四年级下册 公因数与公倍数
公倍数和公因数
公倍数和公因数基础知识回顾1、公倍数和最小公倍数的意义：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
2、公倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，因此两个数的公倍数的个数也是无限的。
只有最小公倍数，没有最大公倍数。
3、求两个数的最小公倍数的两种特殊情况：1）如果两个数中较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
（2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积。
4、公因数和最大公因数的意义：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
5、公因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，因此两个数的公因数的个数也是有限的。
最小的公因数是1.6、求两个数的最大公因数的特殊情形：1）当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数；较大数就是这两个数的最小公倍数。
2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最大的公因数是1；最小公倍数是它们的乘积。
3）假如两个数都是质数或者两个数是继续的天然数，那末这两个数的乘积就是它们的最小公倍数。
7、公倍数是最小公倍数的倍数，最小公倍数是公倍数的因数。
8、素数：一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做素数。
合数：除了1和它本身外另有别的的因数叫做合数。
9、公有的质因数和各自独有的质因数的乘积就是它们的最小公倍数。
例如：6和8都是合数，6的质因数有2、3；8的质因数有：2、2、2；6和8的最小公倍数是2*3*2*2=2424是它们的最小公倍数。
10、两个合数，如果它们只有公因数1，那么最大公因数也是1.11、1与任意非零天然数的公因数只要1个，就是1.12、用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数乘起来，就得到这两个数的最大公因数。
而把所有的除数与它们只有公因数1时的数相乘就是它们的公倍数。
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数知识点公因数和公倍数公因数是指两个或多个数公有的因数，而公倍数是指两个或多个数公有的倍数。
在数学中，我们常常需要求两个数的最大公因数和最小公倍数。
首先，我们需要了解一些基本知识。
两个自然数如果公因数只有1，那么它们就是互素数。
而分子、分母是互素数的分数则被称为简分数。
求最大公因数的方法有分解素因数法和短除法。
最小公倍数的求法有分解素因数和短除法，即用最大公因数乘以各自独有的因数。
对于两个数的最大公因数和最小公倍数，有三种基本情况：特殊互素、较大数是较小数的倍数、一般关系。
对于特殊情况，我们可以直接求解，而对于一般情况，我们可以使用列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法等方法来求解最大公因数。
对于最小公倍数的求解，我们可以使用列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法等方法。
最后，我们需要记住，当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数；当两个数是互质关系时，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
12的倍数为12、24、36、48.一种方法是单列举法，比如求18和12的最小公倍数，先找出18的倍数：18、36、54、72，再从小到大找这些倍数中哪个同时也是另一个数的倍数，最小公倍数为36.另一种方法是大数翻倍法，将较大的数翻倍，每次翻倍后检查结果是否也是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。
比如求18和12的最小公倍数，可以将18翻倍，得到36，而36又是12的倍数，因此36是18和12的最小公倍数。
还有一种方法是短除法，先用两个数同时除以一个质数（要能整除），再同时除以另一个质数，直到得到两个互质的商为止，最后将所有的除数和商相乘即可得到最小公倍数。
对于问题1，（1）既是30的因数又是45的因数的数共有4个，其中最大的是15；（2）既是30的倍数又是45的倍数的数最小是90.对于问题2，将168分解质因数得到2×2×2×3×7，其中一个因数必为7，因此这三个连续自然数只有6、7、8和7、8、9两种可能，而7、8、9这三个数任意两个数的公因数都是1，因此这三个连续自然数只能是6、7和8，它们的和为21.随堂练：1、既是30的倍数又是45的倍数还是75的倍数的数最小是450；2、三个连续自然数的最小公倍数是660，这三个连续自然数分别是220、221和222.最小公倍数和最大公因数在数学中有着广泛的应用。
小学奥数公因数和公倍数
第三讲：公因数和公倍数一、 公约数的概念与最大公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
0被排除在约数与倍数之外。
例如：12的约数有：1,2,3,4,6,1218的约数有：1,2,3,6,9,1812和18的公约数有：1,2,3,6，其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6 1． 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ．二、公倍数的概念与最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有：12,24,36,48,60,72,84...18的倍数有：18,36,54,72,90...12和18的公倍数有：36,72...，其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=361. 求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=； ②短除法求最小公倍数； 例如：2181239632，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=； ③[,](,)a b a b a b ⨯=． 2. 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数知识点————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ公因数和公倍数【知识点回顾】1、公因数（1）互素数:公因数只有１的两个自然数叫做互素数。
(2)简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。
(３)求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。
2、公倍数求最小公倍数的方法:分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。
3、求两个数的最大公因数和最小公倍数,有３种基本情况，区别如下:两个数的关系最大公因素最小公倍数特殊关系互素（７和８） 1 两个数的积（7×8=５6）较大数是较小数的倍数(12和48）较小数(1２) 较大数(48）一般关系（12和1８) 用短除法将除数连乘(2×３=6) 将除数和商连乘（2×3×2×3=3６）4、求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：(１）倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
(如；6和12的最大公因数是6,最小公倍数是1２。
）(2）互质关系的两个数,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积。
（如，5和7的最大公因数时1,最小公倍数是５×７＝３５)二、一般情况:（1)求最大公因数:列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。
①列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数１8的因数有：1、2、3、６、９、１82７的因数有:１、３、9、27再找出两个数的公因数：１8的因数有:1、2、３、6、9、1827的因数有:1、3、９、271、3、９最后找出最大公因数： 9②单列举法:如,求1８和27的最大公因数先找出其中一个数的因数:１8的因数有:１、２、３、６、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数: 9③短除法:３ 18 ２73 6 92 ３除到商是互质数为止,最后把所有的除数相乘3×3＝9 ④除法算式法:用这两个数同时除以公因数,除到最大公因数为止。
(完整版)公倍数和公因数
第三单元：公倍数和公因数目标导航1、 认识公倍数和最小公倍数、公因数和最大公因数，会在集合图中分别表示两个数的倍数和它们的公倍数、因数和它们的公因数。
2、 学会用列举的方法找到10以内两个数的最小公倍数和100以内两个数的最大公因数，并能在解决问题的过程中主动探索简捷的方法，发现求两个数的最大公因数和最小公倍数的一些简捷的方法，并能根据两个数的关系选择用合理的方法求两个数的最大公因数和最小公倍数。
3、 自主探索求三个数的最小公倍数的方法，在解决实际问题的过程中提高学习数学的能力. 基础巩固题1、2、6的倍数有：（ ）；8的倍数有：（ )；6和8的公倍数有：（ ）；6和8的最小公倍数是:（ ）.3、填空(1)48既能被8整除，又能被6整除,所以48是8和6的最小公倍数。
（ )（2）先将18和24分解质因数，再求出它们的最小公倍数. 18＝（ ） 24＝（ ) 18和24的最小公倍数（ ).（分解质因数只针对于合数，质数指除了1和它本身之外的数，如:2、3、5、7等）（3）4和5的最小公倍数是（ ），16和24的最小公倍数是（ ).（4)下面这些图形,如果这样排列下去，在第（ ）个时都是有颜色的图形呢。
4、求下列各组数的最小公倍数。
7和9 15和45 12和1824和16 11和6 4、5和65、1路和2路公共汽车早上6时同时从起始站发车，1路车每5分钟发一辆车,2路车第4分钟发一辆车。
完4的倍数 5的倍数4和5的公倍数（1)(2）解决这个问题就是求（）.6、一个汽车总站有甲、乙两路车。
甲路车每3分钟发一次车；乙路车每5分钟发一次车。
甲、乙两路车第二次同时发车的时间与第一次同时发车的时间至少间隔多少分钟？8、18的因数有：( ）;24的因数有:（ )；18和24的公因数有：（）；18和24的最大公因数有:（）。
9、填空（1）60的因数有( ），能整除45的数有（）,既是60的因数，又能整除45的数有（ )，60和45的最大公因数是( ）。
最小公倍数和最大公因数的意思
最小公倍数和最大公因数的意思《最小公倍数和最大公因数的意思》一、最小公倍数的意思几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
比如说，2的倍数有2、4、6、8、10、12 (3)的倍数有3、6、9、12、15……那么6、12等就是2和3的公倍数，其中6是最小的，所以6就是2和3的最小公倍数。
从实际生活中来看，最小公倍数就像是一个循环周期的最小重复单元。
想象一下学校的课间铃声，有一个铃声每4分钟响一次，另一个铃声每6分钟响一次，那这两个铃声同时响起的周期就是12分钟，这个12分钟就是4和6的最小公倍数。
它就像是不同节奏的音乐要找到一个共同合拍的最小间隔时间。
二、最大公因数的意思几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个公因数，叫做这几个数的最大公因数。
例如，12的因数有1、2、3、4、6、12，18的因数有1、2、3、6、9、18，1、2、3、6是12和18的公因数，其中6是最大的，所以6就是12和18的最大公因数。
可以把最大公因数类比成是把一些东西分组时，每组数量最多能达到的相同数量。
假设我们有12个苹果和18个橘子，要把它们分成若干组，每组里面苹果和橘子的数量要一样多，那最多每组能有6个（苹果和橘子），这个6就是12和18的最大公因数。
三、可衍生注释1. 对于最小公倍数，如果是两个互质数（公因数只有1的两个数），它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。
例如3和5是互质数，它们的最小公倍数就是3×5 = 15。
2. 对于最大公因数，可以用辗转相除法来求较大数之间的最大公因数。
例如求24和36的最大公因数，用36除以24得1余12，再用24除以12得2余0，所以12就是24和36的最大公因数。
四、赏析最小公倍数和最大公因数在数学的世界里就像是一对相辅相成的概念。
最小公倍数关注的是多个数倍数中的最小重合部分，它体现的是一种整合、一种共同周期的最小单元。
第23讲 最大公因数,和最小公倍数
第23讲最大公因数和最小公倍数【探究必备】几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
求几个数的最大公因数通常用短除法，即用几个数公有质因数连续去除，一直除到商里没有共同的质因数为止。
几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
求最小公倍数，可以从小到大一次列举，也可以用短除法。
短除法的一般步骤：1. 找出两个数的最小公因数（除1外），列短除式，用最小公因数去除这两个数，得到两个商。
2. 找出两个商的最小公因数，用最小公因数去除两个商，得到新一级的两个商。
3. 以此类推，直到二商为互质数为止。
4. 把所有的公因数和最后的商乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数。
【王牌例题】例1、一根铁丝长42厘米，一根铜丝长56厘米，现在要把它们截成同样长的小段，并且没有剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成几段？分析与解答：要把它们截成同样长的小段并且没有剩余，说明每段的长度既能整除42，又能整除56，也就是说是这两个数的公因数，要使每段最长，就是公因数中最大的一个，即这两个数的最大公因数，42和56的最大公因数是14，所以每段最长是14厘米，那么铁丝可截42÷14=3（段），铜丝可截56÷14=4（段），因此一共可以截成3+4=7（段）。
例2、一个新建的教室长9.6米，宽7.8米，现在要用一种地板方砖铺地面，不用切割，刚好用整数块。
铺这个教室至少要用多少块地板方砖？分析与解答：先把9.6米和7.8米化成以分米做单位的数，即9.6米=96分米，7.8米=78分米。
要使铺的地板方砖最少，那么方砖的面积要最大，也就是说方砖的边长要最大，根据用一种地板方砖铺地面，不用切割，刚好用整数块，可知方砖的边长既能整除96，又能整除78，即是这两个数的公因数，要使边长最大，就是这两个数的最大公因数，因为96和78的最大公因数是6，所以这种方砖的边长是6（分米），那么方砖的面积为6×6=36（平方分米），因此铺这个教室至少要用96×78÷36=208（块）地板方砖。
四年级下册奥数公因数、公倍数
3.把38个苹果和31个梨分给若干个小朋 友，若要使每个小朋友分得的梨个数相 同，苹果的个数也相同。结果苹果多2个， 梨少1个，分到苹果和梨的小朋友最多是 几人？
4.把一张长30厘米，宽12厘米的长 方形纸片裁成同样大小、面积尽可 能大的正方形纸，并且没有剩余， 至少可以裁多少个？
多个数的公倍数 1.用短除法求最小公倍数 14和21 42、60和54
3、用96朵红花和72朵白花做成花束，如 果各花束里红花的朵数相同，白花的朵 数也相同，每束花里最少有几朵花？
4、张师傅买回一根50dm长的铁丝和一根 43dm长的铜丝，将它截成同样长的小段， 结果铁丝剩余2dm，铜丝剩余3dm。所截 成的小段最长是多少分米？分别能截成 多少段这样最长的小段？
5、用某数去除218，170，290都余2，问 某数最大是多少？
公倍数 1.8的倍数有（ ），12的倍数有 （ ），8和12的公倍数有（ ）， 最小公倍数是（ ）。 2.在括号里写出下列每组数的最小公倍 数。 1和2 15和30 16和80 25和5 11和33 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 你发现了什么？
4.用短除法求下面每组数的最小公 倍数。 30和48 72和27 35和28 15和90 5.商店里有一些月饼，6块一盒或9 块一盒，都正好装完。这些月饼至 少有多少块？
5.一个长方形果园，长180米，宽150米。 在它的周围植树，每两棵之间距离要相 等而且最远。至少要植树多少棵？ 6.某市有一个三角形公园，三边长分别 位498、612米、582米。计划每隔若干米 植一棵松树，并且每两棵之间的距离要 最远。至少要植松树多少棵？
7.两个两位数的乘积是1734（两个数不 是倍数关系），它们的最大公因数是17. 求这两个数。 8.某班同学分组游戏， 6人一组多2人， 7人一组也多2人，这个班至少有多少学 生？ 9. 某班同学住宿生分宿舍，按6人房间 分多5人，按7人房间分空1人，这个班至 少有多少住宿生？
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四年级下册因数与倍数
一、巩固：
1、最小的三位小数是（），它比十分之一少（）。
2、95.4 保留两位小数约是（），保留三位小数约是（）。
3、0.1与0.2之间的两位小数有（）个。
4、两个小数，甲比乙大，说明甲的计数单位比乙的计数单位大。
（）
5、近似数15.68是由三位小数四舍五入取得的，这个三位小数最大是（），最小是（）。
6、三个数的平均数是8.9，其中第一个数是7.9，比第三个数少0.6。
则第二个数是（）。
7、两个数相乘，积是14.4。
如果这两个数同时扩大10倍，乘积是（）。
二、方程提高：
1、一个数的小数点向左移动一位后，比原来少4.5。
原来的数是多少？
2、一个一位小数，若去掉小数点，所得的新数比原数多210.6，原来的一位小数是多少？
3、小红在算账时，发现账面上少了71.1元，经查原来是把某一笔钱数点错了一位小数点。
这笔钱应该是多少元？
4、某人去商店买两件物品，由于把一件商品的标价上的小数点看错一位，付给售货员14.07元，
售货员告诉他应该付43.32元。
这两件商品的标价分别是多少元？
5、甲乙两数的和是55，若乙数的小数点向右移动一位就等于甲数。
甲乙两数分别是多少？
6、M和N是两个整数部分是0的小数，M的小数部分有三位，N的小数部分有两位。
已知M的百分位是7，
N的百分位是5。
如果把M、N的小数点都去掉，则所得的两个整数相等，那么M、N分别是多少？
三、因数与倍数：
1、100以内最大的质数与最小的合数的差是（）；最小的质数与最大的两位偶数的和是（）。
2、用0、2、4这三个数字组成一个三位数：
⑴能被2整除的（）；⑵能被3整除的有（）。
⑶能被5整除的（）；⑷能被2、3、5整除的有（）。
3、一个三位数，能同时被2、3整除，而且个位和十位上的数字相同，这个三位数最大是（）。
4、一个四位数□38□，要使它能同时被3和5整除，这个数最小是（），最大是（）。
5、一个三位数，十位上的数字是1，这个数能同时被2、3、5整除，这个数最小是（）。
6、一个数被6、
7、8除都余1，这个数最小是（）。
能同时被2、3、5整除的最小四位数是（）。
用1、2、3、6组成的最小的三位合数是（）。
7、三个质数的乘积是66，这三个质数分别是（）。
8、非零自然数A除以B商是3，那么，A和B的最小公倍数是（），最大公因数是（）。
9、M是N的倍数，P是N的因数，下列说法正确的是（）⑴ M是P的倍数
⑵ N既是P的倍数，又是M的因数⑶ M是M、N、P的最小公倍数⑷ P是M、N、P的最大公因数
10、非零自然数A和B是互质数，那么它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
11、甲乙两数的最大公因数是1，丙能整除乙数，则甲乙丙三个数的最小公倍数是（）。
12、两个不为零的整数M=N+1，则两数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
13、按要求写出两个互质的数：
⑴ 两个数都是质数（ ）； ⑵ 两个数都是合数（ ）⑶ 一个质数，一个合数（ ）
14、一个两位数，个位和十位上的数字都是合数，并且是互质数，这个数最大是（ ）。
15、两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，这两个数的差是（ ）。
16、三个质数的最小公倍数是165，这三个数分别是（ ）。
17、甲532⨯⨯=，乙752⨯⨯=，甲乙两数的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
18、已知A 322⨯⨯=，B 532⨯⨯=，那么A 、B 两数的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
19、两个质数，它们的差是合数，和既是11的倍数，又是小于50的偶数，符合条件的两个数分别是多少？
20、两个质数的差（ ） A 、不是质数就是合数 B 、一定是质数或者合数 C 、无法确定
21、判断题：
3.6÷0.3=12，因为商是整数且没有余数，所以说3.6能被0.3整除 （ ）
3与4互质，所以3和4没有公因数 （ ）
一个数的最大因数和最小倍数都是它本身 （ ）
相邻两个不为零的自然数，一定是互质数 ；两个不同的质数一定互质 （ ）
两个不为零的自然数的和一定是合数 （ ）
一个合数至少有三个因数 （ ）
A ⨯⨯3524的积，一定能被2、3、5整除 （ ）
甲乙都是非零自然数，甲÷乙=5，则乙是这两个数的最大公因数 （ ）
对于两个不相等的自然数，它们的和、差、积中必有一个能被3整除 （ ）
能同时被2和3整除的数一定是偶数 （ ）
22、已知M 7532⨯⨯⨯=，那么M 的因数的个数是（ ）个。
已知N 23732⨯⨯=，那么N 的因数的个数是（ ）个。
23、两个数的最小公倍数是245，最大公因数是7，其中一个数是7，另一个数是（ ）。
24、两个数的最大公因数是18，最小公倍数是108，猜一猜这两个数分别是多少？
25、在1~100之间，一共有（ ）个数与24的最大公因数是8。
四、实际应用：
1、一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃。
在中午12点时，电子钟既响铃又亮灯，
到下一次既响铃又亮灯是几点？
2、同学们排队做操，不论是每行8人，每行10人，还是每行12人，最后都多出5人，至少有多少人做操？
3、同上一题，最后都少2人，至少有多少人做操？
4、向筐子里装鸡蛋，每次放2个、3个、4个、6个，最后都余一个，若每次放7个，则正好无剩余。
至少有多少个鸡蛋？
5、爸爸工作3天休息1天，妈妈工作2天休息1天。
若今天一起休息了，再过多少天才能再次一起休息？
6、同上，若设5月1日这天一起休息了，那么至少何月何日才能再次一起休息？
7、体育课上，同学们按1~2报数、1~3报数、1~7报数，最后一名学生每次都报1。
老师说缺勤1人。
这个班至少有多少人？。