数学中的美
生活中的琐碎事——浅谈数学中的“美”
2013-11方法交流数学中的美是客观世界的特征在数学上的反映，具体表现在以下几个方面。
一、辩证关系在平面内，直与曲是两种不同的形象，从几何角度说，前者曲率为零，后者曲率非零；从代数角度说，前者是线性方程，后者是非线性方程，因为直与曲有明显的区别。
二、量变引起质变数学中人们常常通过有限来认识无限。
例如，自然数集可以和它的真子集（正偶数集、平方数集等等）建立一一对应关系，有限与无限之间并非存在不可逾越的鸿沟。
相反，可以相互转化。
例如，（1）0.9=1（因为0.3×3=13×3）。
（2）数学中的悖论：①阿溪里（希腊神话中的神行太保）追龟：跑得最慢的东西不能被跑得最快的东西赶上，因为追赶者首先必须到达被追赶者出发之点，因而行动较慢，被追者总是在前头。
②伽利略悖论（亚里士多德问题）：假定图中的大圆沿直线从A到B滚动一周，则线段AB等于大圆的周长，而固定在大圆上的小圆也滚动了一周。
因此CD等于小圆的周长，由此可以得出两个圆的周长相等。
（因为我们可以建立两集之间一一对应的关系）。
三、名称美亲和数：是指有这样的两个数，一个数是另一个数的真因子的和，反之亦然。
例如，284（1，2，4，71，142）和220（1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110），17926和18416，1184和1210。
四、趣味美（乌龟背壳问题）据传，在洛水出现一只神龟，乌龟的身上发现一片图文，这片图文呈3×3的9个小方格组成，方格内由1~9的数字组成，每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等。
由此推出：若对于任一个等差数列中的连续9项填在相应位置，同样会发现每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等。
如右图所示。
总之，美无处不在，我们数学中也珍藏着这种美，及时发现它，善于利用它，这将可以提高我们的数学思想和解题能力。
（作者单位江苏省淮安市涟水县第一中学）•编辑韩晓生活中的琐碎事———浅谈数学中的“美”文/严震摘要：数学中不只有0，1，2，3，…，9这10个数字和点、线、面、体等，看似枯燥无味，其实数学中也有美。
浅谈数学中的美
和谐性是数学美中的又一特征，它主要体现在数学图形中的对称美、数量的和谐、空间的协调……
数学知识中的对称主要是轴对称美。像圆，太阳的象征，“一切平面图形中最美的图形”；等腰三角形，埃及金字塔的缩影；形象逼真的扇形；梅花瓣样的组合图形；铜钱式的圆中方；美丽的“雪花”图案，更显示出几何图形的对称美，和谐美。数量中的和谐，比如：加减乘除的运算意义和法则构成整体之间的相依、相反关系。它们既存在着可逆的关系，又存在着相互转换的关系，除法可转化为乘法，乘法也可转化为除法，和谐统一，又各有特点。
数学有时像一本书，一个故事情节，开头以悬念见长，让你充满着神秘，然后一步步去求解，最终得出一个清楚明白的结论，如“鸡兔同笼不知其数，三十六头笼中露，数清脚共50双，多少只鸡多少只兔”，设鸡有x只，兔有y只，容易得出方程组解得。
这就是数学的乐趣，让人们抱着探求事实真相的目的、满怀好奇的求解过程和最终真相大白的快感。这一点，和人们读文学作品所产生的感觉是相似的，难怪有人说，世界本身就是未知数Байду номын сангаас而数学本身就是探索世界之谜的方程式。
总之，数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大，数学美的思想是神奇的。它可以改变人们认为对数学枯燥无味的成见，让人们认识到数学也是一个五彩缤纷的美的世界，由此产生学习数学的兴趣。
数学知识大部分由数字和符号组成，从四则运算到比较大小，还有运算中的大、中、小括号，符号都讲究大小适中、上下左右对称。美好的数字：一是万物之始，一统天下、一马当先；二是偶数，双喜临门、比翼双飞；一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花（邵雍）；七八个星天外，两三点雨山前（辛弃疾）；一帆一桨一渔舟，一个渔翁一钓钩。一俯一仰一顿笑，一江明月一江秋（纪晓岚）。读了上面的成语、诗，每个人都明显感到，无论是数字的单个应用或重复引用或循环使用，看似毫无感染力的数字竟能表现出各种思想感情。
数学之美内容
“数学之美”的内容
以下是关于“数学之美”内容的描述：
1.数学的对称之美。
在数学中存在着各种形式的对称性，这种对称性可以体现在数学对象
的结构、性质和关系中。
数学中的对称美具体体现为：数学的几何对称美、数学的代数对称美和数学的组合对称美。
这些对称之美不仅有助于我们解决问题，还能够揭示数学对象之间的联系和结构。
2.数学的简洁之美。
数学的简洁之美来源于其简洁而优雅的表达方式、精炼的推理和符号
表示。
数学的简洁美不仅使得数学理论更加易于理解和应用，也给人一种审美上的享受。
如数学中的公式和方程往往以简洁明了的形式来表达复杂的数学关系；数学中的定理和证明也往往具有简洁而优雅的特点。
3.数学的抽象之美。
数学的抽象之美源于其超越具体对象和情境的能力，以及抽象化的思
维和符号系统。
如数学中的概念和理论往往能够超越特定的对象和情境，通过引入符号和符号系统，将复杂的数学概念和关系抽象化，使得数学思维更加灵活和高效。
数学的抽象之美常常会启发人们对世界的深入思考，推动人类创造力的发展。
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创新美
数学在科技发展中的应用，不仅推动了科技 的进步，也展现了数学的实用之美和创新之 美。例如，微积分的创立，为物理学和工程
学的发展提供了重要的工具。
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数学在解决实际问题中的和谐美
工程设计
在工程设计中，数学的应用无处不在。通过精确的数学模型和计算，工程师可以设计出结构稳定、功 能完善的建筑、机械和电子产品。这种和谐美体现在精确性和实用性的完美结合。
金融预测
在金融领域，数学通过对市场数据的分析和预测，帮助投资者做出明智的决策。这种谐美体现在对 不确定性的掌控和未来的预见性。
数学理论的和谐美
公式之美
数学中有许多公式简洁而优美，如欧 拉公式、麦克斯韦方程组等。这些公 式在形式上简单对称，却能深刻揭示 自然规律的内在联系，展现出数学的 独特魅力。
抽象之美
数学的抽象性是其独特之处，通过抽 象的符号和逻辑推理，数学能够探索 现实世界中各种复杂现象的本质和规 律。这种抽象之美体现了人类思维的 创造性和无限可能性。
05
数学中的创新美
数学中的猜想与证明
猜想
数学中的猜想是对于未知数学规律的直 觉和想象，是推动数学发展的强大动力 。例如，费马猜想的提出和解决，推动 了数论的发展。
VS
证明
数学证明是对于猜想的严谨论证，通过严 密的逻辑推理，将猜想转化为确定的数学 定理。例如，欧几里得几何的五条公理和 五条公设，构成了整个平面几何的基础。
03
数学中的简洁美
数学公式的简洁美
公式表达的精炼
数学公式通常以简洁的形式表达 复杂的数学关系，如勾股定理、 欧拉公式等，展示了数学的简洁 美。
公式推导的逻辑性
数学公式的推导过程遵循严格的 逻辑，从已知条件出发，逐步推 导出结论，体现了数学的严谨和 简洁。
数学中蕴含的美
数学中蕴含的美众所周知，数学在我们的基础教育中占有很大的份量，是我们的文化中极为重要的组成部分。
她不但有智育的功能，也有其美育的功能。
数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。
下面从几个方面来欣赏数学美。
一、简洁美爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。
”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。
朴素，简单，是其外在形式。
只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。
欧拉给出的公式：V－Ｅ＋Ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。
世间的多面体有多少？没有人能说清楚。
但它们的顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？由她还可派生出许多同样美妙的东西。
如：平面图的点数Ｖ、边数Ｅ、区域数Ｆ满足V－Ｅ＋Ｆ＝２，这个公式成了近代数学两个重要分支——拓扑学与图论的基本公式。
由这个公式可以得到许多深刻的结论，对拓扑学与图论的发展起了很大的作用。
在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。
比如：圆的周长公式：C=2πR勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。
数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。
正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。
二、和谐美数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下的公式：这个公式实在美极了，奇数1、3、5、…这样的组合可以给出，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。
欧拉公式：曾获得“最美的数学定理”称号。
欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。
与欧拉公式有关的棣美弗－欧拉公式是这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。
对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹――确是“天作之合”，因为，由他们的结合能派生出许多美的，有用的结论来。
浅谈小学数学中的美
参 考 文献
１ ． 黄伯荣，瘳序 东 《 现代汉语》 （ 增订三版 ） 高等教育出版社 ， ．
２ ０ ． ０ ２
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，
１ ８ ． ９ ９
１８５
算 ，启人 心扉 ，令 人赞 叹 。 魔 幻 谜题 ，运 用 科 学 思 维 ， “ 子会 告密 ” 、 “ 片 能 说 弹 卡 话 ”， 能知 你姓 氏，知 你 出生 年月 ，甚 至 能窥 见 你脑 中所 想 ，心 中所 思… …真 是奇趣 玄妙 ，鬼 斧 神工 。
２数 学的 简单 、和 谐美 ． 简单 性是 数 学美 的基 本 内容 ，数学 具 有形 式简 洁 、有 序 、规 整 和 高度 统 一 的特 点 ，许 多纷 繁复 杂 的现 象 ，可 以归 纳 为简 单 的 数 学 公式 。例 如 ，各 种 各样 三 角形 的面 积 可 以统一 用 一个 公 式表 示 ：Ｓａ ／ ．又 如 ，用 字 母表 示数 ，这 是 算术 到代 数 的飞 跃 ，不 ＝ｈ ２ 论 从 结构 或 是形 式上 ，都使 人感 到 式简 意 明 。数量 的和 谐 ： 空 间 的协 调是 构成 数 学美 的重 要 因素 。例如 ，加 、减 、乘 、除 的运 算 意 义 和各 部 分 ，构成 一 个整 体之 间 的相 依 、相 反关 系 。从 横 向分 析 ，加与 减 、乘 与除 之 间存 在着 可逆 的 关 系 ；从纵 向分析 ，加 与 乘 、减与 除之 间 又存 在着 互 相转 换 的关 系 。分 数除 法可 以转化 为 乘 法 ，乘 法也 可 以转 化 为除法 。学 生从 和谐 的 数学 关系 中，真 切 地 感受 到数 学知 识 的和谐 美与 结构 美 。 ３ 数学 的对 称美 ． 对称 是形 式美 的 要求 ，它 给 以人 以 圆满 、匀 称 、平 衡 、稳 重 和 沉静 的 感觉 。对 称 在小 学几 何 图形 中 随处 可 见 。长方 形 、正 方 形 、等 腰三 角 形 、圆 等都 是对 称 的例 子 。长 方 形具 有对 称 、稳 重 之 美 ；正 方形 具有 刚 健 、宏伟 之 美 ；等腰 三 角 形具 有安 祥 、庄 重 习数 学 的兴趣 。 之 美 ：圆 则是 小学 数 学教 材 中最 具有 代表 性 的对 称 图形 ， 它既 是 ２数 学美 可 以推动 学 生思维 的发 展 ． 轴对 称 图形 ，又是 中心对 称 图形 ，具 有柔 和 、完 满 、流 转之 美 ， 一 在数 学 教 学中 教学 可 以通 过对 数 学美 的追 求 ，弓 导学 生在 获 无 怪 有 人 称 “ 切 图形 中最 美 的是 圆形 ” 。通 过 对 这 些 图 形 的 Ｉ 得美 感 的 同时 ，不 断提 高 自己的思 维 能力 。在 数学 教 学活 动 中 ， 观 察 、分析 、研 究 、解 答 ，学 生在 学 习知 识 的 同时 ，受 到美 的 熏 教师 引导学 生领 略 数 学美 ，使 学生 对数 学 产生 强烈 的 情感 、浓 厚 陶 。 ４数 学 的 内在 美 ． 的兴 趣和 探 讨 的欲 望 ，将美 感 渗透 于数 学 教学 的全 过 程 。这种 审 美心 理 活动 能启 迪 和推 动 学生 数学 思 维活 动 ，触发 智 慧 的美感 ， 新 的 课 程 标 准 指 出 数 学 作 为 一种 普遍 适用 的 技 术 ， 有助 于 使学 生 的聪 明才智 得 以充分 发挥 。 人们 收 集 、整 理 、描述 信 息 ，建立 模 型 ，进 而解 决 问题 ，直 接 为 ３数 学美 是培 养学 生数 学创 新能 力的源 泉 ． 社会 创造 价 值 。数 学不 仅 帮助 人们 更 好地 探求 客 观世 界 的规 律 ， 首先 ，对 数 学美 感 的追 求是 人 们进 行数 学 创造 的 动力 来源 之 同 时为人 们 交 流信 息提 供 了一 种有 效 、简 捷 的手 段 。数 学是 人们 美 的信 息 隐藏 于数 学知 识 中 ，随着 信 息的 大量 积 累 、分解 和 在对 客观 世 界 定性 把握 和 刻画 的基 础 上 ，逐 步抽 象概 括 ，形 成 方 组合 ，达 到 一定 程度 时就会 产 生飞 跃 ，出现 顿 悟或 产 生灵 感 ，产 法和 理 论 ，并进 行应 用 的 过程 ，这 一 过程 充满 着 探索 与创 造 、观 生新 的 结论和 思 想 。所 以对 美 的不 断追 求促 使 人们 不 断地 创造 。 察 、实验 、模拟 、猜 测 和 调控 等 ，如 今 已经成 为人 们 发展 数 学 、 其次 ，数 学 美是 数 学创造 能力 的一 个有 机 组成 部分 。创 造 能力 更 应用 数 学 的重要 策 略 。正 是 由 丁有 上 述特 点 ，构 成 了数 学 巾的 内 多地 表现 为对 已有成 果 是否 满足 ，希望 由已知 推 向未 知 ， 由复 杂 在美 。数 学 中 的 内在美 ，不 是 以色 彩 、线 条 、旋律 等 形象 语 言表 化为 简单 ，将 分 散 予 以统一 。这 些 都需 要用 美 感去 组合 。再次 ， 现 出来 ，而 是把 自然规 律抽 象 成一 些 概念 、法 则 或公 式 ，并 通过 数学 美的方 法 也是数 学创 造 的一种 有 效方法 。 演绎 而构 成 一幅 现 实世 界 与理 想空 间 的完 美 图像 。如 在 分数 运算 三 、数 学 中的 美 中 ， 由于倒 数 的建立 ，除法 可 以转 化 为乘 法 ，乘法 可 以转 化 为 除 １数学 的趣 味美 ． 法 ，乘和 除这 一 对 矛盾达 到 了辩证 和 统一 ，充 分 体现 了数 学 的 内 数 学 是思 维 的体 操 。思 维 触 角 的 每 一 次 延 伸 ， 都 开 辟 了 一 在美 。 个 新 的天 地 。数 学 的趣味 美 ，体 现 为它奇 妙 无穷 的变 幻 ，而 这 种 数 学 之美 ，还 可 以 从更 多 的角 度 去 审 视 ，而 每 一 侧 面 的美 变 幻 是其他 学 科 望尘 莫及 的 。揭 开 了隐藏 于数 学 迷 宫 的奇异 数 、 都不 是孤 立 的 ，它们 是 相辅 相成 、密 不可 分 的 。如 果 在学 习过 程 对 称数 、 完全 数 、魔 术数 … …的 面纱 ，令 人惊 诧 ；观 看 了数 字波 中 ，我们 能与 数 学家 一起 探 索 、发 现 ，从 中获 得成 功 的喜 悦和 美 涛 ，数 字 旋涡 … …令 人感 叹 。一个 个 数字 ，非但 毫不 枯燥 ，而 且 的享受 ，那 么我 们就 会不 断深 入其 中 ，欣 赏和创 造 美 。 生机 勃 勃 ，鲜 活亮 丽 。根 据法 则 、规 律 ，运 用严 密 的逻辑 推 理演
数学之美探索数学中的美学元素
数学之美探索数学中的美学元素数学之美：探索数学中的美学元素数学是一门充满奇妙和美丽的学科。
它不仅是一种实用的工具，还蕴含了许多深刻的美学元素。
本文将探索数学中的美学元素，通过几个具体的例子，展示数学的魅力所在。
1. 对称美：对称是一种普遍存在于自然和艺术中的美学元素，而数学中的对称更是完美而精确的。
例如，正多边形的对称性被广泛应用于建筑和设计中。
它们具有吸引力和和谐感，让我们感受到对称美的力量。
2. 黄金分割：黄金分割是一个数学常数，它以1：1.618的比例被认为是最具魅力和美感的比例。
它在艺术、建筑和自然界中被广泛运用。
例如，著名的斐波那契数列中的每个数都是前两个数的和，它们之间的比例越往后越接近黄金分割。
3. 几何美：几何是一门探索形状、空间和结构的数学学科。
几何的美学元素体现在它的简洁性和对称性上。
例如，圆是几何中最简单的形状之一，它具有完美的对称性和平滑的曲线，让人感受到无限的美好。
4. 曲线美：曲线是数学中的重要概念，也是艺术和设计中常见的元素。
不同类型的曲线拥有各自独特的美感。
例如，抛物线给人以温柔和优雅的感觉，而双曲线则充满了复杂和神秘的魅力。
5. 色彩美：颜色在数学和艺术中都是重要的表达方式。
颜色的组合和运用可以营造出不同的情绪和氛围。
例如，色彩的对比和平衡在绘画和设计中起着关键作用，它们让作品更加生动和有趣。
6. 数列美：数列是数学中的一种序列，在自然界和艺术中同样有广泛的应用。
例如，斐波那契数列是一个以前两个数之和来构造的数列，它呈现出一种渐近趋近黄金分割的美感。
7. 对数美：对数是数学中的重要概念，它在科学和工程中非常常见。
对数的美感在于它能够将复杂的指数运算转化为简单的加法和减法运算，极大地简化了计算的过程。
8. 概率美：概率是数学中研究不确定性和随机性的分支，它在统计学和金融中有广泛的应用。
概率的美感在于它能够揭示事物背后的随机规律和趋势，让我们了解到世界的多样性和复杂性。
数学中的美
数学中美的欣赏数学美是一种蕴涵的美，它需要从深处去挖掘。
关于数学美的内容很多,本文是为了从浅层阐述数学的美,让学生初步感受数学中美的存在，所以本文就主要从数学美的概念、数学美与其它美的区别、数学美的内容和它在数学教育中的体现这几个方面作以下的阐述。
一、数学美的概念美是人类创造性实践活动的产物，是人类本质力量的感性显现。
通常我们所说的美以自然美、社会美以及在此基础上的艺术美、科学美的形式存在。
数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。
简言之数学美就是数学中奇妙的有规律的让人愉悦的美的东西。
历史上许多学者、数学家对数学美从不同的侧面作过生动的阐述。
普洛克拉斯早就断言：“哪里有数，哪里就有美。
”亚里士多德也曾讲过：“虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。
因为美的主要形式家是“秩序、匀称和确定性”，这些正是数学研究的原则。
”徐利治教授说：“作为科学语言的数学，具有一般语言文字与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美，既所谓数学美。
数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构关系的协调性，对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。
以上的论述可见，数学中充满着美的因素，数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的呈现，它不是什么虚无飘渺、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容。
二、数学美与其它美的区别数学美有别与其它的美，它没有鲜艳的色彩，没有美妙的声音，没有动感的画面，它却是一种独特的美。
美国数学家克莱因曾对数学美作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。
”数学美与其它美的区别还在于它是蕴涵在其中的美。
打个比方来说，大家一定都有这种感觉，绝大部分同学对音体美容易产生兴趣，而对数学感兴趣的不多。
我认为，这主要有两个方面的原因：一是音体美中所表现出来的美是外显的，这种美同学们比较容易感受、认识和理解；而数学中的美虽然也有一些表现在数学对象的外表，如精美的图形、优美的公式、巧妙的解法等等，但总的来说数学中的美还是深深地蕴藏在它的基本结构之中，这种内在的理性美学生往往难以感受、认识和理解，这也是数学区别于其它学科的主要特征之一。
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数学名题——蝴蝶定理
过圆O中AB弦的中点M引任意两弦CD和EF， 连接CF和ED交AB弦于P、Q，求证PM=MQ
C
E
M
A
P
Q
B
F
D
分形几何趣谈
在这个世界里，你碰到的将不再是欧几里 得几何学的直线、圆、长方体等简单规则的 图形，而是海岸线、云彩、花草树木等复杂 的自然形体，它们被称为分形（fractal）.
从上面的描述过程我们可以看出：原来雪花的 每一部分经过放大都可以与它的整体一模一样， 小小的雪花竟然有这么多学问。现在已经有了 一个专门的数学学科来研究像雪花这样的图形， 这就是20世纪70年代由美国计算机专家曼德布 罗特创立的分形几何。所谓分形几何就是研究 不规则曲线的几何学。目前分形几何已经在很 多领域得到了应用。
（3）新年到了，送你一个饺子平安皮儿包着如意 馅，用真情煮熟，吃一口快乐两口幸福三口顺利然 后喝全家健康汤，回味是温馨，余香是祝福。 （4）传说薰衣草有四片叶子：第一片叶子是信仰 ，第二片叶子是希望，第三片叶子是爱情，第四片 叶子是幸运。送你一棵薰衣草，愿你猴年快乐！
（5）新的1年开始，祝好事接2连3，心情4季如 春，生活5颜6色，7彩缤纷，偶尔8点小财，烦 恼抛到9霄云外！ （6）新的1年就要开始了，愿好事接2连3，心 情4春天阳光，生活5颜6色，7彩缤纷，偶尔8点 小财，一切烦恼抛到9宵云外，请接受我10全10 美的祝福。
一叶孤舟，坐着二三个骚客，启用四桨五帆，经过六滩七 湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟。十年寒窗，进了九八 家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番二次， 今天一定要中。
（1）一斤花生二斤枣，好运经常跟你跑；三斤苹果四 斤梨，吉祥和你不分离；五斤橘子六斤桃，年年招财 又进宝；七斤葡萄八斤橙，愿你心想事就成；九斤芒 果十斤瓜，愿你天天乐开花！ （2）祝一帆风顺，二龙腾飞，三羊开泰，四季平安， 五福临门，六六大顺，七星高照，八方来财，九九同 心，十全十美。
（9）新年到了，想想没什么送给你的， 又不打算给你太多，只有给你五千万： 千万要快乐！千万要健康！千万要平安！ 千万要知足！千万不要忘记我！ （10）圣旨到！奉天承运，皇帝诏曰： 猴年已到特赐红包一个，内有幸福万两 ，快乐万两，笑容万两，愿卿家饱尝幸 福快乐之微笑，钦此！
数学内在美
1、对称美 （一）数和式的对称美，象二项式定理，杨辉三 角。 （二）图形的对称美。如毕达哥拉斯学派认为， 一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形 中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形——圆心 是它的对称中心，原也是轴对称图形——任何一 条直径都是它的对称轴。 （三）数学思想和方法的对称美。如分析法和综 合法，直接法和反证法，逻辑思维和逆向思维等。
9*9＋7＝88 98*9＋6＝888 987*9＋5＝8888 9876*9＋4＝88888 98765*9＋3＝888888 987654*9＋2＝8888888 9876543*9＋1＝88888888 98765432*9＋0＝888888888
1*9＋2＝11 12*9＋3＝111 123*9＋4＝1111 1234*9＋5＝11111 12345*9＋6＝111111 123456*9＋7＝1111111 1234567*9＋8＝11111111 12345678*9＋9＝111111111 123456789*9＋10＝1111111111
海岸线的长度问题
按传统科学方法来考虑是极其简单的．可是 美籍法国数学家曼德尔布罗特1967年在国际 权威的美国《科学》杂志上发表的论文《英国 的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数》 中，得出的答案却令人惊异：英国的海岸线长 度是不确定的！它依赖于测量时所用的尺度．
原来，海岸线由于海水长年的冲涮和陆地自身的运动，形 成了大大小小的海湾和海岬，弯弯曲曲极不规则．测量其 长度时如以公里为单位，则几米到几百米的弯曲就会被忽 略不能计入在内，设此时得长度L1；如改用米作单位， 结果上面忽略了的弯曲都可计入，但仍有几厘米、几十厘 米的弯曲被忽略, 此时得出的长度L2＞L1；同样的，用厘 米作单位，所得长度L3＞L2＞L1,…．采用的单位越小， 计入的弯曲就越多，海岸线长度就越大,可以设想，用分 子、原子量级的尺度为单位时，测得的长度将是一个天文 数字．这虽然没有什么实际意义，但说明随测量单位变得 无穷小，海岸线长度会变得无穷大，因而是不确定的．所 以长度已不是海岸线的最好的定量特征，为了描述海岸线 的特点，需要寻找另外的参量．
“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还。 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山” “飞流直下三千尺，疑是银河落九天”， “白发三千丈”
“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。窗含 西岭千秋雪，门泊东吴万里船”， “霜皮溜雨四十围，黛色参天二千尺”， “青松恨不高千尺，恶竹应须斩万竿”
“千山鸟飞绝，万径人踪灭。孤舟蓑笠翁，独钓寒 江雪”
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数学是一门同人民大众贴得很近的学科， 它所讨论的宇宙，远比现实的所谓宇宙 宏伟雄大。通常所说的宇宙只是三维空 间，而数学则建立起了四维、五维乃至n 维空间，并且，集合论的超限数的空间， 远远超过了通常无穷大的空间，它们都 远比我们现实的宇宙更具有庄严美、雄 伟美。
5 2 2 9 2592 25 25 5 2 25 31 31 1 1 2 11 9 1129 3 3
蒲丰 投针试验
1977年的一天，蒲丰忽发奇想，把许多宾朋邀请 到家中，做一个叫人感到奇怪的试验，他把事先 画好一条条等距离的平行线的白纸，铺在桌面上， 又拿出准备好的质量均匀而长度为平行线距离一 半的小针，请客人把小针一根一根的随便地随便 仍在纸上，而蒲丰则在一旁专注观察着记着数， 投完后统一计数为：共投2212次，其中与任意平 行线相交的有704次，蒲丰又做了一个简单的除 法，2212÷704＝3．142然后宣布：“这就是圆 周率的近似值”他又说：“不信，还可以再试试， 投的次数越多，越准确.”1901年，意大利人拉查 尼投了3408次，得出估计值是3.1415929,已很接 近祖冲之的密率。
• “数学是壮丽多彩，千姿百 态，认识到了数学中得美，他也曾尽力描绘出这种美：
“正确地说，数学不仅拥有 真理，而且还拥有极度的 美——一种冷静和朴素的 美，犹如雕塑那样，虽然 没有任何诱惑我们脆弱本 性的内容，没有绘画或音 乐那样华丽的外衣。但是， 却显示了极端的纯粹和只 有伟大的艺术才能表现出 来的严格的完美。”
9*9＝81 99*99＝9801 999*999＝998001 9999*9999＝99980001 99999*99999＝9999800001 999999*999999＝999998000001 9999999*9999999＝99999980000001
1*8＋1＝9 12*8＋2＝98 123*8＋3＝987 1234*8＋4＝9876 12345*8＋5＝98765 123456*8＋6＝987654 1234567*8＋7＝9876543 12345678*8＋8＝98765432 123456789*8＋9＝987654321
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(1) 数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数 学的一个动机是以下的公式：
这个公式实在美极了，奇数1、3、5、… 这样的组合可以给出，对于一个数学家来 说，此公式正如一幅美丽图画或风景。
1 1 1 4 3 5
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在自然界中，大凡美的东西都具 有对称性， 比如花卉、叶片、动物、艺术品、 建筑物等。
• 而在数学中，很多曲线和曲面，比如二 次曲线、双纽线、玫瑰线、雪花曲 线……等等，也具有对称性。
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海岸线长度问题，曼德尔布罗特最初是在英国科学 家理查逊L．F．richardson）的一篇鲜为人知的文章 中遇到的．这个问题引起他极大的兴趣，并进行了潜 心的研究．他独具慧眼地发现了1961年理查逊得出的 边界长度的经验公式 L (r)= Kr1-a中的a就可以作为描 述海岸线特征的这种参量，他称之为“量规维数”， 这就是著名的分数维数之一．这一问题的研究，成为 曼德尔布罗特思想的转折点，分形概念从这里萌芽生 长，使他最终把一个世纪以来被传统数学视为“病态 的”、“怪物类型”的数学对象，——康托尔三分集、 科赫曲线等统一到一个崭新的几何体系中，让一门新 的数学分支——分形几何学跻身于现代数学之林．
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在正五边形中，边长与对角线长的比是黄 金分割比。黄金分割比在许多艺术作品中、 在建筑设计中都有广泛的应用。巴黎圣母 院、北京故宫的构图都融入了黄金分割的 匠心；孕育着生命的水，液态的温度范围 是0－100度，其两个黄金分割点之一的温 度为38度左右，正与人体正常体温吻合； 人的脑电图波，若高低频率之比为1：0．6 18时，则是身心愉悦的时 刻．．．．．．真是奇妙无比
（7）在新的一年里，祝你十二个月月月 开心，五十二个星期期期愉快，三百六 十五天天天好运，八千七百六十小时时 时高兴，五十二万五千六百分分分幸福， 三千一百五十三万六千秒秒秒成功
（8）如果一滴水代表一个祝福，我送你 一个东海；如果一颗星代表一份幸福， 我送你一条银河；如果一棵树代表一份 思念，我送你一片森林。祝你新年快乐！
（一）有一些数字，往往要通过计算。通过不同 数字的组合，才可以得到一些非常奇妙的排列， 令人看后叫绝，回味无穷。
1*1＝1 11*11＝121 111*111＝12321 1111*1111＝1234321 11111*11111＝123454321 111111*111111＝12345654321 1111111*1111111＝1234567654321 11111111*11111111＝123456787654321 111111111*111111111＝12345678987654321