3-3二维正态分布
定义1 若二维随机变量( X ,Y )的联合概率密度为
1
e
1 2(1
2
)
(
x
1
2 1
)2
2
(
x
1 )( y 2 1 2
2
)
(
y
2
2 2
)2
2 1 2 1 2
其中1 , 2是实数, 1 0, 2 0,| | 1, 则称( X ,Y )服从
观察表明，如果一个量是由大量相互独 立的随机因素的影响所造成，而每一个别因 素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一 般都服从或近似服从正态分布.
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序 列的中心极限定理, 也称列维一林德伯 格（Levy－Lindberg）定理.
辛钦
则对任给ε >0 ，
lim
n
P{|
1 n
n i 1
Xi
|
}
1
[注] （1）辛钦大数定律与定理1的推论的区别 在，辛钦大数定律与方差无关。
（2） 由于证明辛钦大数定律要用特征函数 的知识，故证明略。
（3）贝努里大数定律是辛钦大数定律的特 例,而辛钦大数定律在应用中是非常重 要的。
解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 由题给条件知，诸Xi独立，
E(Xi)=100, D(Xi)=10000 16
16只元件的寿命的总和为 Y X k k 1 依题意，所求为P(Y>1920)
解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 由题给条件知,诸Xi独立, E(Xi)=100,D(Xi)=10000
15
0.95
部数
由棣莫弗-拉普拉斯定理,有
P X
x
P
X 200 0.7
x 200 0.7
15
15
200 0.7 0.3
200
0.7
0.3
x 140
15
0.95
查表得,应有
16只元件的寿命的总和为 Y 16 Xk
依题意，所求为P(Y>1920) k1 由于E(Y)=1600, D(Y)=160000
由中心极限定理, Y 1600 近似N(0,1)
400
P(Y>1920)=1-P(Y1920) 1- (1920 1600) 400
=1-(0.8) =1-0.7881=0.2119
42
15 140
x
1.65
x 150.69 15 2260.25
42
故至少须向该车间供应2261个单位的电能,才
能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.
例3 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重 量是随机的，假设每箱的平均重50千克,标准 差5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运， 试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装
以正态分布为极限; 2) 棣莫佛－拉普拉斯定理是中心极限定理
的特殊情况.
3）设随机变量X～ B(n, p)当, n充分大时,
P(a X b) ( b np ) (a np )
npq
npq
P(X k)
1
( k np )2
e 2npq
2npq
例2 某车间有同型号的机床200部,每部机器开动
二、中心极限定理 中心极限定理的客观背景
在实际问题中，常常需要考虑许多随机 因素所产生总影响.
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受 着许多随机因素的影响.
如瞄准时的误差， 空气阻力所产生的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等. 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.
自从高斯指出测量误差服从正 态分布之后，人们发现，正态分布 在自然界中极为常见.
例4 在保险公司里，有3000个同一年龄的人参 加人寿保险，在一年里，这些人死亡的概率 为0.1%，参加保险的人在一年的头一天交付 保险金10元，死亡时，家属可从保险公司领 取2000元赔偿金。
（1）求保险公司一年中获利不少于10000元的 概率；
（2）保险公司亏本的概率是多少？
概率论中的关键词
定理2 (棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)
设 X 是 n重伯努利试验中事件A出现的次数,
又A在每次试验中出现的概率为p (0 p 1),
则对于任意的实数 x, 有:
lim
P
X np
x ( x)
n np(1 p)
[注] 1）德莫佛—拉普拉斯定理表明:二项分布
定理1（独立同分布下的中心极限定理）
设 X1, X2, …, Xn 是独立同分布的随机
变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2 ，
i=1,2,…,n，则x R,
n
X i n
x
lim P{ i1
n
n
x} -
1 e-t2 2dt
2
(x)
[注] 1）证明所需要的知识已超出范围，证明略。
知道EX，上述的推论告诉了我们,在不知随
机变量X的分布时求EX的方法，即用
1 n
n
k 1
X
k
来估计EX。当n充分大时，偏差不会太大。
这一点我们将会在数理统计中看到。
定理3 (伯努利大数定律) 设nA是n 重伯努利试
验中事件A出现的次数,又A在每次试验中出
现的概率为 p(0 p 1), 则对于任意的 0,
有
lim P n
nA n
p
0
即频率 nA 依概率收敛于概率 p,
n
即 nA P p n
[注]贝努里大数定律从理论上证明了频率的稳定性
下面给出的独立同分布下的大数 定律，不要求随机变量的方差存在.
定理2（辛钦大数定律）
设随机变量序列X1,X2, …独立同分
布，且数学期望E (Xi )=μ, i=1,2,…，
lim
n
P{|
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( X i ) |
}
1
切比雪夫
证明切比雪夫大数定律主要的数学 工具是切比雪夫不等式.
设随机变量X 的数学期望E(X )和方差 2
存在，则对于任给 >0,有
P{| X E( X ) | } 1 2 2
参数为1 , 2 , 1 , 2 , 的二维正态分布,记作
( X ,Y )
~
N(1
,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
称上述的 f (x, y) 为二维正态概率密度.
可以证明,若( X ,Y ) ~
N
(
1
,
2
,
2 1
,
2 2
,
),
则
X
~
N
(
1
,
2 1
)
Y
~
N
(
2
,
2 2
大数定律 与 中心极限定理
下面我们先介绍大数定律
大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
……
一、大数定律
阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系
列定理统称为大数定律。
定义1 如果对于任意 0, 当n充分大时，事件
" Xn "的概率几乎等于1，即
的概率为0.7,假定各机床开关是相互独立的,
开动时每部机器要耗电能15个单位,问电厂最 少要供应该车间多少单位电能,才能以95%的 概率保证不致因供电不足而影响生产?
解 设X 表示某一时刻机器开动的台数,则
X ~ B(200,0.7)
设电厂至少要供应 x个单位的电能,则由题意,有
P X
x
P{Tn 5000} 0.997 (2)
由林德伯格-列维定理
P Tn
5000
P
Tn 5
50n n
5000 5
50n n
1000
n
10n
即 n 必须满足
1000 10n n
2
n 98.0199 即最多可以装98箱。
多少箱，才能保障不超载的概率大于0.997.
解 设 X i (i 1,2, , n)是装运的第 i 箱的重量, n是所求得箱数,由条件可以把 X1 , X 2 , , X n
看作是相互独立同分布的随机变量,而总重量
Tn X1 X 2 X n
是独立同分布的随机变量之和.
由题意知 EX i 50, DXi 5, 并且要求n 满足
随机试验，样本空间，事件，频率，概率， 等可能概型，条件概率，全概率公式，贝叶斯 公式，独立性；
随机变量，分布函数，分布律，概率密度，函 数的分布，边缘概率分布律，边缘概率密度，独 立性;
0-1分布，二项分布，泊松分布，均匀分布， 指数分布,正态分布;
数学期望,方差,协方差,相关系数.
第三章 二维随机变量及其分布
1第三章 二维随机变量及其分布在很多实际问题中，有一些随机试验需要用两个或两个以上的随机变量才能描述, 如， 炮弹着落点的位置必须用两个坐标X 和Y 来描述。
又如气候情况与气温、风力、降水量等多个随机变量有关，为了准确提供气候情况，我们就完全有必要将描述天气情况的多个随机变量作为一个整体来研究。
将n 个随机变量n X X X ,,,21 作为一个整体，记作),,,(21n X X X ，称为n 维随机变量。
在这一节我们主要研究二维随机变量的概率分布、边缘分布及二维随机变量的独立 性等. 这部分内容的讨论也可类推到)2(>n n 维随机变量的情形.§3. 1二维随机变量的联合分布3.1.1、二维随机变量的概率分布定义3.1：设)(Y X ，是二维随机变量，对于任意实数y x 、，称二元函数{}yY x X P y x F ≤≤=，，)(为二维随机变量)(Y X ，的分布函数或随机变量X 和Y 的联合分布函数，它表示随机事件}{x X ≤与}{y Y ≤同时发生的概率.2图3-1 图3-2将二维随机变量)(Y X ，看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数)(y x F ，在点)(y x ，处的函数值就是随机点)(Y X ，落在直线x X =的左侧和直线y Y =的下方的无穷矩形区域内的概率(如图3-1)有了分布函数)(y x F ，，借助于图3-2，容易算出随机点)(Y X ，落在矩形区域 ){(y x D ，=}2121y Y y x X x ≤<≤<，内的概率为：)()(}{21222121y x F y x F y Y y x X x P ，，，-=≤<≤<)()(1112y x F y x F ，，+-.根据概率的定义和二维随机变量的定义，可得：二维分布函数)(y x F ，具有以下基本性质： （1）1)(0≤≤y x F ，；（2）)(y x F ，关于变量x 和y 均单调非减，且右连续； （3）对于任意固定的y ，0)(lim )(==-∞-∞→y x F y F x ，，对于任意固定的x ，0)(lim )(==∞--∞→y x F x F y ，，1)(0)(=∞++∞=∞--∞，；，F F ； （4）对于任意2121y y x x <<，恒有：=≤<≤<}{2121y Y y x X x P ，0)()()()(11211222≥+--y x F y x F y x F y x F ，，，，3.3.1.2. 二维离散型随机变量及其分布定义3.2： 如果二维随机变量)(Y X ，可能取的值为有限对或可列无穷对实数，则称)(Y X ，为二维离散型随机变量.显然，)(Y X ，为二维离散型随机变量，当且仅当X 和Y 均为离散型随机变量.设二维离散型随机变量)(Y X ，所有可能的取值为)21()( ，，，，=j i y x j i ，且对应的概率为.,21}( ，，，，====j i p y Y x X P ij j i则称上式为二维随机变量)(Y X ，的概率分布或X 与Y 的联合概率分布.由概率的定义可知：（1） 210，，，=≥j i p ij .（2）∑∑+∞=+∞==111i j ij p .联合分布也常用表格表示，并称为X 与Y 联合概率分布表.4根据定义，离散型随机变量)(Y X ，的联合分布函数∑∑≤≤=≤≤=x x yy iji j py Y x X P y x F },{)(，即对一切满足不等式y y x x j i ≤≤，的ij p 求和.例3.1盒子里有2个黑球、2个红球、2个白球，在其中任取2个球，以X 表示取得的黑球的个数，以Y 表示取得的红球的个数，试写出X 和Y 的联合分布表，并求事件}{1≤+Y X 的概率.解：X 、Y 各自可能的取值均为0、1、2，由题设知，)(Y X ，取（1，2）、（2，1）、（2，2）均不可能. 取其他值的概率可由古典概率计算. 从6个球中任取2个一共有26C =15种取法. )(Y X ，取)00(，表示取得的两个球是白球，其取法只有一种，所以其概率为 }{1510,0===Y X P ，类似地)(Y X ，取其他几对数组的概率为如下： }151}20{}02{,154}11{154152201{}10{==========⨯======Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P ，，，，，，)(Y X ，的联合概率分布表为5P {所取两个球中至少有一个白球}=P {所取两个球中黑球和红球的和不超过一个}=}1{≤+Y X P ，由于事件}1{≤+Y X 包含三个基本事件，分别对应着点（0，0）、（0，1）和（1，0），所以：.53154154151}01{}10{}00{}1{=++===+==+===≤+Y X P Y X P y X P Y X P ，，， 3.1.3 二维连续型随机变量及其分布定义3.3：设二维随机变量)(Y X ，的分布函数为)(y x F ，，如果存在非负可积的二元函数)(y x f ，，使得对任意实数y x 、，有}{⎰⎰∞-∞-=≤≤=xydudv v u f y Y x X P y x F )(,)(、，，则称)(Y X ，为二维连续型随机变量，称函数)(y x f ，为二维随机变量)(Y X ，的概率密度函数或随机变量X 和Y 的联合密度函数.由分布函数的定义知，联合密度函数)(y x f ，具有以下性质： （1）0)(≥y x f ，；（2）1)(=⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f ，；（1)(=∞++∞，即F ）反过来，如果一个二元函数)(y x f 、同时满足性质（1）、（2），则它一定是某个二维随机变量的概率密度函数.6 （3）若)(y x f 、在点)(y x 、处连续，则有)()(2y x f yx y x F ，，=∂∂∂； （4）设D 是xoy 平面上任一区域，则点),(y x 落在D 内的概率为{σd y x f D Y X P D)(})(，，⎰⎰=∈.在几何上，{})(D Y X P ∈，的值等于以D 为底，曲面)(y x f Z 、=为顶的曲顶柱体的体积.与一维随机变量相似，有如下常用的二维均匀分布和二维正态分布二维均匀分布：设D 是平面上的有界区域，其面积为A ，若二维随机变量),(Y X 具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(Dy x A y x f则称),(Y X 在D 上服从均匀分布.二维正态分布：若二维随机变量)(Y X ，的概率密度为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⋅---⋅---=2222221121212221)(2)()1(21exp 121),(σμσμσμρσμρρσσπy y x x y x f（+∞<<∞-+∞<<-∞y x ,）其中参数ρσσμμ，，，，2121均为常数，且10021<>>ρσσ，，，则称)(Y X ，服从参数为2121σσμμ，，，及ρ的二维正态分布，记作）；，，，，ρσσμμ222121(~)(N Y X .7如图3-4所示，二维正态分布以），（21μμ为中心，在中心附近具有较高的密度，离中心越远，密度越小，这与实际中很多现象相吻合.图 3-3 二维正态分布密度函数图象例3.2 设二维随机变量)(Y X ，的概率密度函数为⎩⎨⎧≥≥=+-其它，，，，000)()32(y x Ce y x f y x求：（1）常数C ；（2）)(Y X ，的分布函数)(y x F ，；（3）}{Y X P <.解：（1）由)(y x f ，的性质2可知：⎰⎰⎰⎰∞+∞++-∞+∞-∞+∞-==)32()(1dxdy Ce dxdy y x f y x ，=⎰⎰∞+∞+--⋅=03261C dy e dx e Cy x所以：6=C （2）⎰⎰∞-∞-=xydxdy y x f y x F )()(，，8 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--==⎰⎰--+-其它，，，000)1)(1(60032)32(y x e e dxdy e x y y x y x（3）.526),(}{00)32(⎰⎰⎰⎰∞++-<===<y y x yx dy e dx dxdy y x f Y X P .例3.3 设二维随机变量)(Y X ，的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它，，，，010104)(y x xy y x fD 为xoy 平面内由x 轴、y 轴和不等式1<+y x 所确定的区域，求{}DY X P ∈)(，.解：如图3-4所示： {}⎰⎰=∈Ddxdy y x f D Y X P )(),(，⎰⎰-=xxydy dx 101461=例3.4 设),(Y X 在圆域}{4),(22≤+y x y x 上服从均匀分布，求（1）),(Y X 的概率密度；（2）}{10,10<<<<Y X P解：（1）圆的面积为π4=A ，故),(Y X 的概率密度为9⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他,04,41),(22y x y x f π（2）用G 表示不等式10,10<<<<y x 所确定的区域，由分布函数的性质4有}{10,10<<<<Y X P =⎰⎰=Gdxdy y x f 41),(.(注意概率密度),(y x f 在圆以外的区域都等于零)10 §3.2 边缘分布二维随机变量)(Y X ，作为一个整体，它具有分布函数)(y x F ，.而分量X 和Y 也都是随机变量，也有其各自的分布函数. 记X 和Y 的分布函数为)(x F X 和)(y F Y ，分别称它们为二维随机变量)(Y X ，关于X 和关于Y 的边缘分布函数. 边缘分布函数可以由)(Y X ，的联合分布函数)(y x F ，来确定：{}{})()(∞+=+∞<≤=≤=，，x F Y x X P x X P x F X即：)()(∞+=，x F x F X ；同理)()(y F x F Y ，+∞=. 下面分别讨论二维离散型随机变量和二维连续型随机变量的边缘分布3.2.1 二维离散型随机变量)(Y X ，的边缘分布设)(Y X ，是二维离散型随机变量，设其概率分布为{}.21 ，，，，，====j i p y Y x X P ij j i则X 的边缘分布律为：{}{}{}{}.21121，，，，，==+==++==+====∑∞=i p y Y x X P y Y x X P y Y x X P x X P j ijj i i i i X 的边缘分布函数为 ∑∑≤=+∞=x x jijX i px F x F ),()(.若将{}∑∞===1j iji px X P 记为），.21( =∙i p i ，则X 的边缘分布可写成表格形式且满足1=∑⋅ii p .同理，Y 的边缘分布律为：{}{}{}{}.21121，，，，，===+==++==+====⋅∞=∑j p p y Y x X P y Y x X P y Y x X P y Y P ji ij j i j j j写成表格形式有满足1=∑⋅jj p .Y 的边缘分布函数为∑∑≤=+∞=y y iijY j py F y F ),()(例3.5 设)(Y X ，的概率分布由下表给出，求X 和Y 的边缘分布.解：{}{}000====Y X P X P ，+{}10==Y X P ，+{}20==Y X P ， 80.035.030.015.0=++=同理可求得：20.003.012.005.0}1{=++==X P20.0}0{==Y P ， 42.0}1{==Y P ， 38.0}2{==Y P将X 和Y 的边缘分布列入),(Y X 的联合分布表中通过该例，可以很明显地看出，边缘分布∙i p 和j p ∙分别是联合分布表中第i 行和第j列各元素之和.3.2.2 二维连续型随机变量)(Y X ，的边缘分布设)(Y X ，是二维连续型随机变量，它的概率密度函数为),(y x f ，则X 的边缘分布函数为： ⎰⎰∞-∞+∞-⎢⎣⎡⎥⎦⎤=∞+=x X dx dy y x f x F x F )()()(，， 其密度函数为：⎰∞+∞-=∞+'='=dy y x f x F x F x f XX )()()()(，，同理，Y 的边缘分布函数为⎰⎰∞-∞+∞-⎢⎣⎡⎥⎦⎤=+∞=y Y dy dx y x f y F y F )(),()(，其密度函数为⎰∞+∞-='=dx y x f y F y f Y Y )()()(，通常分别称)(x f X 和)(y f Y 为二维随机变量)(Y X ，关于X 和Y 的边缘密度函数. 例3.6 设随机变量)(Y X ，的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤=其它，，，010)(y x y x k y x f试求参数k 的值及X 和Y 的边缘密度.解：根据联合密度函数的性质，有⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-===101181)(x k ydydx x k dxdy y x f ， 所以： 8=kX 的边缘密度函数⎰+∞∞-=dy y x f x f X )()(，当x <0或1>x 时，),(y x f 都等于零，所以此时0)(=x f X当10≤≤x 时，且1≤≤y x 时，xy y x f 8),(=，所以⎰-==12)1(48)(xX x x xydy x f即： ⎩⎨⎧≤≤-=其它，，010)1(4)(2x x x x f X同理可得： ⎩⎨⎧≤≤=其它，，0104)(3y y y f Y例3.7 设随机变量)(Y X ，的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它，，，010,104)(y x y x y x f试求X 和Y 的边缘密度.解：关于X 的边缘密度⎰+∞∞-=dy y x f x f X )()(，当x <0或1>x 时，),(y x f 都等于零，所以此时0)(=x f X当10≤≤x 时，且10≤≤y 时，xy y x f 4),(=，所以⎰==124)(x xydy x f X即： ⎩⎨⎧≤≤=其它，，0102)(x x x f X同理可得：⎩⎨⎧≤≤=其它，，0102)(y y y f Y例3.8 求二维正态随机变量)(~)(222121ρσσμμ；，，，，N Y X 的边缘密度.解：记X 和Y 的边缘密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y由于222222112121)(2)(σμσμσμρσμ-+-⋅---y y x x=211221122))(1()(σμρσμρσμ--+---x x y所以：dy eedy y x f x f x y x X 211222121)()1(212)(221121)()(σμρσμρσμρσπσ-----∞+∞-∞+∞---∞+∞-⎰⎰⎰⋅-==，令 )(1111222σμρσμρ----=x y t则 )(x f X dt eet x ⎰∞+∞----=22)(1212121σμσπ21212)(121σμσπ--=x e （+∞<<-∞x ）可见 )(~211σμ，N X ；同理可得：2222)(221)(σμσπ--=y Y ey f （+∞<<-∞y ）即)(~222σμ，N Y .比较联合密度)(y x f ，和边缘密度函数)()(y f x f Y X 、，我们注意到当且仅当0=ρ时，对一切)y x ，（有)()()(y f x f y x f Y X ⋅=，. 以上对二维正态分布的讨论说明：（1）二维正态分布的边缘分布是一维正态分布，由二维联合分布可以唯一确定其每个分量的边缘分布；（2）已知X 与Y 的边缘分布，并不能唯一确定其联合分布，还必须知道参数ρ的值.譬如两个二维正态分布）；，，，2/11100(N 和）；，，，3/11100(N ，它们的联合分布不同，但其边缘分布都是标准正态分布. 引起这一现象的原因是二维联合分布不仅含有每个分量的概率分布，而且还含有两个变量X 与Y 之间相互关系的信息，而后者正是人们研究多维随机变量的原因. 联合分布中的参数ρ的值，反映了两个变量X 与Y 之间相关关系的密切程度.从以上几个例题可知，联合密度决定边缘密度，但反过来知道边缘密度并不能唯一确定联合密度3.2.3．二维随机变量的独立性在前面我们已经知道，随机事件的独立性在概率计算中起着很大的作用.在多维随机变量中，它们的分量的独立性在概率论和数理统计的研究中占有十分重要的地位。
第3章随机向量33二维正态分布
因此, 联合概率密度中的参数1,2,1,2
分别是X和Y的期望值和标准差.
4
二维正态分布的相关系数
证明： 服从二元正态分布的随机变量(X , Y), X 和Y的相关系数就是参数.
E( E )( E) D D
2
st 1
2
exp
s2 2
(t s)2 2(1 2 )
dtds
(X
,Y)
~
N
(1,
2 1
,
2
,
2 2
,
)
性质:
(1)边缘分布分别为X~N(μ1,σ12), Y~N(μ2,σ22);
(2)参数ρ为随机变量X和Y的相关系数,即 ρ=ρXY; (3) X,Y独立等价于 ρXY = 0.
定理: 二元正态分布的边缘分布为一元正态分布.
2
定理的证明
证 1(x)
( x,
y )dy, 而因dy
2dt,
1 ( x)
2 1
1 1
2
exp
s2 2
(t 2(1
s)2 2)
dt
s)2
2
1
2
exp
2(1
2)
dt
1
e
(
x 1
2
2 1
)
2
2 1
3
定理的证明(续)
同样可证
2(y)
1
2 2
exp
(y 2)2
2
2 2
s
2
exp
s2 2
2
t 1
2
exp
(t 2(1
s)2 2)
dtds
s 2 2
概率论与数理统计正态分布4-3 二维正态分布课件
概率论与数理统计教程（第五版）
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§4.3 二维正态分布
2 2 设 ( X , Y ) ~ N ( , , , [定理3] x y x y , r) , 则 X 与 Y 独立的充要条件是 r 0.
证： 必要性：若随机变量 X 与Y 相互 独立， 则r 0 . 充分性：若 r 0 , 则二维正态分布的联合密度可化为：
I ( x) y2
r( x x )
y (1 r ) t e
t 2 2
dt
r y ( x x )
x
]e
t 2 2
dt
x
1 r
2
e
t 2 2
dt
r y ( x x )
所以
概率论与数理统计教程（第五版）
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§4.3 二维正态分布
y y r( x x ) ( x x ) 1 , 2 2 2 x 2(1 r ) y x
2
2
y y r( x x ) 1 [ ], 则 设t 2 y x 1 r
f ( x , y ) 2 π x y e
1
2 2 [ ( x x ) 2 x ( y y ) 2 y ] 2
1 2 π x
e ( x x )
2
2 ( 2 x )
1 2 π y
e
2 ( y y )2 ( 2 y )
f X ( x ) fY ( y ) . 所以,随机变量 X 与 Y相互独立.
x x
《概率论与数理统计》3-3 边缘分布
2
2
2
1 arctan x 2
同理 ,
x ,
1 FY y lim F x, y 2 arctan y x 2 2 2
求 :⑴ C , ⑵ P X Y 1 . 解 又 ⑴由性质 :
x, y D,
其它 ,
f x, y d 1.
y
2 1
D1
O
1
x
f x, y d 0 dx0 Cxydy
1 1 2 C x y dx 2C xdx 0 2 0 0 1 2
P X ,Y D f x, y dxdy.
D
注: 注意分块积分. 只对密度函数为正的部分积分.
例1 设 D 是由 x 0, y 0, x 1, y 2 所围成的平面区
域 , 二维随机变量 X , Y 的联合概率密度函数为:
Cxy f x, y 0
fY y
所以
f x, y dx y 1dx 2 2 y,
0 y 1,
其它 .
2 y
2 2 y fY y 0
y
1 yx
y 2 x
O
1
2x
2 , , 定理 3.6 设 X , Y ~ N 1 , 2 , 12 , 2
2 1
,Y
.
证明 :
f X x
y 2
概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
二维正态分布的应用场景
金融领域
在金融领域中，二维正态分布常 用于描述股票价格或其他金融变 量的联合分布，帮助投资者进行 风险评估和投资组合优化。
自然学科
在物理、化学、生物等自然学科 中，二维正态分布可用于描述实 验数据的误差分布、气象数据的 联合概率分布等。
概率论与数理统计正态分 布4-3二维正态分布课件源自目录CONTENTS
• 二维正态分布概述 • 4-3二维正态分布特性 • 4-3二维正态分布的性质 • 4-3二维正态分布的统计推断 • 4-3二维正态分布的实际应用
01 二维正态分布概述
二维正态分布的定义
二维正态分布是概率论与数理统计中 一种重要的概率分布，描述了两个随 机变量之间相互独立且具有相同的正 态分布关系。
03
4-3二维正态分布描述了两个随机变量之间线性关系 的情况。
4-3二维正态分布的数学表达式
1
4-3二维正态分布的数学表达式为f(x1, x2) = (1 / (2πσ1σ2)) * exp(-((x1-μ1)^2/2σ1^2 + (x2μ2)^2/2σ2^2))。
2
该表达式描述了两个随机变量x1和x2的概率密度 函数，其中μ1, μ2, σ1^2 和σ2^2是常数。
方差齐性检验
通过检验各组数据的方差是否相等，判断数据是 否满足方差分析的前提条件。
方差分析表
列出各组数据的均值、方差、自由度和贡献度等 信息，用于比较不同组之间的差异。
05 4-3二维正态分布的实际 应用
在金融领域的应用
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，例如Black-Scholes模型， 以评估衍生品的价值。
3-3 二维连续型随机变量
F (,y) 0 F ( x, ) 0 2）非负性： f ( x) 0 ． F (， ) 0 F (， ) 1 2）单调性 F ( x,y) 是单调不减函数 3）右连续性 F ( x 0,y) F ( x,y) ， 3）规范性： f ( x)dx 1． F ( x,y 0) F ( x,y) ． 4）任意实数 a , b ，且 a b ，有 4）对任意的 x1 x 2 , y1 y 2
x
C 1
（2）P X 2
e y , x 0, y x, f x, y 其他. 0,
x2
2
f ( x , y )dxdy dx
x
e dy
y
2
e x dx e 2．
（3）f X ( x )
x 3dy, 0 x 1 2 2 3( x x ), 0 x 1 f ( x, y )dy x 0, 其它 0, 其它
fY ( y )
y 3dx, 0 y 1 y 2 3( y y 2 ), 0 y 1 f ( x, y )dx 0, 其它 其它 0,
( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域 , 点 ( X ,Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
P X , Y D
D
1 SD f x, y dxdy dxdy SG D SG
正态分布(第3课时)(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第二册)
（－∞，１）上的面积减去在区间（－∞，－１）上的面积．这样，就有
同样，
因此，随意购买一袋该产品，约有６８．３％的可能性其质量在μ左
右σ的范围内；约有９５．４％的可能性其质量在μ左右２σ的范围内；
约有９９．７％的可能性其质量在μ左右３σ的范围内，如图７-３-６
是一个服从正态分布的随机变量．
例５ 某公司生产的糖果每包标识质量是５００g，但公司承认实际质量存在
误差．已知每包糖果的实际质量服从μ＝５００、σ２＝２．５２的正态分
布．问：随意买一包糖果，其质量误差超过５ｇ（即１％）的可能性有多
大？（结果精确到０．１％）
解用x表示糖果质量，由题意，可知X ～N
（500, 2.52）．要求｜X －500｜＞５的概率，
和伸缩变换，其形状保持钟形不变
用Φ（ｘ）表示标准正态分布的密度函数y＝φ（ｘ）从－∞到ｘ
的累计面积，如图７-３-４所示，称为标准正态分布函数．
这个函数没有简单的表达式，其函数值可通过近似计算得到．我们
也可以通过某些型号的计算器来查它或者它的反函数的值，如
容易验证y＝φ（ｘ）是一个偶函数，所以该函数在区间
解数据成为非常重要的事．正态分布已经是生活中一个常用
的词了．例如，我们常提起学生的考试成绩是不是正态分布，
某个城市的家庭收入是不是正态分布，等等．那么，究竟什
么是正态分布呢？平日所说的正态分布，大体上是指数据对
称地分布在某个中心值两边，且离中心值越远，分布得越少
一包米的外包装上标示的 5 0 0 0 g，但实际上是有误差的．假设
所示．这称为正态分布的３σ（ｓｉｇｍａ）原则．
课本练习
4-3二维正态分布
≤z),下面分情况 所以 FZ(z)=P(Z≤z)= P(X2+Y2≤z),下面分情况 (X 讨论
当z≤0时，显然， FZ(z)=0；当z>0时， 时 显然， ； 时
1 F (z) = Z ∫∫2 e 2π x2 +y ≤z
x2 +y2 − 2
dxdy
z − 2
z 1 2π 2 = ∫ dθ∫ e dρ =1−e 0 2π 0
2
dy
置换积分变量
( y − µy ) r(x − µx ) + = t ，得到 2 σx 1−r σy
r(x − µx ) 2 I(x) =σy 1−r ∫ t 1−r + e dt −∞ σx t2 t2 +∞ − rσy (x −µx ) +∞ − 2 2 2 =σy (1−r ) ∫ te dt + 1−r ∫ e 2 dt
e
(x−µ )2 (x−µx )( y−µy ) ( y−µy )2 1 x − −2r + 2 2 2 σxσy 2(1−r ) σx σy
(
)
N(µx , µy ,σx ,σ y , r)
二维正态分布的分布曲面它的形状类似山岗， 二维正态分布的分布曲面它的形状类似山岗，在点
为计算Z的方差， 为计算Z的方差，先计 算 +∞
2 2 −∞
E(Z2 )
可得
+∞ 0
E( Z ) = ∫ z fZ (z)dz = ∫
1 +∞ 2 = ∫ z ⋅ e dz 2 0
z − 2
1 z ⋅ e dz 2
2
z − 2
z 置换积分变量 = t, z = 2t, 2
经管类概率论与数理统计第三章多维随机变量及概率分布
3.1二维随机变量的概念3.1.1二维随机变量及其分布函数到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其他布，但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。
例如，在打靶时，以靶心为原点建立直角坐标系，命中点的位置是由一对随机变量（X，Y）（两个坐标）来确定的。
又如考察某地区的气候，通常要考察气温X，风力Y，这两个随机变量，记写（X，Y）。
定义3.12个随机变量X，Y组成的整体Z=（X，Y）叫二维随机变量或二维随机向量。
定义3.2（1）二元函数F（x,y）=P（X≤x,Y≤y）叫二维随机变量（X，Y）的联合分布函数，简称分布函数。
记作（X，Y）～F（x,y）。
（2）二维随机变量（X，Y）中，各分量X，Y的分布函数叫二维随机变量（X，Y）的边缘分布函数。
因为X<+∞，Y<+∞即-∞<X<+∞，-∞<Y<+∞，分别表示必然事件，所以有X～F x（x）=P（X≤x）=P（X≤x，Y<+∞）=F（x,+∞）Y～F Y（y）=P（Y≤y）=P（x<+∞，Y≤y）=F（+∞，y）公式可见X，Y的边缘分布可由联合分布函数求得。
3.1.2二维离散型随机变量定义3-3若二维随机变量（X，Y）只取有限多对或可列无穷多对（x i，y j），（i，j=1，2，…），则称（X，Y）为二维离散型随机变量。
设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（x i，y j）（i，j=1，2，…），（X，Y）在各个可能取值的概率为：P{X=x i,Y=y j}=P ij（i，j=1，2，…），称P{X=x i,Y=y j}=P ij（i，j=1，2，…）为（X，Y）的分布律。
（X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式：（X，Y）的分布律具有下列性质：（1）p ij≥0（i，j=1，2，…）；（2）反之，若数集{P ij}（i，j=1，2，…）具有以上两条性质，则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律。
高中数学选修2-3 3-2.4正态分布
σ=0.5
3 1 2
若σ固定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移 故μ称为位置参数
均数相等、方差不等的正态分布图示
μ=0
=0.5
故称 为形状参数。
=1
=2
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
例如： 1．设两个正态分布 N(μ1，σ21)(σ1>0)和 N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图
左2右．对位于置有关决正态定分，布的计算高问矮题，胖要瘦记住方正差态总控体；取值
在胖区间大(μ瘦－σ小，μ有＋σ规)，律(μ－，2σ，μ面＋2积σ)，始(μ终－3都σ，是μ＋一3σ)；内的 概率3值σ，原将则所给作问用题转大化，到上述区工间业内解生决产，同需时要要注它意。对称
性的运用和数形结合思想的应用．
方法总结：
1．解决求某区间的概率问题，可以利用正态曲线的对称性， 画出相应的正态曲线图象，应用数形结合把“求某一区间内的 概率”问题转化为求“阴影部分面积”问题．
2．注意概率值的求解转化 (1)P(X<a)＝1－P(X≥a) (2)P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)
题型三：正态分布的应用 例 3 在某次数学考试中，考生的成绩 X 服从一个正态分
B．σ3>σ2>σ1
C．σ1>σ3>σ2
D．σ2>σ1>σ3
3.特殊区间的概率:
3. 3σ 原则
(1)若 X～N(μ，σ2)，则对于任何实数 a>0，P(μ－a<X≤μ＋a)＝__μ_＋_a_φ__μ，__σ_(x__)_d_x.
(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率：