随机变量 ( X ,Y ) 的联合概率密度函数为
f(x ,y ) 212 11 2e x p 2 (1 12 ) (x 1 2 1 )2
2(x1)1 (y22)(y 2 22)2 其中 1,2,1,1,为常数，
.
1 9 D (X ) 1 4 D (Y ) 2 1 3 1 2 C o v (X ,Y ) 3
Cov(X,Z)CovX,13X12Y
1C ov(X,X)1C ov(X,Y)
3
2
1D(X)1Cov(X,Y) 0
3
2
所以
D ( Z ) D XZ1 3 X 0 .D 1 2Y 2 C o v 1 3X ,1 2Y 0,| x Nhomakorabear2
fY(y)r2
r2 y2, | y|r
0,
| y|r
.
由于 f(x ,y ) fX (x )fY (y ),所以 X 与 Y 不相互独立。 又
E ( X
)
2r2
r
x
r
r2x2dx
0
E (Y
)
2r2
r
y
r
r2y2dy
0
E(XY )
1
r2
x2y2r2
xydxdy
0
于是 Cov(X,Y) E (X Y ) E (X ) E ( Y ) 0
f (x, y) 1A, (x, y)D 0, (x, y)D
则称 ( X ,Y ) 在区域 D 上服从二维均匀分布。
例如，矩形区域上的均匀分布，其概率密度函数为
f(x,y) (ba)1(dc), axb,cyd
第四章
二维正态分布及二维均匀分布
一、二维正态分布 二、二维均匀分布
一、二维正态分布
设二维随机变量 ( X ,Y ) 的联合概率密度函数为
f(x ,y ) 212 11 2e x p 2 (1 12 ) (x 1 2 1 )2
2(x1)1 (y22)(y 2 22)2 其中 1,2,1,1,为常数，
.
1 9 D (X ) 1 4 D (Y ) 2 1 3 1 2 C o v (X ,Y ) 3
Cov(X,Z)CovX,13X12Y
1C ov(X,X)1C ov(X,Y)
3
2
1D(X)1Cov(X,Y) 0
3
2
所以
D ( Z ) D XZ1 3 X 0 .D 1 2Y 2 C o v 1 3X ,1 2Y 0,| x Nhomakorabear2
fY(y)r2
r2 y2, | y|r
0,
| y|r
.
由于 f(x ,y ) fX (x )fY (y ),所以 X 与 Y 不相互独立。 又
E ( X
)
2r2
r
x
r
r2x2dx
0
E (Y
)
2r2
r
y
r
r2y2dy
0
E(XY )
1
r2
x2y2r2
xydxdy
0
于是 Cov(X,Y) E (X Y ) E (X ) E ( Y ) 0
f (x, y) 1A, (x, y)D 0, (x, y)D
则称 ( X ,Y ) 在区域 D 上服从二维均匀分布。
例如，矩形区域上的均匀分布，其概率密度函数为
f(x,y) (ba)1(dc), axb,cyd
概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
对于二维正态分布的随机变量(X, Y)，X和Y的边缘分布都是一维正 态分布。
二维正态分布的应用场景
金融领域
在金融领域中，二维正态分布常 用于描述股票价格或其他金融变 量的联合分布，帮助投资者进行 风险评估和投资组合优化。
自然学科
在物理、化学、生物等自然学科 中，二维正态分布可用于描述实 验数据的误差分布、气象数据的 联合概率分布等。
概率论与数理统计正态分 布4-3二维正态分布课件源自目录CONTENTS
• 二维正态分布概述 • 4-3二维正态分布特性 • 4-3二维正态分布的性质 • 4-3二维正态分布的统计推断 • 4-3二维正态分布的实际应用
01 二维正态分布概述
二维正态分布的定义
二维正态分布是概率论与数理统计中 一种重要的概率分布，描述了两个随 机变量之间相互独立且具有相同的正 态分布关系。
03
4-3二维正态分布描述了两个随机变量之间线性关系 的情况。
4-3二维正态分布的数学表达式
1
4-3二维正态分布的数学表达式为f(x1, x2) = (1 / (2πσ1σ2)) * exp(-((x1-μ1)^2/2σ1^2 + (x2μ2)^2/2σ2^2))。
2
该表达式描述了两个随机变量x1和x2的概率密度 函数，其中μ1, μ2, σ1^2 和σ2^2是常数。
方差齐性检验
通过检验各组数据的方差是否相等，判断数据是 否满足方差分析的前提条件。
方差分析表
列出各组数据的均值、方差、自由度和贡献度等 信息，用于比较不同组之间的差异。
05 4-3二维正态分布的实际 应用
在金融领域的应用
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，例如Black-Scholes模型， 以评估衍生品的价值。
二维正态分布的应用场景
金融领域
在金融领域中，二维正态分布常 用于描述股票价格或其他金融变 量的联合分布，帮助投资者进行 风险评估和投资组合优化。
自然学科
在物理、化学、生物等自然学科 中，二维正态分布可用于描述实 验数据的误差分布、气象数据的 联合概率分布等。
概率论与数理统计正态分 布4-3二维正态分布课件源自目录CONTENTS
• 二维正态分布概述 • 4-3二维正态分布特性 • 4-3二维正态分布的性质 • 4-3二维正态分布的统计推断 • 4-3二维正态分布的实际应用
01 二维正态分布概述
二维正态分布的定义
二维正态分布是概率论与数理统计中 一种重要的概率分布，描述了两个随 机变量之间相互独立且具有相同的正 态分布关系。
03
4-3二维正态分布描述了两个随机变量之间线性关系 的情况。
4-3二维正态分布的数学表达式
1
4-3二维正态分布的数学表达式为f(x1, x2) = (1 / (2πσ1σ2)) * exp(-((x1-μ1)^2/2σ1^2 + (x2μ2)^2/2σ2^2))。
2
该表达式描述了两个随机变量x1和x2的概率密度 函数，其中μ1, μ2, σ1^2 和σ2^2是常数。
方差齐性检验
通过检验各组数据的方差是否相等，判断数据是 否满足方差分析的前提条件。
方差分析表
列出各组数据的均值、方差、自由度和贡献度等 信息，用于比较不同组之间的差异。
05 4-3二维正态分布的实际 应用
在金融领域的应用
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，例如Black-Scholes模型， 以评估衍生品的价值。
正态分布完整ppt课件
正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
正态分布分布ppt课件
通过样本数据可以估计总体的均值、方差等 参数，进而对总体进行推断和分析。
假设检验
质量控制
在假设检验中，通常需要比较样本数据与某 个理论分布的差异，中心极限定理提供了理 论依据。
在工业生产等领域中，可以利用中心极限定 理对产品质量进行监控和预测。
03
正态分布在各领域应用举例
自然科学领域应用
1 2
描述自然现象的概率分布 正态分布可以描述许多自然现象的概率分布情况， 如身高、体重、智商等的分布情况。
根据显著性水平和自由度 确定t分布的临界值，进 而确定拒绝域。
将计算得到的t统计量与 拒绝域进行比较，若t统 计量落在拒绝域内，则拒 绝原假设，否则接受原假 设。
配对样本t检验原理及步骤
01
02
03
04
05
原理：配对样本t检验是 提出假设：设立原假设 用于比较同一组受试者 （H0）和备择假设 在两个不同条件下的测 （H1），原假设通常为 量值是否存在显著差异 两个测量值的均值相等。 的统计方法。它基于正 态分布假设和配对设计， 通过计算t统计量来推断 两个测量值的差异是否 显著。
设立原假设（H0）和备择假 设（H1），原假设通常为样 本均值等于总体均值。
计算t统计量，公式为t=(样 本均值-总体均值)/标准误， 其中标准误=样本标准差/根 号n。
根据显著性水平和自由度确 定t分布的临界值，进而确 定拒绝域。
将计算得到的t统计量与拒 绝域进行比较，若t统计量 落在拒绝域内，则拒绝原假 设，否则接受原假设。
06
非参数检验在处理非正态数据 时应用
非参数检验方法简介
非参数检验的概念
非参数检验是一种基于数据秩次的统计推断方法，它不依赖于总 体分布的具体形式，因此适用于处理非正态数据。
第四章二维正态分布
则有：
( X Y ) (1 2 )
(n1
1)S12
(n2
1)S
2 2
11
~ t(n1 n2 2)
n1 n2 2
n1 n2
第四章 样本及抽样分布
证：X
Y
~
N
(1
2
,
2
n1
2)
n2
所以 ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1) 1/ n1 1/ n2
正态总
体N
(
1
,
2 1
),
N
(
2
,
2
2
)的简
单随
机样本，
且相互独立，则
S12
F
2 1
S22
~
F(n1 1, n2
1)
2 2
第四章 小 结
1 给出了总体、个体、样本和统计量的概念，要 掌握样本均值和样本方差的计算及基本性质。
2 引进了 分2 布、t分布、F分布的定义，会查 表计算。
(x)
(
(
n1 2
n1 n 2 2
)(
)
n2 2
)
(
n1 n2
)
n1 2
n1 1
x 2 (1
n1 n2
n1n2
x) 2
0
x0 其他
则称X服从自由度为n1, n2的F分布,简记为F(n1, n2 )
其中n1为第一自由度， n2为第二自由度
F-分布的上侧分位数 对于给定的(0 1)，称满足条件：
2
0
《正态分布》ppt课件
《正态分布》ppt课件
目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许 多自然现象的概率分布情况。在统计学中， 正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引 起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差 进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直 方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差 分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质 量控制图，可以直观地展示产品 质量的波动情况，从而及时发现 并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失 值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值 （AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正 态分布曲线图。
目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许 多自然现象的概率分布情况。在统计学中， 正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引 起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差 进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直 方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差 分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质 量控制图，可以直观地展示产品 质量的波动情况，从而及时发现 并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失 值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值 （AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正 态分布曲线图。
二维标准正态分布
二维标准正态分布二维标准正态分布是统计学中一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
在二维标准正态分布中，每个变量都服从于标准正态分布，而且两个变量之间的相关系数为1。
本文将介绍二维标准正态分布的概念、性质以及在实际应用中的意义。
首先，我们来看一下二维标准正态分布的概念。
二维标准正态分布是指两个独立的标准正态分布变量X和Y的联合分布。
其概率密度函数可以表示为：f(x,y) = (1/2π) exp((x^2 + y^2) / 2)。
其中，(x,y)为二维平面上的点，f(x,y)为点(x,y)处的概率密度。
从这个概率密度函数可以看出，二维标准正态分布是关于原点对称的，而且密度随着点到原点的距离增大而减小。
其次，我们来看一下二维标准正态分布的性质。
由于X和Y都服从标准正态分布，因此它们的期望值和方差均为0和1。
此外，由于X和Y是独立的，所以它们的协方差为0，即两个变量之间没有线性相关性。
这意味着，在二维标准正态分布中，X和Y的变化是完全独立的，它们之间没有任何关联。
最后，我们来看一下二维标准正态分布在实际应用中的意义。
二维标准正态分布在统计学和概率论中有着广泛的应用，特别是在多元统计分析和假设检验中。
在实际数据分析中，我们经常需要研究两个变量之间的关系，而二维标准正态分布提供了一个理想的参照标准，帮助我们理解变量之间的相关性。
此外，二维标准正态分布还可以用来模拟和生成符合特定要求的随机变量，这在模拟实验和风险管理中有着重要的作用。
总之，二维标准正态分布是统计学中一个重要的概念，它不仅具有严谨的数学性质，而且在实际应用中有着广泛的意义。
通过对二维标准正态分布的深入理解，我们可以更好地理解和分析多变量数据，为实际问题的解决提供有力的支持。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
概率论-第十五讲-正态分布
零件旳平均利润最大.
二维正态分布
若r.v.( X ,Y ) 旳联合为
1
f (x, y)
21 2 1 2
e
1 2(1
2
)
(
x1 12
)
2
2
(
x
1 )( y 1 2
2
)
(
y2 22
)2
x , y
则称( X ,Y ) 服从参数为1,12,2,22, 旳 正态分布, 记作( X ,Y ) ~ N(1,12;2,22; )
当 y > 0 时，
[[
FY ( y) P( X 2 y)
y
[
P( y X y) y
y] y
FX ( y) FX ( y)
FY
(
y)
0, FX (
y ) FX (
y ),
y0 y0
故
fY
(
y)
0,
1 2y
fX (
y ) fX (
y) ,
y0
y0
fY
(
y)
0,
1
y
e 2,
平均利润最大？
解 P(T 1) P( X 10) (10 )
P(T 20) P(10 X 12)
(12 ) (10 )
P(T 5) P(X 12) 1 (12 ) E(T ) (1) (10 )
20( (12 ) (10 )) (5)(1 (12 ))
1
2 1
1
2 2
前者取
附近值旳概率更大. x = 1 所相应旳拐点 比x= 2 所相应旳拐点更接近直线 x=
Show[fn1,fn3]
小
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第三节 二维正态分布
数学与信息技术系
定义 设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f (x, y)
1
2 x y 1 r2
2
1 (1
r
2
)
(
x
x
2 x
)2
2
r
(
xx
)( y x y
y
)
(
y
y
2 y
)2
e 其中 x , y , x 0, y 0, r r 1 是分布参数
这种分布叫做二维正态分布。
x
)
t，得到
I(x) y1 r2来自t1r2
r(x x) x
t2 e 2 dt
y 1 r2
te
t2 2
dt
r
y
(x
x
)
1 r2
t 2
e 2 dt
x
r y (x x )
1 r2
t 2
e 2 dt
x
r y (x x ) 2 1 r2 x
t2
e 2 dt 2 ,
当z≤0时，显然， FZ(z)=0；当z>0时，
1
x2 y2
FZ (z)
2
e
x2 y2 z
2 dxdy
1
2
d
z
2
e2
d
1
z
e2
2 0
0
所以 Z的分布函数为
FZ
(z)
1
e
z 2
,
z
0
0, z 0
由此Z的概率密度为
fZ
(z)
1 2
e
z 2
,
z
0
0, z 0
所得的分布称为自由度为2的 2 分布
代入
R X,Y
1
(
x
x
)
e
(
xx
2
2 x
)2
I
(
x)dx
2x y 1 r 2 x
得到
R(X ,Y)
r
2 x
x
x
x
2
(xx
e 2
2 x
)2
dx
置换积分变量
RX ,Y
x
r
x
x t 得到
t
2e
t2 2
dx
r
2x
t
2
e
t2 2
dt
t2
te 2
|
t2
e 2 dt 2
f x , y fX (x ) fY (y )
即:
1
1
2x y 1 2
2 x
1
2 y
对比两边 ∴ r=0
例1 设X和Y相互独立，并且都服从标准之态分 布，求它们的平方和Z=X2+Y2的概率密度
分析：要求 Z=X2+Y2的概率密度，必须事先知 道二维随机变量(X,Y)的联合概率密度，如何 获得？
例2 设X和Y相互独立，并且都服从标准之态分 布，求它们的平方和Z=X2+Y2的数学期望和方差
分析：求期望和方差的方法有哪些？
1. 求出Z密度函数，直接随机变量期望的定义 求期望和方差
2. 利用(X,Y)的联合密度，并应用随机变量函 数的期望定义求期望和方差
3. 利用随机变量和的期望以及方差性质
法1求出Z密度函数，直接随机变量期望的定义 求期望和方差. 在例1中求得了Z的概率密度
1
e
(
yy
2
2 y
)
2
2 y
(2)
f (x, y)dxdy 1
证明:
(1):由 fX (x)
f (x, y)dy
可得X的边缘概率密度
其中
fX (x)
1
2x y
1 r2
e u(x,y)dy
u(x,
y)
1 2(1
r2)
(x
x)2
2 x
2r
(x
x )( y x y
y
)
(
y
y
2 y
e 2 dt 2 ,
因为
fX (x)
1
(xx )2
e
, 2
2 x
2 x
fY (y)
1
e
(
yy
2
2 y
)2
2 y
所以，由第四章第一、二节的知识可知，
X服从正态分布，且其期望为 x,标准差为 x Y也服从正态分布，且其期望为y ,标准差为 y
(2) X服从正态分布,所以
f (x, y)dxdy fX (x)dx 1
r2)
(y
y)
y
r
(
x x
x
)
2
化为累次积分，得到
R X ,Y
1
(
x
x
)
e
(
xx
2
2 x
)
2
I
(
x)dx
2x y 1 r 2 x
其中
I (x) ( y ) e dy
y
1 2(1r
2
)
(
y
y
y
)
r
(
x x
x
)
2
y
置换积分变量
1 1 r2
(
y
y
y
)
r
(
x x
e
1 2
(
xx
2 x
)2
(
y
y
2 y
)
2
2x y
1
e
(
xx
2
2 x
)2
1
( yy )2
e 2
2 y
2 x
2 y
fX (x) fY ( y)
∴ X与Y独立
“”∵X和Y相互独立 ∴ (x,y) R2.有
f x, y fX (x) fY (y)
特别,取 x x , y y 代入上式有
R(X ,Y )
r
2 x
x x x
2
e
(
xx
2
2 x
)2
dx
r
2 x
1
2 x
x x
2
e
(
xx
2
2 x
)2
dx
r
2 x
2 x
r
例 设(X ,Y )～ N x , y , x , y , r
求证: X与Y独立 r=0
证明 把r=0代入，得
f (x, y)
1
记为(X ,Y )～ N x , y , x , y , r
二维正态分布的分布曲面它的形状类似山岗，在点 (x , y ) 达到最高峰，如下图所示
性质
二维正态分布(X,Y)的概率密度函数f(x,y)满足:
(1) X与Y的边际概率密度函数分别为
fX (x)
1
e
(
xx
2
2 x
)2
2 x
fY (y)
下面计算二维正态分布的中X与Y的相关系数
相关系数公式为
RX
,Y
E
X
EX X
Y
EY Y
所以二维正态分布的中X与Y的相关系数R(X,Y)
R X ,Y
1
(x x ) ( y y ) eu(x,y)dxdy
2x y 1 r 2 x
y
其中
u(x,
y)
(x x)2
2
2 x
1 2(1
fZ
(z)
1 2
e
z 2
,
z
0
0, z 0
因此由随机变量的期望定义
E( X )
x 1
f (x)dx z
可得
E Z
1
z
fZ (z)dz
z
z e 2 dz
0
z e 2 dz 2
2 0
置换积分变量 z t, z 2t, 可得 2
)2
2
(x x)2
2
2 x
1 2(1
r2)
(
y
y
y
)
r
(
x x
x
)
置换积分变量
1 1 r2
(
y
y
y
)
r
(
x x
x
)
t ，得到
f X
(x)
1
2x
e
(
xx
2
2 x
)
2
t2
e 2 dt
1
e
(
xx
2
2 x
)
2
2 x
由于对称性，可知
fY (y)
1
e
(
yy
2
2 y
)2
2 y
t2
注意到X与Y均服从正态分布且相互独立，从而 可以获得二维随机变量(X,Y)的联合概率密度
解：因为X与Y均服从标准正态分布且相互独立
所以，(X,Y)的联合概率密度
f
x,
y
fX (x) fY (y)
1
2
x2y2
e2
这里
fX
x
1
2
x2
e2
,
fY
y
1
2
y2
e2
所以 FZ(z)=P(Z≤z)= P(X2+Y2≤z),下面分情况 讨论
数学与信息技术系
定义 设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f (x, y)
1
2 x y 1 r2
2
1 (1
r
2
)
(
x
x
2 x
)2
2
r
(
xx
)( y x y
y
)
(
y
y
2 y
)2
e 其中 x , y , x 0, y 0, r r 1 是分布参数
这种分布叫做二维正态分布。
x
)
t，得到
I(x) y1 r2来自t1r2
r(x x) x
t2 e 2 dt
y 1 r2
te
t2 2
dt
r
y
(x
x
)
1 r2
t 2
e 2 dt
x
r y (x x )
1 r2
t 2
e 2 dt
x
r y (x x ) 2 1 r2 x
t2
e 2 dt 2 ,
当z≤0时，显然， FZ(z)=0；当z>0时，
1
x2 y2
FZ (z)
2
e
x2 y2 z
2 dxdy
1
2
d
z
2
e2
d
1
z
e2
2 0
0
所以 Z的分布函数为
FZ
(z)
1
e
z 2
,
z
0
0, z 0
由此Z的概率密度为
fZ
(z)
1 2
e
z 2
,
z
0
0, z 0
所得的分布称为自由度为2的 2 分布
代入
R X,Y
1
(
x
x
)
e
(
xx
2
2 x
)2
I
(
x)dx
2x y 1 r 2 x
得到
R(X ,Y)
r
2 x
x
x
x
2
(xx
e 2
2 x
)2
dx
置换积分变量
RX ,Y
x
r
x
x t 得到
t
2e
t2 2
dx
r
2x
t
2
e
t2 2
dt
t2
te 2
|
t2
e 2 dt 2
f x , y fX (x ) fY (y )
即:
1
1
2x y 1 2
2 x
1
2 y
对比两边 ∴ r=0
例1 设X和Y相互独立，并且都服从标准之态分 布，求它们的平方和Z=X2+Y2的概率密度
分析：要求 Z=X2+Y2的概率密度，必须事先知 道二维随机变量(X,Y)的联合概率密度，如何 获得？
例2 设X和Y相互独立，并且都服从标准之态分 布，求它们的平方和Z=X2+Y2的数学期望和方差
分析：求期望和方差的方法有哪些？
1. 求出Z密度函数，直接随机变量期望的定义 求期望和方差
2. 利用(X,Y)的联合密度，并应用随机变量函 数的期望定义求期望和方差
3. 利用随机变量和的期望以及方差性质
法1求出Z密度函数，直接随机变量期望的定义 求期望和方差. 在例1中求得了Z的概率密度
1
e
(
yy
2
2 y
)
2
2 y
(2)
f (x, y)dxdy 1
证明:
(1):由 fX (x)
f (x, y)dy
可得X的边缘概率密度
其中
fX (x)
1
2x y
1 r2
e u(x,y)dy
u(x,
y)
1 2(1
r2)
(x
x)2
2 x
2r
(x
x )( y x y
y
)
(
y
y
2 y
e 2 dt 2 ,
因为
fX (x)
1
(xx )2
e
, 2
2 x
2 x
fY (y)
1
e
(
yy
2
2 y
)2
2 y
所以，由第四章第一、二节的知识可知，
X服从正态分布，且其期望为 x,标准差为 x Y也服从正态分布，且其期望为y ,标准差为 y
(2) X服从正态分布,所以
f (x, y)dxdy fX (x)dx 1
r2)
(y
y)
y
r
(
x x
x
)
2
化为累次积分，得到
R X ,Y
1
(
x
x
)
e
(
xx
2
2 x
)
2
I
(
x)dx
2x y 1 r 2 x
其中
I (x) ( y ) e dy
y
1 2(1r
2
)
(
y
y
y
)
r
(
x x
x
)
2
y
置换积分变量
1 1 r2
(
y
y
y
)
r
(
x x
e
1 2
(
xx
2 x
)2
(
y
y
2 y
)
2
2x y
1
e
(
xx
2
2 x
)2
1
( yy )2
e 2
2 y
2 x
2 y
fX (x) fY ( y)
∴ X与Y独立
“”∵X和Y相互独立 ∴ (x,y) R2.有
f x, y fX (x) fY (y)
特别,取 x x , y y 代入上式有
R(X ,Y )
r
2 x
x x x
2
e
(
xx
2
2 x
)2
dx
r
2 x
1
2 x
x x
2
e
(
xx
2
2 x
)2
dx
r
2 x
2 x
r
例 设(X ,Y )～ N x , y , x , y , r
求证: X与Y独立 r=0
证明 把r=0代入，得
f (x, y)
1
记为(X ,Y )～ N x , y , x , y , r
二维正态分布的分布曲面它的形状类似山岗，在点 (x , y ) 达到最高峰，如下图所示
性质
二维正态分布(X,Y)的概率密度函数f(x,y)满足:
(1) X与Y的边际概率密度函数分别为
fX (x)
1
e
(
xx
2
2 x
)2
2 x
fY (y)
下面计算二维正态分布的中X与Y的相关系数
相关系数公式为
RX
,Y
E
X
EX X
Y
EY Y
所以二维正态分布的中X与Y的相关系数R(X,Y)
R X ,Y
1
(x x ) ( y y ) eu(x,y)dxdy
2x y 1 r 2 x
y
其中
u(x,
y)
(x x)2
2
2 x
1 2(1
fZ
(z)
1 2
e
z 2
,
z
0
0, z 0
因此由随机变量的期望定义
E( X )
x 1
f (x)dx z
可得
E Z
1
z
fZ (z)dz
z
z e 2 dz
0
z e 2 dz 2
2 0
置换积分变量 z t, z 2t, 可得 2
)2
2
(x x)2
2
2 x
1 2(1
r2)
(
y
y
y
)
r
(
x x
x
)
置换积分变量
1 1 r2
(
y
y
y
)
r
(
x x
x
)
t ，得到
f X
(x)
1
2x
e
(
xx
2
2 x
)
2
t2
e 2 dt
1
e
(
xx
2
2 x
)
2
2 x
由于对称性，可知
fY (y)
1
e
(
yy
2
2 y
)2
2 y
t2
注意到X与Y均服从正态分布且相互独立，从而 可以获得二维随机变量(X,Y)的联合概率密度
解：因为X与Y均服从标准正态分布且相互独立
所以，(X,Y)的联合概率密度
f
x,
y
fX (x) fY (y)
1
2
x2y2
e2
这里
fX
x
1
2
x2
e2
,
fY
y
1
2
y2
e2
所以 FZ(z)=P(Z≤z)= P(X2+Y2≤z),下面分情况 讨论