浅谈转换与化归思想(精)

浅谈转换与化归思想
转化思想是数学中的一种基本却很重要的思想。

深究起来，转化两字中包含着截然不同的两种思想，即转换和化归。

这两者其实表达了不同的思想方法，可以说是思维方式与操作方法的区别。

一、 转换思想
（1）转换思想的内涵
转换思想是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化，能跳出现有领域的局限，联系相关领域，并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。

要做到这一点，对思维能力的要求相对更高，必须对各个领域分别都有透彻的了解，更必须对各领域之间的联系有较多的研究，在关键时刻才能随心所欲地运用。

（2）转换思想在同一学科中的应用
转换思想可以是在同一学科的不同知识模块之间的变换，在解决问题时改变解题方向。

象数学学科中，数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。

比如，函数、方程、不等式是代数中的三大重要问题，而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其他模块的各类问题。

不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决，或者是二次方程根的分布，也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。

再比如，数列问题用函数观点来解释，那更是我们数学课堂中一再强调的问题了。

看这样一个问题： 已知：11122=-+-a b b a ，求证：122=+b a 。

[分析] 这是一个纯粹的代数证明问题，条件的变形是比较艰难的，所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点
令人望而生畏。

再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式，稍加联系，我们完全可以想到：21a -、21b -、12
2=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现，它们呈现出完全类似的规律性。

[解答]由题意1≤a 、1≤b ，则可设αsin =a ，αcos =b ，πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα
化简得1cos cos sin sin =+αααα
所以0sin ≥=αa ，0cos ≥=αb
则 1cos sin 2222=+=+ααb a
[小结] 本题的解决了是发现了不同知识模块中的类似规律，加以利用得到新的思路，本题的题设和结论中都没有出现
三角函数的形式，最终却必须引进三角函数加以解决，思维已经具有跳跃性，对一般学生来说解决起来还是比较棘手的。

转换思想对思维要求确实很高，但这一点还是能够做到的。

因为各学科都有对知识模块的介绍，同时也有对各知识模块之间横向纵向的对比联系的研究。

典型的例子就是数与形之间的思维转换，因为学生已经在初中老师的指导下
对代数与几何分别有了研究，高中时不但分别进行了深化，更把两门学科合而为一，更多地注重两者之间的对比联系的研究。

高中的《平面解析几何》的实质就是用“解析法”即“代数的方法”解决几何问题，已经体现了几何到代数的转换，比如介绍某些代数形式的几何表示（绝对值、不等式、方程的几何意义），引入几何图形中圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线）的方程，都是为培养思维在数与形之间的跳跃作了准备。

再比如物理学科中有“电场”与“磁场”的分别研究，也有对“电磁场”的综合研究。

所以学生在同学科内部的思维转换应该能够做到游刃有余。

（3）转换思想在不同学科中的应用
转换思想也可以是在同一学习领域的不同学科之间进行跳跃性变换，解决问题时采用不同的思维方式。

比如解决数学问题时，可以在代数与几何之间的互相转换，另外，物理中的行程问题、化学中的浓度问题都可以转换到数学模型来解决。

化学中典型的浓度问题：
a 克糖溶于水中形成
b 克糖水，其浓度为
b
a ；若加入m 克溶质糖，虽然溶质溶液的质量同时增加，但可以得到加糖后的浓度m
b m a ++必然要大于原来溶液的浓度b a 。

这个结论完全可以由数学学科中《不等式》部分的知识加以证明： 根据实际情况：0>>a b ，0>m ，
)
()()(m b b m a b m b b am ab bm ab b a m b m a +-=+--+=-++， 因为 0>>a b ，0>m ， 所以0)()()(>+-=+--+=-++m b b m a b m b b am ab bm ab b a m b m a 即b
a m
b m a >++ 同样，物理中的匀加速运动：
物体初始速度为0v 米/秒，加速度为a 米/秒2，则经过t 秒后的即时速度为202
1at t v v t +=。

这公式稍加变形就是数学中的函数t v t a v t 02
)21(+=，当0=a 时，它是一次函数，图象为一条直线，当0≠a 时，它是二次函数，图象为一条抛物线，完全可以脱离物理，用研究函数的方法来研究物体的即时速度t v 什么时刻最大，是怎样变化的。

可以说，转换思想最重要的作用应该就是在不同学科之间的跳跃性思维，这也是目前高中学生比较薄弱的环节，比如数学、物理、化学，虽然学生们分别学习了三门学科，但对它们的联系却缺少研究，所以学科渗透类问题都是比较令学生头疼的，也是应用题总显得那么高深莫测的原因，更使理论与实际应用脱离，学不能致用。

由此，高中新课程改革中把课程整合放在了很重要的地位。

二、 化归思想 （1）化归思想的内涵
化归思想相对转换来说，是在解决问题时改变问题的形式，用一些技巧性的处理方法和手段把问题变得更显化明了、更熟悉常见、更和谐统一，但并没有改变问题所属的领域。

化归思想包括三要素：化归的对象、化归的原则、化归的方法。

所以掌握化归思想必须：抓住化归的对象也就是当前需要解决的问题；化归时应遵循简单化、熟悉化、和谐化的基本原则；中学常用的化归方法有①恒等变换法：包括分解法、配方法、代定系数法等；②映射反演法：包括换元法、对数法、坐标法、仿射法等。

（2）实施化归的关键
为了有效地实施化归，我们首先必须实现问题的“规范化”，即掌握一些“常规性问题”。

这里“常规性问题”就是指我们课堂上所说的具有确定的解题方法和解题程序的问题，或者可以说是模式型问题。

然后再把其他问题“规范化”，一般我们采用的化归方向是：化未知为已知、化难为易、化繁为简、化一般为特殊、化抽象为具体、正难则化反、化新知识到旧知识、化不熟悉到熟悉等等。

1．在《三角函数》中，对于角α有六个三角函数αsin 、αcos 、αtan 、αcot 、αsec 、αcsc 。

但我们研究其中众多的公式时并不需要同时研究六个，只需要研究αsin 、αcos 、αtan 三个就可以，其余三个可以利用它们之间的倒数关系进行化归；在解题时的“切割化弦”思想也是把后四个函数都化为αsin 、αcos 来解决。

2．在《立体几何》中，点、线、面之间的复杂关系是让人很头疼的 ，我们也采用了化归的思想使得需要考虑的问题更少更简单。

下面是立体几何中常用几种的化归方法。

方法一：位置关系互化。

正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1是我们研究的典型空间图形之一，它内部各种面对角线、体对角线与各表面、对角面形成的线线距离、线面距离、面面距离我们都作了深入研究，所以涉及到正方体中的各种距离问题我们就尽量向上述距离问题化归。

方法二：化高维到低维。

例：如右图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，∠BCA=900
，点
D 1、F 1分别是棱A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，
求异面直线BD 1与AF 1所成的角。

[分析]本题中的直线BD 1与AF 1是三维空间内的异面直线，常用的化归方法就是把直线经过平移变为二维空间内两条相交直线，即在平面内求两直线所成角。

作法：如右图，沿平面BCB 1C 1补出一个与ABC-A 1B 1C 1完全全等的图形，最终构成一个正方体
ABCE-A 1B 1C 1E 1，取B 1E 1的中点G 1，连接BG 1，则AF 1∥BG 1。

所以，异面直线BD 1与AF 1所成的角即为平面BD 1G 1内两条相交直线BD 1与BG 1所成角∠D 1BG 1，
然后在△D 1BG 1中求此角。

这是把三维空间内的问题降维化归到二维平面内的问题来解决，是立体几何中常用的化归思想。

当然，我们既然总是说“转化”，那就意味着转换与化归在本质区别的同时也是紧密联系的，既有宏观上学科之间的转化，也有微观上学科内部各模块之间的转化。

化归在各个学科内部，在各模块内部都有体现和运用，在模块内部应用更是有多向性、层次性、重复性，是操作细节方面的问题，但却为思维跳跃性的转换提供了基础和经验，因此不能割裂看待。