第九章 第二节 排列与组合(优秀经典公开课比赛课件)
高三数学精品课件：排列与组合
[主干知识·自主梳理] 重温教材 自查自纠
小题诊断
法一：可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不 5同．的(2选01法8·高有考C全21C国24＝卷1Ⅰ2(种)从)；2 第位二女种生情，况4 位，男有生2中位选女3生人入参选加， 科不技同比的赛选法，有且 至C22少C14有＝41(种位)．女 生 入 选 ， 则 不 同 的 选 法 共 有 _根__据1_6_分__类_种加．法(计用数数原字理填知写答 ，至案少) 有 1 位女生入选的不同的选 法有 16 种． 法二：从 6 人中任选 3 人，不同的选法有 C36＝20(种)，从 6 人中任选 3 人都是男生，不同的选法有 C34＝4(种)，所以至少 有 1 位女生入选的不同的选法有 20－4＝16(种)．
生组成的田径运动队中选出 4 人参加比赛，要求男、女生都有，
则男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为( )
A．85
B．86
C．91
D．90
思路分析：可采用直接法求解，也可用间接法求解，注意题目
中“至少”的含义．
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易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素 是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．
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考点二 组合应用题 (核心考点——合作探究)
解析：法一：(直接法)由题意，可分 3 类情况： 第 1 类，若男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为 C31C24＋ C32C14＋C33＝31； 第 2 类，若男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为 C41C23＋ C42C13＋C34＝34； 第 3 类，若男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为 C23＋C14C13 ＋C24＝21. 所以男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 31＋34＋21 ＝86.
高中数学排列与组合课件
3
排列的性质
P(n,m)=P(n,n-m)，P(n,m)=P(n-1,m-1)+P(n1,m)。
排列的计算方法及应用
计算方法
根据排列的公式，将具体的n和m 代入公式进行计算。
应用
排列在组合数学、概率论、统计 学等领域有广泛的应用，如排列 组合问题、概率计算等。
高中数学排列与组合 课件
汇报人： 202X-01-05
目录
• 排列与组合的基本概念 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的综合应用 • 练习题与答案解析
01 排列与组合的基本概念
排列的定义与性质
排列的定义：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n ），按照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取
02
区别
排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
03
应用场景
在实际问题中，需要根据具体情境选择使用排列或组合 来描述和解决问题。
02 排列的计算方法
排列的公式与性质
1 2
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照 一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取 出m个元素的排列。
排列的公式
进阶练习题2
题目内容涉及排列与组合与其他数学知识的结合，如概率论 、统计学等。答案解析：详细解释了如何将其他数学领域的 知识与排列与组合相结合，以解决更为复杂的实际问题。
综合练习题
综合练习题1
题目内容涉及排列与组合的多个知识点，要求考生具备较高的数学综合能力。答 案解析：详细解释了如何综合运用排列与组合的多个知识点解决实际问题，并提 供了多种解题思路。
排列与组合ppt课件
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
高中数学排列与组合课件(经典)
或 A120 10 9 90
例3.(1)凸五边形有多少条对角线？ (2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？ 解：（1） (5 3) 5 5
2
（2） (n 3) n
2
例4、在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品 检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
m个元素的组合数，用符号 Cnm表示.
注意： Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所
有组合个数是: C32 3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个
元素的所有组合个数是：C42 6
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
(2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
例1、一位教练的足球队共有17名初级学员，按照足球 比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上 场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守 门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
从7位同学中 选出3位同学 构成一个组合
剩下的4位同 对应 学构成一个组
合
从7位同学中 选出3位同学
从7位同学中 选出4位同学
的组合数
C
3 7
的组合C数74
即：C73 C74
思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下n–m个元素, 因此从n个不同元素中取出m个不同元素的每一个组合,与剩下的n– m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个不同 元素的组合数,等于从这n个元素中取出 n-m个元素的组合数.即
数学广角(排列与组合)-公开课课件
用0、1、2能组成哪些两位数？
10
12
20 21 01 02
我们来接小朋友去看运动会
看运动会需要打扮一下哦！想想你 会怎么搭配呢？
一共有几种搭配方法？
每两人进行一场比赛，4人一共要比 几场？
从 商场 经 学校 到 公园 有几种走法？
①
③
A
B
商场
②
学校
C
公园
买一个数学口算本， 可以怎样付钱？
5角
猜一猜:
电话号码： 5933 最后三个数字是由1、3、9组成 的，猜一猜，羊村的电话号码 可能是多少呢？
羊村的电话号码可能是：
5933 5933 5933 5933 5933 5933
1 1 3 3 9 9
3 9 1 9 1 3
9 3 9 1 3 1
生活中哪里用到了 我们今天所学的知识？
小朋友们，再见！
不重复又不遗漏 ？
3. 记录时，数字要写端正。
能组成几个两位数？
12 13 21 或 23 31 32
32
解除
•
每两人握一次 手，三人一共 握几次手？
②
• 1、2、3能摆 成几个两位 数？
12 21 13 31 23 32
①
③
为什么三个人只能握3次手， 而用1、2、3这三个数字却 能组成6个不同的两位数呢？
数学广角
——搭配中的学问
如果 每两人握一次手， 三人一 共握几次手？
3次
1
Байду номын сангаас
2
这道门的密码 是由1和2这 两个数字摆成 的两位数。
12
21
密
码
炸
弹
1
2
排列与组合综合应用课件
01
在数学领域的应用
排列与组合是数学的基础知识之一，其在数论、代数、几何等领域都有
广泛的应用。
02
在其他领域的应用
如物理学、化学、生物学等自然科学和社会科学领域都涉及到排列与组
合的应用。
03
数学建模和计算技术的应用
随着计算机技术的发展，排列与组合的应用更加广泛，如机器学习、数
据挖掘等领域都需要运用排列与组合的知识进行建模和计算。
区别
有序排列注重元素的顺序，无序排列注重元素的组合。
联系
在某些特定情况下，有序排列和无序排列可能相互转换。
组合中的“包含与排除”原则
包含
在组合中，如果一个集合 包括多个子集，那么这些 子集的并集就是该集合的 组合。
排除
在组合中，如果需要排除 某些特定的元素或子集， 那么这些元素或子集需要 从总集合中移除。
学、社会科学等领域都有广泛的应用。
排列与组合在解决实际问题中的具体应用
02
如组合优化问题、背包问题、图论中的最短路径问题等都可以
运用排列与组合的知识进行解决。
实际问题的抽象和建模
03
在实际问题中，需要将问题抽象为数学模型，如线性规划、整
数规划等，然后运用排列与组合的方法进行求解。
排列与组合在数学和其他领域的应用
排列与组合的公式及其推导方法也是解决复杂问题的基础，如加法 原理、乘法原理、容斥原理等。
排列与组合的公式应用
在解决实际问题时，需要根据问题的具体情况，灵活运用排列与组 合的公式，如组合数的应用、排列数的应用等。
排列与组合在解决实际问题中的应用
组合数学在实际问题中的应用
01
组合数学是排列与组合的理论基础，其在计算机科学、管理科
第九章第2讲排列与组合
第2讲 排列与组合1．排列与排列数公式 (1)排列与排列数 从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素――→按照一定的顺序排成一列排列――→所有不同排列的个数排列数 (2)排列数公式A m n＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！． (3)排列数的性质 ①A n n ＝n ！；②0！＝1． 2．组合与组合数公式 (1)组合与组合数从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素――→合成一组组合――→所有不同组合的个数组合数(2)组合数公式C mn ＝A m n A m m ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！＝n ！m ！（n －m ）！.(3)组合数的性质①C 0n ＝1；②C m n ＝C n －mn ；③C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1． [做一做]1．某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( )A ．C 25＋C 27＋C 24B ．C 25C 27C 24C ．A 25＋A 27＋A 24D ．C 216 答案：A2．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A ．8B ．24C ．48D ．120 答案：C1．辨明两个易误点(1)易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关． (2)计算A m n 时易错算为n (n －1)(n －2)…(n －m )． 2．[做一做]3．(2014·高考大纲全国卷)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150种解析：选C.由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C26C15＝75(种)．4．在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有________种．(用数字作答)解析：将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有A22A22A23＝24(种)不同的展出方案．答案：24考点一__排列应用题__________________________3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．[解](1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A57＝2 520(种)排法．(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5 040(种)排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法，由分步乘法计数原理知，共有N ＝A33·A44·A22＝288(种)．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A35种排法，故N＝A44·A35＝1 440(种)．(5)先安排甲，从除去排头和排尾的5个位中安排甲，有A15＝5(种)排法；再安排其他人，有A66＝720(种)排法．所以共有A15·A66＝3 600(种)排法．在本例条件下，求不同的排队方案的方法种数：(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端．解：(1)先排甲有4种，其余有A66种，故共有4·A66＝2 880(种)排法．(2)先排甲、乙，再排其余5人，共有A22·A55＝240(种)排法．[规律方法]考点二__组合应用题__________________________要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．[解](1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分类加法计数原理知总选法数为C15C47＋C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝771(种)．法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”可用间接法求解．从12名人中任选5人有C512种选法，其中全是男代表的选法有C57种．所以“至少有1名女生入选”的选法有C512－C57＝771(种)．(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可，共有C22C310＝120(种)选法．(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有C510种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C512－C510＝540(种)．在本例条件下，求至多有2名女生入选的选法种数．解：至多有2名女生入选包括以下几种情况：0女5男，1女4男，2女3男，由分类加法计数原理知总选法数为C57＋C15C47＋C25C37＝546(种)．[规律方法]解决组合类问题的方法：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．考点三__排列、组合的综合应用(高频考点)______排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对排列与组合综合应用题的考查主要有以下四个命题角度：(1)分配问题；(2)排列问题；(3)定位问题；(4)选派问题．(1)(2014·高考四川卷)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种(2)(2015·兰州市、张掖市联合诊断)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有()A．150种B．300种C．600种D．900种(2)若甲去，则乙不去，丙去，再从剩余的5名教师中选2名，有C25×A44＝240种方法；若甲不去，则丙不去，乙可去可不去，从6名教师中选4名，共有C46×A44＝360种方法．因此共有600种不同的选派方案．(3)(2014·高考北京卷)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．[解析](1)第一类：甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；第二类：乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．所以共有120＋96＝216(种)方法．(3)将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A22A44种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A22A33种方法．于是符合题意的排法共有A22A44－A22A33＝36(种)．[答案](1)B(2)C(3)36[规律方法]解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(1)(2014·高考辽宁卷)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120C．72 D．24(2)(2015·东北三校联合模拟)一个五位自然数a1a2a3a4a5，a i∈{0，1，2，3，4，5}，i＝1，2，3，4，5，当且仅当a1＞a2＞a3，a3＜a4＜a5时称为“凹数”(如32 014，53 134等)，则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为()A．110 B．137 C．145 D．146(3)将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．(3)将6名教师分组，分三步完成：第一步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；第二步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C25种取法；第三步，余下的3名教师作为一组，有C33种取法．根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33＝60种取法．再将这3组教师分配到3所中学，有A33＝6种分法．故共有60×6＝360种不同的分法．(4)(2015·保定市调研考试)已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A、B、C为M的非空子集，若∀x∈A、y∈B、z∈C，x＜y＜z恒成立，则称“A—B—C”为集合M的一个“子集串”，则集合M的“子集串”共有________个．解析：(1)插空法．在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可．故排法种数为A34＝24.故选D.(2)分四种情况进行讨论：①a3是0，a1和a2有C25种排法，a4和a5有C25种排法，则五位自然数中“凹数”有C25C25＝100个；②a3是1，有C24C24＝36个；③a3是2，有C23C23＝9个；④a3是3，有C22C22＝1个．由分类加法计数原理知五位自然数中“凹数”共有100＋36＋9＋1＝146个．(4)由题意可先分类，再分步：第一类，将6个元素全部取出来，可分两步进行：第一步，取出元素，有C66种取法，第二步，分成三组，共C25种分法，所以共有C66C25个子集串；第二类，从6个元素中取出5个元素，共C56种取法，然后将这5个元素分成三组共C24种分法，所以共有C56C24个子集串；同理含4个元素的子集串数为C46C23；含3个元素的子集串数为C36C22.集合M的子集串共C66C25＋C56C24＋C46C23＋C36C22＝111个．答案：(1)D(2)D(3)360(4)111方法思想——分类讨论思想求解排列、组合问题(2014·高考重庆卷)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72B．120 C．144 D．168[解析]解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类A33，然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空，故不同排法有A33·2A33＝72.第二类也分两步，先排歌舞类A33，然后将剩余3个节目放入中间两空排法有C12A22A22，故不同的排法有A33A22A22C12＝48，故共有120种不同排法，故选B.[答案] B[名师点评]对于有附加条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按事件发生的过程分类．本题在排歌舞类节目后再进行分类，把剩余3个节目插入两个空还是三个空．1.航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A．12种B．16种C．24种D．36种解析：选D.当甲排在边上时，有2A33＝12种方法；当甲不排在边上时，有12A22＝24种方法，这样一共有12＋24＝36种不同的着舰方法．2．(2014·高考浙江卷)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．解析：把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4人有C23A24种分法，所以不同获奖情况种数为A44＋C23A24＝24＋36＝60.答案：601．数列{a n}共有六项，其中四项为1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{a n}共有() A．30个B．31个C．60个D．61个解析：选A.在数列的六项中，只要考虑两个非1的项的位置，即得不同数列，共有A26＝30个不同的数列．2．(2015·昆明市第一次摸底)从4部甲型和5部乙型手机中任意取出3部，其中至少要有甲型与乙型手机各1部，则不同取法共有()A．35种B．70种C．84种D．140种解析：选B.由题知不同取法有C14C25＋C24C15＝70种．3．(2015·陕西西安检测)某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是()A．15 B．45C．60 D．75解析：选C.从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，所有的选法种数是C24×C26＝90.重点项目A和一般项目B都没有被选中的选法种数是C23×C25＝30，故重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是90－30＝60.4．(2015·福建三明调研)将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有()A．12种B．20种C．40种D．60种解析：选C.(排序一定用除法)五个元素没有限制全排列数为A55，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B ，C 或C ，B ，A )，故除以这三个元素的全排列A 33，可得A 55A 33×2＝40.5．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数为( )A ．24B ．28C ．36D ．48解析：选D.穿红色衣服的人相邻的排法有C 14A 22A 33＝48种，同理穿黄色衣服的人相邻的排法也有48种．而红色、黄色同时相邻的有A 22·A 22·A 33＝24种．故穿相同颜色衣服的不相邻的排法有A 55－2×48＋24＝48种．6．C 5－n n ＋C 9－nn ＋1＝________．解析：由组合数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧0≤5－n ≤n 0≤9－n ≤n ＋1，解之得4≤n ≤5，∵n ∈N *，∴n ＝4或n ＝5.当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5，当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16. 答案：5或16 7．(2015·潍坊检测)张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．(用数字作答)解析：第一步：将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步：将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有A 33种排法；第三步：将两个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A 33＝24(种)．答案：24 8．(2015·江苏扬州中学检测)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则该数为“驼峰数”．比如：“102”“546”为“驼峰数”，由数字1，2，3，4，5这五个数字构成的无重复数字的“驼峰数”的十位上的数字之和为________．解析：三位“驼峰数”中1在十位的有A 24个，2在十位的有A 23个，3在十位上的有A 22个，所以所有三位“驼峰数”的十位上的数字之和为12×1＋6×2＋2×3＝30.答案：309．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员．解：(1)任选3名男运动员，方法数为C 36，再选2名女运动员，方法数为C 24，共有C 36·C 24＝120(种)方法． (2)法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男， 由分类加法计数原理可得总选法数为 C 14C 46＋C 24C 36＋C 34C 26＋C 44C 16＝246(种)．法二：“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C 510－C 56＝246(种)．10．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C 34种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C 45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A 77种情况．所以符合题意的七位数有C 34C 45A 77＝100 800(个)．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C 34C 45A 55A 33＝14 400(个)．(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C 34C 45A 33A 44A 22＝5 760(个)．1．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( )A ．150种B ．180种C ．200种D ．280种解析：选A.依题意5个人分配到3个学校且每校至少去一个人，因此可将5人按人数分成1，2，2与1，1，3两种，当人数是1，2，2时，有C 15C 24C 22A 22×A 33＝90(种)． 当人数是1，1，3时，则有C 15C 14C 33A 22×A 33＝60(种)， 因此共有90＋60＝150(种)． 2．(2015·浙江温州十校联考)任取三个互不相等的正整数，其和小于100，则由这三个数构成的不同的等差数列共有( )A ．528个B ．1 056个C ．1 584个D ．4 851个解析：选B.先确定等差数列的中间项，再确定第一、三项．设这三个成等差数列的数分别为a ，b ，c .由题意得a ＋b ＋c ≤100，即3b ≤100，得b 可以取2，3，…，33，共32个数．第一类，b ＝2时，a ，c 的取值共有2个(a ＝1，c ＝3和a ＝3，c ＝1，对应的是两个数列)； 第二类，b ＝3时，a ，c 的取值共有4个； …第三十二类，b ＝33时，a ，c 的取值共有64个．根据分类加法计数原理，可得满足题意的数列共有2＋4＋…＋64＝1 056个．3．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是__________．(用数字作答)解析：3个人各站一级台阶有A 37＝210(种)站法；3个人中有2个人站在一级，另一人站在另一级，有C 23A 27＝126(种)站法，共有210＋126＝336(种)站法．答案：336 4．(2015·山东潍坊五校联考)数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为N 1，其中N 2，N 3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N 1＜N 2＜N 3的所有排列的个数是________．解析：(元素优先法)由题意知6必在第三行，安排6有C 13＝3种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A 25＝20种方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C 12＝2种方法，剩下的两个数字有A 22＝2种排法，按分步乘法计数原理，所有排列的个数是C 13A 25C 12A 22＝240.答案：2405．按照下列要求，求分别有多少种不同的方法？ (1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少有一个小球．解：(1)每个小球都有4种方法，根据分步乘法计数原理共有46＝4 096(种)不同方法．(2)分两类：第1类，6个小球分3，1，1，1放入盒中；第2类，6个小球分2，2，1，1放入盒中，共有C 36·C 14·A 33＋C 26·C 24·A 24＝1 560(种)不同放法．6．(选做题) 某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图所示)．(1)图中共有多少个矩形？(2)从A点到B点最近的走法有多少种？解：(1)在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成1个矩形，故可组成矩形C27·C25＝210(个)．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的，共有C610＝C410＝210(种)走法(同样可从10段中选4段走南北方向，每种选法即是1种走法)．所以共有210种走法．。
排列与组合PPT教学课件
小结
• 不用柔曼的音调来诉说个人的哀乐，也很少用热 烈的呼声来抒发对于旧世界的愤懑，而是用经过 锤炼的诗句，抒写旧中国农民的苦难与不幸，勤 劳与坚忍，让读者从咀嚼和回味中体会诗人深沉 的感情
臧克家正是以此独特的风格，为三十年代的诗坛吹来一阵 清新的风，引起读者的注意和重视
①能得到几个不同的分数？ ②其中有几个是真分数？几个假分数？
老马
总得叫大车装个够， 它横竖不说一句话， 背上的压力往肉里扣， 它把头沉重地垂下！
这刻不知道下刻的命， 它有泪只往心里咽， 眼里飘来一道鞭影， 它抬起头望望前面。
臧克家其人
• 臧克家(1905～ ) 现代诗人。山东诸 城人。有诗集《烙印》(1933)、《罪恶的 黑手》(1934) 。代表作《有的人》 。
加法原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中
有m1种不同的方法，在第一类办法中有m2种不同的方法，… …， 在第n类办法中有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1+ m2+… …+ mn 种不同的方法。
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1
种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，… …，做第n步有mn 种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1× m2×… …×mn 种不 同的方法。
法； 含 1 本数学书和 1 本物理书的共有 7 × 5 = 35 种取法； 含 1 本语文书和 1 本物理书的共有 9 × 5 = 45 种取法。
由加法原理得 63 + 35 + 45 = 143 答：共有 143 种取法。
练习1：
1． 一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种方 法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一个人来 完成这件工作，共有多少种选法？
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ONTENTS
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考纲考情
定序问题消序(除法)处理的方法，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定 消序法
序元素的全排列
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[考点分类•深度剖析]
考点二 组合应用题———(基础考点——自主探究)
1．为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中选取3
6 6
种排列方法，共有
5×A66＝3 600(种)．
法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种
排法，共有A26A55＝3 600(种)．
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考点一 排列应用问题———(核心考点——合作探究)
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻．
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4 4
＝144，同理2,4与6相邻的有A
2 2
×2×2×A
3 3
＝48个，所以只有2,4相邻的有144－48＝96个，全部符合条件的六位数
有96×3＝288个．来自答案：B[主干知识•自主梳理] [考点分类•深度剖析] [创新考点•素养形成] [课时作业•巩固练习]
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[考点分类•深度剖析]
素养形成
核心 数学 逻辑 数学 数学 直观 数据
1.理解排列、组合的概念．
素养 抽象 推理 建模 运算 想象 分析
2．能利用计数原理推导排列数 素养
☆
公式、组合数公式．
形成
3．能解决简单的实际问题.
考查 主要通过排列、组合问题考查逻辑推理
角度 能力.
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A．144
B．120
C．72
D．24
答案：D
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[主干知识•自主梳理]
2．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )
A．8
B．24
C．48
D．120
答案：C
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C 23
×C
1 2
×C
2 4
×C
1 4
＝144.若红色卡片有1张，则剩余2张不同色时，不同取法的种数为
C14×C23×C14×C14＝192，剩余2张同色时，不同取法的种数为C14×C13×C24＝72，所以
不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(种)．
答案：472
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解析：法一：从16张不同的卡片中任取3张，不同取法的种数为C316，其中有2张红色
卡片的不同取法的种数为C
2 4
×C
1 12
，其中3张卡片颜色相同的不同取法的种数为C
1 4
×C
3 4
，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为C
3 16
－C24×C112－C14×C34＝472.
恒等变形简化运算．
2．与组合数相关的几个公式 (1)C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n(全组合公式)． (2)Cmn ＋Cnm－1＋…＋Cmm＋1＋Cmm＝Cnm＋＋11. (3)kCkn＝nCkn－－11.
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[主干知识•自主梳理]
2．组合与组合数 (1)组合 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个___组__合___． (2)组合数 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的_组__合__数___，记作__C_nm_____．
[考点分类•深度剖析]
1．“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出， 再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． 2．“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理．
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[主干知识•自主梳理]
1．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数
是( )
A．12
B．24
C．64
D．81
解析：4本不同的课外读物选3本分给3名同学，每人一本，则不同的分配方法有A
3 4
＝24(种)．
答案：B
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(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排
列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．
(5)(插空法)先排女生，有A
4 4
种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安
排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)．
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3．排列数、组合数的公式及性质
排列数公式 公式 Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
n！ ＝ n－m！
组合数公式
Cnm＝AAmnmm
nn－1…n－m＋1
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[主干知识•自主梳理]
易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与 顺序有关，组合问题与顺序无关．
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[主干知识•自主梳理]
1．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
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[考点分类•深度剖析]
法二：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选3张，若都不同
色，则不同取法的种数为C
1 4
×C
1 4
×C
1 4
＝64，若2张颜色相同，则不同取法的种数为
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[主干知识•自主梳理]
3．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没
有入选的不同选法的种数为( )
A．85
B．56
C．49
D．28
解析：分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选，甲、乙均入选且丙没有入 选，计算可得所求选法种数为C12C27＋C22C17＝49. 答案：C
＝
m！
n！ ＝ m！n－m！
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[主干知识•自主梳理]
性质 (1)Ann＝ n！ ； (2)0！＝ 1
备注
(1)C0n＝ 1 ； (2)Cmn ＝ Cnn－m ； (3)Cmn ＋Cnm－1＝Cmn＋1 n，m∈N*且m≤n
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[主干知识•自主梳理]
2．(2020·山西省吕梁市一模)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A
是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其
余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有( )
A．60种
B．48种
C．30种
D．24种
解析：由题意知，不同的坐法有A22A44＝48(种)，故选B. 答案：B
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[考点分类•深度剖析]
[解析] (1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有
A37·A44＝5 040(种)．
(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A
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