首都师范大学附属中学2018-2019高一上数学期中(解析版)
首都师范大学附属中学2018-2019高一上数学期中一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1. 已知集合U ={x ∈Z |0≤x ＜7}，A ={1，2，3}，B ={5，4，3，2，1}，则A ∩∁U B =（ ）A. ⌀B. {1,2，3}C. {1,2，3，4，5}D. {0,1，2，3，6} 2. 下列函数中，与y =x 相同的函数是（ ）A. y =√x 2B. y =lg10xC. y =x 2xD. y =(√x −1)2+13. 函数f （x ）=3x +2x -7的零点所在区间为（ ）A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)4. 已知a =（12）3，b =0.3-2，c =log122，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A. a >b >cB. a >c >bC. c >b >aD. b >a >c 5. 下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（-∞，0）上单调递增的函数是（ ）A. f(x)=x 2B. f(x)=2|x|C. f(x)=log 21|x|D. f(x)=x|x|6. 函数f(x)={(13)x x ∈(−∞0](2a −1)x +(1−a)x ∈(0+∞)在（-∞，+∞）上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A. (0 , 12)B. [0 , 12)C. (−∞ , 12]D. (12 , +∞)7. 已知奇函数f （x ）在（-∞，0）上单调递减，且f （3）=0，则不等式（x -1）f （x ）＞0的解集为（ ） A. (−3,−1) B. (−3,−1)∪(2,+∞) C. (−3,0)∪(3,+∞) D. (−1,0)∪(1,3)8. 已知函数f （x ）=a （x -a ）（x +a +3），g （x ）=2x -2，若对任意x ∈R ，总有f （x ）＜0或g （x ）＜0成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (−∞,−4)B. [−4,0)C. (−4,0)D. (−4,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共24.0分） 9. 给定映射f ：（a ，b ）→（a +2b ，2a -b ），则在映射f 下，（3，1）的原象是______． 10. 计算2log 214-（827）23+lg 1100+（√2-1）lg1的值为______．11. 已知函数f （x ）=2x +b 在区间（-1，2）上的函数值恒为正，则b 的取值范围为______． 12. 函数y =log12（-x 2+4x ）的单调递减区间为______．13. 已知三个函数f （x ）=2x +x ，g （x ）=x -2，h （x ）=log 2x +x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是______． 14. 某同学为研究函数f(x)=√1+x 2+√1+(1−x)2(0≤x ≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP =x ，则AP +PF =f （x ）．请你参考这些信息，推知函数f （x ）的图象的对称轴是______；函数g （x ）=4f （x ）-9的零点的个数是______． 三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.己知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x2-4x-12＞0}．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．16.已知函数f（x）=log a（1+2x）-log a（1-2x）（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并给予证明；（3）求关于x的不等式f（x）＞0的解集．17.定义在[-4，4]上的奇函数f（x），已知当x∈[-4，0]时，f（x）=14x +a3x（a∈R）．（1）求f（x）在[0，4]上的解析式；（2）若x∈[-2，-1]时，不等式f（x）≤m2x -13x−1恒成立，求实数m的取值范围．18.对于函数f（x），若存在实数，使得f（x0）=x0成立，则x0称为f（x）的“不动点”．（1）设函数f（x）=3x+2x+2，求f（x）的不动点；（2）设函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-2（a≠0），若对于任意的实数b，函数f（x）恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；（3）设函数f（x）定义在（-∞，+∞）上，证明：若f（f（x））存在唯一的不动点，则f（x）也存在唯一的不动点．第2页，共12页答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵U=U={x∈Z|0≤x＜7}={0，1，2，3，4，5，6}，B={5，4，3，2，1}，∴∁U B={0，6}∵A={1，2，3}，∴A∩∁U B=∅，故选：A．利用补集的定义求出集合B的补集，利用交集的定义求出A∩∁U B．本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行集合间的运算．2.【答案】B【解析】解：对于A，y==|x|（x∈R），与函数y=x的对应法则不同，不是同一函数；对于B，y=lg10x=x（x∈R），与函数y=x的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数；对于C，y==x（x≠0），与函数y=x的定义域不同，不是同一函数；对于D，y=+1=x（x≥1），与函数y=x的定义域不同，不是同一函数．故选：B．根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．3.【答案】C【解析】解：易知函数f（x）=3x+2x-7在定义域上是连续增函数，f（1）=3+2-7=-1＜0，f（2）=9+4-7=6＞0，f（1）f（2）＜0；由零点判定定理，可知函数f（x）=3x+2x-7的零点所在的区间为（1，2）；故选：C．由题意易知函数f（x）=3x+2x-7在定义域上是连续增函数，再由函数零点的判定定理求解．本题考查了函数的零点的判断，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：a=（）3∈（0，1），b=0.3-2＞1，c=log2＜0，则a，b，c的大小关系是：b＞a＞c．故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x2，为二次函数，其对称轴为y轴，在其定义域内既是偶函数但在（-∞，0）上单调递减，不符合题意；对于B，y=2|x|=，在其定义域内既是偶函数但在（-∞，0）上单调递减，不符合题意；对于C，f（x）=log 2=f（x）=-log2|x|=，在其定义域内既是偶函数又在（-∞，0）上单调递增，符合题意；对于D，y=x|x|=，为奇函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．6.【答案】B【解析】第4页，共12页解：依题意，，解得0≤a＜，故选：B．由题意，此分段函数是一个减函数，故一次函数系数为负，且在分段点处，函数值应是右侧小于等于左侧，由此得相关不等式，即可求解本题考查函数单调性的性质，熟知一些基本函数的单调性是正确解对本题的关键，本题中有一易错点，忘记验证分段点出函数值的大小验证，做题时要注意考虑完全．7.【答案】D【解析】解：根据题意，f（x）为奇函数且f（3）=0，则f（-3）=0，又由f（x）在（-∞，0）上单调递减，则在（-∞，-3）上，f（x）＞0，在（-3，0）上，f（x）＜0，又由f（x）为奇函数，则在（0，3）上，f（x）＞0，在（3，+∞）上，f（x）＜0，则f（x）＜0的解集为（-3，0）∪（3，+∞），f（x）＞0的解集为（-∞，-3）∪（0，3）；（x-1）f（x）＞0⇒或，分析可得：-1＜x＜0或1＜x＜3，故不等式的解集为（-1，0）∪（1，3）；故选：D．根据题意，由奇函数的性质可得f（-3）=0，结合函数的单调性分析可得f（x）＞0与f（x）＜0的解集，又由（x-1）f（x）＞0⇒或，分析可得x 的取值范围，即可得答案．本题函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析f（x）＞0与f（x）＜0的解集，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由g（x）=2x-2＜0，得x＜1，故对x≥1时，g（x）＜0不成立，从而对任意x≥1，f（x）＜0恒成立，由于a（x-a）（x+a+3）＜0对任意x≥1恒成立，如图所示，则必满足，解得-4＜a＜0．则实数a的取值范围是（-4，0）．故选：C．由题意可知x＜1时，g（x）＜0成立，进而得到a（x+a）（x-2a+1）＜0对x≥1均成立，得到a满足的条件，求解不等式组可得答案．本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题．9.【答案】（1，1）【解析】解：由题意，，解得．∴在映射f下，（3，1）的原象是（1，1）．故答案为：（1，1）．由题意可得，求解方程组得答案．本题考查映射的概念，是基础的计算题．10.【答案】−4336【解析】解：原式=．故答案为：．进行分数指数幂和对数的运算即可．考查分数指数幂和对数式的运算．11.【答案】[2，+∞）【解析】第6页，共12页解：∵f（x）=2x+b为增函数，∴若f（x）=2x+b在区间（-1，2）上的函数值恒为正，则只需要f（-1）=-2+b≥0即可，即b≥2，即实数b的取值范围是[2，+∞），故答案为：[2，+∞）结合函数f（x）是增函数，转化为f（-1）≥0即可．本题主要考查函数恒成立问题，利用函数为增函数，转化为最小值大于等于0是解决本题的关键．12.【答案】（0，2）【解析】解：由-x2+4x＞0得：x∈（0，4），故函数f（x）的定义域是（0，4）；令t=-x2+4x，则y=log t，∵y=log t为减函数，t=-x2+4x在（0，2）上为增函数，在（2，4）上为减函数；故函数y=log（-x2+4x）的单调递减区间为是（0，2）．故答案为：（0，2）．根据真数大于0，可得函数的定义域；结合复合函数“同增异减”的原则，可确定函数的单调递减区间．本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的定义域，对数函数的图象和性质，难度中档．13.【答案】a＜c＜b【解析】解：由于f（-1）==＜0，f（0）=1＞0，故f（x）=2x+x的零点a∈（-1，0）．∵g（2）=0∴g（x）的零点b=2；∵h （）==，h（1）=1＞0∴h（x）的零点c∈（），由于函数f（x）=2x+x，g（x）=x-2，h（x）=log2x+x均是定义域上的单调增函数，∴a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b．根据函数解析式判断出f（x）=2x+x，g（x）=x-2，h（x）=log2x+x都是单调递增函数，运用函数零点定理判断a，b，c的范围即可得a，b，c的大小．本题考查了函数的单调性，在求解函数零点的范围问题中的应用，结合函数零点定理判断即可．14.【答案】x =122【解析】解：由题意可得函数f（x）=AP+PF，从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中，在运动到BC的中点之前，PA+PF的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，∵当点P在BC的中点上时，即C、B、P三点共线时，即P在矩形ADFE的对角线AF上时，PA+PF取得最小值；当P在点B或点C时，PA+PF取得最大值∴函数f（x）的图象的对称轴是；g（x）=4f（x ）-9=0，即f（x）=．故函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数就是f（x）=的解的个数．而由题意可得f（x）=的解有2个，故答案为：；2从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中，在运动到BC的中点之前，PA+PF的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，可得函数f（x）的图象的对称轴；函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数就是f（x）=的解的个数．第8页，共12页本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，考查化归与转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）∵集合A ={x |a ≤x ≤a +3}，B ={x |x 2-4x -12＞0}={x |x ＜-2或x ＞6}，A ∩B =∅， ∴{a +3<6a>−2，解得-2＜a ＜3．∴实数a 的取值范围是（-2，3）． （2）∵A ∩B =B ，∴A ⊆B ， ∴a +3＜-2或a ＞6， 解得a ＜-5或a ＞6．∴实数a 的取值范围是{a |a ＜-5或a ＞6}． 【解析】（1）求出集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x ＜-2或x ＞6}，由A∩B=∅，列出不等式组，能求出实数a 的取值范围．（2）由A∩B=B ，得到A ⊆B ，由此能求出实数a 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】解：（1）根据题意，函数f （x ）=log a （1+2x ）-log a （1-2x ），则有{1−2x >01+2x>0，解可得-12＜x ＜12， 即函数f （x ）的值域为（-12，12）；（2）函数f （x ）=log a （1+2x ）-log a （1-2x ），则f （-x ）=log a （1-2x ）-log a （1+2x ）=-[log a （1+2x ）-log a （1-2x ）]=-f （x ）， 则函数f （x ）为奇函数，（3）根据题意，log a （1+2x ）-log a （1-2x ）＞0即log a （1+2x ）＞log a （1-2x ），当a ＞1时，有{1+2x ＞01−2x ＞01+2x ＞1−2x ，解可得0＜x ＜12，此时不等式的解集为（0，12）；当0＜a ＜1时，有{1+2x ＞01−2x ＞01+2x ＜1−2x，解可得-12＜x ＜0，此时不等式的解集为（-12，0）；故当a ＞1时，不等式的解集为（0，12）； 当0＜a ＜1时，不等式的解集为（-12，0）． 【解析】第10页，共12页（1）根据题意，由函数的解析式分析可得，解可得x 的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，由函数的解析式分析可得f （-x ）=-f （x ），结合函数的奇偶性的定义分析可得结论；（3）根据题意，分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及性质，注意分析函数的定义域，属于基础题17.【答案】解：（1）f （x ）是定义在[-4，4]上的奇函数，∴f （0）=1+a =0， ∴a =-1，∵f(x)=14x −13x ， 设x ∈[0，4]， ∴-x ∈[-4，0]，∴f(x)=−f(−x)=−[14−x −13−x ]=3x −4x ， ∴x ∈[0，4]时，f （x ）=3x -4x（2）∵x ∈[-2，-1]，f(x)≤m2x −13x−1， 即14x −13x ≤m2x −13x−1即14x +23x ≤m2x x ∈[-2，-1]时恒成立， ∵2x ＞0，∴(12)x +2⋅(23)x ≤m ，∵g(x)=(12)x +2⋅(23)x 在R 上单调递减，∴x ∈[-2，-1]时，g(x)=(12)x +2⋅(23)x 的最大值为g(−2)=(12)−2+2⋅(23)−2=172，∴m ≥172．【解析】（1）根据奇函数的性质即可求出a ，设x ∈[0，4]，-x ∈[-4，0]，易求f （-x ），根据奇函数性质可得f （x ）与f （-x ）的关系；（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决．本题考查函数的奇偶性及其应用，不等式恒成立的问题，考查学生解决问题的能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）由函数f（x）=3x+2=x，得x2-x-2=0，x+2解得x=-1或x=2，∴f（x）的不动点为-1和2．（2）由f（x）=x得：ax2+bx+b-2=0．由已知，此方程有相异二实根，△x＞0恒成立，即b2-4a（b-2）＞0．即b2-4ab+8a＞0对任意b∈R恒成立．∴△b＜0．∴16a2-32a＜0，∴0＜a＜2．∴实数a的取值范围是（0，2）．证明：（3）证法一：设函数f（x）定义在（-∞，+∞）上，f（f（x））存在唯一的不动点，首先若x0为f（f（x））不动点，则f（x0）=x0．否则设f（x0）x1≠x0，则x1也为f（f（x））不动点，即f（f（x））不动点不唯一，与已知f（f（x））存在唯一的不动点矛盾．∴f（x）有不动点x0时，f（x）的不动点也是f（f（x））的不动点，∴若f（f（x））存在唯一的不动点，则f（x）也存在唯一的不动点．证法二：设a是f（f（x））的唯一不动点，f（f（a））=a．设f（a）=b，则f（b）=f（f（a））=a，f（f（b））=f（a）=b∴b也是f（f（x））的不动点．由唯一性，得到b=a，∴f（a）=a，从而a是f（x）的不动点．如果f有其它的不动点c，则c也是f（f（x））的不动点，由唯一性得c=a，∴a是f（x）的唯一不动点．故若f（f（x））存在唯一的不动点，则f（x）也存在唯一的不动点．【解析】（1）设x为不动点，则有f（x）==x，得x2-x-2=0，解方程即可．（2）法一：设 x0为f（f（x））不动点，则f（x0）=x0．否则设f（x0）x1≠x0，则x1也为f（f（x））不动点，与已知f（f（x））存在唯一的不动点矛盾．由此能证明若f（f（x））存在唯一的不动点，则f（x）也存在唯一的不动点．证法二：设a 是f（f（x））的唯一不动点，f（f（a））=a．设f（a）=b，则f（b）=f（f（a））=a，f（f（b））=f（a）=b，由唯一性，得到b=a，从而a是f（x）的不动点．如果f有其它的不动点c，则c也是f（f（x））的不动点，由唯一性得c=a，由此能证明若f（f （x））存在唯一的不动点，则f（x）也存在唯一的不动点．本题考查函数的不动点的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数存在唯一不动点的证明，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．第12页，共12页。
北京师大附中2018-2019学年上学期高中一年级期中考试数学试题(含精品解析)
北京师大附中2018-2019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，则A∩B＝{}2{|10},0,1,2A x x B =-£=A. {0}B. {0，1}C. {1，2}D. {0，1，2}【答案】B【解析】【分析】解出集合B ，再根据集合的交集的概念得到结果.【详解】集合=；，则A∩B ＝{0，1}.2{|10}A x x =-£[]-11，{}0,1,2B =故答案为：B.【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.已知，下列不等式中必成立的一个是（ ）0,a b c d >>>A. B. C. D. a b c d>ad bc <a c b d +>+a c b d ->-【答案】C【解析】【分析】可以通过举出一些特例，用赋值的方法推翻选项.【详解】已知,由不等式的同向相加的性质得到正确；当a=2,b=1,0,a b c d >>>a c b d +>+c=-2,d=-1时，, ，故A ，B ，D 不正确；a b c d<ad bc =a c b d ->-故答案为：C.【点睛】这个题目考查了根据不等式的性质判断大小关系，较为基础.3.“”是“函数只有一个零点”的（ ）1a =-2()21f x ax x =+-A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：求出函数只有一个零点的充分必要条件，根据集合的包含关系判断即可.()221f x ax x =+-详解：若函数只有一个零点，()221f x ax x =+-若时，，只有一个零点，符合题意；0a =()21f x x =-若时，则，解得，0a ¹440a D=+=1a =-综上所述：，1a =±故“”是“函数只有一个零点”的充分不必要条件.1a =-()221f x ax x =+-故选：B.点睛：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．4.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）26()log f x x x=-A. B. （1，2） C. （3，4） D. （4，5）1(,1)2【答案】C【解析】【分析】根据函数的零点存在定理得到结果即可.【详解】函数,是单调递减的函数，,根据零点存()26log f x x x =-()232log 30f =->()3 4202f =-<在定理得到在区间（3，4）上存在零点.故答案为：C【点睛】这个题目考查了函数零点存在定理的应用，即在区间（a,b ）上，若f(a)f(b)<0,则在此区间上函数一定存在零点，但是零点个数不确定；如果判断出函数是单调的，再判断出f(a)f(b)<0，即可得到函数存在唯一的零点.5.已知函数，则1()3()3x x f x =-()f x A. 是奇函数，且在R 上是增函数 B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数 D. 是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数的性质，可得答案.()133xxf x æöç÷=-ç÷èø详解：函数的定义域为，且()133xxf x æöç÷=-ç÷èøR 即函数 是奇函数，()()111333,333x xx x x x f x f x --éùæöæöæöêúç÷ç÷ç÷-=-=-+=--=-ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû()f x 又在都是单调递增函数，故函数 在R 上是增函数。
北京市首都师范大学附属中学第一学期期中考试高一(5-11班)数学试题(解析版)
北京市首都师范大学附属中学第一学期期中考试高一数学试题一、单选题1．已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =（ ）A ．{|1}x x >B ．{|23}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{| 2 x x >或1}x <【答案】B【解析】计算{}{|(1)(3)0}=13B x x x x x =--<<<，再计算A B 得到答案.【详解】{}{|(1)(3)0}=13B x x x x x =--<<<，{|2}A x x =>，故{|23}A B x x ⋂=<<.故选：B . 【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2．已知命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为（ ） A ．∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解 B ．∀c ≤0，方程x 2-x +c =0有解 C ．∃c ＞0，方程x 2-x +c =0无解 D ．∃c ≤0，方程x 2-x +c =0有解【答案】A【解析】利用特称命题的否定是全称命题，可得结果. 【详解】命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解, 故选：A. 【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题.3．已知定义在R 上的函数f （x ）的图像是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f （x ）一定存在零点的区间是（ ）A ．（-∞，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【答案】C【解析】由表中数据，结合零点存在性定理可得出结果. 【详解】由表可知(1)(2)0,(2)(3)0,(3)(4)0f f f f f f ><>， 由零点存在性定理可知f （x ）一定存在零点的区间是（2，3）， 故选：C. 【点睛】本题考查零点存在性定理，理解零点存在性定理是关键，是基础题.4．下列函数中，在其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减的（ ） A ．y =x 2B ．y =3xC ．y =x +1D ．y 【答案】B【解析】运用函数的奇偶性和单调性对每个选项进行判断. 【详解】对A. y =x 2在（0,+∞）上单调递增，故排除；对B. y =3x，其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减；对C. y =x +1，其为非奇非偶函数，故排除；对D. y 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断，是基础题. 5．若a ＞b ，则下列四个不等式中必成立的是（ ） A ．ac ＞bc B ．a c ＞b cC ．a 2＞b 2D ．21ac +＞21b c + 【答案】D【解析】根据不等式的基本性质，逐一分析选项是否恒成立. 【详解】A.当0c 时，不等式不成立；B.当0c <时，不等式不成立；C.当1,2a b ==-时，不等式不成立；D.因为210c +>，故不等式必成立， 故选：D. 【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质，是基础题. 6．函数f (x的最大值为 （ ） A ．2 5 B ．1 2C．D ．1【答案】B【解析】本小题主要考查均值定理．11()12f x ==≤=，即1x =时取等号．故选B ．7．5a ≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值，由x 的范围求得2x 的范围，可得a 的取值范围，然后结合充分条件、必要条件的定义可得结果． 【详解】因为“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值， 而[]x 1,2∀∈，有[]21,4x ∈，所以4a ≥，由5a ≥，可得4a ≥成立，即[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立； 反之，[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立，可得4a ≥，不能推出5a ≥．5a ∴≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的充分而不必要条件，故选A ．【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8．已知奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且()3f m =，则(4)f m -的值为（ ） A ．3 B ．0C ．-3D ．13【答案】C【解析】由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-，再结合()y f x =为奇函数，求得(4)f m -的值.【详解】解：由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-， 再结合()y f x =为奇函数，可得()(4)(4)3f m f m f m =-=--=， 求得(4)3f m -=-， 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的图象的对称性，属于基础题.9．已知函数()2f x ax x =-,若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠,不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围是A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】对不等式()()1212f x f x x x --进行化简，转化为a （x 1+x 2）﹣1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a ＞121x x +恒成立，从而将恒成立问题转变成求121x x +的最大值，即可求出a 的取值范围． 【详解】不妨设x 2＞x 1≥2，不等式()()1212f x f x x x --=22112212ax x ax x x x --+- =()()()12121212a x x x x x x x x -+---=a （x 1+x 2）﹣1，∵对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，不等式()()1212f x f x x x --＞0恒成立，∴x 2＞x 1≥2时，a （x 1+x 2）﹣1＞0，即a ＞121x x +恒成立∵x 2＞x 1≥2 ∴121x x +＜14∴a≥14，即a 的取值范围为[14，+∞）； 故选：D ． 【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，本题以“任性函数”的形式考查函数恒成立求参数取值范围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为()0F x <的形式，即求()max 0F x < ，或是()0F x >的形式，即求()min 0F x < ，求参数取值.10．给定条件：①∃x 0∈R ，f （-x 0）=-f （x 0）；②∀x ∈R ，f （1-x ）=-f （1+x ）.下列三个函数：y =x 3，y =|x -1|，y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩中，同时满足条件①②的函数个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据条件②得函数图象关于（1，0）对称，故可判断y =x 3；根据00110x x --+-=的解的情况，可判断y =|x -1|；最后验证y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩满足①②. 【详解】解：令()(1)g x f x =+，则()(1)(1)()g x f x f x g x -=-=+=， 所以()g x 为偶函数，关于(0,0)对称，将()(1)g x f x =+的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，故()f x 图象关于(1,0)对称，故可排除3y x =；若存在一个0x 使得0011x x --=--，即00110x x --+-=，该方程无解，故|1|y x =-不满足②，排除；对于221,143,1x x y x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，当1x =时，2(1)(1)10,(1)(143)0f f -=--=-=--+=，其满足①， 画出图象如下：由图象可知，满足②. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的基本性质，根据条件能判断出函数关于(1,0)对称是关键，属于中档题.二、填空题11．计算210.00013427--2327()8【答案】134【解析】化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值. 【详解】原式()()23123443339130.13109244-⎡⎤⎛⎫=-+=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：134. 【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题.12．函数y 11x -的定义域为____________. 【答案】[12，1）∪（1，+∞） 【解析】令被开方数大于等于0，同时分母非0，列出不等式组，求出x 的范围. 【详解】解：要使函数有意义需要21010x x -≥⎧⎨-≠⎩解得12x ≥且1x ≠，故答案为：[12，1）∪（1，+∞）. 【点睛】求函数的定义域，要保证开偶次方根的被开方数大于等于0；分母非0；对数的底数大于0且不为1，真数大于0等方面考虑.13．若函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，则a 的值为____________. 【答案】-1或1【解析】对a 分类讨论，利用函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，建立方程，即可求得a 的值. 【详解】解：由题意，当0a ≥时，(2)4f a +=，即22)2(2)4(1a a +-++=，2(1)4,1a a ∴+=∴=；当0a <时，()4f a =，即2214a a -+=，2(1)4,1a a ∴-=∴=-；综上知，a 的值为1或−1. 故答案为：1或−1. 【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.14．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________. 【答案】（-∞，-12） 【解析】方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.15．能说明“若()()f x g x 对任意的[0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上的最小值大于()g x 在[0,2]上的最大值”为假命题的一对函数可以是()f x =____，()g x =_______。
2018-2019学年北京师大附中高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年北京师大附中高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：因为，，所以，，故选D.【考点】1.集合间的基本关系；2.集合的交集运算2．若函数()()()222331f x a a x a x =--+-+的定义域和值域都为R ，则关于实数a的下列说法中正确的是A ．1a =-或3B ．1a =-C ．3a >或1a <-D ．13a -<<【答案】B【解析】若函数()()()222331f x a a x a x =--+-+的定义域和值域都为R ，则2230a a --=.解得1a =-或3.当1a =-时，()41f x x =-+，满足题意；当3a =时，()1f x =，值域为{1}，不满足题意.故选B.3．下列函数中，在区间上是增函数的是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】已知函数为上的增函数，，为R 上的减函数；在和上单调递减.故选A.4．给定四个函数：①；②；③；④，其中是奇函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】①函数的定义域为R ,则,则函数f (x )是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称,则函数f (x )为非奇非偶函数；③函数的定义域为R ,f (0)=0+1=1≠0,则函数f (x )为非奇非偶函数；④函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),,则函数f (x )是奇函数，故选B.5．函数在R 上为增函数，且，则实数m 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.故选C.6．函数2y ax bx =+与()0y ax b ab =+≠的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】显然函数2y ax bx =+过原点，故排除A,二次函数函数的零点为0x =和b x a =-，一次函数的零点为b x a=-.两函数图象在x 轴上有一个公共点，故排除B,C.D.由一次函数图象可得a ＜0,b>0,函数函数开口向下，零点0ba->,此选项正确.故选D.点睛：二次函数y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数,a≠0)图象与系数的关系(1)a 决定开口方向及开口大小,当a ＞0时,开口向上;当a ＜0时,开口向下;(2)c 决定二次函数与y 轴交点的位置.当x=0时,y=c,所以二次函数与y 轴有且只有一个交点(0,c).①当c=0时,抛物线经过原点;②当c ＞0时,抛物线与y 轴交于正半轴;③当c ＜0时,抛物线与y 轴交于负半轴.2、一次函数y=kx+b 图象跨越的象限:k ＞0,b ＞0,则函数经过一、二、三象限;k ＞0,b ＜0,函数经过一、三、四象限;k ＜0,b ＞0时,函数经过一、二、四象限;k ＜0,b ＜0时,函数经过二、三、四象限.7．函数()f x =）A ．[1,3)-B ．[1,3]-C ．(1,3)-D ．(,1][3,)-∞-+∞ 【答案】B【解析】试题分析：由题意，和2230x x -++≥，解得13x -≤≤，所以函数()f x 的定义域为[1,3]-，故选B．【考点】函数的定义域．8．是区间上的偶函数并且在区间上是减函数，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．二者无法比较【答案】A【解析】由函数为偶函数可知，再利用函数的单调性比较大小即可.【详解】因为是区间上的偶函数，所以，又在区间上是减函数，所以,即.故选A.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题.9．设，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】借助于指数函数函数的单调性可得，再分别借助于和的单调性比较大小即可.【详解】由于函数为减函数，由，可知.所以有.由于函数为减函数，且，所以；由于函数为增函数，且，所以.综上有：.故选C.【点睛】本题主要考查了比较大小，利用到了指数函数和幂函数的单调性，属于常考题型.二、填空题10．已知，则＝___________。
2018-2019学年北京师大附中高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年北京师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x|x−4<0}，B={x|e x>1}，则A∩B=()A. RB. (−∞,4)C. (0,4)D. (4,+∞)【答案】C【解析】解：集合A={x|x−4<0}={x|x<4}，B={x|e x>1}={x|x>0}，则A∩B={x|0<x<4}=(0,4)．故选：C．化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.i为虚数单位，则复数2i1+i=()A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】A【解析】解：2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2(1+i)2=1+i．故选：A．直接利用复数的除法运算进行化简计算．本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3.在极坐标系中，曲线ρ=2cosθ是()A. 过极点的直线B. 半径为2 的圆C. 关于极点对称的图形D. 关于极轴对称的图形【答案】D【解析】解：曲线ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，配方为(x−1)2+y2=1，因此表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆，关于极轴对称．故选：D．曲线ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，可得(x−1)2+y2=1，即可得出．本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.“α=π6+2kπ(k∈Z)”是“cos2α=12”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当a=π6+2kπ(k∈Z)时，cos2a=cos(4kπ+π3)=cosπ3=12反之，当cos2a=12时，有2a=2kπ+π3⇒a=kπ+π6(k∈Z)，或2a=2kπ−π3⇒a=kπ−π6(k∈Z)，故选：A．本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、基本运算的考查.将a=π6+2kπ代入cos2a易得cos2a=12成立，但cos2a=12时，a=π6+2kπ(k∈Z)却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．5.若偶函数f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x)且x∈[0,1]时，f(x)=x，则方程f(x)=log3|x|的根的个数是()A. 2个B. 4个C. 3个D. 多于4个【答案】B【解析】解：∵偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，故函数的周期为2．当x∈[0,1]时，f(x)=x，故当x∈[−1,0]时，f(x)=−x．则方程f(x)=log3|x|的根的个数，等于函数y=f(x)的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y=f(x)的图象与函数y=log3|x|的图象，如图所示：显然函数y=f(x)的图象与函数y=log3|x|的图象有4个交点，故选：B．在同一个坐标系中画出函数y=f(x)的图象与函数y=log3|x|的图象，这两个函数图象的交点个数即为所求．本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．6.在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角α的终边经过点M(−cosπ8,sinπ8)，且0<α<2π，则α=()A. π8B. 3π8C. 5π8D. 7π8【答案】D【解析】解：∵角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角α的终边经过点M(−cosπ8,sinπ8)，且0<α<2π，则cosα=−cosπ8=cos7π8，sinα=sinπ8=sin7π8，∴α=7π8，故选：D．由题意利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，得出结论．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，得出结论．7.已知函数f(x)=xe x −e x ，函数g(x)=mx −m(m >0)，若对任意的x 1∈[−2,2]，总存在x 2∈[−2,2]使得f(x 1)=g(x 2)，则实数M 的取值范围是( )A. [−3e −2,13]B. [e 2,+∞)C. [13,e 2]D. [13,+∞)【答案】B【解析】解：f(x)=e x (x −1)的导数为f′(x)=xe x ， 当x >0时，f(x)递增；x <0时，f(x)递减， 即x =0时，f(x)取得极小值，且为最小值−1； 由f(−2)=−3e −2，f(2)=e 2， 可得f(x)在[−2,2]的值域为[−1,e 2]， 由g(x)=mx −m(m >0)在[−2,2]递增， 可得g(x)的值域为[−3m,m]，由对任意的x 1∈[−2,2]，总存在而x 2∈[−2,2]，使得f(x 1)=g(x 2)， 可得[−1,e 2]⊆[−3m,m]， 即为−3m ≤−1<e 2≤m ， 解得m ≥e 2， 故选：B ．由题意可得f(x)在[−2,2]的值域包含于g(x)的值域，运用导数和函数的单调性，即可得到所求范围． 本题考查任意存在性问题解法，注意运用转化思想，考查函数的值域的求法，以及运算能力和推理能力，属于中档题．8. 已知在直角三角形ABC 中，A 为直角，AB =1，BC =2，若AM 是BC 边上的高，点P 在△ABC 内部或边界上运动，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [−1,0]B. [−12,0]C. [−34,12]D. [−34,0]【答案】D【解析】解：如图，由AB =1，BC =2，可得AC =√3，以AB 所在直线为x 轴，以AC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系， 则B(1,0)，C(0,√3)，直线BC 方程为x +y√3=1则直线AM 方程为y =√33x ，联立，解得：M(34,√34)，由图可知，当P 在线段BC 上时，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 有最大值为0， 当P 在线段AC 上时，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值，设P(0,y)(0≤y ≤√3)，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(34,√34)(−1,y)=−34+√34y ≥−34．∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围是[−34,0]． 故选：D ．由题意画出图形，然后建系，求出M 的坐标，数形结合可得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为0，且可知当P 在线段AC 上时，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值，设P(0,y)(0≤y ≤√3)，写出数量积的坐标表示，由y 的范围求得最小值． 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标运算，考查了数形结合的解题思想方法，想到建系是解答该题的关键，是中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列.若a 1=1，则S 3=______ 【答案】7【解析】解：根据题意，等比数列{a n }中，4a 1，2a 2，a 3成等差数列， 则有2(2a 2)=4a 1+a 3，变形可得q 2−4q +4=0， 解可得q =2， 若a 1=1，则S 3=a 1(1−q 3)1−q=7；故答案为：7．根据题意，分析可得2(2a 2)=4a 1+a 3，变形可得q 2−4q +4=0，解可得q 的值，代入等比数列的前n 项和公式计算可得答案．本题考查等比数列的前n 项和，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．10. 设函数f(x)={x +1x ,x >0−x 2−4x,x <0，则f[f(−1)]=______；函数f(x)的极小值是______．【答案】103 2【解析】解：函数f(x)={x +1x ,x >0−x 2−4x,x <0， 则f(−1)=−1+4=3， f[f(−1)]=f(3)=3+13=103，当x >0时，y =x +1x ，y′=1−1x 2，当0<x <1时y′<0，函数递减， 当x >1时y′>0，函数递增，即有x =1处f(x)取得极小值，且为2，当x <0，y =−x 2−4x 的导数为y′=−2x −4， 当−2<x <0时，y′<0，函数递减； 当x <−2时，y′>0，函数递增．即有x =−2处f(x)取得极大值，且为4． 故答案为：103，2．运用分段函数的各段的解析式，代入即可得到f(−1)，f[f(−1)]，讨论x >0，x <0，求出函数f(x)的单调区间，即可得到极值．本题主要考查导数的运用：求单调区间、极值，同时考查分段函数的运用，属于基础题．11. 函数f(x)=sin(2x +φ)(φ<0)的图象向左平移π6个单位，得到偶函数g(x)的图象，则φ的最大值是______． 【答案】−5π6【解析】解：函数f(x)=sin(2x +φ)(φ<0)的图象向左平移π6个单位，得到偶函数g(x)=sin(2x +π3+φ)的图象，∴π3+φ=kπ+π2，k ∈Z ，即φ=kπ+π6，∴φ的最大值−5π6，故答案为：−π6． 故答案为：−5π6．利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，属于基础题．12. 在四边形ABCD 中，AB =3.若DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 【答案】3【解析】解：四边形ABCD 中，AB =3， 且DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⋅(13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅13AB ⃗⃗⃗⃗⃗=13×32 =3．故答案为：3．利用平面向量的线性运算与数量积运算法则，计算即可．本题考查了平面向量的数量积运算和线性运算问题，是基础题．13. 已知函数y =g(x)的图象由f(x)=sin2x 的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ=______．【答案】π3【解析】解：f(x)=sin2x 的图象在y 轴的右侧的第一个对称轴为2x =π2，x =π4，π4−π8=π8， 图象中与π8函数值相同的右侧相邻点的横坐标为3π8，故φ=17π24−3π8=π3， 故答案为π3．根据所给的图象，依据，y =Asin(ωx +⌀)的图象变换规律，求得图象中与π8函数值相同的右侧相邻点的横坐标为3π8，根据φ=17π24−3π8求得结果．本题主要考查利用y =Asin(ωx +⌀)的图象特征，由函数y =Asin(ωx +⌀)的部分图象求解析式，y =Asin(ωx +⌀)的图象变换规律，属于中档题．14. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=x 2−2ax +a ，其中a ∈R①f(−12)=______②若f(x)的值域是R ，则a 的取值范围是______ 【答案】−14 (−∞,0]∪[1,+∞)【解析】解：①f(−12)=−f(12)=−[(12)2−a +a]=−14；②因为f(x)是R 上的奇函数，且值域为R ，所以x >0时，△=(−2a)2−4a ≥0，解得：a ≤0或a ≥1； 故答案为：①−14；②(−∞,0]∪[1,+∞)①根据奇函数的性质；②结合奇函数的性质以及二次函数的图象分析可得． 本题考查了了函数奇偶性的性质与判断.属基础题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 已知函数f(x)=√3sin(2x +π6)−2sinxcosx +1．(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)当x ∈[−π4,π4]时，求函数f(x)的最大值和最小值． 【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=√3sin(2x +π6)−2sinxcosx +1．=√3(√32sin2x +12cos2x)−sin2x +1=12sin2x +√32cos2x +1 =sin(2x +π3)+1由2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2，k ∈Z得kπ−5π12≤x ≤kπ+π12，所以，函数f(x)的单调递增区间是[kπ−5π12,kπ+π12]，k ∈Z (Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)=sin(2x +π3)+1 由x ∈[−π4,π4]时，得2x +π3∈[−π6,5π6]∴当(2x +π3)=π2，即x =π12时，f(x)取得最大值，即f(π12)=1+1=2； ∴当(2x +π3)=−π6，即x =−π4时，f(x)取得最小值，即f(−π4)=−12+1=12．【解析】(Ⅰ)利用和与差，二倍角辅助角公式化简，结合三角函数的性质即可求函数f(x)的单调递增区间； (Ⅱ)当x ∈[−π4,π4]时，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质即可求函数f(x)的最大值和最小值．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．16.设等差数列{a n}的前n项和为S n，a8=4，a13=14．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S n的最小值及相应的n的值；(3)在公比为q的等比数列{b n}中，b2=a8，b1+b2+b3=a13，求q+q4+q7+⋯+q3n+4．【答案】解：(1)∵a8=4，a13=14．∴{a1+12d=14a1+7d=4，解得a1=−10，d=2，则数列{a n}的通项公式a n=−10+2(n−1)=2n−12．(2)S n=n(−10+2n−12)2=n(n−12)=n2−12n=(n−6)2−36，∴当n=6时，S n取得最小值，最小值为−36，此时相应的n=6；(3)∵b2=a8=4，b1+b2+b3=a13=14，∴b1+b3=14−4=10，设公比为q，则{b1+b1q2=10b1q=4，则1+q 2q =52，即2q2−5q+2=0，解得q=2或q=12．若q=2，则q+q4+q7+⋯+q3n+4=q[1−(q3)n+2]1−q3=2(1−8n+2)1−8=27(8n+2−1)，若q=12，则q+q4+q7+⋯+q3n+4=q[1−(q3)n+2]1−q3=12[1−(18)n+2]1−18=47[1−(18)n+2].【解析】(1)建立方程组关系求出首项和公差即可求数列{a n}的通项公式；(2)求出S n的表达式，结合一元二次函数的性质即可求最小值及相应的n的值；(3)根据等比数列的通项公式求出公比，结合等比数列的前n项和公式进行求解即可．本题主要考查等比数列和等差数列通项公式的求解，以及数列求和的计算，利用方程组思想求出首项和公比，公差是解决本题的关键．17.在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足√3a−2bsinA=0(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若a+c=5，b=√7，求△ABC的面积．【答案】解：(1)在锐角△ABC中，√3a=2bsinA，由正弦定理得√3sinA=2sinBsinA，所以sinB=√32，因为三角形ABC为锐角三角形，所以B=π3．(2)由余弦定理b2=a2+c2−2ac⋅cosB得a2+c2−ac=7，∵a+c=5，所以ac=6，所以△ABC的面积为12ac⋅sinB=3√32．【解析】(1)在锐角△ABC中，由条件利用正弦定理求得sinB的值，即可求得B的值．(2)由余弦定理求得a2+c2−ac=7，再由a+c=5，所以ac=6，由此求得△ABC的面积．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．18.已知函数f(x)=12ax2+lnx．(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)求证：当a=1时，函数f(x)的图象与函数g(x)=23x3的图象在区间[1,+∞)上没有交点．【答案】解：(Ⅰ)当a=1时，函数f(x)=12x2+lnx，f′(x)=x+1x，f′(1)=2，f(1)=12，故切线方程是：y−12=2(x−1)，整理得：y=2x−32；(Ⅱ)f′(x)=ax+1x，当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)的单调增区间是(0,+∞)；当a<0时，令f′(x)>0，解得：0<x<√−1a，令f′(x)<0，解得：x>√−1a，故函数f(x)的单调增区间是(0,√−1a)，单调减区间是(√−1a,+∞)；(Ⅲ)证明：令ℎ(x)=g(x)−f(x)=23x3−12x2−lnx，ℎ′(x)=2x2−x−1x=2x3−x2−1x=x2(x−1)+x3−1x，当x∈(1,+∞)时，显然有ℎ′(x)>0，∴ℎ(x)在区间(1,+∞)上是单调增函数，故函数ℎ(x)的最小值是ℎ(1)=16>0，所以ℎ(x)>0恒成立，所以两个图象没有交点．【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)，求出切线方程即可；(Ⅱ)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(Ⅲ)令ℎ(x)=g(x)−f(x)，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．19.已知函数f(x)=lnxx+a在x=1处的切线与直线y=12x平行．(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)如果函数g(x)=(x+1)f(x)−mx在区间[1e,e2]上有两个零点，求实数m的取值范围；(Ⅲ)求证：函数f(x)有极大值，而且f(x)的极大值小于1．【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=1+a x−lnx (x+a)2，因为函数f(x)在x =1处的切线与直线y =12x 平行， 所以f′(1)=1+a(1+a)2=12，解得：a =1；当a =1时，函数f(x)在x =1处的切线是y =12x −12，与直线y =12x 平行，符合题意； 所以a =1；(Ⅱ)由(Ⅰ)g(x)=lnx −mx ， g′(x)=1x −m ，m ≤0时，g′(x)>0，g(x)在(0,+∞)递增，不合题意， m >0时，令g′(x)>0，解得：0<x <1m ， 令g′(x)<0，解得：x >1m ，故g(x)在(0,1m )递增，在(1m ,+∞)递减， 若函数g(x)在区间[1e ,e 2]上有两个零点，则{ 1e <1m <e 2f(1e)≤0f(e 2)≤0f(1m )>0解得：m ∈[2e 2,1e )；(Ⅲ)证明：f(x)=lnxx+1，f′(x)=1+1x−lnx (x+1)2，令g(x)=1+1x −lnx ，g′(x)=−1x 2−1x <0，则函数g(x)在(0,+∞)上单调递减，g(1)=2>0，g(e 2)=1e 2−1<0， 所以存在唯一的x 0∈(1,e 2)，当x ∈(0,x 0)时，f′(x)>0，当x ∈(x 0,+∞)时，f′(x)<0， 所以函数f(x)的单调递增区间是(0,x 0)，单调递减区间是(x 0,+∞)， 其中x 0∈(1,e 2)，所以函数f(x)有极大值． 函数f(x)的极大值是f(x 0)=lnx 0x 0+1，由f′(x 0)=0，得1+1x 0−lnx 0=0， 所以f(x 0)=lnx 0x 0+1=1+1x 0x 0+1=1x 0，因为x 0∈(1,e 2)，所以1x 0<1，即f(x 0)<1，所以f(x)的极大值小于1．【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，根据直线的平行关系求出a 的值，检验即可；(Ⅱ)求出g(x)的解析式，通过讨论a 的范围，求出g(x)的单调性，结合函数的零点个数得到关于m 的不等式组，解出即可；(Ⅲ)求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值，判断即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．20. 已知数集A ={a 1,a 2,…,a n }(1=a 1<a 2<⋯<a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的k(2≤k ≤n)，∃i ，j(1≤i ≤j ≤n)，使得a k =a i +a j 成立．(Ⅰ)分别判断数集{1,3，4}与{1,2，3，6}是否具有性质P ，并说明理由； (Ⅱ)求证：a n ≤2a 1+a 2+⋯+a n−1(n ≥2)；(Ⅲ)若a n =72，求数集A 中所有元素的和的最小值．【答案】解：(Ⅰ)因为 3≠1+1，所以{1,3，4}不具有性质P ．因为 2=1×2，3=1+2，6=3+3，所以{1,2，3，6}具有性质P …(4分) (Ⅱ)因为集合A ={a 1,a 2,…,a n }具有性质P ：即对任意的k(2≤k ≤n)，∃i ，j(1≤i ≤j ≤n)，使得a k =a i +a j 成立， 又因为1=a 1<a 2<⋯<a n ，n ≥2，所以a i <a k ，a j <a k 所以a i ≤a k−1，a j ≤a k−1，所以a k =a i +a j ≤2a k−1即a n−1≤2a n−2，a n−2≤2a n−3，…，a 3≤2a 2，a 2≤2a 1…(6分) 将上述不等式相加得a 2+⋯+a n−1+a n ≤2(a 1+a 2+⋯+a n−1) 所以a n ≤2a 1+a 2+⋯+a n−1…(9分) (Ⅲ)最小值为147．首先注意到a 1=1，根据性质P ，得到a 2=2a 1=2 所以易知数集A 的元素都是整数．构造A ={1,2，3，6，9，18，36，72}或者A ={1,2，4，5，9，18，36，72}，这两个集合具有性质P ，此时元素和为147．下面，我们证明147是最小的和假设数集A ={a 1,a 2,…,a n }(a 1<a 2<⋯<a n ，n ≥2)，满足S =∑a i n i=1≤147最小(存在性显然，因为满足∑a i n i=1≤147的数集A 只有有限个)．第一步：首先说明集合A ={a 1,a 2,…,a n }(a 1<a 2<⋯<a n ，n ≥2)中至少有8个元素： 由(Ⅱ)可知a 2≤2a 1，a 3≤2a 2…又a 1=1，所以a 2≤2，a 3≤4，a 4≤8，a 5≤16，a 6≤32，a 7≤64<72， 所以n ≥8第二步：证明a n−1=36，a n−2=18，a n−3=9：若36∈A ，设a t =36，因为a n =72=36+36，为了使得S =∑a i n i=1最小，在集合A 中一定不含有元素a k ，使得36<a k <72，从而a n−1=36；假设36∉A ，根据性质P ，对a n =72，有a i ，a j ，使得a n =72=a i +a j 显然a i ≠a j ，所以a n +a i +a j =144而此时集合A 中至少还有5个不同于a n ，a i ，a j 的元素， 从而S >(a n +a i +a j )+5a 1=149，矛盾， 所以36∈A ，进而a t =36，且a n−1=36； 同理可证：a n−2=18，a n−3=9(同理可以证明：若18∈A ，则a n−2=18)． 假设18∉A ．因为a n−1=36，根据性质P ，有a i ，a j ，使得a n−1=36=a i +a j 显然a i ≠a j ，所以a n +a n−1+a i +a j =144，而此时集合A 中至少还有4个不同于a n ，a n−1，a i ，a j 的元素 从而S >a n +a n−1+a i +a j +4a 1=148，矛盾， 所以18∈A ，且a n−2=18同理可以证明：若9∈A ，则a n−3=9 假设9∉A因为a n−2=18，根据性质P ，有a i ，a j ，使得a n−2=18=a i +a j 显然a i ≠a j ，所以a n +a n−1+a n−2+a i +a j =144而此时集合A 中至少还有3个不同于a n ，a n−1，a n−2，a i ，a j 的元素 从而S >a n +a n−1+a n−2+a i +a j +3a 1=147，矛盾，所以9∈A ，且a n−3=9)至此，我们得到了a n−1=36，a n−2=18，a n−3=9a i =7，a j =2．根据性质P ，有a i ，a j ，使得9=a i +a j 我们需要考虑如下几种情形：①a i =8，a j =1，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素a k ，才能得到元素8， 则S >148；②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素a k ，才能得到元素7， 则S >148；③a i =6，a j =3，此时集合A ={1,2，3，6，9，18，36，72}的和最小，为147；④a i =5，a j =4，此时集合A ={1,2，4，5，9，18，36，72}的和最小，为147.…(14分) 【解析】(Ⅰ)利用性质P 的概念，对数集{1,3，4}与{1,2，3，6}判断即可；(Ⅱ)利用集合A ={a 1,a 2,…,a n }具有性质P ，可分析得到a i ≤a k−1，a j ≤a k−1，从而a k =a i +a j ≤2a k−1，(k =2,3，…n)，将上述不等式相加得a 2+⋯+a n−1+a n ≤2(a 1+a 2+⋯+a n−1)即可证得结论；(Ⅲ)首先注意到a 1=1，根据性质P ，得到a 2=2a 1=2，构造A ={1,2，3，6，9，18，36，72}或者A ={1,2，4，5，9，18，36，72}，这两个集合具有性质P ，此时元素和为147． 再利用反证法证明满足S =∑a i n i=1≤147最小的情况不存在，从而可得最小值为147．本题考查数列的求和，突出考查反证法的应用，考查分类讨论思想与转化思想，考查构造函数的思想，a n−1=36，a n−2=18的证明是难点，属于难题．。
2018北京首师附中高一(上)期中数学
2018北京首师附中高一（上）期中数学一、选择题（本大题共32分，每小题4分，共32分。
在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求。
1．（4分）已知集合U＝{x∈Z|0≤x＜7}，A＝{1，2，3}，B＝{5，4，3，2，1}，则A∩∁U B＝（）A．∅B．{1，2，3} C．{1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，6}2．（4分）下列函数中，与y＝x相同的函数是（）A．B．y＝lg10xC．D．3．（4分）函数f（x）＝3x+2x﹣7的零点所在区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）4．（4分）已知a＝（）3，b＝0.3﹣2，c＝log2，则a，b，c的大小关系（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c5．（4分）下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的函数是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝2|x|C．f（x）＝log2D．f（x）＝x|x|6．（4分）函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．7．（4分）已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（3）＝0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集为（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣3，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，3）8．（4分）已知函数f（x）＝a（x﹣a）（x+a+3），g（x）＝2x﹣2，若对任意x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[﹣4，0）C．（﹣4，0）D．（﹣4，+∞）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）给定映射f：（a，b）→（a+2b，2a﹣b），则在映射f下，（3，1）的原象是．10．（4分）计算2﹣（）+lg+（﹣1）lg1的值为．11．（4分）已知函数f（x）＝2x+b在区间（﹣1，2）上的函数值恒为正，则b的取值范围为．12．（4分）函数y＝log（﹣x2+4x）的单调递减区间为．13．（4分）已知三个函数f（x）＝2x+x，g（x）＝x﹣2，h（x）＝log2x+x的零点依次为a，b，c，则a，b，c 的大小关系是．14．（4分）某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP＝x，则AP+PF＝f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的图象的对称轴是；函数g（x）＝4f（x）﹣9的零点的个数是．三、解答题（本大题共4小题，共44分。
首都师范大学附属中学2018-2019高一上数学期中含答案
首都师范大学附属中学2018-2019高一上数学期中一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.已知集合U={x∈Z|0≤x＜7}，A={1，2，3}，B={5，4，3，2，1}，则A∩∁U B=（）A. B. 2，C. 2，3，4，D. 1，2，3，2.下列函数中，与y=x相同的函数是（）A. B. C. D.3.函数f（x）=3x+2x-7的零点所在区间为（）A. B. C. D.4.已知a=（）3，b=0.3-2，c=log2，则a，b，c的大小关系（）A. B. C. D.5.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（-∞，0）上单调递增的函数是（）A. B. C. D.6.函数∈∈在（-∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知奇函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，且f（3）=0，则不等式（x-1）f（x）＞0的解集为（）A. B.C. D.8.已知函数f（x）=a（x-a）（x+a+3），g（x）=2x-2，若对任意x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.给定映射f：（a，b）→（a+2b，2a-b），则在映射f下，（3，1）的原象是______．10.计算2-（）+lg+（-1）lg1的值为______．11.已知函数f（x）=2x+b在区间（-1，2）上的函数值恒为正，则b的取值范围为______．12.函数y=log（-x2+4x）的单调递减区间为______．13.已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x-2，h（x）=log2x+x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是______．14.某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的图象的对称轴是______；函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数是______．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.己知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x2-4x-12＞0}．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．16.已知函数f（x）=log a（1+2x）-log a（1-2x）（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并给予证明；（3）求关于x的不等式f（x）＞0的解集．17.定义在[-4，4]上的奇函数f（x），已知当x∈[-4，0]时，f（x）=+（a∈R）．（1）求f（x）在[0，4]上的解析式；（2）若x∈[-2，-1]时，不等式f（x）≤-恒成立，求实数m的取值范围．18.对于函数f（x），若存在实数，使得f（x0）=x0成立，则x0称为f（x）的“不动点”．（1）设函数f（x）=，求f（x）的不动点；（2）设函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-2（a≠0），若对于任意的实数b，函数f（x）恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；（3）设函数f（x）定义在（-∞，+∞）上，证明：若f（f（x））存在唯一的不动点，则f（x）也存在唯一的不动点．参考答案1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】（1，1）10.【答案】11.【答案】[2，+∞）12.【答案】（0，2）13.【答案】a＜c＜b14.【答案】 2【解析】解：由题意可得函数f（x）=AP+PF，从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中，在运动到BC的中点之前，PA+PF的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，∵当点P在BC的中点上时，即C、B、P三点共线时，即P在矩形ADFE的对角线AF上时，PA+PF 取得最小值；当P在点B或点C时，PA+PF取得最大值∴函数f（x）的图象的对称轴是；g（x）=4f（x）-9=0，即f（x）=．故函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数就是f（x）=的解的个数．而由题意可得f（x）=的解有2个，故答案为：；2从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中，在运动到BC的中点之前，PA+PF的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，可得函数f（x）的图象的对称轴；函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数就是f（x）的解的个数．本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，考查化归与转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）∵集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x2-4x-12＞0}={x|x＜-2或x＞6}，A∩B=∅，∴ ，解得-2＜a＜3．∴实数a的取值范围是（-2，3）．（2）∵A∩B=B，∴A⊆B，∴a+3＜-2或a＞6，解得a＜-5或a＞6．∴实数a的取值范围是{a|a＜-5或a＞6}．【解析】（1）求出集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜-2或x＞6}，由A∩B=∅，列出不等式组，能求出实数a的取值范围．（2）由A∩B=B，得到A⊆B，由此能求出实数a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）=log a（1+2x）-log a（1-2x），则有，解可得-＜x＜，即函数f（x）的值域为（-，）；（2）函数f（x）=log a（1+2x）-log a（1-2x），则f（-x）=log a（1-2x）-log a（1+2x）=-[log a（1+2x）-log a（1-2x）]=-f（x），则函数f（x）为奇函数，（3）根据题意，log a（1+2x）-log a（1-2x）＞0即log a（1+2x）＞log a（1-2x），当a＞1时，有＞＞＞，解可得0＜x＜，此时不等式的解集为（0，）；当0＜a＜1时，有＞＞＜，解可得-＜x＜0，此时不等式的解集为（-，0）；故当a＞1时，不等式的解集为（0，）；当0＜a＜1时，不等式的解集为（-，0）．【解析】（1）根据题x的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，由函数的解析式分析可得f（-x）=-f（x），结合函数的奇偶性的定义分析可得结论；（3）根据题意，分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及性质，注意分析函数的定义域，属于基础题17.【答案】解：（1）f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，∴f（0）=1+a=0，∴a=-1，∵，设x∈[0，4]，∴-x∈[-4，0]，∴，∴x∈[0，4]时，f（x）=3x-4x（2）∵x∈[-2，-1]，，即即x∈[-2，-1]时恒成立，∵2x＞0，∴，∵在R上单调递减，∴x∈[-2，-1]时，的最大值为，∴．【解析】（1）根据奇函数的性质即可求出a，设x∈[0，4]，-x∈[-4，0]，易求f（-x），根据奇函数性质可得f（x）与f（-x）的关系；（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决．本题考查函数的奇偶性及其应用，不等式恒成立的问题，考查学生解决问题的能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）由函数f（x）==x，得x2-x-2=0，解得x=-1或x=2，∴f（x）的不动点为-1和2．（2）由f（x）=x得：ax2+bx+b-2=0．由已知，此方程有相异二实根，△x＞0恒成立，即b2-4a（b-2）＞0．即b2-4ab+8a＞0对任意b∈R恒成立．∴△b＜0．∴16a2-32a＜0，∴0＜a＜2．∴实数a的取值范围是（0，2）．证明：（3）证法一：设函数f（x）定义在（-∞，+∞）上，f（f（x））存在唯一的不动点，首先若x0为f（f（x））不动点，则f（x0）=x0．否则设f（x0）x1≠x0，则x1也为f（f（x））不动点，即f（f（x））不动点不唯一，与已知f（f（x））存在唯一的不动点矛盾．∴f（x）有不动点x0时，f（x）的不动点也是f（f（x））的不动点，∴若f（f（x））存在唯一的不动点，则f（x）也存在唯一的不动点．证法二：设a是f（f（x））的唯一不动点，f（f（a））=a．设f（a）=b，则f（b）=f（f（a））=a，f（f（b））=f（a）=b∴b也是f（f（x））的不动点．由唯一性，得到b=a，∴f（a）=a，从而a是f（x）的不动点．如果f有其它的不动点c，则c也是f（f（x））的不动点，由唯一性得c=a，∴a是f（x）的唯一不动点．故若f（f（x））存在唯一的不动点，则f（x）也存在唯一的不动点．。
北京市首都师范大学附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
首都师范大学附属中学2018-2019高一上数学期中一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通过可以得到全集中的元素，再通过补集和交集运算求出最后答案. 【详解】解：故选：A．【点睛】本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行集合间的运算．属于简单题.2.下列函数中，与是相同的函数是A. B.C. D.【答案】B【解析】A.与的对应关系和值域不同，不是相同函数，B.，是相同函数，C.与的定义域不同，D.函数的三要素都不相同，不是相同函数，故选 B.3.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】很明显函数在定义域内单调递增，函数在定义域内为连续函数，且：，利用函数零点存在定理可得：函数的零点所在区间为.本题选择C选项.点睛：三个防范一是严格把握零点存在性定理的条件，；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.4.已知，则a，b，c的大小关系（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数的单调性与1作比较可以得出a与b的大小关系，通过对数函数的图像性质可以得到，得到最终的结果.【详解】由指数函数和对数函数图像可知：，则的大小关系是：.故选：D．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。
北京师大实验中学2018-2019学年高一(上)期中数学试题(解析版)
2018-2019学年北京师大实验中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B，则集合中的元素共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．考点：集合的运算．2.函数的定义域是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】要使函数有意义，则需，解得：，所以函数的定义域是：，故选．3.设集合A={（x，y）|4x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=7}，则满足C⊆(A∩B)的集合C的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】先求出A∩B，然后根据A∩B中元素的个数确定C的个数．【详解】A∩B{（1，2）}，∴C是∅或{（1，2）}，共有2个．故选：C．【点睛】本题考查子集的性质和应用，属于基础题．4.下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数，一次函数，反比例函数的单调性，逐一判断四个答案中的函数在区间（﹣∞，0）上的单调性，比照后，即可得到答案．【详解】A中，函数y＝﹣x2+2在（﹣∞，0）上为增函数；B中，函数y＝4x﹣1在（﹣∞，0）上为增函数；C中，函数y＝x2+4x在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，0）上为增函数；D中，函数在（﹣∞，0）上为减函数故选：D．【点睛】本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，熟练掌握各种基本初等函数的单调性，是解答本题的关键．5.已知函数，则函数y=f（x+1）的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，先求f（x+1）的表达式，可得，进而分析可得f（x）单调递减，且其图象与y轴交点在（0，1）之下，比较选项可得答案．【详解】根据题意，可得，f（x）单调递减；同时有，，即函数图象与y轴交点在（0，1）之下；A、D选项的图象为增函数，不符合；C选项的图象与y轴交点在（0，1）之上，不符合；只有B的图象符合两点，故选：B．【点睛】本题考查指数函数的性质和函数图象的变化，掌握指数函数的性质是解题的关键．6.如果二次函数y=x2-（k+1）x+k+4有两个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】二次函数y＝x2﹣（k+1）x+k+4有两个不同的零点可得，x2﹣（k+1）x+k+4＝0有两个不同的实根，则△＞0，解不等式可求.【详解】∵二次函数y＝x2﹣（k+1）x+k+4有两个不同的零点∴x2﹣（k+1）x+k+4＝0有两个不同的实根∴△＝（k+1）2﹣4（k+4）＝k2﹣2k﹣15＝（k+3）（k﹣5）＞0∴k＜﹣3或k＞5故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数的零点与二次方程的根的存在情况的判断，属于基础题.7.下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据题意，由于那么根据与0,1的大小关系比较可知结论为，选C.考点：指数函数与对数函数的值域点评：主要是利用指数函数和对数函数的性质来比较大小，属于基础题。