关于二维正态分布的一个教学注记
关于二维正态分布的一个教学注记
众所周知，二维正态分布是概率论中非常重要的一种分布，其性质也是很重要的，但很多教材在讨论两个正态分布的联合分布是不是二维正态分布这个问题时，要么就是说得不是很清楚，要么就是没有给出例子，要么就是给出的例子比较复杂，其实只要注意到二维正态分布定义中的一个基本事实，这个问题就可以说得很清楚。
首先，给出二维正态分布的定义：如果二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为：
其中μ1，μ2，σ1，σ2，ρ均为参数，且σ1>0，σ2>0，ρ<1，则称（X，Y）服从参数为μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二维正态分布，记作（X，Y）（μ1，μ2，σ1，σ2，ρ）。
经过讨论，发现如果（X，Y）服从二维正态分布，那么两个分量X，Y都服从一维正态分布，而且参数ρ就是两个分量X，Y的相关系数，它是不能等于1和-1的，也就是说（X，Y）服从二维正态分布的前提是：两个分量X，Y是正态分布，而且它们的相关系数不是1和-1。
如果二维随机变量（X，Y）的两个分量X，Y是同一正态分布，都是X，那么（X，Y）就不服从二维正态分布，因为两个分量的相关系数是1。这样我们就很容易解释，为什么两个分量是正态分布，但它们的联合分布不一定是正态分布。
另外，一些教材中往往给出二维正态分布的这样一个性质：
性质：若（X，Y）服从参数为μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二维正态分布，那么（aX+bY，cX+dY）服从二维正态分布。
我觉得这个性质是不严谨的，比如a=c=1，b=d=0这时（aX+bY，cX+dY）为（X，X），两个分量的相关系数为1，（X，X）就不服从二维正态分布。更一般的，如果a b
c d=0，那么（aX+bY，cX+dY）的两个分量aX+bY和cX+dY成比例，其相关系数为1或-1，（aX+bY，cX+dY）就不服从二维正态分布。应该再加一个前提，就是行列式a b
c d不等于0，就可以利用二维正态分布的定义证明（aX+bY，cX+dY）服从二维正态分布，这样就没有问题了。
正态分布教学设计
正态分布教学设计 刘一（湖北省沙市中学） 一、教学目标分析 结合课程标准的要求，学生的实际情况，本节课的教学目标如下： 知识与技能目标： （1）学习正态分布密度函数解析式； （2）认识正态曲线的特点及其表示的意义； 过程与方法目标： （1）设置课前自主学习学案，使学生在课前自学； （2）课堂采用小组合作探究，提高课堂效率； （3）课后设置课后查阅要求，将课堂学习延伸至课外学习。 情感、态度与价值观： （1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情； （2）运用讨论探究形式，增强学生的合作意识。 二、教学内容解析 正态分布是人教A版选修2-3第二章第四节的内容，该内容共一课时。之前，学生已经学习了频率分布直方图、离散型随机变量等相关知识，这为本节课学习奠定了基础，而正态分布研究是连续型随机变量，既是对前面内容的补充、拓展，又为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据。 三、教学问题诊断 学生已在必修三中学习过频率分布直方图、总体密度曲线，但间隔时间较长，有些遗忘，可能会影响课堂进度。正态曲线的特征较多，证明也较为复杂，如果等到课堂上才开始思考，必定影响课堂容量。本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。 教学重点： （1）正态分布密度函数解析式； （2）正态曲线的特点及其所表示的意义。 教学难点： 正态曲线的特点 四、教学对策分析 通过两个概念复习题，让学生熟悉本节课需要用到的知识。设计了很多学生发言的环节，让学生充分的展现自己的能力。为完成教学任务，教师需要在课前为学生提供学案，课堂中引导学生，掌控学习进度。 五、教学基本流程 课前自主学习情境引入高尔顿板实验总体密度曲
正态分布教学设计方案书
普通高中课程标准实验教科书g 数学（人教A 版）选修 2-3 2.4 正态分布 设计教师：高二数学组 一、教学目标及其解析 （一）教学目标： 1.通过正态曲线的图象认识正态曲线，通过正态曲线了解正态分布． 2．了解正态曲线的基本特点． 3．了解正态曲线随着参数μ和σ变化而变化的特点．了解正态分布的3σ原则． （二）解析： 正态分布在统计中是很常见的分布，它能刻画很多随机现象。从生活实践入手，描绘频率直方图，进而理解正态曲线，结合定积分的有关知识理解其概率分布列，结合图象认识参数μ，σ的几何意义．提高学生用数学知识分析现实问题的能力．善于从复杂多变的现象中发现问题的实质，提高识别能力. 二、教学重难点解析 （一）重点、难点： 重点：了解正态曲线随着参数μ和σ变化而变化的特点．了解正态分布的3σ原则． 难点：通过正态曲线的图象认识正态曲线，通过正态曲线了解正态分布． （二）解析：正态分布密度函数的推导是十分困难的，一般教科书采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法，这使学生在很长一段时间是不理解正态分布的实际含义。可以通过直观方法引入正态分布密度曲线，也可以用样本平均值和样本标准差来估计，正态曲线的特点包括图像与坐标轴之间的关系，单峰性，对称性，峰值的位置环境等。 三、教学过程设计 问题1.什么是正态曲线？ 问题2.什么是正态分布?正态分布又有哪些特点？ 例1.如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机总量的均值和方差． [解] 从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值为1 2π ，所以μ＝20， 12πσ＝12π ， ∴σ＝ 2. 于是φμ，σ(x )＝12π·e － (x －20) 2 4 ，x ∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2 ＝(2)2＝2. 方法归纳 本题主要考查正态曲线的图象及性质特点，其具有两大明显特征：1.对称轴方程x ＝μ； 2.最值1 σ2π .这两点把握好了，参数μ，σ便确定了，代入φμ，σ(x )中便可求出相应的解析式．
正态分布教学设计
2.4 正态分布教学设计 乾安七中数学组杨文波 2014－5－29 一、教学目标 1. 知识目标：理解并掌握（标准）正态分布和正态曲线的概念、意义及性质，并能简单应 用。 2. 能力目标：能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律，引导学生通过观察 并探究规律，提高分析问题，解决问题的能力；培养学生数形结合，函数与 方程等数学思想方法。 3. 情感目标：通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培 养学生的进取意识和科学精神。 二、教学重点、难点： 重点：正态分布的概念、正态曲线的性质和标准正态分布的一些简单计算。 难点：正态分布的意义和性质。 三、教学设想 【一】导入新课 1、问题引入：在2007年的高考中，某省全体考生的高考平均成绩是490分，标准差是80，计划本科录取率为0.4 ，则本科录取分数线可能划在多少分？ 2、回顾样本的频率分布与总体分布之间的关系． 前面我们研究了离散新随机变量，他们只取有限个或可列个值，我们用分布列来描述总体的统计规律；而许多随机现象中出现的一些变量，如上节课研究的某产品的尺寸，它的取值是可以充满整个区间或者区域的，总体分布通常不易知道，我们是用什么去估计总体分布的呢？----用样本的频率分布(即频率分布直方图)去估计总体分布． 回头看上一节得出的100个产品尺寸的频率分布直方图，发现：横坐标是产品的尺寸；纵坐标是频率与组距的比值，什么才是在各组取值的频率呢？---直方图的面积。设想：当样本容量无限增大，分组的组距无限的缩小时，这个频率直方图无限接近于一条光滑的曲线-----总体密度曲线。它能够很好的反映了总体在各个范围内取值的概率。由概率的性质可以知道（1）整条曲线与x轴所夹的总面积应该是？---1（2）总体在任何一个区间内取值的概率等于这个范围内面积 下面，同学们一起观察一下总体密度曲线的形状，看它具有什么特征？ “中间高，两头低，左右对称”的特征。像具有这种特征的总体密度曲线一般就是或者近似的是以下函数的图像。（板书函数、标题）：【二】正态分布 (1)正态总体的函数解析式、正态分布与正态曲线 产品尺寸的总体密度曲线具有“中间高，两头低”的特征，像这种类型的总体密度曲线，一般就是或近似地是以下一个函数的图象：(板书)
正态分布教学设计
正态分布教学设计
正态分布教学设计 刘一（湖北省沙市中学） 一、教学目标分析 结合课程标准的要求，学生的实际情况，本节课的教学目标如下： 知识与技能目标： （1）学习正态分布密度函数解析式； （2）认识正态曲线的特点及其表示的意义； 过程与方法目标： （1）设置课前自主学习学案，使学生在课前自学； （2）课堂采用小组合作探究，提高课堂效率；（3）课后设置课后查阅要求，将课堂学习延伸至课外学习。 情感、态度与价值观： （1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情； （2）运用讨论探究形式，增强学生的合作意识。 二、教学内容解析 正态分布是人教A版选修2-3第二章第四节的
内容，该内容共一课时。之前，学生已经学习了频率分布直方图、离散型随机变量等相关知识，这为本节课学习奠定了基础，而正态分布研究是连续型随机变量，既是对前面内容的补充、拓展，又为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据。 三、教学问题诊断 学生已在必修三中学习过频率分布直方图、总体密度曲线，但间隔时间较长，有些遗忘，可能会影响课堂进度。正态曲线的特征较多，证明也较为复杂，如果等到课堂上才开始思考，必定影响课堂容量。本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。 教学重点： （1）正态分布密度函数解析式； （2）正态曲线的特点及其所表示的意义。 教学难点： 正态曲线的特点 四、教学对策分析 通过两个概念复习题，让学生熟悉本节课需
要用到的知识。设计了很多学生发言的环节，让学生充分的展现自己的能力。为完成教学任务，教师需要在课前为学生提供学案，课堂中引导学生，掌控学习进度。 五、教学基本流程 课前自主学习情境引入高尔顿板实验总体密度曲线 正态曲线与函数课堂练习正 态分布正态曲线特点课堂检测条件及举例课堂小结课 后查阅 六、教学过程设计 （1）课前自主学习： 1.频率分布直方图用什么表示频率？ 2.由频率分布直方图得到总体密度曲线的过程是：首先绘制样本的频率分布折线图，然后随着的无限增加，作图时的减小、的增加，频率分布折线图越来越接近一条光滑曲线，这条曲线就是曲线。 讲解：请第一小组的同学展示课前自主学习的成
正态分布教学设计
正态分布教学设计 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
正态分布教学设计 刘一（湖北省沙市中学） 一、教学目标分析 结合课程标准的要求，学生的实际情况，本节课的教学目标如下： 知识与技能目标： （1）学习正态分布密度函数解析式； （2）认识正态曲线的特点及其表示的意义； 过程与方法目标： （1）设置课前自主学习学案，使学生在课前自学； （2）课堂采用小组合作探究，提高课堂效率； （3）课后设置课后查阅要求，将课堂学习延伸至课外学习。 情感、态度与价值观： （1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情； （2）运用讨论探究形式，增强学生的合作意识。 二、教学内容解析 正态分布是人教A版选修2-3第二章第四节的内容，该内容共一课时。之前，学生已经学习了频率分布直方图、离散型随机变量等相关知识，这为本节课学习奠定了基础，而正态分布研究是连续型随机变量，既是对前面内容的补充、拓展，又为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据。 三、教学问题诊断
学生已在必修三中学习过频率分布直方图、总体密度曲线，但间隔时间较长，有些遗忘，可能会影响课堂进度。正态曲线的特征较多，证明也较为复杂，如果等到课堂上才开始思考，必定影响课堂容量。本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。 教学重点： （1）正态分布密度函数解析式； （2）正态曲线的特点及其所表示的意义。 教学难点： 正态曲线的特点 四、教学对策分析 通过两个概念复习题，让学生熟悉本节课需要用到的知识。设计了很多学生发言的环节，让学生充分的展现自己的能力。为完成教学任务，教师需要在课前为学生提供学案，课堂中引导学生，掌控学习进度。 五、教学基本流程 课前自主学习情境引入高尔顿板实验总体密度曲线 正态曲线与函数课堂练习正态分布正态曲 线特点课堂检测条件及举例课堂小结 课后查阅 六、教学过程设计 （1）课前自主学习： 1.频率分布直方图用什么表示频率
二维正态分布
二维正态分布 一、设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，已知0)()(==Y E X E ，16)(=X D ， 25)(=Y D ，并且12),cov(=Y X ，求),(Y X 的联合概率密度． 解：已知0==y x μμ，416==x σ，525== y σ，5 3),cov(),(===y x Y X Y X r σσ．从而 2516)53(1122=-=-r ，5 412=-r ． 进一步按公式])())((2)([)1(21222222121),(y y y x y x x x y y x r x r y x e r y x f σμσσμμσμσπσ-+-------= ，可得) ,(Y X 的联合概率密度为 )2550316((322522321),(y xy x e y x f +--=π ． 二、设随机变量X 与Y 独立，并且)1,0(~N X ，)2,1(~2N Y ．求随机变量3 2+-=Y X Z 的概率密度． 解：由题设，有 0)(=X E ，1)(=X D ，1)(=Y E ，4)(=Y D ． 又根据关于数学期望的定理和方差的定理以及独立正态随机变量线性组合的分布，我们有 2)3()()(2)32()(=+-=+-=E Y E X E Y X E Z E ． 8)3()()(4)32()(=++=+-=D Y D X D Y X D Z D ． 且)8,2())(,)((~N Z D Z E N Z =，故随机变量32+-=Y X Z 的概率密度为 16)2(82)2(2 2 41 821 )(--?--==z z Z e e z f ππ )(+∞<<-∞z ． 三、台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X (mm)表示轴的直径，随机变量Y (mm)表示 轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2 N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1(mm)之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴 衬可以配套使用的概率． 解：由题设，知随机变量X 与Y 是独立的，且)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ．设X Y Z -=根据独立正态随机变量线性组合的分布，我们有 )5.0,2()3.0)1(4.0,50)1(52(~2222N N Z =?-+?-+． 根据题目假设，我们知道当31≤-=≤X Y Z 时，轴与轴衬可以配套使用．于是所求概率 为 1)2(2)2()2()25 .022()5.0235.025.021()31(-Φ=-Φ-Φ=≤-≤-=-≤-≤-=≤≤Z P Z P Z P 9544.019772.02=-?=． 四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求： （1） 任一时刻有70至86台车床在工作的概率；
正态分布-教学设计
O y a b 正态分布 【教学内容】 正态分布是高中数学人教A 版选修2-3教材第二章的重要内容。本 节主要了解一种最常见的、有着广泛应用的分布——正态分布，直观认识正态曲线的形状、特点，正态曲线所表示的意义，正态分 布的两个重要参数μ，σ对正态曲线位置和形状的影响。 【教学目标】 1、知识与技能 结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解；通 过正态分布的图形特征，归纳正态曲 线的性质． 2、过程与方法 讲授法与引导发现法．通过教师先讲，师生再共同探究的方式，让学生深刻理解相关概念，领会数形结合的数学思想方法 ，体会数学知识的形成． 3、情感态度与价值观 通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神． 【学情分析】 通过前面知识的学习，学生已经掌握了平均数、标准差、频率分布直方图、折线图等研究数据的知识与方法，为学习正态分布这一生活中常见的连续性随机变量所服从的分布打下了良好的基础；此外，学生在生活中也有了不少的常识积累，为正态分布的学习提供了便利；但由于学生所学知识范围的限制，对正态分布函数的来龙去脉不可能深究。 【教学重点与难点】 重点：正态分布曲线的特点及其所表示的意义； 难点：了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布，并掌握正态分布曲线所表示的意义． 【教学方法】 实验探究、学案导学、多媒体辅助 【教具准备】 黑板，多媒体，高尔顿试验板 【教学过程设计】
教学 环节 教学内容师生互动设计意图 创设情境 1.全国划骑跑铁人三项挑战赛成 绩分布； 2.学生上台演示高尔顿板试验． 创设情境，为导入新 知做准备． 学生感悟体验，对试 验的结果进行定向思考． 学生经过观察小球 在槽中的堆积形状发现： 下落的小球在槽中的分 布是有规律的． 让学生演示试验， 能提高学生的学习积极 性，提高学习数学的兴 趣．让学生体验“正态 分布曲线“的生成和发 现历程． 建构概念1．用频率分布直方图从频率角度研究 小球的分布规律． ⑴将球槽编号，算出各个球槽内 的小球个数，作出频率分布表． ⑵以球槽的编号为横坐标，以小 球落入各个球槽内的频率与组距的比 值为纵坐标，画出频率分布直方图。 连接各个长方形上端的中点得到频率 分布折线图． 引导学生思考回顾， 教师通过课件演示作图 过程． 在这里引导学生回 忆得到，此处的纵坐标为 频率除以组距． 教师提出问题：这里 每个长方形的面积的含 义是什么？ 学生经过回忆，易 得：长方形面积代表相应 区间内数据的频率． 通过把与新内容有 关的旧知识抽出来作为 新知识的“生长点”，为 引入新知搭桥铺路，形 成正迁移． 通过这里的思考回 忆，加深对频率分布直 方图的理解． 建构概念 （3）随着试验次数增多，折线图 就越来越接近于一条光滑的曲线． 从描述曲线形状的角度自然引入 了正态密度函数的表达式： 分析表达式特点：解 析式中前有一个系数 σ π2 1，后面是一个以e 为底数的指数形式，幂指 数为2 2 2 ) ( σ μ - - x ，解析式中 含两个常数π和e，还含 有两个参数μ和σ，分别 指总体随机变量的平均 与旧教材不同的 是，该处在学生从形的 角度直观认识了正态曲 线之后才给出曲线对应 的表达式，这样处理能 更直观，学生更易理解 正态曲线的来源．
关于二维正态分布的一个教学注记
关于二维正态分布的一个教学注记 众所周知，二维正态分布是概率论中非常重要的一种分布，其性质也是很重要的，但很多教材在讨论两个正态分布的联合分布是不是二维正态分布这个问题时，要么就是说得不是很清楚，要么就是没有给出例子，要么就是给出的例子比较复杂，其实只要注意到二维正态分布定义中的一个基本事实，这个问题就可以说得很清楚。 首先，给出二维正态分布的定义：如果二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为： 其中μ1，μ2，σ1，σ2，ρ均为参数，且σ1>0，σ2>0，ρ<1，则称（X，Y）服从参数为μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二维正态分布，记作（X，Y）（μ1，μ2，σ1，σ2，ρ）。 经过讨论，发现如果（X，Y）服从二维正态分布，那么两个分量X，Y都服从一维正态分布，而且参数ρ就是两个分量X，Y的相关系数，它是不能等于1和-1的，也就是说（X，Y）服从二维正态分布的前提是：两个分量X，Y是正态分布，而且它们的相关系数不是1和-1。 如果二维随机变量（X，Y）的两个分量X，Y是同一正态分布，都是X，那么（X，Y）就不服从二维正态分布，因为两个分量的相关系数是1。这样我们就很容易解释，为什么两个分量是正态分布，但它们的联合分布不一定是正态分布。 另外，一些教材中往往给出二维正态分布的这样一个性质： 性质：若（X，Y）服从参数为μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二维正态分布，那么（aX+bY，cX+dY）服从二维正态分布。 我觉得这个性质是不严谨的，比如a=c=1，b=d=0这时（aX+bY，cX+dY）为（X，X），两个分量的相关系数为1，（X，X）就不服从二维正态分布。更一般的，如果a b c d=0，那么（aX+bY，cX+dY）的两个分量aX+bY和cX+dY成比例，其相关系数为1或-1，（aX+bY，cX+dY）就不服从二维正态分布。应该再加一个前提，就是行列式a b c d不等于0，就可以利用二维正态分布的定义证明（aX+bY，cX+dY）服从二维正态分布，这样就没有问题了。
正态分布分析
正态分布 以平均值为中心呈对称分布的钟形曲线。正态分布是最常见的统计分布，因为许多物理、生物和社会方面的测量值都自然近似于正态。许多统计分析均要求数据来自正态分布总 体。 例如，居住在宾夕法尼亚州的所有成年男性的身高近似于正态分布。因此，大多数男性的身高都将接近于 69 英寸的平均身高。高于和矮于 69 英寸的男性的数量相近。只有一小部分身材特别高或特别矮。 平均值 (μ) 和标准差 (σ) 是定义正态分布的两种参数。平均值是钟形曲线的波峰或中心。标准差决定数据的散布情况。大约有 68% 的观测值与平均值相差不到 +/- 1 个标准差；95% 与平均值相差不到 +/- 2 个标准差；而 99% 的观测值与平均值相差不到 +/- 3 个标准差。 就宾夕法尼亚州男性的身高而言，平均身高为 69 英寸，标准差为 2.5 英寸。 大约68% 的宾夕法尼亚男性身高介于66.5 (μ- 1σ) 和71.5 (μ+ 1σ) 英寸之间。 大约95% 的宾夕法尼亚男性身高介于64 (μ- 2σ) 和74 (μ+ 2σ) 英寸之间。 大约99% 的宾夕法尼亚男性身高介于61.5 (μ- 3σ) 和76.5 (μ+ 3σ) 英寸之间。 过程能力
生产或提供满足根据客户需要定义的规格的产品或服务的能力。例如，影印机制造商要求橡胶辊筒的宽度必须介于 32.523 cm 与 32.527 cm 之间，才能避免卡纸。能力分析揭示了制造过程满足这些规格的程度，并提供有关如何改进该过程和维持改进的见解。 在评估过程能力之前，必须确保过程是稳定的。不稳定的过程是无法预测的。如果过程稳定，则可以预测将来的性能并改进其能力。 应定期测量并分析过程的能力。能力分析有助于回答以下问题： ?过程是否满足客户规格？ ?过程将来的性能如何？ ?过程是否需要改进？ ?过程是保持了这些改进还是回复到了原来的未改进状态？ 可使用过程指标（如 Cp、Pp、Cpk 和 Ppk）来分析过程能力。 潜在（组内）能力和整体能力 大多数能力评估都可以分组为两种类别中的一种：潜在（组内）能力和整体能力。每种能力都表示对过程能力的唯一度量。潜在能力通常称为过程的“权利”：它忽略子组之间的差异并表示当消除了子组之间的偏移和漂移时执行过程的方法。另一方面，整体能力是客户所体验到的；它考虑了子组之间的差异。评估潜在能力的能力指标包括 Cp、CPU、CPL 和 Cpk。评估整体能力的能力指标包括 Pp、PPU、PPL、Ppk 和 Cpm。 例如，您检查某一糖果厂的设备，其中包括将特定重量的糖果装入容器的机器。糖果每周从工厂出货一次。为评估此过程的能力，在一周内的每天，对袋子样本进行称重；每个样本在分析中表示一个子组。观察发现，每个子组内的变异性很小，但由于子组平均值每天都有偏移，因此袋子重量的总体变异性很大。因此，整个一周的出货在袋子重量上与给定日期内生产的袋子重量之间存在较大的变异性。在下图中，较小的分布表示连续七天内每天的袋子重量的分布。最上面的分布表示整周的出货，它是子组的合计。
正态分布教学设计
正态分布教学设计 《正态分布第一课时》教学设计 一、教学内容与内容解析 1．内容： 正态分布第一课时 2．内容解析： 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学 2 -3（选修）》（人教A版）中的2．4“正态分布 (第一课时)”，属于新授概念课．正态分布是选修2—3第二章“随机变量及其分布”的最后一节，本节课内容是在学生学习了离散型随机变量及其分布的基础上进行研究的，正态分布的随机变量是一种连续型随机变量，这让学生对随机变量由离散到连续有一个深入的认识．正态分布是高中学习内容中唯一一种连续型分布，它反映了连续型随机变量的分布规律，连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以我们感兴趣的是它落在某个区间的概率．离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布密度函数（曲线）描述，本节课是对本章知识体系的一个完善，也是必修3统计和概率知识的一种拓展．同时本节课内容反映了数形结合的思想方法，以及统计思维与确定性思维的差异．生活中除了离散型随机变量更多的是连续型随机变量的例子，因此正态分布在统计中是很常用的分布，它能刻画很多随机现象，广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．从形式上看，它属于概率论的范畴，但同时又是统计学的基石，它在概率和统计中占有重要的地位．一方面，本节课内容为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据；另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布都可以用正态分布来近似描述，因此在理论研究中，正态分布占有很重要的地位．教学重点：1.正态分布曲线的特点；2.正态分布密度曲线所表示的意义． 二、教学目标与目标解析 1．目标： （1）通过数学实验，从直观和形式认识正态曲线的特点及其所表示的意义； （2）经历从具体到抽象研究正态分布问题的过程，体会数形结合、有限与无限的思想方法； （3）认识客观世界中的随机现象和正态分布发生发展的历史，感受数学的文化价值．2．目标解析：
正态分布第一课时教学设计
《正态分布第一课时》教学设计 东莞市厚街中学姚卫 一、教学内容与内容解析 1．内容： 正态分布第一课时 2．内容解析： 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学 2 -3（选修）》（人教A版）中的 2．4“正态分布 (第一课时)”，属于新授概念课．正态分布是选修2—3第二章“随机变量及其分布”的最后一节，本节课内容是在学生学习了离散型随机变量及其分布的基础上进行研究的，正态分布的随机变量是一种连续型随机变量，这让学生对随机变量由离散到连续有一个深入的认识．正态分布是高中学习内容中唯一一种连续型分布，它反映了连续型随机变量的分布规律，连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以我们感兴趣的是它落在某个区间的概率．离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布密度函数（曲线）描述，本节课是对本章知识体系的一个完善，也是必修3统计和概率知识的一种拓展．同时本节课内容反映了数形结合的思想方法，以及统计思维与确定性思维的差异．生活中除了离散型随机变量更多的是连续型随机变量的例子，因此正态分布在统计中是很常用的分布，它能刻画很多随机现象，广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．从形式上看，它属于概率论的范畴，但同时又是统计学的基石，它在概率和统计中占有重要的地位．一方面，本节课内容为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据；另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布都可以用正态分布来近似描述，因此在理论研究中，正态分布占有很重要的地位．教学重点：1.正态分布曲线的特点；2.正态分布密度曲线所表示的意义． 二、教学目标与目标解析 1．目标： （1）通过数学实验，从直观和形式认识正态曲线的特点及其所表示的意义； （2）经历从具体到抽象研究正态分布问题的过程，体会数形结合、有限与无限的思想方法； （3）认识客观世界中的随机现象和正态分布发生发展的历史，感受数学的文化价值．2．目标解析：
正态分布教案
正态分布教案 学院数学与计算机科学学院专业数学与计算机年级 2008级 执教者王黎玲学号 105062008020 指导老师袁智强老师 教材：人民教育出版社A版选修2-3第二章第四节 一、教学目标 二、教学重点与难点
三、教学的方法与手段 四、教学过程 【环节一：创设情境，导入新知】通过对高尔顿这位伟大的统计学家的介绍，引出高尔顿钉板实验。 教师活动：今天上新课之前我们要先来做一个实验——高尔顿顶板实验，那么实验之前老师想问同学们有谁认识高尔顿呢？ 学生预案：高尔顿？ 教师活动：看来同学们对高尔顿不是很熟悉。那么同学们认识达尔文吗？ 学生预案：知道。 教师活动：达尔文他出版的《物种起源》这一划时代的著作，提出了生物进化论学说，被恩格斯列为19世纪自然科学的三大发现之一。而高尔顿是英国著名的人类学家、 生物统计学家，他是生物统计学派的奠基人，也是著名生物学家达尔文的表弟， 正是因为达尔文《物种起源》的问世，才触动了高尔顿对生物统计学的研究，而 等等我们要进行的高尔顿钉板实验，就是高尔顿在收集统计数据时进行的的实 验。 教师活动：那么高尔顿钉板的实验原理是什么呢？首先在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面当有一块 玻璃，让一个小球从高尔顿钉板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层 小木块碰撞，最后掉入高尔顿钉板下方的某一个球槽内。 教师活动：那么小球下落后，我们就要观察每个球槽内小球的个数，因此在这之前要把球槽进行编号，以方便我们观察，然后多次重复这个实验，就可以发现掉入各个球槽 内的小球的个数，小球堆积的高度越来越高。为了更好的研究实验结果呈现的现 象，我们将结果化成频率直方图，请同学们也仔细观察频率直方图，总之整个实 验过程分三个步骤，小球下落——观察小球个数——观察频率直方图。现在我们 开始做实验。 老师演示：打开实验flash，进行演示。最后将实验300次、600次、1500次、3000次得频率直方图同时显示，让学生更好的观察。 300次 600次
matlab如何绘制二维正态曲面
二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为： 2(,)21x y f x y r πσσ=-22222()()()()122(1)x y y x x y x y x y y x r r e μμμμσσσσ??----??--+-???? 记作(X ,Y )～()r N y x y x ,,,,σσμμ 下面我自己绘制一个(X ,Y )～()5.0,1,1,0,0N 的正态函数的图像(2013年1月8日) (,)23f x y π= 222x 3xy y e ??--+?? close all; clear clc x=-4:.1:4; y=x; [x y]=meshgrid(x,y); z=sqrt(3)/2/pi*exp(-2.*x.^2./3-2.*y.^2./3+x.*y); mesh(x,y,z)
close all; clear clc x=-4:.1:4; y=x; [x y]=meshgrid(x,y); z=sqrt(3)/2/pi*exp(-2.*x.^2./3-2.*y.^2./3+x.*y); mesh(x,y,z) hold on; fill3([-4 -4 4 4],[0 0 0 0],[0.35 0 0 0.35],'r') surf(1:2,[1 1],[0 0;1 1]) ezmesh('100-x-y') ezplot('x=2')
高三数学图片 >> 二维正态分布的密度函数图像 资料名称：二维正态分布的密度函数图像 资料编号：100973 资源分类：图像素材 所属科目：数学 适用年级：高三 文件大小：12.55KB 文件类型：image/jpeg 资料简介：二维正态分布的密度函数图像正态分布,概率与统计, >> clf >> x=2; >> y=0; >> z=0; >> plot3(2,0,0,'m:p')
正态分布教学设计方案书
普通高中课程标准实验教科书数学（人教A 版）选修 2-3 2.4 正态分布 设计教师：高二数学组 一、教学目标及其解析 （一）教学目标： 1.通过正态曲线的图象认识正态曲线，通过正态曲线了解正态分布． 2．了解正态曲线的基本特点． 3．了解正态曲线随着参数μ和σ变化而变化的特点．了解正态分布的3σ原则． （二）解析： 正态分布在统计中是很常见的分布，它能刻画很多随机现象。从生活实践入手，描绘频率直方图，进而理解正态曲线，结合定积分的有关知识理解其概率分布列，结合图象认识参数μ，σ的几何意义．提高学生用数学知识分析现实问题的能力．善于从复杂多变的现象中发现问题的实质，提高识别能力. 二、教学重难点解析 （一）重点、难点： 重点：了解正态曲线随着参数μ和σ变化而变化的特点．了解正态分布的3σ原则． 难点：通过正态曲线的图象认识正态曲线，通过正态曲线了解正态分布． （二）解析：正态分布密度函数的推导是十分困难的，一般教科书采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法，这使学生在很长一段时间是不理解正态分布的实际含义。可以通过直观方法引入正态分布密度曲线，也可以用样本平均值和样本标准差来估计，正态曲线的特点包括图像与坐标轴之间的关系，单峰性，对称性，峰值的位置环境等。 三、教学过程设计 问题1.什么是正态曲线？ 问题2.什么是正态分布?正态分布又有哪些特点？ 例1.如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机总量的均值和方差． [解] 从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值为12π ，所以μ＝20， 12πσ＝12π， ∴σ＝ 2.
正态分布讲解(含标准表)
2．4正态分布 复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线 b 单位 O 频率/组距 a 它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积． 观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示： 22 ()2,1(),(,)2x x e x μσμσ?πσ --=∈-∞+∞ 式中的实数 μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差， ,()x μσ ?的图象为 正态分布密度曲线,简称正态曲线． 讲解新课：
一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足 ,()()b a P a X B x dx μσ?<≤=?, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2 σ μN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN . 经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位． 说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计． 2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布． 2．正态分布),(2 σ μN ）是由均值μ 和标准差σ唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响
正态分布教案
正态分布教案学院数学与计算机科学学院专业数学与计算机年级2008级 执教者王黎玲学号指导老师袁智强老师 教?材：人民教育出版社A版选修2-3第二章第四节 一、教学目标 二、教学重点与难点 三、教学的方法与手段
四、教学过程 【环节一：创设情境，导入新知】通过对高尔顿这位伟大的统计学家的介绍，引出高尔顿钉板实验。 教师活动：今天上新课之前我们要先来做一个实验——高尔顿顶板实验，那么实验之前老师 想问同学们有谁认识高尔顿呢？ 学生预案：高尔顿？ 教师活动：看来同学们对高尔顿不是很熟悉。那么同学们认识达尔文吗？ 学生预案：知道。 教师活动：达尔文他出版的《物种起源》这一划时代的着作，提出了生物进化论学说，被恩 格斯列为19世纪自然科学的三大发现之一。而高尔顿是英国着名的人类学家、 生物统计学家，他是生物统计学派的奠基人，也是着名生物学家达尔文的表弟， 正是因为达尔文《物种起源》的问世，才触动了高尔顿对生物统计学的研究，而 等等我们要进行的高尔顿钉板实验，就是高尔顿在收集统计数据时进行的的实 验。 教师活动：那么高尔顿钉板的实验原理是什么呢？首先在一块木板上钉着若干排相互平行但 相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面当有一块 玻璃，让一个小球从高尔顿钉板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层 小木块碰撞，最后掉入高尔顿钉板下方的某一个球槽内。 教师活动：那么小球下落后，我们就要观察每个球槽内小球的个数，因此在这之前要把球槽 进行编号，以方便我们观察，然后多次重复这个实验，就可以发现掉入各个球槽 内的小球的个数，小球堆积的高度越来越高。为了更好的研究实验结果呈现的现 象，我们将结果化成频率直方图，请同学们也仔细观察频率直方图，总之整个实 验过程分三个步骤，小球下落——观察小球个数——观察频率直方图。现在我们 开始做实验。 ?老师演示：打开实验flash ，进行演示。最后将实验300次、600次、1500次、3000次得频 率直方图同时显示，让学生更好的观察。 300次 600次 1500次 3000次 我们发现随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状越来越像是一条曲线，它的形状像我们寺庙里面的钟，我们也把它叫钟型曲线。 这条曲线就是我们今天要研究的正态分布密度曲线，简称正态曲线。它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，正态曲线可用下面函数的图象来表示或近似表示： 这个函数是： 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσ?的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．有些同学有疑问了，这个函数解析式是怎么来的呢？这个问题以同学现在的知识还无法推导出来，等同学到了大学进一步学习概率论等统计数学时，就可以通过大数定律正确的推导出来，但是现在我们不做要求，有兴趣的同学可以回去查阅书籍，现在同学们只要牢牢记住这个函数式就行了。 【环节二：动手练习，巩固概念】及时用习题巩固概念，有利于学生对正态函数的掌握。
《正态分布》教学设计1
《正态分布》教学设计（1） 【教学目标】 (1)深刻理解并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质. (2)理解和掌握标准正态总体、标准正态曲线的概念、意义及性质. (3)能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律. 教学难点正态分布的意义及性质,标准正态总体,标准正态曲线的概念. 如果说二项分布是离散型随机变量最具典型意义的概率分布，那么连续型随机变量最具典型意义的概率分布就是正态分布了。实践中常见的一类连续型随机变量，多数服从或近似服从正态分布。例如测量误差、智商以及人体的身高体重、运动员的成绩等等，都可以用正态分布进行描述。一般地讲，若影响某一变量的随机因素很多，而每个因素所起的作用不太大且相互独立，则这个变量服从正态分布。更为重要的是，正态分布还是抽样理论和统计推断的基础。例如，不论总体是否服从正态分布，只要样本容量n 足够大，样本平均数的抽样分布就趋于正态分布。 正态分布的研究始于18世纪，是最重要的概率分布，这是因为：①许多自然现象与社会现象，都可用正态分布加以叙述；②不少离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布都以正态分布为其极限（即当样本相当大时，可用正态近似法解决这些概率分布的问题）；③许多统计量的抽样分布呈正态分布，故在参数估计与假设检验上经常以正态分布为理论基础。 【教学重点】正态曲线的性质 【教学难点】对正态分布的理解及应用 课时安排：1课时 1．正态分布的数学形式 自本书第三章引出变量数列，我们便可以列举出不少总体的分布很接近于正态分布，例如男性的身高。如果我们拥有的数据非常多，在编制变量数列时我们就可以把组分得很细，并得到组距很小的直方图。现在想象，如果组越分越细，并且纵轴采用频率密度（＝组距 频率），直方图最终就转化为的概率密度曲线 (X ＝x )
正态分布的前世今生(完整版)
正态分布的前世今生
一、正态分布，熟悉的陌生人
学过基础统计学的同学大都对正态分布非常熟悉。这个钟型的分布曲线不但形状优雅， 其密度函数写成数学表达式
12π??√σexp(?(x?μ)22σ2)
也非常具有数学的美感。其标准化后的概率密度函数
12π??√exp(?x22) 更加的简洁漂亮,两个最重要的数学常量 π,e 都出现在了公式之中。在我个人的审美之中，
它也属于 top-N 的最美丽的数学公式之一， 如果有人问我数理统计领域哪个公式最能让人感觉 到上帝的存在，那我一定投正态分布的票。因为这个分布戴着神秘的面纱，在自然界中无处不 在，让你在纷繁芜杂的数据背后看到隐隐的秩序。
【正态分布曲线】
正态分布又通常被称为高斯分布，在科学领域，冠名权那是一个很高的荣誉。早年去 过德国的兄弟们还会发现，德国的钢镚和 10 马克的纸币上都留有高斯的头像和正态密度 曲线。正态分布被冠名高斯分布，我们也容易认为是高斯发现了正态分布，其实不然，不 过高斯对于正态分布的历史地位的确立是起到了决定性的作用。
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【德国马克上的高斯头像和正态分布曲线】 正态曲线虽然看上去很美，却不是一拍脑袋就能想到的。我们在本科学习数理统计的 时候，课本一上来介绍正态分布就给出密度分布函数，却从来不说明这个分布函数是通过 什么原理推导出来的。所以我一直搞不明白数学家当年是怎么找到这个概率分布曲线的， 又是怎么发现随机误差服从这个奇妙的分布的。我们在实践中大量的使用正态分布，却对 这个分布的来龙去脉知之甚少，正态分布真是让人感觉既熟悉又陌生。直到我读研究生的 时候，我的导师给我介绍了陈希儒院士的《数理统计学简史》这本书，看了之后才了解了 正态分布曲线从发现到被人们重视进而广泛应用，也是经过了几百年的历史。 正态分布的这段历史是很精彩的，我们通过讲一系列的故事来揭开她的神秘面纱。
二、邂逅，正态曲线的首次发现
第一个故事和概率论的发展密切相关，主角是棣莫弗(De Moivre)和拉普拉斯 (Laplace)。拉普拉斯是个大科学家，被称为法国的牛顿；棣莫弗名气可能不算很大，不 过大家应该都熟悉这个名字，因为我们在高中数学学复数的时候我们都学过棣莫弗定理
(cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ). 古典概率论发源于赌博，惠更斯、帕斯卡、费马、贝努利都是古典概率的奠基人，他们那
会研究的概率问题大都来自赌桌上，最早的概率论问题是赌徒梅累在 1654 年向帕斯卡提出的 如何分赌金的问题。 统计学中的总体均值之所以被称为期望(Expectation)， 就是源自惠更斯、 帕斯卡这些人研究平均情况下一个赌徒在赌桌上可以期望自己赢得多少钱。
棣莫弗(De Moivre)
拉普拉斯 (Laplace)
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正态分布 教案 ()
2．4正态分布 教学目标： 知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。 过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。 情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。 教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。 教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。 教学课时：2课时 教具准备：多媒体 教学设想：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。 内容分析： 1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的 2 2 () 2 (),(,) x f x x μ σ - - =∈-∞+∞，（σ＞0） 由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为) , (2 σ μ N 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的 4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过) ( ) ( σ μ - Φ = x x F转化为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为 2 2 1 2 1 ) (x e x F- = π ，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助多媒体体现，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质 教学过程： 学生探究过程： 复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．