海南省海南中学2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题
海南省海口市海南中学2016-2017学年高一上学期期末考
海南省海口市海南中学2016-2017学年高一上学期期末考试物理试卷一、选择题1．一本书放在水平桌面上，针对书和桌面的受力有下列说法，正确的是:A．书对桌面的压力就是书的重力B．书受到的支持力、桌面受到的压力都是弹力C．书受到的支持力与桌面受到的压力为一对平衡力D．书的重力和桌面受到的压力为一对作用力与反作用力【答案】B【解题思路】书对桌面的压力的施力物体为书，书的重力的施力物体为地球，两者的施力物体不同，故不能说书对桌面的压力就是书的重力，选项A错误；书受到的支持力、桌面受到的压力分别是由桌面发生弹性形变引起的，书本发生弹性形变引起的，故为弹力，选项B正确；书受到的支持力与桌面受到的压力中受力物体是两种，为一对相互作用力，选项C错误；书的重力为地球和书之间的作用力，桌面受到的压力为书和桌面之间的作用力，牵涉到第三者，不是相互作用力，选项D错误。
【点睛】平衡力为作用在同一物体上的等大反向的力，而相互作用力为作用在两个物体上等大反向的力，一定要区分有几个受力物体2．下列说法正确的是：A．曲线运动是一种变速率运动B．做曲线运动的物体的加速度一定不为零C．做曲线运动的物体所受合力一定是变化的D．平抛运动不是匀变速运动【答案】B【解题思路】曲线运动过程中速度方向一定变化，但速率不一定变化，如匀速圆周运动，选项A错误；速度方向变化，即速度发生变化，所以合力一定不为零，故加速度一定不为零，选项B正确；平抛运动是曲线运动，但过程中只受重力作用，为匀变速曲线运动，选项C、D 均错误。
3．如图所示，电灯悬挂于两墙之间，更换绳OA，使连接点A向下移，但保持O点位置不变，则A点向下移时，绳OA的拉力：A．逐渐增大B．逐渐减小C．先增大后减小D．先减小后增大【答案】A【解题思路】试题分析：相当于一个力大小恒定，一个力方向不变，求解另外一个力的过程电灯受到竖直向下的重力，绳OB的拉力，绳OA的拉力，三个力作用，处于平衡状态，故三力可组成一闭合的矢量三角形，在A点下移过程中，如图所示发现绳OA的拉力在逐渐增大，选项A正确。
海南省海南中学2017-2018学年高一上学期期末考试 数学(解析版)
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
������������������(������ + ������) ‒ 2������������������(������ + ������)
17.
已知������(������) =
2
������������������(������ ‒ ������) + ������������������( ‒ ������) ．
7. 已知△ABC，tanA，tanB 是方程 x2+3x-2=0 的两个根，则∠C 等于（ ）
3������
A. 4
2������
B. 3
������
C. 3
������
D. 4
⃗⃗
|⃗| = |⃗|
8. 若������与������是非零向量，且 ������ ������ ，下列结论中正确的是（ ）
������
0＜φ＜2，求
φ
的值；
（2）若方程������(2������
‒
������)
6
=
������������������2������
+
������������������2������
+
1在������
∈
[
‒
1���2��� ，23������]时有解，求
A
的取值范围．
1
3
22. 如图，在平面直角坐标系中，点 A（-2，0），B（2，0），锐角 α 的终边与单位圆 O 交
D. ������ ������ ������ ������
9.
若������������������(������
海南省海南中学2016-2017学年高一数学上学期期中试题
海南中学2016——2017学年第一学期期中考试高一数学试题（必修1）（考试时间：2016年11月；总分：150；总时量：120分钟）第一卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将所选答案填涂在答题卡相应位置．） 1．已知集合A 、B 均为全集U={1,2,3,4}的子集，且()U A B U ð={4}，B={1,2}，则U A B I ð=A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅2．已知集合A=[0,8]，集合B=[0,4]，则下列对应关系中，不能．．看作是从A 到B 的函数关系的是 A ．f ：x→y=18x B ．f ：x→y=14x C ．f ：x→y=12xD ．f ：x→y=x3．下列四组函数中，表示同一函数的是A ．()||f x x =与2g(x)x =B ．2()lg f x x =与()2lg g x x =C ．2x 1f (x)x 1-=-与()1g x x =+D ．f(x)=x 1+·x 1-与g(x)=2x 1-4．已知函数f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x)，则g(x)的表达式是A ．2x+1B ．2x -1C ．2x -3D ．2x+75．当1a >时，在同一坐标系中，函数x y a y a xlog ==-与的图象是.A B C D 6．函数21()f x x=的单调递增区间为 A ．]0,(-∞ B ．),0[+∞ C ．),0(+∞ D ．(,0)-∞7．设0.5log 0.8a =， 1.1log 0.8b =，0.81.1c =，则a 、b 、c 的大小关系为xy1 1Oxy O 1 1O y x 1 1 O y x1 1A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a c b <<8．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A ．2p q+ B ．(1)(1)12p q ++- C ．pqD ．(1)(1)1p q ++-9．已知对于任意两个实数,x y ，都有()()()f x y f x f y +=+成立．若(3)2f -=，则(2)f = A ．12-B ．21C ．43D ．43-10．已知函数()ln 26f x x x =+-有唯一的零点在区间(2,3)内，且在零点附近的函数值用二分法逐x 2.5 2.53125 2.546875 2.5625 2.625 2.75 f(x) -0.084-0.0090.0290.0660.2150.512 A ．2.5B ．2.53C ．2.54D ．2.562511．已知()y f x =是R 上的奇函数．当0x ≥时，3()ln(1)f x x x =++；则当0x <时，()f x =A ．3ln(1)x x --- B ．3ln(1)x x +- C ．3ln(1)x x --D ．3ln(1)x x -+-12．已知函数f(x)为R 上的减函数，则满足1(||)(1)f f x<的实数x 的取值范围是 A ．(-1,1)B ．(0,1)C ．(-1,0)∪(0,1)D ．(-∞, -1)∪(1,+∞)海南中学2016——2017学年第一学期期中考试高一数学试题（必修1） 第二卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若幂函数y =()x f 的图象经过点（2,8），那么()f x 的解析式是_____▲_____． 14．函数1()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为 ▲ ．15．某校高一（1）班50个学生选择校本课程，他们在A 、B 、C 三个模块中进行选择，且至少需要选择1个模块，具体模块选择的情况如下表：模块 模块选择的学生人数模块 模块选择的学生人数A 28 A 与B 11 B 26 A 与C 12 C26B 与C13则三个模块都选择的学生人数是 ▲ ．16．函数()33xx f x =+，则1220152016()()()()2016201620162016f f f f ++++=L ▲ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本题满分10分）化简、求值．(Ⅰ14a a a ⋅⋅（5分）(Ⅱ)235log 3log 5log 4⋅⋅．（5分）18．（本题满分12分）试用函数单调性的定义证明：2()1xf x x =-在(1,)+∞上是减函数．19．（本题满分12分）已知函数f(x)=xax b,x 02,x 0+<⎧⎨≥⎩，且f(-2)=3，f(-1)=f(1)．(Ⅰ)求f(x)的解析式，并求((2))f f -的值；(Ⅱ)请在给定的直角坐标系内，利用“描点法”画出()y f x =的大致图象．20．（本题满分12分）已知集合2{|230}A x x x =+->，集合2{|210,0}B x x ax a =--≤>．(Ⅰ)若1a =，求A B I ；(Ⅱ)若A∩B 中恰含有一个整数，求实数a 的取值范围．21．（本题满分12分）设函数f (x )＝log 2(a x－b x)，且f (1)＝1，f (2)＝log 212． (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)当x ∈[1，2]时，求f (x )的最大值．22．（本题满分12分）定义在数集U 内的函数y=f(x)，若对任意12,x x U ∈都有12|()()|1f x f x -<，则称函数y=f(x)为U 上的storm 函数．(Ⅰ)判断下列函数是否为[1,1]-内storm 函数，并说明理由：①121x y -=+，②2112y x =+； (Ⅱ)若函数21()12f x x bx =-+在x ∈[-1,1]上为storm 函数，求b 的取值范围． 海南中学2016——2017学年第一学期期中考试高一数学（评分标准）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D A B A D B D D C C C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．___3y x =__；14． (1,0)(0,4]-U ；15． 6 ；16． 310092- ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本题满分10分）化简、求值．(Ⅰ)14a a a ⋅⋅；（5分）(Ⅱ)235log 3log 5log 4⋅⋅．（5分） 17．解：(Ⅰ)111111442222(())a a a a a a a a ⋅⋅=⋅==；（5分） (Ⅱ)235lg3lg5lg 4lg 4log 3log 5log 42lg 2lg3lg5lg 2⋅⋅=⋅⋅==．（5分） 18．（本题满分12分）试用函数单调性的定义证明：2()1xf x x =-在(1,)+∞上是减函数． 18．解：19．（本题满分12分）已知函数f(x)=xax b,x 02,x 0+<⎧⎨≥⎩，且f(-2)=3，f(-1)=f(1)．(Ⅰ)求f(x)的解析式，并求((2))f f -的值；(Ⅱ)请在给定的直角坐标系内，利用“描点法”画出()y f x =的大致图象．19．解：(Ⅰ)由f(-2)=3，f(-1)=f(1) 得2a b 3a b 2-+=⎧⎨-+=⎩，（2分）解得a =-1，b=1，（1分）所以f(x)=xx 1,x 0,2,x 0.-+<⎧⎨≥⎩，（1分）从而3((2))((2)1)(3)28f f f f -=--+===；（2分）(Ⅱ)“描点法”作图：1°列表；（关键点一定要呈现，比如(0,1)，至少三个点）x -2-10 1 2 f(x)321242°描点；3°连线（无作图痕迹扣1分）f(x)的图象如右图所示（要求过程完整，线条清晰， 突出关键点，酌情给分）．（6分）20．（本题满分12分）已知集合2{|230}A x x x =+->，集合2{|210,0}B x x ax a =--≤>．(Ⅰ)若1a =，求A B I ；(Ⅱ)若A∩B 中恰含有一个整数，求实数a 的取值范围． 20．解：(Ⅰ)A={x|x 2+2x -3>0}={x|x>1或x<-3}，（2分）当1a =时，由2210x x --≤得1212x -≤≤+，集合[12,12]B =-+，（2分）∴(1,12]A B =+I ；（2分）(Ⅱ)因为函数y=f(x)=x 2-2a x -1的对称轴为x=a >0，f(0)=-1<0，（1分）根据对称性可知要使A∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为2，（1分） 所以有f(2)≤0且f(3)>0，（1分）即44a 1096a 10--≤⎧⎨-->⎩，（1分）∴34a 43≤<．（2分）21．（本题满分12分）设函数f (x )＝log 2(a x－b x)，且f (1)＝1，f (2)＝log 212． (Ⅰ)求f(x)的解析式，并写出其定义域；(Ⅱ)当x ∈[1，2]时，求f (x )的最大值．21．解：(Ⅰ)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧log 2（a －b ）＝1，log 2（a 2－b 2）＝log 212，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2； ∴2()log (42),(0,)x xf x x =-∈+∝；（6分）(Ⅱ)记211()42(2)24x x xu x =-=--，令2xt =，2()u g t t t ==-，∵[1,2]x ∈，∴[2,4]t ∈，由()u g t =在[2,4]，及2xt =在R 上单调增知，u (x )在[1，2]上是增函数， ∴u (x )max ＝(2)u =⎝⎛⎭⎪⎫22－122－14＝12．∴f (x )的最大值为(2)f =log 212＝2＋log 23．（6分）22．（本题满分12分）定义在数集U 内的函数y=f(x)，若对任意12,x x U ∈都有12|()()|1f x f x -<，则称函数y=f(x)为U 上的storm 函数．(Ⅰ)判断下列函数是否为[1,1]-内storm 函数，并说明理由：①121x y -=+，②2112y x =+；(Ⅱ)若函数21()12f x x bx =-+在x ∈[-1,1]上为storm 函数，求b 的取值范围． 22．解：(Ⅰ)①121x y -=+是[1,1]-内storm 函数，理由：121x y -=+在[1,1]-上单调增，且2max min 52,214y y -==+=， ∵max min 3||14y y -=<，∴满足12,x x U ∀∈，12|()()|1f x f x -<；（3分） ②2112y x =+是[1,1]-内storm 函数，理由：2112y x =+在[1,1]-上，且max min 3,12y y ==，∵max min 1||12y y -=<，∴满足12,x x U ∀∈，12|()()|1f x f x -<；（3分）(Ⅱ)依题意，若()f x 为storm 函数，有max min ()()1,[1,1]f x f x x -<∈-，21()12f x x bx =-+的对称轴为x=b ．1°若1b <-，max min 11()(1)1,()(1)122f x f b f x f b ==-+=-=++， ∴121,2b b -<>-，无解； 2°若10b -≤<，22max min 11()(1)1,()()122f x f b f x f b b b ==-+==-+，∴2210,10b b b --<<<；3°若01b ≤≤，22max min 11()(1)1,()()122f x f b f x f b b b =-=++==-+，∴2210,01b b b +-<≤<；4°若b>1，max min 11()(1)1,()(1)122f x f b f x f b =-=++==-+，∴121,2b b <<，无解．综上，b 的取值范围为(11)．（6分）。
2019-2020学年海南省海南中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年海南省海南中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则它的否定是（ ） A ．存在,sin 1x R x ∈> B ．任意,sin 1x R x ∈≥ C ．存在,sin 1x R x ∈≥ D ．任意,sin 1x R x ∈>【答案】A【解析】试题分析：因为命题:,sin 1p x R x ∀∈≤为全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得，命题:,sin 1p x R x ∀∈≤的否定是存在,sin 1x R x ∈>，故选A. 【考点】1、全称量词与存在量词；2、全称命题与特称命题.2．集合{}2|340,{|15}M x x x N x x =--≥=<<,则集合()R M N =I ð( ) A ．()1,4 B ．(]1,4C ．(]1,5-D ．[]1,5-【答案】A【解析】利用一元二次不等式的解法求得集合M ，根据补集和交集的定义即可求得结果. 【详解】()(){}(][)410,14,M x x x =-+≥=-∞-⋃+∞Q ()1,4R M ∴=-ð()()1,4R M N ∴=I ð故选：A 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式的解法，属于基础题. 3．已知扇形的圆心角为23π弧度，半径为2，则扇形的面积是（ ） A ．83π B ．43C ．2πD ．43π 【答案】D【解析】利用扇形面积公式212S R α=（α为扇形的圆心角的弧度数，R 为扇形的半径），可计算出扇形的面积. 【详解】由题意可知，扇形的面积为21242233S ππ=⨯⨯=，故选D. 【点睛】本题考查扇形面积的计算，意在考查扇形公式的理解与应用，考查计算能力，属于基础题.4．若sin αtan α<0，且cos tan αα<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C【解析】由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，可判断α在第几象限，由cos tan αα<0可知cos α，tan α异号，可判断α在第几象限，从而求得结果. 【详解】由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角，由cos tan αα<0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角. 所以本题答案为C. 【点睛】本题考查任意角的三角函数式的符号的判断，考查学生对基本知识的掌握，属基础题. 5．若23log 3log 4P =⋅，lg 2lg5Q =+，0M e =，ln1N =，则正确的是（ ） A ．P Q = B ．M N =C ．Q M =D ．N P =【答案】C 【解析】,,,,故．6．已知lg lg 0a b +=，则函数()x f x a =与函数1()log bg x x =的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】条件化为1ab =，然后由()f x 的图象 确定,a b 范围，再确定()g x 是否相符． 【详解】lg lg 0,lg 0a b ab +=∴=Q ，即1ab =.∵函数()f x 为指数函数且()f x 的定义域为R ，函数()g x 为对数函数且()g x 的定义域为()0,∞+，A 中，没有函数的定义域为()0,∞+，∴A 错误；B 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单调递增，即01b <<，ab 可能为1，∴B 正确；C 中，由图象知指数函数()f x 单调递减，即01a <<，()g x 单调递增，即01b <<，ab 不可能为1，∴C 错误；D 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单调递减，即1b >，ab 不可能为1，∴D 错误． 故选：B. 【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，确定这两个的图象与性质是解题关键． 7．已知0,0,1x y x y >>+=,则11x y+的最小值是( ) A ．2 B ．22C ．4D ．3【答案】C 【解析】根据()1111y y x y x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式即可求得结果. 【详解】()11112224y x y xx y x y x y x y x y⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭（当且仅当y x x y =，即x y =时取等号）11x y∴+的最小值为4故选：C【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，涉及到利用等于1的式子来进行构造，配凑出符合基本不等式的形式，属于常考题型.8．若函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）A．()1,+∞B．（1,8）C．（4,8）D．[4,8)【答案】D【解析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果.【详解】因为函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数，所以140482422aaaaa⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.二、多选题9．下列化简正确的是( )A．1cos82sin52sin82cos522︒︒-︒︒=B．1sin15sin30sin754︒︒︒=C．tan48tan721tan48tan72︒+︒=-︒︒D．22cos15sin152︒-︒=【答案】CD【解析】根据两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式依次化简各个选项可得结果. 【详解】A 中，()()1cos82sin 52sin82cos52sin 5282sin 30sin 302-=-=-=-=-o o o o o o o o ，则A错误；B 中，111sin15sin 30sin 75sin15cos15sin 30248===o o oo o o ，则B 错误；C 中，()tan 48tan 72tan 4872tan1201tan 48tan 72+=+==-o o o o oo o，则C 正确；D 中，22cos 15sin 15cos30-==o o o ，则D 正确. 故选：CD 【点睛】本题考查三角恒等变换的化简问题，涉及到两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式的应用.10．已知0,1a b a b <<+=,则下列不等式中,正确的是( ) A ．2log 0a < B ．122a b-<C ．24b a a b+<D ．22log log 2a b +<-【答案】AD【解析】根据不等式性质可求得01a b <<<，10a b -<-<，利用基本不等式可求得2b aa b +>，104ab <<，结合对数函数和指数函数的单调性可依次判断出各个选项. 【详解】0a b Q <<且1a b += 01a b ∴<<<，10a b -<-<2log 0a ∴<，A 正确；11222a b -->=，B 错误；2b a a b +≥=Q（当且仅当b a a b =，即a b =时取等号），又0a b << 2b a a b∴+> 2224b a a b+∴>=，C 错误； 2124a b ab +⎛⎫≤=⎪⎝⎭Q （当且仅当a b =时取等号），又0a b <<104ab ∴<<22221log log log log 24a b ab ∴+=<=-，D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够利用不等式的性质、基本不等式确定幂指数、真数所处的范围，进而得到临界的函数值. 11．已知函数211()22f x x x =+-,利用零点存在性法则确定各零点所在的范围.下列区间中存在零点的是( ) A ．(3,2)-- B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(2,3)D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】依次验证各个区间端点的函数值，根据函数值乘积小于零即可确定区间内存在零点，依次判断各个选项即可. 【详解】()1913320326f -=-+-=>Q ，()11222022f -=-+-=-<()()320f f ∴-⋅-< ()3,2∴--内存在零点，A 正确；111220288f ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭Q ，()11112022f =+-=-<()1102f f ⎛⎫∴⋅< ⎪⎝⎭ 1,12⎛⎫∴ ⎪⎝⎭内存在零点，B 正确；()11222022f =+-=>Q ，()1917320326f =+-=> ()()230f f ∴⋅> ()2,3∴内不存在零点，C 错误； ()15112022f -=-+-=-<Q ，111220288f ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭()1102f f ⎛⎫∴-⋅< ⎪⎝⎭ 11,2⎛⎫∴- ⎪⎝⎭内存在零点，D 正确.故选：ABD 【点睛】本题考查利用零点存在定理判断零点所在区间的问题，关键是能够根据函数解析式准确求解出区间端点处的函数值.12．设,αβ是一个钝角三角形的两个锐角,下列四个不等式中正确的是( )A ．tan tan 1αβ< B．sin sin αβ+<C ．cos cos 1αβ+>D ．1tan()tan22αβαβ++< 【答案】ABC【解析】根据三角形内角和特点可得到02πβα<<-，利用诱导公式可得tan cot βα<，从而验证出A 正确；根据sin cos βα<，cos sin βα>，04πα<<，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求得,B C 正确；利用二倍角的正切公式展开()1tan 2αβ+，由024αβπ+<<，根据正切函数的值域和不等式的性质可验证出D 错误. 【详解】 设02παβ<<<且2παβ+<02πβα∴<<-0tan tan cot 2πβαα⎛⎫∴<<-= ⎪⎝⎭tan tan tan cot 1αβαα∴<=，A 正确；sin sin cos 2πβαα⎛⎫<-= ⎪⎝⎭sin sin sin cos 4παβααα⎛⎫∴+<+=+ ⎪⎝⎭2παβ+<Q 且αβ< 04πα∴<<442πππα∴<+<14πα⎛⎫∴<+< ⎪⎝⎭sin sin αβ∴+<B 正确；cos cos sin 2πβαα⎛⎫>-= ⎪⎝⎭cos cos cos sin 14παβααα⎛⎫∴+>+=+> ⎪⎝⎭，C 正确；()2tan12tan 21tan 2αβαβαβ++=+- 02παβ<+<Q ，则024αβπ+<<0tan 12αβ+∴<< 20tan 12αβ+∴<< 201tan 12αβ+∴<-<2111tan 2αβ∴>+- 2tan2tan 21tan 2αβαβαβ++∴>+-，即()1tan tan 22αβαβ++>，D 错误.故选：ABC 【点睛】本题考查与三角函数有关的不等关系的辨析问题，涉及到诱导公式、二倍角公式和辅助角公式的应用、正弦函数值域和正切函数值域的求解等知识；关键是能够根据已知得到两个角所处的范围，进而将所验证不等式化为同角问题进行求解.三、填空题13．20cos3π=______. 【答案】12-【解析】利用诱导公式将所求式子化为cos 3π-，根据特殊角三角函数值可求得结果.【详解】201coscos 7cos 3332ππππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭ 故答案为：12- 【点睛】本题考查利用诱导公式求值的问题，关键是能够通过诱导公式将所求角化为特殊角的形式，利用特殊角三角函数值求解. 14．已知α为锐角，且cos(α＋4π)＝35，则sinα＝________．【答案】10【解析】43sin sin cos 44242425510ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫=+-=+-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．点睛：本题考查三角恒等关系的应用．本题中整体思想的应用，将α转化成44ππα⎛⎫+- ⎪⎝⎭，然后正弦的和差展开后，求得sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入计算即可．本题关键就是考查三角函数中的整体思想应用，遵循角度统一原则．15．如图①是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图象（收支差额=车票收入-支出费用）.由于目前本线路亏损,公司有关人员分别将图①移动为图②和图③,从而提出了两种扭亏为盈的建议.（图①中点A 的意义:当乘客量为0时,亏损1个单位；点B 的意义:当乘客量为1.5时,收支平衡）请根据图象用简练语言叙述出:建议（1）______.建议（2）______. 【答案】票价不变的前提下降低成本 成本不变的前提下提高票价【解析】根据原图可知直线斜率体现票价、起点的纵坐标体现亏损单位，根据图②③变化的量可确定结果. 【详解】图②中，表示y 与x 关系的直线斜率未发生变化，说明票价未发生变化；但当乘客量为0时，亏损单位减少，说明费用降低，故建议（1）为：票价不变的前提下降低成本图③中，当乘客量为0时，亏损单位不变，说明费用未发生变化；但表示y 与x 关系的直线斜率增大，相同乘客量时收入增多，说明票价上涨，故建议（2）为：成本不变的前提下提高票价故答案为：票价不变的前提下降低成本；成本不变的前提下提高票价 【点睛】本题考查函数模型的实际应用问题，关键是能够通过观察确定两个图中变化的量与不变量.16．若45A B +=︒,则(1tan )(1tan )A B ++=______,应用此结论求()()()()1tan11tan21tan431tan44+︒+︒+︒+︒L 的值为______.【答案】2 222【解析】利用两角和差正切公式可整理求得()()1tan 1tan 2A B ++=；将所求式子分组作乘积，进而求得结果. 【详解】45A B +=o Q ()tan tan tan 11tan tan A BA B A B+∴+==-，即tan tan tan tan 1A B A B ++=()()1tan 1tan 1tan tan tan tan 2A B A B A B ∴++=+++= ()()()()221tan11tan 21tan 431tan 442++⋅⋅⋅++∴=o o o o故答案为：2；222 【点睛】本题考查利用两角和差正切公式求值问题，关键是能够通过将()tan 1A B +=进行拆分，求出tan tan tan tan A B A B ++的值.四、解答题17．已知33sin ,,252x x ππ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,求cos ,tan 64x x ππ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】3cos 610x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭；tan 74x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【解析】根据同角三角函数关系可求得cos ,tan x x ，代入两角和差余弦公式和正切公式即可求得结果. 【详解】3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q cos 0x ∴>4cos 5x ∴==4313cos cos cos sin sin 666525210x x x πππ⎛⎫∴+=-=⨯+⨯=⎪⎝⎭ sin 3tan cos 4x x x ==-Q 3tan tan144tan 7341tan tan 144x x x πππ---⎛⎫∴-===- ⎪⎝⎭+- 【点睛】本题考查利用两角和差的余弦公式和正切公式求解三角函数值的问题，涉及到同角三角函数关系的应用，考查学生对公式掌握的熟练程度. 18．已知α是第三象限角,sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπααπα-⋅-⋅--=-⋅--.(1)若31cos 25απ⎛⎫-=⎪⎝⎭,求()f α的值. (2)若1860α=-︒,求()f α的值. 【答案】（1）（2）12【解析】利用诱导公式将原式化为()cos fαα=；（1）利用诱导公式和同角三角函数关系即可求得结果；（2）利用诱导公式将所求余弦值化为cos 60o ，从而得到结果. 【详解】()()()()()()()()sin cos 2tan sin cos tan cos tan sin tan sin f παπααπααααααπααα-⋅-⋅--⋅⋅-===-⋅---⋅（1）31cos sin 25απα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭Q 1sin 5α∴=- αQ 为第三象限角 ()cos f αα∴===（2）()()()1cos 1860cos1860cos 360560cos602fα=-==⨯+==o o o o o 【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值的问题，涉及到同角三角函数关系、特殊角三角函数值的求解问题；考查学生对于诱导公式掌握的熟练程度，属于基础公式应用问题.19．已知函数(1)xy a a =>在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,记()2xx a f x a =+.(1)求a 的值.(2)证明:()(1)1f x f x +-=. (3)求1232019202020212021202120212021f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值.【答案】（1）4；（2）证明见解析；（3）2020【解析】（1）根据函数单调性可知最值在区间端点处取得，由此可构造方程求得a ； （2）由（1）可得函数解析式，从而求得()1f x -，整理可得结论； （3）采用倒序相加的方式，根据（2）中结论即可求得结果. 【详解】（1）xy a Q =为单调增函数 2max min 20y y a a ∴+=+=，解得：4a =（2）由（1）知：()442xxf x =+ ()114442414424242424xx x x x x f x --∴-====++⨯++ ()()42114224x x xf x f x ∴+-=+=++（3）令1232019202020212021202120212021S f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则2019120212021202120212020202011282S f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加，由（2）可得：2220204040S =⨯= 2020S ∴= 即12320192020202020212021202120212021f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到利用函数单调性求解参数值、函数解析式的性质、函数值的求解等知识；关键是能够通过函数的单调性确定最值点的位置，进而构造方程得到函数解析式.20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元． （1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最大收益为多少万元？【答案】（1）()18f x x =()0x ≥，()g x =()0x ≥；（2）债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元【解析】（1）由题意，得到()1f x k x =，()g x k =，代入求得12,k k 的值，即可得到函数的解析式；（2）设债券类产品投资x 万元，可得股票类产品投资()20x -万元，求得总的理财收益的解析式，利用换元法和二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）设投资债券类产品的收益()f x 与投资额x 的函数关系式为()()10f x k x x =≥，投资股票类产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式为()g x k =()0x ≥， 可知()110.125f k ==，()210.5g k ==，所以()18f x x =()0x ≥，()g x =()0x ≥. （2）设债券类产品投资x 万元，则股票类产品投资()20x -万元，总的理财收益()()208x y f x g x =+-=()020x ≤≤.令t =220x t =-，0t ≤≤，故()()22220111420238288t y t t t t -=+=---=--+，所以，当2t =时，即债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元. 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，熟练应用函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.21．已知设函数11()cos 2cos 22f x x x x =+ (1)求函数()f x 最小正周期和值域.(2)求函数(),[2,2]f x x ππ∈-的单调递增区间.【答案】（1）最小正周期为2π，值域为[]4,4-；（2）52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数整理为()4sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的最小正周期和值域的求解方法得到结果； （2）令22262k x k ππππ-≤+≤π+可求得函数的单调递增区间22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，分别给k 取值，找到位于[]2,2ππ-之间的单调递增区间. 【详解】（1）()2cos 4sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭()f x 的最小正周期2T π=，值域为[]4,4-（2）令22262k x k ππππ-≤+≤π+，k Z ∈，解得：22233k x k πππ-≤≤π+，k Z ∈ ()f x ∴单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈令1k =-，则28233k πππ-=-，5233k πππ+=- 52,3ππ⎡⎤∴--⎢⎥⎣⎦为单调递增区间令0k =，则22233k πππ-=-，233k πππ+= 2,33ππ⎡⎤∴-⎢⎥⎣⎦为单调递增区间 令1k =，则24233k πππ-=，7233k πππ+=4,23ππ⎡⎤∴⎢⎥⎣⎦为单调递增区间 综上所述：函数()[],2,2f x x ππ∈-的单调递增区间为52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期、值域和单调区间的求解问题，关键是能够利用二倍角和辅助角公式将函数化为正弦型函数的形式；解决正弦型函数的值域和单调区间问题通常采用整体对应的方式，结合正弦函数图象来进行求解. 22．已知函数()2()log log 2(0,1)a a f x x x a a =-->≠. (1)当2a =时,求(2)f ；(2)求解关于x 的不等式()0f x >；(3)若[2,4],()4x f x ∀∈≥恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】（1）2-；（2）见解析；（3）(2⎫⎪⎪⎣⎭U 【解析】（1）代入2x =直接可求得结果；（2）由()0f x >可得log 1<-a x 或log 2a x >，分别在1a >和01a <<两种情况下，根据对数函数单调性求得结果；（3）由()4f x ≥可得log 2a x ≤-或log 3a x ≥，分别在1a >和01a <<两种情况下，根据对数函数单调性确定log a x 的最大值和最小值，由恒成立的关系可得不等式，解不等式求得结果. 【详解】（1）当2a =时，()()222log log 2f x x x =-- ()21122f ∴=--=-（2）由()0f x >得：()()()2log log 2log 2log 10a a a a x x x x --=-+>log 1a x ∴<-或log 2a x >当1a >时，解不等式可得：10x a<<或2x a > 当01a <<时，解不等式可得：1x a>或20x a << 综上所述：当1a >时，()0f x >的解集为()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U ；当01a <<时，()0f x >的解集为()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U（3）由()4f x ≥得：()()()2log log 6log 3log 20a a a a x x x x --=-+≥log 2a x ∴≤-或log 3a x ≥①当1a >时，()max log log 4a a x =，()min log log 2a a x =2log 42loga a a -∴≤-=或3log 23log a a a ≥=，解得：1a <≤②当01a <<时，()max log log 2a a x =，()min log log 4a a x =2log 22log a a a -∴≤-=或3log 43log a a a ≥=1a ≤<综上所述：a 的取值范围为(,12⎫⎪⎪⎣⎭U 【点睛】本题考查对数函数与二次函数的复合函数的相关问题的求解，涉及到恒成立问题的求解、函数不等式的求解等知识，关键是能够熟练应用对数函数的单调性，通过单调性解不等式、将恒成立问题转化为函数最值的求解问题.。
2019-2020学年海南省海口市海南中学高一(上)期末数学试卷及答案
2019-2020学年海南省海口市海南中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题1．（3分）已知命题p：对任意的x∈R，有sin x≤1，则￢p是（）A．存在x∈R，有sin x＞1B．对任意的x∈R，有sin x≥1C．存在x∈R，有sin x≥1D．对任意的x∈R，有sin x＞12．（3分）集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≥0}，N＝{x|1＜x＜5}，则集合∁R M∩N＝（）A．（1，4）B．（1，4]C．（﹣1，5]D．[﹣1，5]3．（3分）已知扇形的圆心角为弧度，半径为2，则扇形的面积为（）A．πB．C．2πD．4．（3分）若sinαtanα＜0，且＜0，则角α是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（3分）若P＝log23•log34，Q＝lg2+lg5，M＝e0，N＝ln1，则正确的是（）A．P＝Q B．Q＝M C．M＝N D．N＝P6．（3分）已知lga+lgb＝0，函数f（x）＝a x与函数g（x）＝﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．7．（3分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．48．（3分）若函数f（x）＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（1，8）C．[4，8）D．（4，8）二、多项选择题9．（3分）下列化简正确的是（）A．cos82°sin52°﹣sin82°cos52°＝B．C．D．10．（3分）已知0＜a＜b，a+b＝1，则下列不等式中，正确的是（）A．log2a＜0B．C．D．log2a+log2b＜﹣211．（3分）已知函数，利用零点存在性法则确定各零点所在的范围．下列区间中存在零点的是（）A．（﹣3，﹣2）B．C．（2，3）D．12．（3分）设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中正确的是（）A．tanαtanβ＜1B．C．cosα+cosβ＞1D．三、填空题13．（3分）cos＝．14．（3分）已知α为锐角，且，则sinα＝．15．（3分）如图①是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额＝车票收入﹣支出费用）．由于目前本线路亏损，公司有关人员分别将图①移动为图②和图③，从而提出了两种扭亏为盈的建议．（图①中点A的意义：当乘客量为0时，亏损1个单位；点B的意义：当乘客量为1.5时，收支平衡）请根据图象用简练语言叙述出：建议（1）．建议（2）．16．（3分）若A+B＝45°，则（1+tan A）（1+tan B）＝，应用此结论求（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan43°）（1+tan44°）的值为．四.解答题17．已知，求的值．18．已知α是第三象限角，f（α）＝．（1）化简f（α）；（2）若cos（α﹣π）＝，求f（α）的值；（3）若α＝﹣1860°，求f（α）的值．19．已知函数y＝a x（a＞1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值．（2）证明：f（x）+f（1﹣x）＝1．（3）求的值．20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少万元？21．已知设函数．（1）求函数f（x）周期和值域．（2）求函数f（x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．22．已知函数f（x）＝（log a x）2﹣log a x﹣2（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＝2时，求f（2）；（Ⅱ）求解关于x的不等式f（x）＞0；（Ⅲ）若∀x∈[2，4]，f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．2019-2020学年海南省海口市海南中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题1．（3分）已知命题p：对任意的x∈R，有sin x≤1，则￢p是（）A．存在x∈R，有sin x＞1B．对任意的x∈R，有sin x≥1C．存在x∈R，有sin x≥1D．对任意的x∈R，有sin x＞1【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可得命题的否定．【解答】解：∵命题P为全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题，得￢P：存在x∈R，有sin x＞1．故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（3分）集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≥0}，N＝{x|1＜x＜5}，则集合∁R M∩N＝（）A．（1，4）B．（1，4]C．（﹣1，5]D．[﹣1，5]【分析】解二次不等式可以求出集合M，进而根据集合补集的定义，求出∁R M，结合已知中的集合N及集合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵M＝{x|x2﹣3x﹣4≥0}＝（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞），N＝{x|1＜x＜5}＝（1，5），∴∁R M＝（﹣1，4）∴∁R M∩N＝（﹣1，4）∩（1，5）＝（1，4）故选：A．【点评】本题考查的知识点是集合的交，并，补集运算，其中解不等式求出集合A是解答的关键．3．（3分）已知扇形的圆心角为弧度，半径为2，则扇形的面积为（）A．πB．C．2πD．【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．【解答】解：S扇形＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题．4．（3分）若sinαtanα＜0，且＜0，则角α是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接由α的正弦和正切异号且余弦和正切异号得答案．【解答】解：∵sinαtanα＜0，可知α是第二或第三象限角，又＜0，可知α是第三或第四象限角．∴角α是第三象限角．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的象限符号，是基础题．5．（3分）若P＝log23•log34，Q＝lg2+lg5，M＝e0，N＝ln1，则正确的是（）A．P＝Q B．Q＝M C．M＝N D．N＝P【分析】根据对数的运算性质求出P、Q、N，再根据非零的零次幂为1可求出M，从而得到结论．【解答】解：P＝log23•log34＝log24＝2Q＝lg2+lg5＝lg10＝1M＝e0＝1，N＝ln1＝0∴Q＝M故选：B．【点评】本题主要考查了对数的运算，指数的运算，以及比较大小关系，属于基础题．6．（3分）已知lga+lgb＝0，函数f（x）＝a x与函数g（x）＝﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．【解答】解：∵lga+lgb＝0，∴ab＝1则b＝，从而g（x）＝﹣log b x＝log a x，f（x）＝a x与，∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，结合选项可知选B，故选：B．【点评】本题主要考查了对数函数的图象，以及指数函数的图象和对数运算等有关知识，属于基础题．7．（3分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用“1”的代换的思想，将转化为（）（x+y），展开，利用基本不等式即可求得的最小值．【解答】解：∵x+y＝1，∴＝（）（x+y）＝+2＝4，当且仅当，即x＝y＝时取“＝”，∴的最小值为4．故选：D．【点评】本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题．8．（3分）若函数f（x）＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（1，8）C．[4，8）D．（4，8）【分析】让两段都单调递增，且让x＝1时a x≥（4﹣）x+2，解关于a的不等式组可得．【解答】解：∵函数f（x）＝是R上的增函数，∴，解得4≤a＜8故选：C．【点评】本题考查分段函数的单调性，涉及指数函数和一次函数的单调性，属中档题．二、多项选择题9．（3分）下列化简正确的是（）A．cos82°sin52°﹣sin82°cos52°＝B．C．D．【分析】由题意利用两角和差的三角公式，诱导公式、二倍角公式，求出结果．【解答】解：∵cos82°sin52°﹣sin82°cos52°＝sin8°sin52°﹣cos8°cos52°＝﹣cos （8°+52°）＝﹣，故A不对；∵sin15°sin30°sin75°＝sin15°cos15°＝sin30°＝，故B不对；∵＝tan（48°+72°）＝tan120°＝﹣tan60°＝﹣，故C正确；∵cos215°﹣sin215°＝cos30°＝，故D正确，故选：CD．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．10．（3分）已知0＜a＜b，a+b＝1，则下列不等式中，正确的是（）A．log2a＜0B．C．D．log2a+log2b＜﹣2【分析】利用不等式的基本性质可判断AB的真假，利用基本不等式可判断CD的真假．【解答】解：A．∵0＜a＜b，a+b＝1，∴，∴log2a＜log2＝﹣1，故A正确；B．∵0＜a＜b，∴a﹣b＜0，∴2a﹣b＜20＝1，故B不正确；C．∵0＜a＜b，∴，故C不正确；D．∵0＜a＜b，a+b＝1，∴1＝a+b＞，∴ab＜，∴log2a+log2b＜log2＝﹣2，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查了不等式的基本性质和基本不等式，考查了转化思想，属基础题．11．（3分）已知函数，利用零点存在性法则确定各零点所在的范围．下列区间中存在零点的是（）A．（﹣3，﹣2）B．C．（2，3）D．【分析】此类选择题可用代入法计算出函数值，利用函数零点判定定理即可求解【解答】解：经计算f（﹣3）＝﹣+﹣2＝＞0，f（﹣2）＝﹣+2﹣2＝﹣＜0，f（）＝2+﹣2＝＞0，f（1）＝1+﹣2＝﹣＜0，f（﹣1）＝﹣1+﹣2＝﹣＜0，根据零点判定定理可得区间（﹣3，﹣2），（，1），（﹣1，）上存在零点，故选：ABD．【点评】本题考查函数零点判定定理，属于基础题．12．（3分）设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中正确的是（）A．tanαtanβ＜1B．C．cosα+cosβ＞1D．【分析】根据题意，依次分析选项中不等式是否成立，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，α，β是一个钝角三角形的两个锐角，则α+β＜90°，依次分析选项：对于α，tαnαtαnβ＜tαnαtαn（90°﹣α）＝tαnαcotα＝1，A正确；对于B，sinα+sinβ＜sinα+sin（90°﹣α）＝sinα+cosα＝sin（α+45°）≤，故有sinα+sinβ＜，B正确；对于C，cosα+cosβ＞cosα+cos（90°﹣α）＝cosα+sinα＝sin（α+45°）≥×＝1，故有cosα+cosβ＞1，C正确；对于D，当α＝β＝30°时，则tαn（α+β）＝tαn，故D错误；故选：ABC．【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，注意三角函数恒等变形的公式，属于基础题．三、填空题13．（3分）cos＝﹣．【分析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：cos＝cos（7π﹣）＝﹣cos＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．（3分）已知α为锐角，且，则sinα＝．【分析】由α为锐角求出α+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+）的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）＝，∴sin（α+）＝＝，则sinα＝sin[（α+）﹣]＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin＝×﹣×＝．故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．15．（3分）如图①是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额＝车票收入﹣支出费用）．由于目前本线路亏损，公司有关人员分别将图①移动为图②和图③，从而提出了两种扭亏为盈的建议．（图①中点A的意义：当乘客量为0时，亏损1个单位；点B的意义：当乘客量为1.5时，收支平衡）请根据图象用简练语言叙述出：建议（1）降低成本而保持票价不变．建议（2）提高票价而保持成本不变．【分析】根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x＝0的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明．【解答】解：根据题意和图（2）知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图（3）看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故答案为：降低成本而保持票价不变；提高票价而保持成本不变．【点评】本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想．16．（3分）若A+B＝45°，则（1+tan A）（1+tan B）＝2，应用此结论求（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan43°）（1+tan44°）的值为222．【分析】由题意利用两角和的正切公式的变形公式，化简所给的式子，可得结果．【解答】解：A+B＝45°，则（1+tan A）（1+tan B）＝1+tan A+tan B+tan A•tan B＝tan（A+B）（1﹣tan A•tan B）+1+tan A•tan B＝tan45°（1﹣tan A•tan B）+1+tan A•tan B＝2．（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan43°）（1+tan44°）＝[（1+tan1°）（1+tan44°）]•[（1+tan2°）（1+tan43°）]…[（1+tan22°）（1+tan23°）]＝222，故答案为：2；222．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的变形应用，属于中档题．四.解答题17．已知，求的值．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵已知，∴cos x＝＝，∴cos（x+）＝cos x cos﹣sin x sin＝+＝，tan（x﹣）＝＝＝﹣7．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题．18．已知α是第三象限角，f（α）＝．（1）化简f（α）；（2）若cos（α﹣π）＝，求f（α）的值；（3）若α＝﹣1860°，求f（α）的值．【分析】（1）f（α）利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简即可得到结果；（2）由已知等式求出sinα的值，代入计算即可求出f（α）的值；（3）把α度数代入计算即可求出f（α）的值．【解答】解：（1）f（α）＝＝cosα；（2）∵cos（α﹣π）＝﹣sinα＝，即sinα＝﹣，且α为第三象限角，∴cosα＝﹣＝﹣，则f（α）＝cosα＝﹣；（3）把α＝﹣1860°代入得：f（﹣1860°）＝cos（﹣1860°）＝cosα1860°＝cos（5×360°+60°）＝cos60°＝．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键．19．已知函数y＝a x（a＞1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值．（2）证明：f（x）+f（1﹣x）＝1．（3）求的值．【分析】（1）由函数的单调性可知a+a2＝20，进而求得a的值；（2）由（1）得到函数f（x）的解析式，化简即可得证；（3）利用倒序相加思想即可求解．【解答】解：（1）易知函数y＝a x（a＞1）在[1，2]上为增函数，于是a+a2＝20，解得a＝4；（2）证明：由（1）可知，，∴＝，得证；（3）设S＝，则由（2）可知，2S＝2020，故S＝1010．【点评】本题考查函数性质的运用，考查运算求解能力，属于基础题．20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少万元？【分析】（1）利用待定系数法确定出f（x）与g（x）解析式即可；（2）设设投资债券类产品x万元，则股票类投资为（20﹣x）万元，根据y＝f（x）+g（x）列出二次函数解析式，利用二次函数的性质判断即可得到结果．【解答】解：（1）设f（x）＝k1x，g（x）＝k2，由题意，可得f（1）＝0.125＝k1，g（1）＝k2＝0.5，则f（x）＝0.125x（x≥0），g（x）＝0.5（x≥0）；（2）设投资债券类产品x万元，则股票类投资为（20﹣x）万元，由题意，得y＝f（x）+g（20﹣x）＝0.125x+0.5（0≤x≤20），令t＝，则有x＝20﹣t2，∴y＝0.125（20﹣t2）+0.5t＝﹣0.125（t﹣2）2+3，当t＝2，即x＝16万元时，收益最大，此时y max＝3万元，则投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品4万元获得收益最大，最大收益为3万元．【点评】此题考查了函数模型的选择与应用，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．21．已知设函数．（1）求函数f（x）周期和值域．（2）求函数f（x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和值域，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：（1）∵函数＝2sin x+2cos x＝4（sin x+cos x）＝4sin（x+），∴函数f（x）的周期为2π，它的值域为[﹣4，4]．（2）对于f（x），令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，求得2kπ﹣≤x≤2kπ+，故函数的增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．再根据x∈[﹣2π，2π]，可得函数的增区间为[﹣2π，﹣]、[﹣，]、[，2π]．【点评】本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的周期性和值域，正弦函数的单调性，属于中档题．22．已知函数f（x）＝（log a x）2﹣log a x﹣2（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＝2时，求f（2）；（Ⅱ）求解关于x的不等式f（x）＞0；（Ⅲ）若∀x∈[2，4]，f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝2时，代入可求f（2）；（Ⅱ）由f（x）＞0得log a x＞2或log a x＜﹣1，分0＜a＜1与a＞1讨论即可求得不等式f（x）＞0的解集；（Ⅲ）若∀x∈[2，4]，f（x）≥4恒成立⇔（log a x）2﹣log a x﹣2≥4（2≤x≤4）恒成立，解得log a x≥3或log a x≤﹣2，分0＜a＜1与a＞1讨论即可求得答案．【解答】解：（Ⅰ）当a＝2时，求f（2）＝（log22）2﹣log22﹣2＝﹣2；（Ⅱ）由（log a x）2﹣log a x﹣2＞0得：log a x＞2或log a x＜﹣1．当0＜a＜1时，解得0＜x＜a2，或x＞．当a＞1时，解得x＞a2或0＜x＜；即当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜a2，或x＞}．当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＞a2或0＜x＜}；（Ⅲ）若∀x∈[2，4]，f（x）≥4恒成立，即∀x∈[2，4]，（log a x）2﹣log a x﹣2≥4恒成立，即（log a x）2﹣log a x﹣6≥0，解得log a x≥3或log a x≤﹣2，当0＜a＜1时，a3≥x max＝4（舍去）或≤x min＝2，解得≤a＜1；当a＞1时，同理解得1＜a≤综上所述，实数a的取值范围为[，1）∪（1，]．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查指数、对数不等式的解法，突出考查分类讨论思想与分析解决问题的能力，属于难题．。
海南省海南中学高一上学期期末考试(数学).doc
海南省海南中学高一上学期期末考试（数学）（2—）班级： 姓名： 座号： 分数：一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、120sin 的值是 （ ）A.21-B. 21C.23-D. 23 2、函数x x y cos sin =的周期是（ ）A ． 12π B ． π C ． 2π D. 4π3、如图1，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA BC AB ++等于( ) A ．−→−CD B ．−→−OC C ．−→−DA D ．−→−CO4、如果点)cos ,(tan θθP 位于第二象限，那么角θ所在象限是（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限5、已知平面向量)1,1(=→a ，)1,1(-=→b ，则向量→→-ba 2321的坐标是（ ） Ａ．(21)--， B ．(21)-， Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-， 6、将函数sin()3y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移3π个单位，最后所得到的图象对应的解析式是 （ ）Ａ1sin 2y x = B 1sin()22y x π=-CC1sin()26y x π=- D sin(2)6y x π=- 7、化简)10tan 31(50sin+的值为 ( ) A . 1 B . 1- C .21-D . 218、已知图2是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（ ） Ａ．10π116ωϕ==， Ｂ．10π116ωϕ==-，Ｃ．π26ωϕ==， Ｄ．π26ωϕ==-，9. 已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.[0,6π] B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6ππ10. 已知O 为原点，点B A 、的坐标分别为）（0,a ,),0(a 其中常数0>a ，点P 在线段AB 上，且AP =t AB (10≤≤t )，则·的最大值为 （ ）A .a B. 2a C. 3a D. 2a11、定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡156543021. 已知πβα=+，2πβα=-，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin （ ） A . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11 B . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-10 C . 10⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D . 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象。
2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷_Word版含答案
2016-2017学年第一学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|(1)0}M x x x =-=，那么A.0M ∈B.1M ∉C.1M -∈D. 0M ∉ 2．角90o化为弧度等于 A.3π B. 2π C. 4π D. 6π3．函数y =A.(0,)+∞B. ),1(+∞C. [0,)+∞D. ),1[+∞4.下列函数中，在区间(,)2ππ上为增函数的是A. sin y x =B. cos y x =C. tan y x =D. tan y x =-5．已知函数0x f (x )cos x,x ≥=<⎪⎩，则[()]=3f f π-A.12cos B. 12cos -C. 2D. 2±6．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点A. 向左平行移动1个单位长度B. 向右平行移动1个单位长度C. 向左平行移动π个单位长度D. 向右平行移动π个单位长度7．设12log 3a =，0.21()3b =，132c =，则A.c b a << .B.a b c << .C.c a b <<D.b a c <<8．动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间0t =时，点A 的坐标是1(,)22，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是 A. []0,1B. []1,7C. []7,12D. []0,1和[]7,12第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题纸上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．若00<>ααcos ,sin ，则角α在第____________象限． 10．函数2()2f x x x =--的零点是____________． 11．sin11cos19cos11sin19+oooo的值是____________． 12．函数()21f x x =-在[0,2]x ∈上的值域为____________．13．已知函数)0,0)(sin()(πϕϕ<<>+=A x A x f 的最大值是1，其图象经过点1(,)32M π，则3()4f π= ____________．14．已知函数()f x 是定义在[3,0)(0,3]-U 上的奇函数， 当(0,3]x ∈时，()f x 的图象如图所示， 那么满足不等式()21x f x ≥- 的x 的取值范 围是____________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,3,5}A =，{3,5,6}B =． （Ⅰ）求A B I ； （Ⅱ）求()U C A B U ．16．（本小题满分13分）求下列各式的值． （Ⅰ）11219()lg1002-+-；（Ⅱ）21113322(2)(6)a b a b -÷)3(6561b a -．17．（本题满分13分）已知2α3ππ<<，4sin 5α=-． （Ⅰ）求cos α的值； （Ⅱ）求sin 23tan αα+的值．已知二次函数2()1()f x ax x R =+∈的图象过点(1,3)A -． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）证明()f x 在)0,(-∞上是减函数．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 在区间已知元素为实数的集合S 满足下列条件：①0S ∉，1S ∉；②若a S ∈，则11S a∈-． （Ⅰ）若{2,2}S -⊆，求使元素个数最少的集合S ；（Ⅱ）若非空集合S 为有限集，则你对集合S 的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．9. 二； 10. 1,2-； 11. 12； 12. [1,3]-；13. 14. [3,2](0,1]--U ． 15．（本小题满分13分）已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,3,5}A =，{3,5,6}B =． （Ⅰ）求A B I ； （Ⅱ）求()U C A B U ．解：(Ⅰ) {3,5}A B =I ． ---------------------------------------------------5分 （Ⅱ）{4,6}U C A =，(){3,4,5,6}U C A B =U ．----------------------------------------------------13分求下列各式的值． （Ⅰ）11219()lg1002-+-；（Ⅱ）21113322(2)(6)a b a b -÷)3(6561b a -．（Ⅰ）解：原式=3+2-2 ------------------------------------------3分（每式1分）=3. ------------------------------------------------5分 （Ⅱ）解：原式=653121612132)]3()6(2[-+-+-÷-⨯ba--------------------11分（每式2分）=4a. -----------------------------------------------------------13分 17．（本题满分13分）已知2α3ππ<<，4sin 5α=-． （Ⅰ）求cos α的值； （Ⅱ）求sin 23tan αα+的值． 解：(Ⅰ)因为2α3ππ<<，4sin 5α=-， 故3cos 5α=-. -------------------------------------------------6分 （Ⅱ）sin sin 23tan 2sin cos 3cos αααααα+=+⨯. 4()4352()()3355()5-=⨯-⨯-+⨯-24425=-------------------------------------13分 18．（本小题满分14分）已知二次函数2()1()f x ax x R =+∈的图象过点(1,3)A -． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）证明()f x 在)0,(-∞上是减函数．解：(Ⅰ)Q 二次函数2()1()f x ax x R =+∈的图象过点(1,3)A -.∴31)1(2=+-a 即2=a∴函数的解析式为2()21()f x x x R =+∈-----------------------------------------6分（Ⅱ）证明：设x 1,x 2是)0,(-∞上的任意两个不相等的实数, 且x 1<x 2则210x x x ∆=->222121()()21(21)y f x f x x x ∆=-=+-+=22212()x x -=21212()()x x x x -+Q )0,(,21-∞∈x x0,021<<∴x x 021<+∴x x又210x x x ∆=->0))((22112<+-∴x x x x即0<∆y∴函数f(x)在)0,(-∞上是减函数.--------- -----------14分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 在区间解：（Ⅰ）因为2()cos cos f x x x x=+1cos 2222x x +=+112cos 2222x x =++1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数的周期为22T π==π． 由()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，解得33k x k πππ-≤≤π+．所以()f x 的单调递增区间为()[,]33k k k πππ-π+∈Z ．------------- 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 因为63x ππ-≤≤，所以2666x ππ5π-≤+≤．所以1111sin 2122622x π⎛⎫-+≤++≤+ ⎪⎝⎭．即()302f x ≤≤． 故()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值为32，最小值为0．---------------14分 20．（本小题满分13分）已知元素为实数的集合S 满足下列条件：①1，0S ∉；②若a S ∈，则11S a∈-． （Ⅰ）若{}2,2S -⊆，求使元素个数最少的集合S ；（Ⅱ）若非空集合S 为有限集，则你对集合S 的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确． 解：（(Ⅰ)()111121211211212S S S S ∈⇒=-∈⇒=∈⇒=∈----；()11131221312321132S S S S -∈⇒=∈⇒=∈⇒=-∈----，∴使{}2,2S -⊂的元素个数最少的集合S 为1132,1,,2,,232⎧⎫--⎨⎬⎩⎭．-------------5分（Ⅱ）非空有限集S 的元素个数是3的倍数． 证明如下：⑴设,a S ∈则0,1a ≠且1111111111a a S S S a S a a a a a-∈⇒∈⇒=∈⇒=∈----- ()*假设11a a =-，则()2101a a a -+=≠。
海南省海南中学2016-2017学年高一物理上学期期末考试试题
海南中学2016-2017学年度第一学期高一期末考试物理试卷(时间：90分钟 分数：100分)第Ⅰ卷（共38分）注：不能使用计算器，只交答题卷。
一、单项选择题：（本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的）1．一本书放在水平桌面上，针对书和桌面的受力有下列说法，正确的是:A ．书对桌面的压力就是书的重力B ．书受到的支持力、桌面受到的压力都是弹力C ．书受到的支持力与桌面受到的压力是一对平衡力D ．书的重力和桌面受到的压力是一对作用力与反作用力2．下列说法正确的是：A. 曲线运动是一种变速率运动B. 做曲线运动的物体的加速度一定不为零C. 做曲线运动的物体所受合力一定是变化的D. 平抛运动不是匀变速运动3．如图所示，电灯悬挂于两墙之间，更换绳OA ，使连接点A 向下移，但保持O点位置不变，则A 点向下移时，绳OA 的拉力：A.逐渐增大B.逐渐减小C.先增大后减小D.先减小后增大4. 如图所示，质量为m 的小球用水平弹簧系住，并用倾角为300的光滑木板AB 托住，小球恰好处于静止状态，当木板AB 突然向下撤离的瞬间，小球的加速度为：A. 0B. 大小为g ，方向竖直向下C. 大小为3/2g ，方向垂直木板向下D. 大小为g/3，方向垂直木板向下5.如图，人沿平直的河岸以速度v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。
当绳与河岸的夹角为α，船的速率为:A.sin v αB.sin v αC.cos v αD.cos v α 6．如图所示，n 个质量为m 的相同木块并列放在水平面上，木块跟水平面间的动摩擦因数为μ，当对1木块施加一个水平向右的推力F 时，木块加速运动，木块5对木块4的压力大小为:A ．FB ．4F ／nC ．F ／（n －4）D ．（n －4）F ／n二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。
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海南中学2016——2017学年第一学期期末考试高一数学试题（必修4）（考试时间：2017年1月；总分：150；总时量：120分钟）第一卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将所选答案填涂在答题卡相应位置．）1. 如果角α的终边经过点31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，那么tan α的值是（ ）A. 3-B. 33-C. 3D. 332. cos555︒的值为（ ） A.624+ B. 624- C. 624+- D. 264- 3. 化简 AB CD BD AC -+- 的结果是（ ） A.0 B.AC C. BD D. DA4. sin 20cos110cos160sin70︒︒+︒︒的值是（ ） A.0 B. 12- C. 1 D. 1-5. 已知三点()()()1,1,1,,2,5A B x C --共线，则x 的值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 6. 已知一扇形的圆心角是60︒，弧长是π，则这个扇形的面积是（ ） A. 3π B. 32π C. 6π D. 34π 7. 已知向量,a b 满足()2,3,1a b a b a ==•-=，则a b -=（ ）A 3B ．22C 7D 238. 已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()111cos ,cos 714ααβ=+=-，则角β=（ ） A. 3π B. 6π C. 512πD. 4π 9. 已知sin 11cos 2x x +=，则sin 1cos x x-的值是（ ） A.12 B. 2 C. 12- D. 2- 10. 两个粒子A ，B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为()()2,10,4,3A B s s ==,粒子B 相对粒子A 的位移是s ，则s 在B s 的投影是（ ）A ．135 B. 135- C. 135353 D. 135353-11. 动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。
已知时间0t =时，点A 的坐标是13(,22，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ） A ．[]0,1B ．[]1,7C ．[]7,12D ．[]0,1和[]7,1212. 若△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且 3450OA OB OC ++=，则 OC AB ⋅的 值为（ ） A. 15-B.15 C. 65- D.65海南中学2016——2017学年第一学期期末考试高一数学试题（必修4） 第二卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是____________.14．在ABC ∆中，5,8,60BC CA C ==∠=︒,则BC CA = .15.一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为 .16.设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin(2)12πα+的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本题满分10分）已知()()13sin ,sin 55αβαβ+=-=，求tan tan αβ的值.18. （本题满分12分）已知1e ，2e 是夹角为60°的单位向量，且122a e e =+，1232b e e =-+。
（Ⅰ）求a b ⋅；（Ⅱ）求a 与b 的夹角θ。
19. （本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
（Ⅰ）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （Ⅱ）设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。
20.（本题满分12分）（Ⅰ）请默写两角和与差的余弦公式（()(),C C αβαβ+-)，并用公式()C αβ-证明公式()C αβ+()():cos C αβαβ++= ；()():cos C αβαβ--= .（Ⅱ）在平面直角坐标系中，两点()()1122,,,A x y B x y 间的距离公式是：()()222121AB x x y y =-+-，如图，点()()11,0,cos ,sin A P αα，()()()()()()2cos ,sin ,cos ,sin P P ββαβαβ--++，请从这个图出发，推导出两角和的余弦公式（()C αβ+）（注：不能用向量方法）.21．（本题满分12分）已知函数2()23sin cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （Ⅱ）若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值。
22.已知向量22(cos sin ,sin )a x x x ωωω=-，(3,2cos )b x ω=，设函数()(R)f x a b x =⋅∈的图象关于直线2x π=对称，其中ω为常数，且(0,1)ω∈. （Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）若将()y f x =图象上各点的横坐标变为原来的16，再将所得图象向右平移3π个单位，纵坐标不变，得到()y h x =的图象， 若关于x 的方程()0h x k +=在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围.[0,]2海南中学2016——2017学年第一学期期末考试高一数学试题（必修4） 答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCADCBAADBDA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.3 14．20- 15. 27 16.17250三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本题满分10分）已知()()13sin ,sin 55αβαβ+=-=，求tan tan αβ的值. 17. 解：()1sin sin cos cos sin ,5αβαβαβ+=+=()3sin sin cos cos sin 5αβαβαβ-=-= ..................（4分）解得2sin cos 51cos sin 5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩...................（8分）两式相除，得tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-. ..................（10分） 18. （本题满分12分）已知1e ，2e 是夹角为60°的单位向量，且122a e e =+，1232b e e =-+。
（Ⅰ）求a b ⋅； （Ⅱ）求a 与b 的夹角θ。
18. 解：（Ⅰ）012121||||cos602e e e e ⋅==a b ∴⋅＝12(2)e e +⋅12(32)e e -+＝－612e ＋12e e ⋅＋222e ＝176222-++=-；...............（5分）（Ⅱ）222121122||(2)444217a e e e e e e =+=++=++=，222121122||(32)91249647b e e e e e e =-+=-+=-+=， ....................（9分）所以712cos 2||||77a b a b θ-⋅===-⨯，又θ[0,180]∈︒，所以θ＝120°。
............（12分）19.（本题满分12分） 解：（Ⅰ）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则 (2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-= 所以||210,||4 2.AB AC AB AC +=-=故所求的两条对角线的长分别为210、42. .......................（6分） （方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则: E （0，1）为B 、C 的中点，又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210； （Ⅱ）由题设知：OC =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++。
由(OC t AB -)·OC =0，得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=， 从而511,t =-所以115t =-。
.............................（12分） 或者：2· AB OC tOC =，(3,5),AB =2115||AB OC t OC ⋅==- 20.解：（本题满分12分）（Ⅰ）()():cos C αβαβ++= cos cos sin sin αβαβ- ；......（1分）()():cos C αβαβ--= cos cos sin sin αβαβ+ . ....................（2分） ()()()()():cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin C αβαβαβαβαβαβαβ++=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦.........................（4分） （Ⅱ）连接12,PA PP ,易知12OPA OPP ∆≅∆,故12PA PP =,从而 ................（6分）()()()()()()()()2222cos 1sin 0cos cos sin sin αβαβαβαβ+-++-=--+--（8分）即 ()22cos 22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ .......................（10分）所以 ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-. ............................（12分）21．（本题满分12分）已知函数2()23sin cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （Ⅱ）若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值。
21．解：由2()23sin cos 2cos 1f x x x x =+-，得2()3(2sin cos )(2cos 1)3sin 2cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+......（4分）（Ⅰ） 所以函数()f x 的最小正周期为π ..........................（5分） 因为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，又 (0)1,2,162f f f ππ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为-1. ......................（7分） 或者：7102sin(2)11()2sin(2)22666266x x x f x x ππππππ≤≤⇒≤+≤⇒-≤+≤⇒-≤=+≤由 所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为-1. （Ⅱ）解：由（1）可知00()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭又因为06()5f x =，所以03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭由0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 从而2004cos 21sin 2665x x ππ⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以0000343cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 66666610x x x x ππππππ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦............... （12分）22.已知向量22(cos sin ,sin )a x x x ωωω=-，(3,2cos )b x ω=，设函数()(R)f x a b x =⋅∈的图象关于直线2x π=对称，其中ω为常数，且(0,1)ω∈.（Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）若将()y f x =图象上各点的横坐标变为原来的16，再将所得图象向右平移3π个单位，纵坐标不变，得到()y h x =的图象， 若关于x 的方程()0h x k +=在区间[0,]2π上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围. 22．由直线2x π=是()y f x =图象的一条对称轴，可得()32k k z πππωπ+=+∈，即1()6k k z ω=+∈．又(0,1)ω∈，k z ∈，所以0k =，故16ω=.。