排队等待的顾客数

M/M/1/k系统
平均队长分两种情况：
1 k L = n = k +1 2 n=0
k
续一
ρ =1时 ρ ≠1 时
ρ (k +1)ρk+1 L = npn = k+1 1 ρ 1 ρ n=0
k
平均等待队长
k (k -1) , ρ =1 2(k +1) Lq = L - (1 - p0 ) = k ρ ρ ( 1+ k ρ ) , ρ 1 k+1 1 - ρ 1 - ρ
M/M/1/k系统
续二
pk 是个重要的量，它称为损失概率，单位时间平均 损失顾客数为 λ
, ρ =1 k +1 λL = λpk = k λ ( 1 ρ ) ρ , ρ 1 k+1 1- ρ
单位时间内平均真正进入系统的顾客数为
kλ , ρ =1 k +1 λe = λ - λpk = k λ ( 1 ρ ) , ρ 1 k+1 1- ρ
M/M/1/k系统
续三
k +1 , ρ =1 2λ L W = = kρk+1 λe 1 , ρ 1 k μ - λ λ(1 - ρ ) k -1 , ρ =1 Lq 2λ Wq = = kρk+1 λe ρ , ρ 1 k μ - λ λ(1 - ρ )
当ρ≠0时，W=Wq+1/μ
例一 例二
M/M/c/∞系统
ρc pc 平均等待队长 Lq = 2 (1 - ρc ) λ 平均忙的服务台数 c = npn + c pn = μ n=0 n=c ρc pc 平均逗留的顾客数 L = c + Lq = ρ + 2 (1 - ρc ) Lq pc 平均等待时间 Wq = = λ cμ(1- ρc )2
M/M/1/k系统
用 N(t) 表 示 时 刻 t 系 统 中 的 顾 客 数 ， 系 统 的 状 态 集 合 为 S={0,1,2,…}，则{N(t);t≥0}是个有限生灭过程，有
λn = λ, n = 0,1,2,...,k -1 n =1,2,...,k μn = μ λ λ ρ = , pn = ( )n p0 , n = 0,1,2,...,k μ μ 1 , ρ =1 1 k +1 p0 = k = 1- ρ n , ρ 1 ρ k+1 n=0 1 - ρ 1 , ρ =1 k +1 pn = n 0,1,2,...,k n (1 - ρ)ρ , ρ 1 k+1 1 ρ
M/M/1/∞系统
续三
由以上公式，得到这四个指标之间的关系 Lq=L-(1-p0) λW=L，λWq=Lq 第二个公式通常称为Little公式 上面两组关系式，可以作这样直观解释：当系统内有顾客时， 平均等待队长Lq应该是平均队长L减1，当系统内没有顾客时， 平均等待队长Lq与平均队长L相等，所以 Lq=L-[(1-p0)*1+p0*0]=L-(1-p0) 单位时间内平均进入系统的顾客为λ个，每个顾客在系统内 平均逗留W单位时间。因此系统内平均有λW个顾客。同样 理由，系统内平均有λWq个顾客在等待服务 例一 例二
M/M/1/∞系统
由生灭过程求平稳解公式，得
由假设ρ=λ/μ <0，则
λ n pn = ( ) p0 = ρn p0 μ
续一
1 - ρ
从而平稳分布为pn=(1-ρ)ρn，n≥0 利用平稳分布可以求统计平衡条件下的平均队长 L 、 平均等待队长Lq、顾客的平均等待时间Wq、平均逗 留时间W等
c-1
平均逗留时间 W = L =
λ
例
pc 1 + 2 cμ(1 - ρc ) μ
排队系统费用优化决策
排队系统中涉及的有关费用往往可以分为两 类：顾客的等待损失费用以及与服务设施相 关的费用。排队系统的优化通常是为了使上 述两种费用的总和或者其中之一尽可能小。
例
M/M/1/∞系统
续二
用N表示在统计平衡下系统的顾客数，平均队长L是 N的数学期望 ρ
L = E (N ) = 1- ρ
用 Nq表示在统计平衡时，排队等待的顾客数，它的 数学期望Lq=E(Nq)就是在等待服务的平均顾客人数
ρ2 Lq = E(Nq ) = 1- ρ λ Wq = μ( μ - λ ) 1 1 W = Wq + = μ μ- λ
第二节 无限源的排队系统
M/M/1/∞系统
M/M/1/k系统
M/M/c/∞系统
排队系统费用优化决策
M/M/1/∞系统
设顾客流是参数为λ的最简单流，λ是单位时间内平 均到达的顾客人数，即顾客到达的时间间隔相互独 立并且服从期望为1/λ的负指数分布。
只有一个服务台，服务一个顾客的服务时间v服从参 数为μ的负指数分布。平均服务时间为E(v)=1/μ，在 服务台忙时，单位时间平均服务完的顾客数为 μ 。 称ρ=λ/μ为服务强度。 用 N(t) 表示在时刻 t 顾客在系统中的数量，则系统 {N(t);t≥0}组成生灭过程