化归与转化的数学思想解题举例
例谈化归思想在中学数学解题中的应用
例谈化归思想在中学数学解题中的应用化归思想是一种在数学问题求解中经常应用的思维方式，它通过将问题进行逻辑转化，从而使得原本复杂的问题得到简化和解决。
在中学数学教学中，化归思想的应用是十分重要的，它能够帮助学生更好地理解和解决各种数学问题，并且培养学生的逻辑思维能力。
本文将通过几个具体的例子来说明化归思想在中学数学解题中的应用。
我们来看一个简单的例子。
假设有一个数学问题：甲乙两人一起做一件事情需要5天完成，如果甲一个人做，需要7天完成，那么乙一个人做需要多少天完成？这个问题实际上就是一个典型的化归思想的应用。
我们可以假设甲乙两人一起一天完成的工作量为1，那么甲的单日工作量为1/5，乙的单日工作量为1/x。
根据题意可以列出方程：1/7 + 1/x = 1/5，通过化简和代数运算可以求解得到x=35/4。
所以乙一个人做需要35/4=8.75天完成。
这个例子展示了如何通过化归思想将原本复杂的问题转化为一个简单的代数方程，从而实现问题的解决。
我们来看一个关于几何题目的例子。
已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
这个问题看似简单，但如果没有化归思想的引导，很容易被逻辑混乱所困扰。
通过利用勾股定理可以得出斜边长度为5。
这个例子中，化归思想的应用表现在将几何问题转化为代数问题，并且通过代数运算得到了问题的解。
再来看一个关于代数题目的例子。
已知一个一元二次方程的两个根分别为2和3，求方程的系数。
这个问题可以通过化归思想来解决。
设该一元二次方程为ax^2+bx+c=0，根据题意可以列出方程：(x-2)(x-3)=0，通过展开和比较系数可以得到a=1，b=-5，c=6。
这个例子展示了如何通过化归思想将一个抽象的代数问题转化为具体的数值问题，并且解决了系数的求解问题。
我们来看一个组合数学的例子。
已知一个集合中有n个元素，求该集合的子集个数。
这个问题可以通过化归思想来解决。
当n=1时，集合包含一个元素，子集个数为2；当n=2时，集合包含两个元素，子集个数为4；当n=3时，集合包含三个元素，子集个数为8……可以发现子集的个数是以2的指数递增的，所以当n个元素时，子集个数为2^n。
高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解
中学数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解中学数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解在转化过程中，应遵循三个原则：1、熟识化原则，即将生疏的问题转化为熟识的问题;2、简洁化原则，即将困难问题转化为简洁问题;3、直观化原则，即将抽象总是详细化.策略一：正向向逆向转化一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，假如从下面入手思维受阻，不妨从它的正面动身，逆向思维，往往会另有捷径.例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，状况困难，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简洁多了.10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较困难的数学问题却须要从总体上去把握事物，不纠缠细微环节，从系统中去分析问题，不单打独斗.例2：一个四面体全部棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )A、B、C、D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，简洁出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培育学问迁移实力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相像性，奇妙进行类比转换，答案就会应运而生.例3：在等差数列中，若，则有等式( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.二、逻辑划分思想例题1、已知集合A= ，B= ，若B A，求实数a 取值的集合.解A= ：分两种状况探讨(1)B=￠，此时a=0;(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种状况探讨：(i) B={-1}，则=-1，a=-1(ii)B={1}，则=1，a=1.(二级分类)综合上述所求集合为.例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满意1x4的一切x值都有f(x) 0，求实数a的取值范围.例题3、已知，试比较的大小.于是可以知道解本题必需分类探讨，其划分点为.小结：分类探讨的一般步骤：(1)明确探讨对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行探讨);(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级探讨.;(3)逐类探讨，获得阶段性结果.(化整为零，各个击破);(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).十一种数学思想方法总结与详解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
数学思想方法之化归与转化思想
2 φ1<0， 3x －x－2<0， 2 ∴ 即 2 解得－3<x<1. φ－1<0， 3x ＋x－8<0，
故当x∈ 都有g(x)<0.
2 － ， 1 3
时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，
专题
数学思想方法
第四讲 化归与转化思想
2．化归与转化思想 根据熟知的数学结论和掌握的数学 题目解法，把数学问题化生疏为熟练、化 困难为容易、化整体为局部、化复杂为简 单、化空间为平面、化高维为低维的解决 问题的思想方法就是化归思想与转化思 想.
► 探究点二 化归与转化思想的应用 例 3 (1)[2012· 江西卷] 设数列{an}， {bn}都是等差数列． 若 a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则 a5＋b5＝________. (2)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c， 且(2b－ 3c)cosA＝ 3acosC，则角 A 的大小为________．
[解析] (1)方法一：设 cn＝an＋bn，∵{an}，{bn}是等差数列，∴{cn} 是等差数列．设其公差为 d，则 c1＝7，c3＝c1＋2d＝21，解得 d＝7， 因此，c5＝a5＋b5＝7＋(5－1)×7＝35.故填 35. 方法二：设 cn＝an＋bn，∵{an}，{bn}是等差数列， ∴{cn}是等差数列，∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)， 即 42＝7＋(a5＋b5)，因此 a5＋b5＝42－7＝35.故填 35. (2)因为(2b－ 3c)cosA＝ 3acosC，由正弦定理得 (2sinB－ 3sinC)cosA＝ 3sinAcosC， 即 2sinBcosA 2sinBcosA＝ 3sin(A＋C)，则 2sinBcosA＝ 3sinB. 因为 0<B<π，所以 sinB≠0， 3 π 所以 cosA＝ ，于是 A＝ . 2 6
例谈“转化与化归”思想在高中数学解题中应用
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例谈“ 转化与化归 ’ ’ 思想 在高中数学解题中应用
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题
李 文靖
江西瑞金 第一 中学 ３ ２ ０ ４ ５０
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求证
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点评 ： 题 看上去是 一个不等 式 问 本 题 ， 经 过 等价 转化 ， 它 化 归 为 关 于ｐ 但 把
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数学思想方法及例题
数学思想方法及例题一、化归思想“化归”就是将未知的问题转化成我们已经解决的问题，将复杂的问题转化成简单的问题，也就是将“未知”的问题“已知化”，“复杂”的问题“简单化”．化归思想是解决问题的常见思想方法．【例1】△ABC为等边三角形，三边的长均已在图中标出，求的值．分析：因为△ABC为等边三角形，故AB=BC=CA，所以2x-8=x+6＝3y+2，稍加组合可得2x-8=x+6，可以求出x的值，然后回代又可求出y的值．解：因为△ABC为等边三角形，故AB=BC=CA，所以2x-8=x+6＝3y+2，又因为2x-8=x+6，解得，x＝14，将x＝14代入x+6＝3y+2，解得，y＝6，将x＝14 y＝6代入点评：本题利用“化归”的思想，将三角形的三边的长转化成一元一次方程，此处应注意的是方程的组合，不同的组合可能得到的是二元一次方程组，从而加大了计算量和解答难度．二、分类讨论思想有时将问题看成一个整体时，则无从下手，若分而治之，各个击破，则能柳暗花明，分类讨论正是这一种思想，也是一种重要是数学思想方法，为了解决问题，将问题说涉及的是对象不遗漏地分成若干类问题，然后逐一解决，从而最终解决整个问题的目的．【例2】（五城市联赛题）若ab>0，求的值．分析：因为ab>0，则a>0，b>0或a<0，b<0，于是将问题分成两种情况进行讨论，不难得到结果．解：因为ab>0，则a>0，b>0或a<0，b<0，①当a>0，b>0时，，，＝＝1+1-1＝1．②当a<0，b<0时，，，＝＝－1－1－1＝－3．故当ab>0，＝1或－3．点评：在分类讨论时，应注意不遗漏地将问题所涉级的各种情况作出讨论，最后应总结各种讨论的结果．三、整体思想与分解，分步处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实际上紧密联系的量作为整体考虑．在整体思想中，往往能够找到问题的捷径．分析：若将问题中的x看成一个未知数，将其求出，然后代入后式中求值，显然计算复杂繁琐，计算量偏大，但将看成一个整体，通过通分得到，继而看作整体，求其倒数得到，对比联想，容易找到解决问题的思路．点评：本题若不运用整体的思想方法解题，则计算复杂繁琐，而整体思想的运用，化难为易，整体思想是一种技巧，也是一种重要的思想方法．四、数形结合思想数形结合思想，是一种重要的思想，有时力图用图形来直观体现数量的关系，将抽象复杂的'数（量），利用图形的直观表达，然后利用图形的性质（特征），分析解决问题，有时力图用数（量）来体现图形的关系，将图形的性质（特征），利用数（量）的关系来加以解决的思想方法，也是一种重要的思想方法．【例4】（北京市“迎春杯”数学竞赛题）已知：a>0，b<0，且a+b<0，那么有理数a，b，-a，的大小关系是（用“<”连接）．解析：因为b<0，＝－b，因为a>0，b<0且a+b<0，根据有理数加法法则，可得，<，以形辅数，在数轴上表示它们的位置关系，又根据相反数的定义，可以得到a，b，－a，－b的位置关系．故b<－a<a<－b，即b<－a<a<．。
化归与转化的数学思想解题举例
化归与转化的数学思想解题举例在数学问题中，化归与转化是一种常用的解题思路。
它们可以帮助我们将原问题转化为一个简化的形式，从而更容易得到解答。
本文将通过几个具体的例子来说明化归与转化在数学问题中的应用。
一、化归化归是将一个复杂的问题转化为一个更简单的等价问题的过程。
它通常是通过引入新变量或假设，将原问题转化为一个更易于处理的形式。
例子1：求解一元二次方程的解对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a不等于0，我们可以通过化归的方法求解其根。
首先，我们可以将方程中的未知数x改写为y = x + p，其中p是一个常数。
这样，我们将原来的方程转化为了ay^2 + dy + e = 0（其中d 和e是和p相关的常数）。
接下来，我们可以通过求解新方程来得到原方程的解。
由于新方程中的y是一个平移的变量，我们可以通过平方完成对y的消除。
最后，我们将得到一个新的一次方程： Cy + F = 0（C和F是和p 相关的常数）。
求解这个一次方程，我们就可以得到原方程的解。
通过化归，我们将原本复杂的问题转化为了一个简单的一次方程的求解问题，从而更容易得到解答。
二、转化转化是将一个问题转换为一个具有相同解的等价问题的思想。
它可以通过改变问题的表述方式或者引入新的概念来实现。
例子2：求解无穷几何级数的和对于一个无穷几何级数a + ar + ar^2 + ar^3 + ...（其中| r | < 1），我们可以使用转化的思想来求它的和。
首先，我们可以将级数的和S表示为S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，这是一个无穷级数。
接下来，我们将级数的每一项都乘以公比r，得到rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...，这是另一个等价的无穷级数。
然后，我们将这两个等式相减，得到(S - rS) = a，进一步化简得到S = a / (1 - r)。
通过这样的转化，我们得到了无穷几何级数的和的数学表达式，简化了求解过程。
“转化与化归”思想在高中数学解题教学中的应用
解题研究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀转化与化归 思想在高中数学解题教学中的应用◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李㊀硕㊀㊀转化与化归 思想是高学数学中的一种重要的数学思想,运用非常广泛,尤其是一些特殊的问题,运用 转化与化归 思想解题可以提高效率,同时还可以降低问题解决的难度．因此,在数学课堂引入并应用转化与化归思想,能够让学生在学习数学及解题的过程中,加深对数学概念的理解,同时也能有效锻炼数学思维,提高学习效率,进一步发展数学核心素养．在高中数学的解题过程中,基于 转化与化归 思想的三大原则,主要运用的解题方法包括特殊与一般的转化㊁命题的等价转化,以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等一些常见的转化方法．１特殊与一般的转化将一般问题进行特殊化处理,可使问题的解决变得更为直接和简便,并且还能从特殊情况中寻找问题解决的常规思维;除此之外,对特殊性问题进行概括性研究,实现特殊问题一般化,也能从宏观与全局的角度把握特殊性问题的普遍规律,并能有效地解决特殊性问题．例１㊀ 蒙日圆 涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a ＝１(a ＞０)的离心率为１２,则椭圆C 的蒙日圆的方程为(㊀㊀)．A．x ２＋y ２＝９㊀㊀㊀㊀㊀B ．x ２＋y ２＝７C ．x ２＋y ２＝５D．x ２＋y ２＝４分析:根据题目中的已知条件,在椭圆上,两条相互垂直的切线可以随意选择,但其交点位于与椭圆同心的圆却是唯一的,也即答案是唯一的．由此,可以通过选取一般问题的特殊情形找到一般的解题思路,不妨利用过椭圆的右顶点和上顶点的两条切线进行解题．解:因为椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a＝１(a ＞０)的离心率为１２,所以１a ＋１＝１２,解得a ＝３．所以椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１,且椭圆C 的上顶点为A (０,３),右顶点为B (２,０),则椭圆在A ,B 两点的切线方程分别为y ＝３和x ＝２,这两条切线的交点坐标为M (２,３)．由题意可知,交点M 必在一个与椭圆C 同心的圆上,可得与椭圆C 同心的圆的半径r ＝２２＋(３)２＝７．所以椭圆C 的蒙日圆方程为x ２＋y ２＝７．故选:B ．以问题的特征为依据,对命题进行转化,将原问题转化为与之相关的㊁容易解决的新问题,这也是解决数学问题常见的转化思路,并且可以通过这种转化逐步培养识别关键信息的能力．２命题的等价转化把题目中已有的条件或者结论进行相应的转化,化难为易,是解决较难问题常用的转化手段．其主要方法包括:数与形的转化㊁正与反的转化㊁常量与变量的转化㊁图形形体及位置的转化等．例２㊀由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,得m 的取值范围是(－ɕ,a ),则实数a 的值是．分析:利用转化思想可以将命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０ 是假命题转化为 对任意x ɪR ,e|x －１|－m ＞０是真命题,由此得出m ＜e |x －１|恒成立,进而通过m 的取值范围来求a 的值．解:由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,可知 对任意x ɪR ,e |x －１|－m ＞０是真命题,由此可得m 的取值范围是(－ɕ,１),而(－ɕ,a )与(－ɕ,１)为同一区间,故a ＝１．例３㊀若对于任意t ɪ[１,２],函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是．分析:根据函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,可以利用正难则反的转化思想先找出g (x )在(t ,３)上单调的条件,再利用补集思想求出m 的取值范围．８５２０２３年１２月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀解:求得g ᶄ(x )＝３x ２＋(m ＋４)x －２．若g (x )在(t ,３)上单调递增,则g ᶄ(x )ȡ０,即３x ２＋(m ＋４)x －２ȡ０,亦即m ＋４ȡ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立．故m ＋４ȡ２t－３t 在t ɪ[１,２]上恒成立,则m ＋４ȡ－１,即m ȡ－５．若g (x )在(t ,３)上单调递减,则g ᶄ(x )ɤ０,即m ＋４ɤ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立,所以m ＋４ɤ２３－９,即m ɤ－３７３．综上,符合题意的m 的取值范围为－３７３＜m ＜－５．根据命题的等价性对题目条件进行明晰化处理是解题常见的思路;对复杂问题采用正难则反的转化思想,更有利于问题得到快速解答．３函数㊁方程㊁不等式之间的转化函数与方程㊁不等式之间有着千丝万缕的关联,通过结合函数y ＝f (x )图象可以确定方程f (x )＝０,不等式f (x )＞０和f (x )＜０的解集．例４㊀若２x －２y＜３－x －３－y ,则(㊀㊀)．A．l n (y －x ＋１)＞０B ．l n (y －x ＋１)＜０C ．l n |x －y |＞０D．l n |x －y |＜０分析:由题意,可将２x －２y＜３－x －３－y 转化为２x －３－x ＜２y－３－y ,进而实现不等式与函数之间的转化,从而解得答案．解:由２x －２y ＜３－x －３－y ,得２x －３－x ＜２y －３－y ．故构造函数y ＝２x －３－x ,即y ＝２x －(１３)x．由于函数y ＝２x－(１３)x 在R 上单调递增,因此x ＜y ,即y －x ＋１＞１．所以l n (y －x ＋１)＞l n １＝０．故选择:A ．例５㊀已知函数f (x )＝e l n x ,g (x )＝１ef (x )－(x ＋１)．(e ＝２．７１８ )(１)求函数g (x )的最大值;(２)求证:１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．分析:第(１)问要求函数g (x )的最大值,关键在于需要运用转化与划归思想,通过g ᶄ(x )得出函数g (x )单调性,即可求出g (x )的最大值．将第(１)问得出的g (x )最大值－２转化成l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立),再利用换元法最终证明出结论．解:(１)由g (x )＝１ef (x )－(x ＋１),即g (x )＝l n x －(x ＋１),得g ᶄ(x )＝１x－１(x ＞０)．令g ᶄ(x )＞０,则０＜x ＜１;令g ᶄ(x )＜０,则x ＞１．所以,函数g (x )在区间(０,１)上单调递增,在区间(１,＋ɕ)上单调递减．故g (x )的最大值为＝g (１)＝－２．(２)证明:由(１)知x ＝１是函数g (x )的极大值点,也是最大值点,故g (x )ɤg (１)＝－２．所以l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立)．令t ＝x －１,则有t ȡl n (t ＋１)(t ＞－１)．取t ＝１n (n ɪN ＋),则有１n ＞l n (１＋１n)＝l n(n ＋１n )．故１＞l n２,１２＞l n ３２,１３＞l n ４３,,１n＞l n(n ＋１n )．上面n 个不等式叠加,得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (２ˑ３２ˑ４３ˑ ˑn ＋１n)＝l n (n ＋１)．故１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．在分析此类题目的过程中,利用函数㊁方程㊁不等式进行转化与化归更有利于问题的解决,因此,利用转化与划归思想不仅能让整个数学知识的体系变得更加紧密,同时也能对学生从系统性角度掌握数学知识之间的联系提供非常大的帮助．转化与化归思想所蕴含的内容丰富且深奥,为高中数学问题的解决提供了多种思路,对高中数学的学习也有极大的指导与启发作用,值得我们不断地探索与研究．因此,在解决高中数学问题的过程中,要灵活运用 转化与化归 的解题思想．有些数学问题看似复杂,但通过分析可知出题者采用的是 障眼法 ,其中有的是多余或无用的条件．同时,在高中数学课堂教学中,教师可以在解题教学过程中渗透转化与化归思想,加强学生在特殊与一般转化㊁命题的等价转化以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等方面的技能,逐步锻炼学生简化题目内容的能力和意识,最大程度提高解题效率．Z９５。
化归法在小学数学中的应用
化归法在小学数学中的应用在问题的解决过程中，对待解题不断进行变形、转化。
直至把它归结为已经解决的问题或容易解决的问题，最终得到原问题的解答。
这就是“化归”的数学思想。
例题1：一个数加上2，减去5，乘4，除以3，得20。
求这个数？①“一个数”加上2，减去5；转化为：“一个数”减去 3 （这个转化是等价的）；（通过转化信息少了，变简单了）。
原题即为：一个数减去3，乘4，除以3，得20，求这个数?②在转化：“一个数”减去3，乘4除以3得20，即为：“一个数”减去3后，除以3得5；（把乘法中乘4转化没，那么20就得除以4变为5了，通过这个转化乘法运算转化没了，计算变得又简单了）！即为：“一个数”减去3，除以3得5。
③“一个数”减去3后，除以3得5；则：“一个数”减去3后是15。
最后：这个数=15+3=18。
例题2：甲乙两数的和是186,商是5余数是6，那么甲乙两数各是多少？（注：甲比乙大）由被除数=除数x商+余数：转化得：被除数=除数 x 5 + 6；又由被除数 + 除数 = 186 ；在转化得：除数x5 + 6 + 除数 = 186；即：除数x6 + 6 = 186；除数 + 1 = 31；除数 = 30；被除数 = 30x5+6= 156 。
所以：甲数是 156 ，乙数是30 。
例题3：小学四年级的1+2+3+……+99怎么做？设 S = 1+2+3+...... + 99 ;变换下“S”中数字的相加顺序:S = 99+98+97+......+1 ;左边和左边相加等于右边和右边相加：即：2S = （99+1）+（98+2）+（97+3）+......+(1+99) 2S = 100 × 99s = 50 × 99所以： S = 4950。
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化归与转化的数学思想解题举例
化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。
事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。
下面介绍一些常用的转化方法，及化归与转化思想解题的应用。
化归与转化常遵循以下几个原则
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
一、正与反的转化：
有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。
如对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。
例1：某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率为。
例2：求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x－3)垂直平分.
当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然，这种方法在选择题，填空题中非常适用。
例1：设等比数列｛a n ｝的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n +1、S n 、S n +2成等差数列，则q =___________.
例2：已知平面上的直线l 的方向向量)53,54(-
=→e ，点(0，0)和A (1,－2)在l 上的射影分别为A O ''和，若A O λ=''则λ为（ ）
A ．
511 B ．－511 C ．2 D ．－2
例3：设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且1PA QC =，则四棱锥B —PAQC 的体积为：
A ．
61V B ．41V C ．31V D ．2
1V
利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即变量与主元的角色换位）常常可以简化问题的解决，先看下面两题。
例1:（2006年四川卷文21题）已知函数,5)()(,13)(3--'=-+=ax x f x g ax x x f 其中)(x f '是的)(x f 的导函数。
（Ⅰ）对满足11a -≤≤的一切a 的值， 都有,0)(<x g 求实数x 的取值范围；
变式：22--ax x ≤0对]1,1[-∈x 上恒成立，求实数a 的取值范围.
例2：设y 的实数，05442
=+++x xy y 则x 的取值范围是：___________
四、数与形的转化。
数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观图形相结合。
可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求。
例1：设对于任意实数]2,2[-∈x ,函数)3lg()(2x ax a x f --= 总有意义，求实数a 的取值范围。
五、陌生与熟悉的转化
把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是数学解题的一条重要原则。
例1：某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（）
A. m>N
B. m<N
C.m=N
D.无法确定
例2：两条异面直线称为“一对”，则在正方体八个顶点间的所有连线中，成异面直线的共有多少对？。
归纳小结：我们学习了化归与转化思想，正与反的转化从集合的角度来看就是“补集”的思想；一般与特殊的转化只限选择题，填空题中使用，在大题中可有多种方法来探究解题的突破口，寻求解题的方法；将陌生变为熟悉，是解每一道题的一般过程；主与次的转化的方法，是如何看待一个等式（或不等式）中的两个元素的地位，只要需要，就可以把其中任何一个元素看作“主”要元素来解题。
课堂练习：
1、对任何]1,1[-∈a 函数a x a x x f 24)4()(2-+-+=〉0，则实数x 的取值范围是：_______
2、已知函数14)(2+-=ax x x f 在（0，1）内至少有一个零点，则实数a 的取值范围____________
3、求函数x x a x f 2cos sin 42)(--=的最大值和最小值。
4、已知向量1122(cos ,2sin ),(cos ,2sin )OA OB θθθθ== ，
若11(cos ,sin ),OC θθ= 22(cos ,sin )OD θθ=
，满足0OC OD ⋅= ，则OAB
∆的面积OAB S ∆等于
5、在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为__________。