2013年高考数学(理科)一轮复习课件第62讲：二项式定理
6 A. C10 6 B. －C10
C．C5 10
5 D．－C10
3．(2011 年重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5 与 x6 的系数相等，则 n＝( B ) A．6 B．7
C. 8 D. 9
4．(2011 年广东广州二模)若 C1＋3C2＋32C3＋…＋3n 2Cn 1＋ n n n n 3n－1＝85，则 n 的值为____. 4
1 4 8 24 35 2 T5＝ C8 x ＝8x . 2
4 3
1 r＋1 1 r 2rC8≥2r＋1C8 ， (3)设第 r＋1 的系数最大，则 1 r 1rC8≥ r－1Cr－1， 8 2 2
1 ≥ 1 ， 8－r 2r＋1 即 1≥ 1 . 2r 9－r
考点1 求二项展开式中待定项的系数或特定项
例 1：已知在 3 x
1 的展开式中，第 6 项为常数项． 3 2 x
n
(1)求 n； (2)求含 x2 的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
解析：(1)通项公式为 Tr＋1＝Cr x n
nr 3
1 3 r 1 x ＝Cn x 2 2
17 ____(结果用数值表示)．
解析：二项式展开式的通项公式为 Cr x 18
1 18-r - r 2
Tr＋1＝Cr x18－r－ 18
1 3
r＝ x
1r 1 －3 ，令 18－r－ r＝15⇒r＝2，含 x15 的项的系数为 C2 18 2
12 － ＝17. 3
r
8r
(－1)rC x
4 8- r r 3 8
4 ，令 8－3r＝0，则 r＝
18－6 6 6.故常数项为2 (－1)6C8＝7.
1．(a＋b)n 的展开式中第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr an rbr. n 2．二项式系数的性质
n (1)C0＋C1＋C2＋…＋Cn＝2n， n n n 0 2 Cn＋Cn＋…＝C1＋C3＋…＝2n－1. n n
表示的定理叫做二项式定理． 2．通项
－ r＋1 Tr＋1＝Cr an rbr 为第_______项． n
3．二项式系数
Cr 式子____叫做二项式系数． n
2 15 1．在二项式x －x 的展开式中，含 x4 的项的系数是(
B )
A．－10
B．10
C．－5
D．5
2．(2010 年广东海珠一模)(x－1)10的展开式中第 6 项的系数是 (D )
解．
解析：(1)由题设，x＋ 2
1
n 的展开式的通项公式为： x
Tr＋1＝Cr x n 故
n －r
2
1
r 3 1 r n 2 r r＝ C n x ， x 2
1 2 1 1 0 Cn＋ Cn＝2× Cn，即 4 2
n2－9n＋8＝0.
解得 n＝8，n＝1(舍去)．∴n＝8. (2)展开式中二项式系数最大的为第五项，则
n
项为(
B )
A．10
n
B．20
C．30
D．120
1 0 1 2 解析： x 展开式的二项式系数之和为 Cn＋Cn＋Cn＋…＋ x
Cn＝2n＝64，则 n＝6. n
1 － r 6－r 1 故 x 展开式的第 r＋1 项为 Tr＋1＝C6x ＝Cr x6 2r， 6 x x
解得 r＝2 或 r＝3.
∴系数最大的项为 T3＝7x5，T4＝7
7 x2
ห้องสมุดไป่ตู้
.
求最值问题的根据是最值那项比前后的项都大来 求．求二项式系数的最大值时，也按上面方法进行，规律是二项 式系数的最大值，总在最中间取．若 n 为偶数，则 为奇数，则
n 1 Cn 2
n Cn2
最大；当 n
＝
n 1 Cn 2
令 10－2r 3 ＝k∈Z，则 10－2r＝3k.即 r＝5－2k. 3
∴x∈Z，∴k 应为偶数．∴k 可取 2,0，－2，即 r 可取 2,5,8. ∴第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 45 63 1 1 T3＝C2 x2＝ 4 x2，T6＝C5 ＝－ 8 ， 10 10 2 2 45 1 T9＝C8 x－2＝256x－2. 10 2
10
15 x11 的系数是_____.
1 解析：(1) x 2 的二项式展开的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr 10 2x
10
(x2)10－r(2x)－r，即 2－rCr x20－3r， 10
3 令 20－3r＝11，得 r＝3，故系数为 2－3C10＝15.
1 ②若 x 展开式的二项式系数之和为 64， 则展开式的常数 x
n r
＝Cr xn n
－4r
(0≤r≤n)，
若原式的展开式中有常数项，则 n＝4r，n＝4r－1，n＝4r－2， 故原式中没有常数项时，则只有 n＝4r－3，又 2≤n≤8，则 n＝5.
考点2 二项式展开式中的系数与二项式系数
例 2： ①(2011 年广东惠州调研)在 x 2
1 的二项展开式中， 2x
考纲要求 (1)能用计数原理证明二项式原
考纲研读 对于二项式定理，主要考查利用 通项公式求展开式的特定项、求 特定项的系数、利用赋值法求二 项式展开式系数问题等.
理．
(2)会用二项式定理解决与二项 展开式有关的简单问题.
1．二项式定理 (a
0 n ＝________________________________________，所 Cnanb0＋C1an－1b1＋…＋Cr an－rbr＋…＋Cna0bn n n n ＋b)
r
r
r
n 2 r 3
，
∵第 6 项为常数项，∴r＝5 时， n－2r 有 3 ＝0，即 n＝10. n－2r 1 (2)令 3 ＝2，得 r＝2(n－6)＝2， 45 2 1 ∴所求的系数为 C10 ＝ 4 . 2
2
10－2r ∈Z， 3 (3)根据通项公式，由题意得 0≤r≤10， r∈Z，
最大．
【互动探究】 x 1 － 3．在2 3 n 的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大， x 则展开式中常数项是( B ) A．－7 B．7 C．－28 D．28
4 解析：根据题意，则只有 Cn最大，则 n＝8.其展开式的通项公
x 式为 Cr 8 2
8r
1 1 3 2 x
8 2 5
通项 Tr＋1＝Cr an－rbr 是解决二项式定理问题的重要 n 公式．
【互动探究】
1 2 1．已知(1＋x＋x ) x 3 的展开式中没有常数项，n∈N*， x
n
且 2≤n≤8，求 n 的值．
1 r n －r 1 解： x 3 的展开式的通项：Tr＋1＝Cnx 3 x x
－
(2)对称性：Cr ＝Cn－r. n n
(3)最值问题 ①当 n 为偶数时，中间一项 ②当 n 为奇数时，中间两项
n Cn2
最大； ＝
n 1 Cn 2
n 1 Cn 2
且最大．
3．处理二项式的展开式的系数和的问题时，可考虑采用赋值
法．
1．系数与二项式系数的区别．
2．二项式展开式中第 r＋1 项的通项．
－
【互动探究】 2．(2010年广东揭阳二模)设(x－1)4(x＋2)8＝a0x12＋a1x11 8 ＋…＋a11x＋a12，则a0＋a2＋…＋a10＋a12＝___.
解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a12＝0；令x＝
－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a12＝24＝16.
上面两式相加a0＋a2＋…＋a10＋a12＝8.故答案为8.
考点3 二项式展开式中的最值问题
例
2：已知x＋ 2
1
n 的展开式中前三项的系数成等差数列． x
(1)求 n 的值； (2)展开式中二项式系数最大的项； (3)展开式中系数最大的项． 解题思路：结合二项式定理的展开式及二项式的系数的特点 求解(1)(2)，(3)根据最大的系数必定比前一项和后一项都大来求
6 r
令 6－2r＝0⇒r＝3，则常数项为 C3＝20. 6
二项式展开式的二项式系数与系数有区别，以
2 1 － － x 的展开式为例， 展开式的第 r＋1 项为 Tr＋1＝2 rCr x20 3r， 10 2x
10
其中 Cr 称为该项的二项式系数，而 2 rCr 称为该项的系数．在处理 10 10 系数和与二项式系数时要灵活处理．
1 3 解析：依题意，则 3(Cn＋3C2＋32Cn＋…＋3n 2Cn 1＋3n 1)＝ n n 2 3 3C1＋32Cn＋33Cn＋…＋3n 1Cn 1＋3n n n
－ － － － －
－
－
＝(1＋3)n－1＝85×3，故 4n＝256，所以 n＝4.
5．(2011
湖北)在x－ 3
1
18 展开式中含 x15 的项的系数为 x
C．C5 10
5 D．－C10
3．(2011 年重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5 与 x6 的系数相等，则 n＝( B ) A．6 B．7
C. 8 D. 9
4．(2011 年广东广州二模)若 C1＋3C2＋32C3＋…＋3n 2Cn 1＋ n n n n 3n－1＝85，则 n 的值为____. 4
1 4 8 24 35 2 T5＝ C8 x ＝8x . 2
4 3
1 r＋1 1 r 2rC8≥2r＋1C8 ， (3)设第 r＋1 的系数最大，则 1 r 1rC8≥ r－1Cr－1， 8 2 2
1 ≥ 1 ， 8－r 2r＋1 即 1≥ 1 . 2r 9－r
考点1 求二项展开式中待定项的系数或特定项
例 1：已知在 3 x
1 的展开式中，第 6 项为常数项． 3 2 x
n
(1)求 n； (2)求含 x2 的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
解析：(1)通项公式为 Tr＋1＝Cr x n
nr 3
1 3 r 1 x ＝Cn x 2 2
17 ____(结果用数值表示)．
解析：二项式展开式的通项公式为 Cr x 18
1 18-r - r 2
Tr＋1＝Cr x18－r－ 18
1 3
r＝ x
1r 1 －3 ，令 18－r－ r＝15⇒r＝2，含 x15 的项的系数为 C2 18 2
12 － ＝17. 3
r
8r
(－1)rC x
4 8- r r 3 8
4 ，令 8－3r＝0，则 r＝
18－6 6 6.故常数项为2 (－1)6C8＝7.
1．(a＋b)n 的展开式中第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr an rbr. n 2．二项式系数的性质
n (1)C0＋C1＋C2＋…＋Cn＝2n， n n n 0 2 Cn＋Cn＋…＝C1＋C3＋…＝2n－1. n n
表示的定理叫做二项式定理． 2．通项
－ r＋1 Tr＋1＝Cr an rbr 为第_______项． n
3．二项式系数
Cr 式子____叫做二项式系数． n
2 15 1．在二项式x －x 的展开式中，含 x4 的项的系数是(
B )
A．－10
B．10
C．－5
D．5
2．(2010 年广东海珠一模)(x－1)10的展开式中第 6 项的系数是 (D )
解．
解析：(1)由题设，x＋ 2
1
n 的展开式的通项公式为： x
Tr＋1＝Cr x n 故
n －r
2
1
r 3 1 r n 2 r r＝ C n x ， x 2
1 2 1 1 0 Cn＋ Cn＝2× Cn，即 4 2
n2－9n＋8＝0.
解得 n＝8，n＝1(舍去)．∴n＝8. (2)展开式中二项式系数最大的为第五项，则
n
项为(
B )
A．10
n
B．20
C．30
D．120
1 0 1 2 解析： x 展开式的二项式系数之和为 Cn＋Cn＋Cn＋…＋ x
Cn＝2n＝64，则 n＝6. n
1 － r 6－r 1 故 x 展开式的第 r＋1 项为 Tr＋1＝C6x ＝Cr x6 2r， 6 x x
解得 r＝2 或 r＝3.
∴系数最大的项为 T3＝7x5，T4＝7
7 x2
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.
求最值问题的根据是最值那项比前后的项都大来 求．求二项式系数的最大值时，也按上面方法进行，规律是二项 式系数的最大值，总在最中间取．若 n 为偶数，则 为奇数，则
n 1 Cn 2
n Cn2
最大；当 n
＝
n 1 Cn 2
令 10－2r 3 ＝k∈Z，则 10－2r＝3k.即 r＝5－2k. 3
∴x∈Z，∴k 应为偶数．∴k 可取 2,0，－2，即 r 可取 2,5,8. ∴第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 45 63 1 1 T3＝C2 x2＝ 4 x2，T6＝C5 ＝－ 8 ， 10 10 2 2 45 1 T9＝C8 x－2＝256x－2. 10 2
10
15 x11 的系数是_____.
1 解析：(1) x 2 的二项式展开的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr 10 2x
10
(x2)10－r(2x)－r，即 2－rCr x20－3r， 10
3 令 20－3r＝11，得 r＝3，故系数为 2－3C10＝15.
1 ②若 x 展开式的二项式系数之和为 64， 则展开式的常数 x
n r
＝Cr xn n
－4r
(0≤r≤n)，
若原式的展开式中有常数项，则 n＝4r，n＝4r－1，n＝4r－2， 故原式中没有常数项时，则只有 n＝4r－3，又 2≤n≤8，则 n＝5.
考点2 二项式展开式中的系数与二项式系数
例 2： ①(2011 年广东惠州调研)在 x 2
1 的二项展开式中， 2x
考纲要求 (1)能用计数原理证明二项式原
考纲研读 对于二项式定理，主要考查利用 通项公式求展开式的特定项、求 特定项的系数、利用赋值法求二 项式展开式系数问题等.
理．
(2)会用二项式定理解决与二项 展开式有关的简单问题.
1．二项式定理 (a
0 n ＝________________________________________，所 Cnanb0＋C1an－1b1＋…＋Cr an－rbr＋…＋Cna0bn n n n ＋b)
r
r
r
n 2 r 3
，
∵第 6 项为常数项，∴r＝5 时， n－2r 有 3 ＝0，即 n＝10. n－2r 1 (2)令 3 ＝2，得 r＝2(n－6)＝2， 45 2 1 ∴所求的系数为 C10 ＝ 4 . 2
2
10－2r ∈Z， 3 (3)根据通项公式，由题意得 0≤r≤10， r∈Z，
最大．
【互动探究】 x 1 － 3．在2 3 n 的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大， x 则展开式中常数项是( B ) A．－7 B．7 C．－28 D．28
4 解析：根据题意，则只有 Cn最大，则 n＝8.其展开式的通项公
x 式为 Cr 8 2
8r
1 1 3 2 x
8 2 5
通项 Tr＋1＝Cr an－rbr 是解决二项式定理问题的重要 n 公式．
【互动探究】
1 2 1．已知(1＋x＋x ) x 3 的展开式中没有常数项，n∈N*， x
n
且 2≤n≤8，求 n 的值．
1 r n －r 1 解： x 3 的展开式的通项：Tr＋1＝Cnx 3 x x
－
(2)对称性：Cr ＝Cn－r. n n
(3)最值问题 ①当 n 为偶数时，中间一项 ②当 n 为奇数时，中间两项
n Cn2
最大； ＝
n 1 Cn 2
n 1 Cn 2
且最大．
3．处理二项式的展开式的系数和的问题时，可考虑采用赋值
法．
1．系数与二项式系数的区别．
2．二项式展开式中第 r＋1 项的通项．
－
【互动探究】 2．(2010年广东揭阳二模)设(x－1)4(x＋2)8＝a0x12＋a1x11 8 ＋…＋a11x＋a12，则a0＋a2＋…＋a10＋a12＝___.
解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a12＝0；令x＝
－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a12＝24＝16.
上面两式相加a0＋a2＋…＋a10＋a12＝8.故答案为8.
考点3 二项式展开式中的最值问题
例
2：已知x＋ 2
1
n 的展开式中前三项的系数成等差数列． x
(1)求 n 的值； (2)展开式中二项式系数最大的项； (3)展开式中系数最大的项． 解题思路：结合二项式定理的展开式及二项式的系数的特点 求解(1)(2)，(3)根据最大的系数必定比前一项和后一项都大来求
6 r
令 6－2r＝0⇒r＝3，则常数项为 C3＝20. 6
二项式展开式的二项式系数与系数有区别，以
2 1 － － x 的展开式为例， 展开式的第 r＋1 项为 Tr＋1＝2 rCr x20 3r， 10 2x
10
其中 Cr 称为该项的二项式系数，而 2 rCr 称为该项的系数．在处理 10 10 系数和与二项式系数时要灵活处理．
1 3 解析：依题意，则 3(Cn＋3C2＋32Cn＋…＋3n 2Cn 1＋3n 1)＝ n n 2 3 3C1＋32Cn＋33Cn＋…＋3n 1Cn 1＋3n n n
－ － － － －
－
－
＝(1＋3)n－1＝85×3，故 4n＝256，所以 n＝4.
5．(2011
湖北)在x－ 3
1
18 展开式中含 x15 的项的系数为 x
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高考一轮复习理科数学课件二项式定理
02
二项式定理在概率论中的应用
学习如何利用二项式定理计算概率、期望等。
03
多元二项式定理
了解多元二项式定理的基本概念、展开方式及应用场景。
下一讲预告
下一讲将介绍排列组合的基本概念、分类计数原理与分步计数原理等基 础知识。
还将学习排列组合在解决实际问题中的应用，如分配问题、抽取问题等 。
最后，将通过大量例题和练习题来巩固所学知识，提高解题能力。
例如
引导学生在解题后进行反思和总结，提炼 解题方法和技巧。
在解题过程中要注意利用二项式定理的通项 公式进行求解；同时要注意区分二项式系数 和项的系数等概念。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结
二项式定理的基本形式
$(a+b)^n$的展开式及通项公式。
二项式系数的性质
对称性、增减性、最大值等。
二项式定理的应用
解题关键
06 先根据二项式系数的性质确定
n的值，再利用通项公式找到 常数项并计算其值。
答案解析及评分标准
答案解析
对每道题目的答案进行详细解析，包括解题思路、步骤和 结果。
例如
对于基础题中的例子，先写出(2x-1)^5的展开式的通项 公式，然后找到含x^3项的项，并计算其系数得到结果。
评分标准
根据题目的难易程度和学生的掌握情况，给出每道题目的 分值和评分标准。
04
基础步骤
验证n=1时，二项式定理成立 。
归纳假设
假设当n=k时，二项式定理成 立。
归纳步骤
证明当n=k+1时，二项式定 理也成立。
结论
根据数学归纳法，二项式定理 对一切自然数n都成立。
组合恒等式证明
01
高三一轮复习课件：二项式定理
高考总复习 数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
令 x＝0，得 a0－a1＋a2－a3＋…－a2n－1＋a2n＝(－1)n； 5n＋－1n ∴a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝ ，a1＋a3＋a5 ＋…＋ 2 5n－－1n a2n－1＝ . 2 (4)解法一：展开式中 x3 的系数为 C43(－1)3＋C53(－1)3 ＋C63(－1)3 ＋…＋C373(－1)3 ＝－(C33 ＋C43 ＋C53 ＋…＋C373) ＋C33＝1－C384＝－73814.
高考总复习 数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
解法二：(1－x)4＋(1－x)5＋(1－x)6＋…＋(1－x)37 1－x4[1－1－x34] 1－x4－1－x38 ＝ ＝ x 1－1－x ∴展开式中 x3 的系数为 C44(－1)4－C384(－1)4＝－73814
[答案] (1)5 10 (2)D (3)1 5n 5n＋－1n 2
A．－1
[解析]
展开式的通项公式 Tr＋1＝C8r·8－r· x)r，则含 2 (－
x4 项的系数为 1， x＝1， 令 得展开式所有项系数和为(2－ 1)8 ＝1，因此展开式中不含 x4 项的系数的和为 1－1＝0，故选 B.
[答案] B
高考总复习 数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
高考总复习 数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
1 2－ 6 1．(2010· 四川，13) 3 的展开式中的第四项是 x ________．
1 160 3 3 3 － [解析] T4＝T3＋1＝C6 · · 3 ＝－ . 2 x x
[答案]
160 － x
高考总复习 数学
二项式定理(PPT课件)
2 组合证明
根据二项式定理的组合证明，我们可以证明组合数等于需要求和的系数。在$n$个元素中 选取$k$个的方案总数是$C_n^k$。而展开$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$中项的 系数分别是选取$k$项$a$和$n-k$项$b$的方案数$C_n^k$。
总结和要点
牛顿二项式公式
$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n2}b^2+...+C_n^nb^n $
应用
1
概率统计
二项式分布常用来描述在$n$次独立重复的伯努利试验中出现$k$个成功的概率。
2
金融衍生品定价
期权定价中可能涉及到二项式树模型，具体方法是根据期权的类型和权利金预算 构建二叉树。
3
数学知识扩展
二项式定理为许多初等研究的基础知识，常被作为高中和大学的数学课程的一部 分。
杨辉三角
构造方法
每个数等于它上方两数之和。
性质
每行左右对称，从第$0$行开始， 第$n$行的数为 $C_n^0,C_n^1,...,C_n^n$。
个性化拓展
最大数和最小数为1，三角形中 的数有很多特殊性质，可以用来 引入更高维数的图形。
公式
基本形式
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC^k_na^{n-k}b^k$
二项式反演公式
$\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^ia^k=(a-1)^n$
常见结论
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, (a+b)(a-b)=a^2-b^2$
根据二项式定理的组合证明，我们可以证明组合数等于需要求和的系数。在$n$个元素中 选取$k$个的方案总数是$C_n^k$。而展开$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$中项的 系数分别是选取$k$项$a$和$n-k$项$b$的方案数$C_n^k$。
总结和要点
牛顿二项式公式
$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n2}b^2+...+C_n^nb^n $
应用
1
概率统计
二项式分布常用来描述在$n$次独立重复的伯努利试验中出现$k$个成功的概率。
2
金融衍生品定价
期权定价中可能涉及到二项式树模型，具体方法是根据期权的类型和权利金预算 构建二叉树。
3
数学知识扩展
二项式定理为许多初等研究的基础知识，常被作为高中和大学的数学课程的一部 分。
杨辉三角
构造方法
每个数等于它上方两数之和。
性质
每行左右对称，从第$0$行开始， 第$n$行的数为 $C_n^0,C_n^1,...,C_n^n$。
个性化拓展
最大数和最小数为1，三角形中 的数有很多特殊性质，可以用来 引入更高维数的图形。
公式
基本形式
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC^k_na^{n-k}b^k$
二项式反演公式
$\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^ia^k=(a-1)^n$
常见结论
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, (a+b)(a-b)=a^2-b^2$
二项式定理ppt课件
$(a+b)^4$ 的中间项是 什么？
$(a-b)^5$ 的展开式中 ，$a^4$ 的系数是多少
？
深化习题
01
02
03
04
深化习题1
利用二项式定理展开 $(a+b)^5$，并找出所有项
的系数。
深化习题2
求 $(a+b+c)^3$ 的展开式中 $a^2b$ 的系数。
深化习题3
利用二项式定理证明 $(a+b)^n$ 的展开式中，中
组合数学是研究组合问题的一 门数学分支，与二项式定理密 切相关。
在二项式定理的推导过程中， 组合数学原理提供了组合数的 计算方法和组合公式的应用。
通过组合数的计算，我们可以 得到二项式展开的各项系数， 进一步验证二项式定理的正确 性。
幂级数的展开与收敛
幂级数是数学分析中的重要概念 ，与二项式定理的推导密切相关
微积分中的应用
二项式定理在微积分中有着广泛的应用，如在求极限、求导和积分等运算中。
概率论中的应用
在概率论中，二项式定理可以用于计算组合数学中的一些概率分布，如二项分 布和超几何分布等。
05
习题与思考题
基础习题
基础习题1
基础习题2
基础习题3
基础习题4
$(a+b)^2$ 的展开式是 什么？
$(a-b)^3$ 的展开式是 什么？
概率分布
利用二项式定理，可以推 导二项分布的概率分布函 数和概率密度函数。
概率推断
在贝叶斯推断中，二项式 定理可以用于计算后验概 率和预测概率。Leabharlann 二项式定理在组合数学中的应用
01
组合数的计算
利用二项式定理，可以计算组合数$C(n, k)$，即从n个不同元素中取出
高考数学一轮专项复习ppt课件-二项式定理(北师大版)
x2－
1
n
x
的展开式中第3项与第5项的系数之比
为3∶14，则下列结论成立的是
√A.n＝10 √B.展开式中的常数项为45 √C.含x5的项的系数为210
D.展开式中的有理项有5项
二项展开式的通项为
Tk＋1＝Cknx2n－2k
(1)k
k
x2
＝ ( 1)k
C xk
2n5k 2
n
，
由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，
令x＝1，可得(1－2)2 024＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＋a2 024＝1，即展开式
中所有项的系数和为1，故B正确；
令 x＝0，可得 a0＝1，令 x＝12，可得1－2×122 024＝a0＋a21＋a222＋…＋
a2 22
002233＋a222
002244＝0，
所以a21＋a222＋a233＋…＋2a22 002233＋a222 002244＝－1，故 C 正确； 将等式(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023＋a2 024x2 024两边同 时求导可得， 2 024×(－2)(1－2x)2 023＝a1＋2a2x1＋…＋2 023a2 023x2 022＋2 024a2 024x2 023， 再令x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＋2 024a2 024＝4 048， 故D正确.
则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.
命题点2 形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N+)的展开式 例 2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 __－__2_8__(用数字作答).
(x＋y)8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk，k＝0,1，…，7,8. 令 k＝6，得 T6＋1＝C68x2y6； 令 k＝5，得 T5＋1＝C58x3y5， 所以1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 C68－C58＝－28.
二项式定理ppt课件
二项式定理
汇报人：
2023-11-28
目录
• 二项式定理的背景和定义 • 二项式定理的公式和证明 • 二项式定理的应用 • 二项式定理的扩展和推广 • 二项式定理的意义和影响 • 二项式定理的实例和分析
01
二项式定理的背景和定义
背景介绍
二项式定理在数学中有着悠久的历史，它起源于17世纪，是组合数学中的一种基本理论。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
排列数公式
二项式定理可以用于计算排列数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数。
组合数公式
二项式定理可以用于计算组合数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数。
插入与删除操作
二项式定理可以用于计算在n个元素中进行插入或删除操作的总次数，以及进行特定次数的插入或删除操 作的所有可能方式的个数。
概率论中的应用
概率分布
二项式定理可以用于计算二项分布的概率分布，即某个事 件在n次独立试验中发生的次数的概率分布。
01
组合概率
二项式定理可以用于计算多个事件同时 发生的概率，即组合事件发生的概率。
02
03
事件的独立性
二项式定理可以用于判断两个事件是 否独立，即一个事件的发生是否会影 响另一个事件发生的概率。
组合数性质：在二项式定理中，我们 使用了组合数的性质。组合数 $C(n,k)$ 等于 $C(n-1,k-1) + C(n1,k)$，这是组合数的一个重要性质。 这个性质可以帮助我们在二项式定理 的证明过程中进行简化。
指数性质：在证明二项式定理的过程 中，我们还使用了指数的性质。例如 ，当 $n$ 为偶数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2}$ ；当 $n$ 为奇数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2-1} \times b$。这些指数性质可以帮助 我们在计算过程中进行简化。
汇报人：
2023-11-28
目录
• 二项式定理的背景和定义 • 二项式定理的公式和证明 • 二项式定理的应用 • 二项式定理的扩展和推广 • 二项式定理的意义和影响 • 二项式定理的实例和分析
01
二项式定理的背景和定义
背景介绍
二项式定理在数学中有着悠久的历史，它起源于17世纪，是组合数学中的一种基本理论。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
排列数公式
二项式定理可以用于计算排列数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数。
组合数公式
二项式定理可以用于计算组合数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数。
插入与删除操作
二项式定理可以用于计算在n个元素中进行插入或删除操作的总次数，以及进行特定次数的插入或删除操 作的所有可能方式的个数。
概率论中的应用
概率分布
二项式定理可以用于计算二项分布的概率分布，即某个事 件在n次独立试验中发生的次数的概率分布。
01
组合概率
二项式定理可以用于计算多个事件同时 发生的概率，即组合事件发生的概率。
02
03
事件的独立性
二项式定理可以用于判断两个事件是 否独立，即一个事件的发生是否会影 响另一个事件发生的概率。
组合数性质：在二项式定理中，我们 使用了组合数的性质。组合数 $C(n,k)$ 等于 $C(n-1,k-1) + C(n1,k)$，这是组合数的一个重要性质。 这个性质可以帮助我们在二项式定理 的证明过程中进行简化。
指数性质：在证明二项式定理的过程 中，我们还使用了指数的性质。例如 ，当 $n$ 为偶数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2}$ ；当 $n$ 为奇数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2-1} \times b$。这些指数性质可以帮助 我们在计算过程中进行简化。
二项式定理-PPT课件
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
2013高考数学理新课标复习课件11.3二项式定理
2．利用通项公式求二项展开式中的指定的项(如常数项、 有理项等)或某些项的系数是二项式定理的基本问题，要正确区 分求展开式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概 念的异同．如(1＋2x)5 的展开式中的第 3 项为 T3＝C25·13·(2x)2＝ 40x2，其中该项的系数为 C25·22＝40，而该项的二项式系数为 C25 ＝10.
点评：记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式是解答好与 二项式定理有关问题的前提条件，对较复杂的二项式，有 时先化简再展开会更简便．
【即时巩固 1】
求3
x＋ 1 4 的展开式．
x
分析：根据题中已知式子的构造，与二项式比较，只需用
3 x代 a，用 1 代 b 即可． x
解：3
x＋ 1x4＝(3
6．对于二项式系数的最大值、最小值问题，有时应 对n的奇偶性进行讨论．
(即时巩固详解为教师用书独有)
考点一 二项展开式及其应用 【案例1】 求二项式(a＋2b)4的展开式． 关键提示：熟练掌握二项式定理． 解：根据二项式定理 (a＋b)n＝Cn0an＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn，得 (a＋2b)4＝C40a4＋C41a3(2b)＋C42a2(2b)2＋C34a(2b)3＋C44(2b)4 ＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.
1．二项式定理
对于 n∈N*，(a＋b)n＝C__0n_a_n＋ ___C_n1_a_n_－_1b_＋___C_2n_a_n_－_2b_2_＋__…__＋_ _C_nn_b_n_.这个公式所表示的定理叫做二__项___式__定__理__，右边的 多项式叫做(a＋b)n 的_二__项__展__开__式__．二项展开式的通项 公式为_C_rn_a_n_－_rb_r_.(a＋b)n 的展开式第 r＋1 项 Tr＋1＝ _C_rn_a_n_－_rb_r_. 二项展开式中的 Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做二___项__式__系__数__，
2013届高考北师大版数学总复习课件：11.3二项式定理
6．(2010· 湖北理)在(x＋ 3 y)20 的展开式中，系数为有理 数的项共有______项．
4
[答案] 6
[解析] (x＋ 3y) 的通项
r r
4
20
r 20－r 4 Tr＋1＝C20x (
3y)
r
r r ＝C2034
x20
－
r y ，若系数为有理数，则 为整数，故共有 6 项． 4
• 7．若(1＋ 2x)6展开式中第2项大于它的相邻 1 1 0 0 两项，试求x的取值范围． C62x >C62x
r＝2 得 T3＝40x2，∴x2 的系数为 40，故选 B.
• 5 ． (2011· 重庆文， 11)(1 ＋ 2x)6 的展开式中 x4的系数是________． • [答案 240 [解析] ] 此题考查求二项式展开式中的特定项，用生成法，
考虑 x4 项怎样生成．
4 (1＋2x)6 展开式中 x4 项系数为 C4 · 2 6 ＝240.
2n 4 数的和为 22n，由题知 2n＝64，即 22n＝64，故 n＝3. 2
3．(2012· 潍坊一模)设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x ＋2)2＋„＋a11(x＋2)11，则 a0＋a1＋a2＋„＋a11 的值为( A．－2 C． 1 B．－1 D． 2 )
[答案] A [解析] 赋值法：令x＝－1，a0＋a1＋a2＋„＋a11＝ 2·(－1)9＝－2.
n 1 [解析] ∵二项展开式的前三项的系数分别是 1， ， n(n 2 8 －1)， n 1 ∴2· ＝1＋ n(n－1) 2 8 解得 n＝8 或 n＝1(舍去)
8－r r ∴Tr＋1＝C8x 2
1 3 r r －r 4－ r 4 4 ＝ C 82 x 2 x
高三一轮复习二项式定理.pptx
＝15.
(2)含 x4 的项为 C38x5( a )3＝C38a3x4， 3 x
∴C38a3＝7，∴a＝12.
第10页/共43页
(3)a＝∫π20(sin2x2－12)dx＝∫π20(1－c2os x－12)dx
＝∫π20(－co2s x)dx＝－12.此时二项式的展开式的通项为 Tr＋1＝
Cr9(－12x)9－r(－
第33页/共43页
考点二
二项式系数或各项系数和
【例2】 (1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋ y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b。若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)在二项式 x2－1x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项 系数的和为( )
第23页/共43页
3．求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．
【证明】因为 n∈N*，且 n>2，
所以 3n＝(2＋1)n 展开后至少有 4 项．
(2
＋
1)n
＝
2n
＋
C
1 n
·2n
－
1
＋
…＋
Cnn－1
·2 ＋
1≥2n
＋
n·2n
－
1
＋
2n
＋
1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，
所以 T4＝C36x3(－2)3＝－160x3，所以 x3 项的系数为－160.
第29页/共43页
第30页/共43页
本部分内容讲解结束
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第31页/共43页
2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )