安徽省滁州市定远县育才学校2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题文20180612036

定远育才学校2017-2018学年第一学期期末考试高二数学（文科）试题考生注意：1.本卷分第I 卷和第II 卷，满分150分，考试时间120分钟。

答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标题涂黑。

3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卷上对应的答题区内。

第I 卷（选择题60分）一、选择题1. 已知n m ,表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是 A ．若,//,//ααn m 则n m // B ．若,,αα⊂⊥n m ，则n m ⊥ C ．若,,n m m ⊥⊥α则α//n D ．若,,//n m m ⊥α，则α⊥n2.一空间几何体的三视图如图所示, 该几何体的体积为35812+π，则正视图中x 的值为（ ）侧视图俯视图正视图A.5B.4C.3 D ．23. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（ ）A ．53 B ．2 C ．52D ．3 4.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（ ）A. 4+3+4+3+5.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为36π，那么这个正三棱柱的底面边长是（ ）6.如图所示，正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为，E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE所成的角为A. B. C. D.7.a b c 、、 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题： ①a c ab bc ⎫⇒⎬⎭ ；②b a a b γγ⎫⇒⎬⎭ ；③a c a c ββ⎫⇒⎬⎭；④a a γββγ⎫⇒⎬⎭ ；⑤c a a c αα⎫⇒⎬⎭ ；⑥a a αγαγ⎫⇒⎬⎭其中正确的命题是( )A. ①②③B. ①④⑤C. ①④D. ①③④8.某几何体的正视图、俯视图和侧视图中，某条棱的投影长分别为，则该条棱的长度为( ) A. B. C.D.9. 如图正方形1A BCD 折成直二面角A BD C --，则二面角A CDB --的余弦值为（ ）A. 13B. 3C. 12D. 210.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）．A. B. C. D.11.过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 作直线l ，使直线l 分别与1,,AB AD AA 三条棱所成的角都相等，则这样的直线l 有（ ）条 A. 1 B. 2 C. 3 D. 412. 在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为BC 的中点， F 为11B C 的中点，则异面直线AF 与1C E 所成角的正切值为（ ）23第II 卷（非选择题）二、填空题13. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于____.14.底面为正三角形的直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各棱长都为1，M,N 分别为CC 1，BB 1的中点，则点N 到面A 1BM 的距离为__________．15.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中''''1B O C O ==， ''A O =,则原△ABC 的面积为_______16. 已知直线,l m 平面,αβ且l ⊥a ， m β⊂，给出下列四个命题： ①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β； ③若α⊥β，则l ∥m ；④若l ∥m ，则α⊥β 其中正确的命题有_________三、解答题17.如图所示的立体图形中，A B A F ''=，2BE EF ==．（Ⅰ）证明：AE'⊥BF ；（Ⅱ）若60BEF ∠=，2A E B ''==，求二面角A EF C '--的余弦值．18.如图，平面五边形ABCDE 中， AB ∥，2,60,AE AEC CD ED =∠==57cos EDC ∠=.将CDE ∆沿CE 折起，使点到的位置，且AP =P ABCE -.（1）求证： AP ⊥平面ABCE ；（2）记平面PAB 与平面PCE 相交于直线l ，求证：∥l .19.在长方体1111ABCD A BC D -中，4AB =， 2AD =， 12AA =，点E 在棱AB 上移动.（Ⅰ）当1AE =时，求证：直线1D E ⊥平面11A DC ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求11111:C A DE C A D D V V --的值.20.如图，在三棱锥ABOC 中， AO ⊥平面B O C ， 6OAB OAC π∠=∠=，2AB AC ==， BC = ,D E 分别为,AB OB 的中点．(19)(I)求O 到平面ABC 的距离；(II)在线段CB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ∥平面AOC ，若存在，试确定F 的位置，并证明此点满足要求；若不存在，请说明理由．21.如下图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C⊥底面ABC ， 112,AA AC AC AB BC ====,且AB BC ⊥,O 为AC 中点.（Ⅰ）证明： 1AO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求直线1AC 与平面1A AB 所成角的正弦；（Ⅲ）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置.22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥， 1AC BC CC ==， M N 、分别是111A B B C 、的中点。

（Ⅰ）求证： 1MN A BC ⊥平面；（Ⅱ）求直线BC １和平面1A BC 所成角的大小．定远育才学校2017-2018学年第一学期期末考试高二数学（文科）试题答案一、选择题1.B2. C3.B4. A5. C6. C7.C8. A9.B 10.C 11.D 12.C二、填空题 13. 90°14.416. ①④ 三、解答题 17.（Ⅰ）证明：在图2中取BF 的中点O ， 连接A O '，EO ，因为A B A F ''=，所以BF A O '⊥， 又因为BE EF =， 所以BF EO ⊥，因为A O EO O '= ，所以BF ⊥平面A EO '，而A E '⊂平面A EO '，所以AE'⊥BF ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知BF A O '⊥，BF EO ⊥，因为2BE EF ==，60BEF ∠=，所以2BF =，因为2A E B ''=，所以A B A F ''==所以A BF '∆为等腰直角三角形，且1A O '=，EO = 所以A O EO '⊥，以O 为原点，直线OE ，OF ，OA '分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0)O，E ，(0,1,0)F ，(0,0,1)A '，所以(,0,1)EA '=，(,0)EF = ，可求得平面A E F '的一个法向量为(3)n =， 易知(0,0,1)m =是平面BEF 的一个法向量，所以cos ,7m n m n m n⋅<>===⨯， 因为二面角A EF C '--为锐角，故二面角A EF C '--的余弦值为7．18.（1）在CDE ∆中，∵CD ED == 5cos 7EDC ∠=，由余弦定理得2CE =. 连接AC ，∵2,60,2AE AEC AC =∠=∴=.又∵AP =PAE ∆中， 222PA AE PE +=，即AP AE ⊥.同理， AP AC ⊥， ,AC AE ⊂平面ABCE ， A AC AE ⋂=，故AP ⊥平面ABCE . （2）∵AB ∥CE ，且CE ⊂平面PCE ， AB ⊄平面PCE ， ∴AB ∥平面PCE ，又平面PAB ⋂平面PCE l =，∴AB ∥l . 19.（Ⅰ）证明：连接1AD 因为四边形11AA D D 为正方形，所以11A D AD ⊥， 又AB ⊥平面11ADD A ， 1A D ⊂平面11ADD A ， 所以1A D AB ⊥，又1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1AED ，所以11A D D E ⊥.在DC 上取一点N ，使1DN =，连接1D N ， EN ， 易证11D DN DCC ~ ，所以11DC D N ⊥， 又1EN DC ⊥， 1D N EN N ⋂=， 所以1DC ⊥平面1D NE ，所以11D E DC ⊥，又11D E A D ⊥，且11A D DC D ⋂=，所以1D E ⊥平面11A DC . （Ⅱ）因为11111:C A DE C A D D V V --= 11111:E A DC D A DC V V --， 且两个三棱锥的底面相同，所以体积比等于相应的高之比.13D E ==，设点1D 到平面11A DC 的距离为h ，由11111C A D D D A DC V V --=，可得114232⨯⨯⨯ 11232h ⨯=⨯⨯ ⨯43h =， 故点E 到平面11A DC 的距离为45333-=，所以1111:C A DE CA D DV V --= 111115:4E A DC D A DC V V --=.20.(I)因为AO ⊥平面 COB ，所以,AO CO AO BO ⊥⊥，即AOC 与AOB 为直角三角形．又因为6OAB OAC π∠=∠=, 2AB AC ==所以1OB OC ==. AO =由222112OB OC BC +=+==,可知BOC 为直角三角形．所以CO BO ⊥，所以12BOC S = ,12ABC S == 设O 到平面ABC 的距离为h ，由于A BOC O ABC V V --=，得11?33S BOC S ABC h = ，解得7h = (II)在线段CB 上存在一点F ，使得平面DEF 平面AOC ，此时F 为线段CB 的中点． 证明过程：如图，连接,DF EF ，因为,D E 分别为,AB OB 的中点，所以DE OA . 又DE ⊄平面AOC 上，所以DE 平面AOC .因为,E F 分别为,OB BC 的中点，所以EF OC .又EF ⊄平面AOC ，所以EF 平面AOC ，又,EF DE E EF ⋂=⊂平面DEF ， DE ⊂平面DEF ，所以平面DEF ∥平面AOC .21.(Ⅰ)证明:因为11A A AC =,且O 为AC 的中点,所以1AO AC ⊥又由题意可知,平面11AAC C ⊥平面ABC ,交线为AC ,且1AO ⊂平面11AAC C , 所以1AO ⊥平面ABC(Ⅱ)如图,以O 为原点, 1,,OB OC OA 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系.由题意可知, 112,A A AC AC ===又,AB BC AB BC =⊥ 1,1,2OB AC ∴==所以得: ()()(()(()110,0,0,0,1,0,,0,1,0,,1,0,0O A A C C B - 则有: ((()110,1,,,1,1,0.AC AA AB ===设平面1AA B 的一个法向量为(),,n x y z =,则有10{ { 00n AAy x y n AB ⋅==⇔+=⋅= ,令1y =,得1,x z =-=所以1,x z =-=111cos ,n AC n AC n AC ⋅==因为直线1AC 与平面1AA B 所成角θ和向量n 与1AC 所成锐角互余,所以sin θ=(Ⅲ)设()0001,,,,E x y z BE BC λ==即()0001,,,,E x y z BE BC λ== ,得0001{2 x y z λλ=-==所以()1,2,E λλ=-得()1,2,OE λλ=- 令//OE 平面1AA B ,得0OE n ⋅=,即120,λλλ-++-=得1,2λ=即存在这样的点E,E 为1AC 的中点22.（I ）证明：由已知1,,BC AC BC CC ⊥⊥ ∴BC ⊥平面11ACC A连接1AC ，则1BC AC ⊥由已知，侧面11ACC A 是正方形，所以11AC AC ⊥又∵1BC AC C ⋂=∴1AC ⊥平面1A BC∵侧面11ABB A 是正方形， M 是1A B 的中点 ∴连接1AB ，则点M 是1AB 的中点又∵点N 是11B C 的中点 ∴MN 是11AB C ∆的中位线 ∴MN ∥1AC∴MN ⊥平面1A BC（Ⅱ）设1AC 与1AC 相交于点D ，连接BD ∵1AC ⊥平面1A BC∴1C BD ∠为直线1BC 和平面1A BC 所成角 设1AC BC CC a ===，则11,.2C D a BC ==在11111,sin ,2C DRt BDC C BD BC ∠∆==中∴130C BD ∠=︒， 故直线1BC 和平面1A BC 所成的角为30°。