(完整版)解排列组合应用题的解法技巧

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排列组合问题的求解技巧

排列组合问题的求解技巧

排列组合问题的求解技巧在数学中,排列组合是一个重要的概念,广泛应用于各个领域。

无论是在数学竞赛中还是实际生活中,我们都会遇到各种各样的排列组合问题。

本文将介绍一些求解排列组合问题的技巧,帮助读者更好地应对这类问题。

一、排列问题的求解技巧排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的方式。

在解决排列问题时,我们需要考虑以下几个方面的技巧:1. 确定元素的个数:首先要明确待排列的元素个数,这有助于我们确定问题的规模和难度。

2. 确定元素的范围:排列问题通常涉及到一组元素,我们需要明确这组元素的范围,以便进行后续的计算。

3. 考虑重复元素:有时候,待排列的元素中可能存在重复的元素。

在计算排列的个数时,我们需要考虑这些重复元素,避免重复计算。

4. 使用排列公式:排列问题可以通过排列公式来求解。

当元素个数确定,且不存在重复元素时,排列的个数可以通过公式P(n, m) = n! / (n-m)!来计算,其中n表示元素的总个数,m表示待排列的元素个数。

5. 考虑特殊情况:有时候,我们需要考虑一些特殊情况,比如某些元素必须排在一起或者不能排在一起等。

在解决这类问题时,我们需要根据具体情况进行分析,采取相应的策略。

二、组合问题的求解技巧组合是指从一组元素中选取若干个元素,不考虑元素的顺序。

在解决组合问题时,我们需要考虑以下几个方面的技巧:1. 确定元素的个数:同样,我们需要明确待组合的元素个数,这有助于我们确定问题的规模和难度。

2. 确定元素的范围:组合问题通常涉及到一组元素,我们需要明确这组元素的范围,以便进行后续的计算。

3. 考虑重复元素:与排列问题类似,组合问题中也可能存在重复的元素。

在计算组合的个数时,我们需要考虑这些重复元素,避免重复计算。

4. 使用组合公式:组合问题可以通过组合公式来求解。

当元素个数确定,且不存在重复元素时,组合的个数可以通过公式C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)来计算,其中n表示元素的总个数,m表示待组合的元素个数。

排列组合问题的解答技巧和记忆方法

排列组合问题的解答技巧和记忆方法

排列组合问题的解题策略关键词:排列组合,解题策略①分堆问题;②解决排列、组合问题的一些常用方法:错位法、剪截法(隔板法)、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法例1.7名学生站成一排,甲、乙必须站在一起有多少不同排法?解:两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决,先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列,并考虑甲乙二人的顺序,所以共有种。

评注:一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决,共有种排法。

二、不相临问题——选空插入法例2.7名学生站成一排,甲乙互不相邻有多少不同排法?解:甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法,所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为:种 .评注:若个人站成一排,其中个人不相邻,可用“插空”法解决,共有种排法。

三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难,或分类不清或多种时,可考虑用“排除法”,解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解:从7个点中取3个点的取法有种,但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形,有3条,所以满足条件的三角形共有-3=32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题,可以考虑优先安排特殊位置,然后再考虑其他位置的安排。

例4.(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念,若老师不排在两端,则共有不同的排法种.解:先考虑特殊元素(老师)的排法,因老师不排在两端,故可在中间三个位置上任选一个位置,有种,而其余学生的排法有种,所以共有=72种不同的排法.例5.(2000年全国高考题)乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名队员参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有种.解:由于第一、三、五位置特殊,只能安排主力队员,有种排法,而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置,有种排法,所以不同的出场安排共有=252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多,选取情况多,可按要求进行分类讨论,最后总计。

解决排列组合问题的常用方法

解决排列组合问题的常用方法

解决排列组合问题的常用方法(总4页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--解决排列组合问题的常用方法1.特殊元素,优先处理;特殊位置,优先考虑例1:六人站成一排,求甲不在排头,乙不在排尾的排列数().520 C答案:A分析:法1:先考虑排头,排尾,但这两个要求相互有影响,因而考虑分类。

第一类:乙在排头,有A种站法。

第二类:乙不在排头,当然他也不能在排尾,这时候有4种选择即C,还剩5个位置,甲不能再排头所以只有4种选择C,剩下的全排列,即有CCA种站法。

2.反面考虑法法2: 全排列减掉甲在排头的、乙在排尾的、再加上他们多减的部分(正好甲在排头,乙在排尾) A-A*2+A =504例2:某单位邀请10名教师中的6位参加一个会议,其中甲乙两位不能同时参加,则邀请的不同方法有多少种().98 C答案:D解析:法1:①甲参加,乙不参加,有C=56种②乙参加,甲不参加,有C=56种③甲,乙都不参加,有C=28种则邀请的不同方法有56+56+28=140种法2:从反面考虑,甲乙都参加,有C=70种C -C=1403.捆绑法例3:A 、B 、C 、D 、E 五人排成一排,其中A 、B 两人必须站在一起,共有()种排法。

.72 C D24答案:C解析:将A 、B 捆绑一起,与C 、D 、E 一起排,共有2444=A 种排法,A 、B 又有222=A 种排法,共有48224=⨯种排法。

例4:从单词“equation ”选5个不同的字母排成一排,且含有qu (其中qu 相连且顺序不变),共有()种排法。

.480 C D840答案:B解析:①从剩下的6个字母里选3个,有C(6,3)=20,②再将这3个字母和qu 全排列A=24所以共有20×24=480种排法4.错位排列错位排列问题:有n 封信和n 个信封,每封信都不装在自己的信封里, 比如: 2封信就有1种装法;3封信的具体装法 1→2,2→3,3→1和1→3,2→1,3→2就有2种装法; 随着信封数目的增多,这种问题也随之复杂多了。

排列组合解题方法和策略总结

排列组合解题方法和策略总结

排列组合解题方法和策略总结排列组合是数学中一个重要的概念,它涉及到从n个不同元素中取出m个元素(n>m)进行排列或组合的问题。

排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用,因此掌握排列组合的解题方法和策略非常重要。

以下是排列组合解题方法和策略的总结:1.明确问题要求:在解决排列组合问题时,首先要明确问题的要求,确定是排列问题还是组合问题,以及具体的限制条件。

2.确定元素范围:根据问题要求,确定所选取元素的范围,明确哪些元素可以选取,哪些元素不能选取。

3.列出所有可能的排列或组合:根据排列组合的公式,列出所有可能的排列或组合,确保不遗漏任何一种可能性。

4.分类讨论:对于一些复杂的问题,需要进行分类讨论。

根据问题的特点,将问题分成若干个子问题,分别求解子问题的排列组合情况。

5.排除法:在某些情况下,可以通过排除法求解问题。

根据问题的限制条件,排除一些不可能的情况,从而减少计算量。

6.递推关系:对于一些具有递推关系的问题,可以利用递推关系求解。

通过递推关系,逐步推导出最终的排列组合情况。

7.容斥原理:容斥原理是解决排列组合问题的一种重要方法。

通过容斥原理,可以将多个排列或组合的情况合并为一个,从而简化计算过程。

8.实际应用:排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。

通过实际应用,可以加深对排列组合概念的理解,并掌握解题方法和策略。

解决排列组合问题需要掌握一定的方法和策略。

通过明确问题要求、确定元素范围、分类讨论、排除法、递推关系、容斥原理等方法和策略,可以有效地解决各种排列组合问题。

同时,通过实际应用,可以加深对排列组合概念的理解,提高解题能力。

排列组合在日常生活和科学研究中有着广泛的应用,以下是其中一些典型的应用场景:1.生日庆祝:在生日庆祝中,排列组合可以用来确定不同的庆祝活动安排。

例如,如果有5个朋友参加生日派对,可以使用排列组合确定他们坐在一张圆桌上的不同方式。

2.彩票购买:在购买彩票时,可以使用排列组合来计算不同号码的组合。

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(完整版)解排列组合应用题的解法技巧(可编辑修改word版)n n nn 解排列组合应用题的解法·技巧引言:1、本资料对排列、组合应用题归纳为 8 种解法、13 种技巧2、解排列组合问题的“16 字方针”:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合一般先选再排,即先组合再排列,先分再排。

弄清要完成什么样的事件是前提,解决这类问题通常有三种途径(1) 以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素(2) 以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则.(3) 先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接解法,后一种方式叫间接(剔除)解法注:数量不大时可以逐一排出结果。

3、解排列组合问题的依据是:分类相加(每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的,一次的且每次得出的是最后的结果,只需一种方法就能完成这件事),分步相乘(一步得出的结果都不是最后的结果,任何一步都不能独立地完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事,各步是关联的),有序排列,无序组合.(一)排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律,又有很多特别的技巧,它要求我们要认真地审题,对题目中的信息进行科学地加工处理。

下面通过一些例题来说明几种常见的解法。

一. 运用两个基本原理二. 特殊元素(位置)优先三. 捆绑法四. 插入法五. 排除法六. 机会均等法七. 转化法八. 隔板法一. 运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点,可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。

例 1:n 个人参加某项资格考试,能否通过,有多少种可能的结果?解法 1:用分类记数的原理,没有人通过,有 C 0 种结果;1 个人通过,有 C 1 种结 n n果,……;n 个人通过,有C n 种结果。

所以一共有C 0 + C 1 + +C n = 2n 种可能的结果。

排列组合常见21种解题方法

排列组合常见21种解题方法

排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点,也是考试中常见的题型。

在解决排列组合问题时,我们可以运用多种方法来求解,下面将介绍常见的21种解题方法。

1. 直接法,根据排列组合的定义,直接计算排列或组合的个数。

2. 公式法,利用排列组合的公式进行计算,如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!,组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。

3. 递推法,通过递推关系式求解排列组合问题,如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。

4. 分类讨论法,将问题进行分类讨论,分别求解每种情况的排列组合个数,然后合并得出最终结果。

5. 组合数性质法,利用组合数的性质,如C(n,m)=C(n,n-m),C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1),简化计算过程。

6. 二项式定理法,利用二项式定理展开式子,求解排列组合问题。

7. 二项式系数法,利用二项式系数的性质,如n个不同元素的排列个数为n!,n个相同元素的排列个数为1,简化计算过程。

8. 容斥原理法,利用容斥原理求解排列组合问题,排除重复计算的部分。

9. 对称性法,利用排列组合的对称性质,简化计算过程。

10. 逆向思维法,从问题的逆向思考,求解排列组合问题。

11. 生成函数法,利用生成函数求解排列组合问题,将排列组合问题转化为多项式求解。

12. 构造法,通过构造合适的排列组合模型,求解问题。

13. 图论法,将排列组合问题转化为图论问题,利用图论算法求解。

14. 动态规划法,利用动态规划算法求解排列组合问题,降低时间复杂度。

15. 贪心算法法,利用贪心算法求解排列组合问题,简化计算过程。

16. 模拟法,通过模拟排列组合过程,求解问题。

17. 枚举法,将所有可能的排列组合情况列举出来,求解问题。

18. 穷举法,通过穷举所有可能的情况,求解问题。

19. 数学归纳法,利用数学归纳法证明排列组合的性质,求解问题。

(完整版)排列组合常见21种解题方法(可编辑修改word版)

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排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理。

教学目标1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2. 掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1. 分类计数原理(加法原理)完成一件事,有n 类办法,在第 1 类办法中有m 1 种不同的方法,在第 2 类办法中有m 2 种不同的方法,…,在第n 类办法中有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.2. 分步计数原理(乘法原理)完成一件事,需要分成n 个步骤,做第 1 步有m 1 种不同的方法,做第 2 步有m 2 种不同的方法,…,做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完 成整个事件.解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3. 确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这N = m 1 ⨯ m 2 ⨯ ⨯ m nN = m 1 + m 2 + + m n344 4 3 4AC 5 2 2 5 6 5 6要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两两个位置.先排末位共有C 1 然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有 A 3由分步计数原理得C 1C 1A 3 = 28844 3练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?二.相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。

排列组合解题技巧12法

排列组合解题技巧12法

排列组合解题技巧12法谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:1)使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定,可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”,需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”;那么,怎样确定是分类,还是分步骤?“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件,而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件,所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰,相互独立,彼此间交集为空集,并集为全集,不论哪类办法都能将事情单独完成,分步计数原理强调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,步与步之间互不影响,即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。

2)排列与组合定义相近,它们的区别在于是否与顺序有关。

3)复杂的排列问题常常通过试验、画“树图”、“框图”等手段使问题直观化,从而寻求解题途径,由于结果的正确性难于检验,因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。

4)按元素的性质进行分类,按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法,要注意“至少、至多”等限制词的意义。

5)处理排列、组合综合问题,一般思想是先选元素(组合),后排列,按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”,始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法,通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能,保证每步独立,达到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。

6)在解决排列组合综合问题时,必须深刻理解排列组合的概念,能熟练地对问题进行分类,牢记排列数与组合数公式与组合数性质,容易产生的错误是重复和遗漏计数。

总之,解决排列组合问题的基本规律,即:分类相加,分步相乘,排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;正难则反,间接排除等。

其次,我们在抓住问题的本质特征和规律,灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时,还要注意讲究一些解题策略和方法技巧,使一些看似复杂的问题迎刃而解。

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解排列组合应用题的解法•技巧引言:1、本资料对排列、组合应用题归纳为8种解法、13种技巧2、解排列组合问题的“16字方针”:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合一般先选再排,即先组合再排列,先分再排。

弄清要完成什么样的事件是前提,解决这类问题通常有三种途径(1)以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则(3)先不考虑附加条件,计算岀排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接解法,后一种方式叫间接(剔除)解法注:数量不大时可以逐一排出结果。

3、解排列组合问题的依据是:分类相加(每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的,一次的且每次得岀的是最后的结果,只需一种方法就能完成这件事),分步相乘(一步得岀的结果都不是最后的结果,任何一步都不能独立地完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事,各步是关联的),有序排列,无序组合.(一)排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律,又有很多特别的技巧,它要求我们要认真地审题,对题目中的信息进行科学地加工处理。

下面通过一些例题来说明几种常见的解法。

一.运用两个基本原理二.特殊元素(位置)优先三.捆绑法四.插入法五.排除法六.机会均等法七.转化法八.隔板法一.运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点,可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。

例1: n个人参加某项资格考试,能否通过,有多少种可能的结果?解法1:用分类记数的原理,没有人通过,有C0种结果;1个人通过,有c n种结果,……;n个人通过,有C;种结果。

所以一共有C: C n C:2n种可能的结果。

解法2 :用分步记数的原理。

第一个人有通过与不通过两种可能,第二个人也是这样,……,第n个人也是这样。

所以一共有2n种可能的结果。

例2:同室四人各写了一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有()(A) 6 种(B)9 种(C)11 种(D)23 种解:设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为a、b、c、d o第一步,甲取其中一张,有3种等同的方式;第二步,假设甲取b,则乙的取法可分两类:(1)乙取a,则接下来丙、丁的取法都是唯一的,(2)乙取c或d (2种方式),不管哪一种情况,接下来丙、丁的取法也都是唯一的。

根据加法原理和乘法原理,一共有 3 (1 2) 9种分配方式。

二.特殊元素(位置)优先----(优待法)所谓“优待法”是指在解决排列组合问题时,对于有限制条件的元素(或位置)要优先考虑•例3:从0, 1 ,……,9这10个数字中选取数字组成偶数,一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个?解:个位选0,有P4个,个位不选0且万位不能选0,有C4C8 P83个,所以一共可以得到F94C4C8P8313776 个偶数。

注0, 2, 4, 6, 8是特殊元素,元素0更为特殊,首位与末位是特殊的位置。

例4: 8人站成两排,每排4人,甲在前排,乙不在后排的边上,一共有多少种排法?解:先排甲,有P:种排法。

再排乙,有P?种排法,再排其余的人,又有P6种排法,所以一共有P4 P51P6614400种排法。

【eg】在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有()个.(解法一)元素优先数字0、1、2、3、4、5中含有0元素,组成四位数时,0不能放在首位•又所求四位数不能被5整除,因而可以根据是否含有0和5两个元素将所求四位数分成四类:第一类:含0不含5的四位数,共有匸爲:=48(个);第I J二类:含5不含0的四位数,共有' 宀=72(个);第三类:含0也含5的四位数,共有©©九=48(个);第四类:不合0也不含5的四位数,共有':=24(个)•所以, 符合条件的四位数共有48+72+48+24=192(个).(解法二)位置优待根据所求四位数对首末两个位置的特殊要求可以分步解答:第一步:排个位一一个位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中任选一个,共有'种选法;第二步;排首位首位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字被个位选掉后剩余的三个数字及数字5中任选一个,共有5种选法;第三步:排中间两位,中间两柱可以从个位和首位排好后剩余的数字四个数字中任选两个,共有种排法•所以符合条件的四位数共有匚厲打=4x4X4X 3=192(个).〔注〕这道例题是典型的限制排列组合题. 解题时,若从元素入手(即元素优先),常要分类讨论,分类时要注意堵漏防重;若从位置入手(即位置优待1,常要分步解答,分步时要注意分步完整,各步相连.三•捆绑法在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先整体考虑,将相邻元素视作一个大元素进行排序,然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法.例5: 8人排成一排,甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁,有多少种排法?解:把甲、乙、丙先排好,有P2种排法,把这三个人“捆绑”在一起看成是一个,与其余5个人相当于6个人排成一排,有P66种排法,所以一共有P22P/=1440种排法。

〔注〕运用捆绑法解决排列组合问题时,一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题.四•插空法不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其它元素将它们隔开.解决此类问题可以先将其它元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置,故称插空法.例6:排一张有8个节目的演出表,其中有3个小品,既不能排在第一个,也不能有两个小品排在一起,有几种排法?解:先排5个不是小品的节目,有P55种排法,它们之间以及最后一个节目之后一共有6个空隙,将3个小品插入进去,有P5种排法,所以一共有P5 P53=7200种排法。

注:捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条件的排列问题【eg】用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数,要求1与2相邻,2与4相邻,5与6相邻,而7与8不相邻。

这样的八位数共有()个.(用数字作答)解:由于要求1与2相邻,2与4相邻,可将1、2、4这三个数字捆绑在一起形成一个大元素,这个大元素的内部中间只能排2,两边排1和4,因此大元素内部共有八种排法,再把5与6也捆绑成一个大元素,其内部也有*种排法,与数字3 共计三个元素,先将这三个元素排好,共有A:种排法,再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个,把要求不相邻的数字7和8插入即可,共有嘉种插法,所以符合条件的八位数共有仏町“;=288(种).〔注〕运用插空法解决不相邻问题时,要注意欲插入的位置是否包含两端位置. 五•正难则反一一排除法对于含“至多”或“至少”的排列组合问题,若直接解答多需进行复杂讨论,可以考虑“总体去杂”,即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉,从而计算出符合条件的排列组合数的方法.例7;求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。

解:从8个点中取4个点,共有C;种方法,其中取出的4个点共面的有6 6 12种,所以符合条件的四面体的个数为C84 12 58个。

例& 100件产品中有3件是次品,其余都是正品。

现在从中取出5件产品,其中含有次品,有多少种取法?解:从100件产品中取5件产品,有Cw0种取法,从不含次品的95件中取出5件产品有C95种取法,所以符合题意的取法有C為C9517347001种。

例9: 8个人站成一排,其中A与B、A与C都不能站在一起,一共有多少种排法?解:无限制条件有P88种排法。

A与B或A与C在一起各有P;P7种排法,A、B、C三人站在一起且A在中间有P22P6种排法,所以一共有P8 2 P/P7 + P22P56=21600种排法。

【eg】从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有()种.A . 140种B . 80种C . 70 种D . 35 种解:在被取出的3台中,不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意,因此符J J . 3 I合题意的抽取方法有’=70(种),故选C.应该指出的是,上述介绍的各种方法并非绝对的。

同一问题有时会有多种解法,这时,要认真思考和分析,灵活选择最佳方法.〔注〕这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题六.机会均等法例10: 10个人排成一队,其中甲一定要在乙的左边,丙一定要在乙的右边,一共有多少种排法?解:甲、乙、丙三人排列一共有6种排法,在这6种排法中各种排列顺序在10个人的1所有排列中出现的机会是均等的,因此符合题设条件的排法种数为丄P00 604800。

6例11:用1,4,5,x四个数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,求x。

解:若x不为0,在每一个数位上1,4,5,x ,出现的机会是均等的。

由于一共可以得到24个四位数,所以每一个数字在每一个数位上出现6次,于是得到:6 4 (1 4 5 x) 288,解得x 2。

若x为0,无解。

七.转化法例12: —个楼梯共10级台阶,每步走1级或2级,8步走完,一共有多少种走法?解:10级台阶,要求8步走完,并且每步只能走一级或2级。

显然,必须有2步中每步走2级,6步中每步走一级。

记每次走1级台阶为A,记每次走2级台阶为B,则原问题就相当于在8个格子中选2个填写B。

其余的填写A,这是一个组合问题,所以一共有C2 28 种走法。

例13:动点从(0,0)沿水平或竖直方向运动到达(6,8),要使行驶的路程最小,有多少种走法?解:动点只能向上或向右运动才能使路程最小而且最小的路程为14,把动点运动1个单位看成是1步,则动点走了14步,于是问题就转化为在14个格子中填写6个“上”和8 个“右”,这也是一个组合的问题,于是得到一共有C:4 3003种走法。

八.隔板法例14:20个相同的球分给3个人,允许有人可以不取,但必须分完,有多少种分法?解:将20个球排成一排,一共有21个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(两个隔板可以插在同一空隙中),规定由隔板分成的左、中、右三部分球分别分给3个人,则每一种隔法对应了一种分法,每一种分法对应了一种隔法,于是分法的总数为C2 210种方法。

注:本题可转化成求方程x y z 20的非负整数解的个数。

【eg】10张参观公园的门票分给5个班,每班至少1张,有几种选法?解:这里只是票数而已,与顺序无关,故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不同的盒内,每盒至少1球,可先把10球排成一列,再在其中9个间隔中选4个位置插入4块"档板”分成5格(构成5个盒子)有C94种方法。

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