单纯形法表格形式共138页
合集下载
第三节 单纯形法
θi 32.5 40 25
5 7. 5
注意：单纯形法中， 注意：单纯形法中， 1.每一步运算只能用矩阵初等行 1.每一步运算只能用矩阵初等行 变换； 变换； 2.表中第3列的数总应保持非负 2.表中第 表中第3 （≥ 0）； 3.当所有检验数均非正（≤ 0） 3.当所有检验数均非正 当所有检验数均非正（ 得到最优单纯形表。 时，得到最优单纯形表。
8
1.初始单纯形表： 1.初始单纯形表： 初始单纯形表
CB XB b b1 b2 ┇ bm f
m
cn+1 xn+1 cn+2 xn+2 ┇ ┇ cn+m xn+m m -z
c1 x1 a11 a21 ┇ am1 σ1
… … … … ┇ … …
cn xn a1n a2n ┇ amn σn
m
cn+1 xn+1 1 0 ┇ 0 m 0
-z
15
在最优单纯形表中，非基变量的检验数不 在最优单纯形表中， 是正数,于是得到最优解为X 是正数,于是得到最优解为X*=(15,10,0,0,45)T 最优目标值为z =32500。注意到非基变量x 最优目标值为z*=32500。注意到非基变量x4 的检验数是0 如果选x 为进基变量， 的检验数是0，如果选x4为进基变量，迭代 还可以进行下去，但是最优值不会增大， 还可以进行下去，但是最优值不会增大， 而只有最优解改变，这就是多解的情况。 而只有最优解改变，这就是多解的情况。 下面再迭代一步，如表2 所示。 下面再迭代一步，如表2-9所示。
19
解：单纯形法求解过程如下表。 单纯形法求解过程如下表。
CB XB
0 0 0 -z 7 0 0 -z x1 x6 x7 x5 x6 x7
单纯型表格算法PPT课件
第23页/共38页
§4 如何选择支点列 （4）
当选中s列作为支点列时，其新费用减少值为*（zs－cs）,其 中，*是新基础解中as的系数。（∵as=(vr)’）,我们有：
*=t’r0=tr0/trs
如果，旧费用为z0,新费用为z’0，则有
z’0= z0－
tr0
(39)
对于原扩充表格：[T；U]=M－1[A，b；I]，显然缺少一些信 息，即检验数信息，现可把它放在表格最后一行：
AX=b，X≥0，CTX=min (1) 如果b是A的不少于m列的线性组合，则称非退化形式。设从 阶段2开始计算，即设已获得初始可行解X（这需阶段1，而 寻找第1个初始可行解亦需用到阶段2算法）。
第2页/共38页
§1 与基础解对应的单纯型表格（2）
设已有一个基础可行解X，只依赖于m列aj(j=1,…,m)，
第26页/共38页
§4 如何选择支点列 （7）
加进判断行后，表格变为：
t11
……
t1n
t10
u11
tm1
……
tmn
tm0
um1
z1－c1 …… zn－cn
z0
y1
判断行之计算：
新判断行=旧判断行-0乘支点行 0=（zs－cs）/trs
证明从略。
……
u1m
……
umm
……
ym
(44)
(45)
第27页/共38页
A’X’=b’，X’≥0，C’TX’=min
第28页/共38页
§5 举例 （2）
其中， A’=
，（X’)T=(x1，x2，x3，s1，s2)
b’=
(C’)T=(0 0 0 1 1)
现在变成求新规划最优解问题，显然，此规划的第1个基础可
§4 如何选择支点列 （4）
当选中s列作为支点列时，其新费用减少值为*（zs－cs）,其 中，*是新基础解中as的系数。（∵as=(vr)’）,我们有：
*=t’r0=tr0/trs
如果，旧费用为z0,新费用为z’0，则有
z’0= z0－
tr0
(39)
对于原扩充表格：[T；U]=M－1[A，b；I]，显然缺少一些信 息，即检验数信息，现可把它放在表格最后一行：
AX=b，X≥0，CTX=min (1) 如果b是A的不少于m列的线性组合，则称非退化形式。设从 阶段2开始计算，即设已获得初始可行解X（这需阶段1，而 寻找第1个初始可行解亦需用到阶段2算法）。
第2页/共38页
§1 与基础解对应的单纯型表格（2）
设已有一个基础可行解X，只依赖于m列aj(j=1,…,m)，
第26页/共38页
§4 如何选择支点列 （7）
加进判断行后，表格变为：
t11
……
t1n
t10
u11
tm1
……
tmn
tm0
um1
z1－c1 …… zn－cn
z0
y1
判断行之计算：
新判断行=旧判断行-0乘支点行 0=（zs－cs）/trs
证明从略。
……
u1m
……
umm
……
ym
(44)
(45)
第27页/共38页
A’X’=b’，X’≥0，C’TX’=min
第28页/共38页
§5 举例 （2）
其中， A’=
，（X’)T=(x1，x2，x3，s1，s2)
b’=
(C’)T=(0 0 0 1 1)
现在变成求新规划最优解问题，显然，此规划的第1个基础可
单纯形法(2表格形式)
迭代。 确定入基变量 确定出基变量 用入基变量替换出基变量，得到一个新的基； 对应这个基可以找到一个新的基可行解； 并画出一个新的单纯形表。
迭代 次数
基
CB
x1
x2
x3
x4
x5
b
比值
2
1
0
0
0
0
x3
0
0
5
1
0
0
15
-
x4
0
6
2
0
1
0
24
24/6
x5
0
1
1
0
0
1
5
5
zj
0
0
0
0
0
Z=0
j= cj -zj
1
0
0
1
5
5
zj
0
0
0
0
0
Z=0
j= cj -zj
2
1
0
0
0
§5.2单纯形法的表格形式
迭代次数
基
CB
x1
x2
x3
x4
x5
b
比值
2
1
0
0
0
0
x3
0
0
5
1
0
0
15
-
x4
0
6
2
0
1
0
24
24/6
x5
0
1
1
0
0
1
5
5
zj
0
0
0
0
0
Z=0
j= cj -zj
2
1
0
0
迭代 次数
基
CB
x1
x2
x3
x4
x5
b
比值
2
1
0
0
0
0
x3
0
0
5
1
0
0
15
-
x4
0
6
2
0
1
0
24
24/6
x5
0
1
1
0
0
1
5
5
zj
0
0
0
0
0
Z=0
j= cj -zj
1
0
0
1
5
5
zj
0
0
0
0
0
Z=0
j= cj -zj
2
1
0
0
0
§5.2单纯形法的表格形式
迭代次数
基
CB
x1
x2
x3
x4
x5
b
比值
2
1
0
0
0
0
x3
0
0
5
1
0
0
15
-
x4
0
6
2
0
1
0
24
24/6
x5
0
1
1
0
0
1
5
5
zj
0
0
0
0
0
Z=0
j= cj -zj
2
1
0
0
单纯形表.ppt
Z c1x1 ... cm xm cm1xm1 ... cn xn 0
单纯形表
- Z x1基x变2量..X.Bxm
0 1
0
1E 单位...阵....
0
1
1 c1 c20... cm
xm非基1.变..量. XxNn
a1m1 ...a1n a 2 m 1N...a 2 n ......非基阵
15
0 0
x
x4 5
24 5
c z
j
j
2 1 000
xxxx x
1
2
3
4
5
0 5 100 6 2 010 1 1 001
2 1 000
正检验数对应 的列为主列
单纯形表复习小结
• 求解思想－－
•
顶点的逐步转移，
•
条件是
• 使目标函数值不断得到改善。
18
表格单纯形法求解步骤
第一步：将LP化为标准型，并加以整理。
进基变量对应的系数列称为主元列。
（2）出基变量的确定——按最小比值原则确定出基 变量，为的是保持解的可行性；
出基变量所在的行称为主元行。 主元行和主元列的交叉元素称为主元素。
练习:
一般主列选择正检验数中最大者对应的 列,也可选择其它正检验数的列.以第2列
为主列,用单纯形法求解。
c j
CX
B
B
b
0
x 3
a' imk
0
bl' a'
lmk
c j
2
CX
B
B
b
x1
c1 x1 b '1
cm xm bm'
1 C0
第三章单纯形法 (1)
由此知关于 B 的基本可行解 x
(0)
(0, 0, 6,8)T ，相应目标函数值为 cT x 0 =0。
若取 B (a1 , a2 ) ，则 N (a3 , a4 ) ，
2 / 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 4/3 1 0 1 B 1 ，B N ，b B b 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 14 / 3 4/3 1 z0 c T B B b ( 1, 3) 46 / 3 14 / 3 2 / 3 1/ 3 T 1 T rN cT B B N c N ( 1, 3) (0, 0) (5 / 3, 2 / 3) 1/ 3 1/ 3
使 c d c B d B c N d N cB ak ck rk 0 ，根据第二章定理 2.1.1 知(LP)无下界。
T T T T 0
我们再考虑存在 i {1, , m} ，使 aik 0 的情况。
0
现在我们先设(LP)是非退化的。这时， b (b1 , b2 , , bm ) B b 0 。为保证 x 的可行性，只要
(1.1.4)
则 rB 0 ， rN c B B N c N ，并且 r 对应非基变量的分量 rj c B B a j c j c B a j c j ( j I N )。我 们称 r 为关于 B 的检验向量， rj 为 x j 关于 B 的检验数。于是，(LP)关于基 B 的典式(1.1.3)可具体表示为
0
c T x z z0 r j x j z 0 c T x 0
jI N
由此得 x 即(1.2.1)是(LP)的最优解，又由 z0 c x 得 z 0 是(LP)的最优值。证毕。
(0)
(0, 0, 6,8)T ，相应目标函数值为 cT x 0 =0。
若取 B (a1 , a2 ) ，则 N (a3 , a4 ) ，
2 / 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 4/3 1 0 1 B 1 ，B N ，b B b 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 14 / 3 4/3 1 z0 c T B B b ( 1, 3) 46 / 3 14 / 3 2 / 3 1/ 3 T 1 T rN cT B B N c N ( 1, 3) (0, 0) (5 / 3, 2 / 3) 1/ 3 1/ 3
使 c d c B d B c N d N cB ak ck rk 0 ，根据第二章定理 2.1.1 知(LP)无下界。
T T T T 0
我们再考虑存在 i {1, , m} ，使 aik 0 的情况。
0
现在我们先设(LP)是非退化的。这时， b (b1 , b2 , , bm ) B b 0 。为保证 x 的可行性，只要
(1.1.4)
则 rB 0 ， rN c B B N c N ，并且 r 对应非基变量的分量 rj c B B a j c j c B a j c j ( j I N )。我 们称 r 为关于 B 的检验向量， rj 为 x j 关于 B 的检验数。于是，(LP)关于基 B 的典式(1.1.3)可具体表示为
0
c T x z z0 r j x j z 0 c T x 0
jI N
由此得 x 即(1.2.1)是(LP)的最优解，又由 z0 c x 得 z 0 是(LP)的最优值。证毕。
第五章 单纯形法
➢ 3、那有没有办法在求出解之前保证我 们取得的基为可行基？
➢ 解决办法：保证右端项非负，找到一个 单位矩阵，必定是一个可行基。
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 如范例系数阵：
右端项非负
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 400 0 1 0 0 1 250
存在3阶单位阵 （初始可行基）
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 如令x1＝0，x2＝0，则 ➢ x3＝300，x4＝400，x5＝250 ➢ 可得到解（0，0，300，400，250）
一、问题的提出
➢ 又如：令x3＝0，x5＝0， ➢ 由约束条件： ➢ x1+x2+x3＝300 ➢ 2x1+x2+x4＝400 ➢ x2+x5＝250 ➢ 可得到解（50，250，0，50，0）
27500-50x3-50x5
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 典式Z= 27500-50x3-50x5
➢ 如果x3增加1，Z会怎样？ ➢ 答案：Z减少50。 ➢ 如果x5的值增加1，Z会怎样？ ➢ 答案：Z减少50 。 ➢ 可见要使Z增加，只有使x3和x5减少。
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ x3，x5的取值是否有减少的可能？ ➢ 分析：该解中非基变量 x1，x2的取值为
一、问题的提出
❖ 线性规划解的集合关系：
基
可
本最
基
行
可优
本
解
行解
解
解
一、问题的提出
❖显然，将搜索范围控制在基本可行 解内，将大大减少搜索工作量。
❖但是，即使取得一个基，得到的解 还不一定可行。
❖如何才能保证取得一个可行基呢？
一、问题的提出
➢ 解决办法：保证右端项非负，找到一个 单位矩阵，必定是一个可行基。
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 如范例系数阵：
右端项非负
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 400 0 1 0 0 1 250
存在3阶单位阵 （初始可行基）
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 如令x1＝0，x2＝0，则 ➢ x3＝300，x4＝400，x5＝250 ➢ 可得到解（0，0，300，400，250）
一、问题的提出
➢ 又如：令x3＝0，x5＝0， ➢ 由约束条件： ➢ x1+x2+x3＝300 ➢ 2x1+x2+x4＝400 ➢ x2+x5＝250 ➢ 可得到解（50，250，0，50，0）
27500-50x3-50x5
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 典式Z= 27500-50x3-50x5
➢ 如果x3增加1，Z会怎样？ ➢ 答案：Z减少50。 ➢ 如果x5的值增加1，Z会怎样？ ➢ 答案：Z减少50 。 ➢ 可见要使Z增加，只有使x3和x5减少。
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ x3，x5的取值是否有减少的可能？ ➢ 分析：该解中非基变量 x1，x2的取值为
一、问题的提出
❖ 线性规划解的集合关系：
基
可
本最
基
行
可优
本
解
行解
解
解
一、问题的提出
❖显然，将搜索范围控制在基本可行 解内，将大大减少搜索工作量。
❖但是，即使取得一个基，得到的解 还不一定可行。
❖如何才能保证取得一个可行基呢？
一、问题的提出
线性规划-单纯形法
函数值增大，故要选检验数大于0的非基变量换到基变量中（称 之为入基变量）。若有两个以上的 σj＞0，一般选其中的 σj最大 者 本例中σ2=100
选x2为入基变量。
2. 出基变量的确定
要在原来的3个基变量s1，s2，s3中确定一个出基变量 如果把s3作为出基变量，则新的基变量为x2，s1，s2，
x2 +s1=300，
bj 350 125 350 125
s3
zj
0
2
-2M
1
-M
0
M
0
M
1
0
0
600
300
0 -M -M
σj=cj-zj
-2+2M -3+M -3+M -M 0
0
0
-475M
cB a1 1 x1 -M -2
x1
x2
s1
s2
s3
a1
a2
-2
0 1
-3
1 0
0
-1 0
0
1 -1
0
0 0
-M -M
1 0 -1 1
x1 10
3 5 5 10
x2 9
2 5 6 9
x3 4
4 1 3 4
x4 6
2 3 1 6
x5 0
1 0 0 0
x6 0
0 1 0 0
x7 0
0 0 1 0
bj
bj/aj1
70 70/3 60 60/5 25 25/5
0
σj=cj-zj
cB x5 x6 x1 0 0 10
x1 10
0 0 1 0
z1 z0 j x j
jJ
x j≥ 0 j ≤0
选x2为入基变量。
2. 出基变量的确定
要在原来的3个基变量s1，s2，s3中确定一个出基变量 如果把s3作为出基变量，则新的基变量为x2，s1，s2，
x2 +s1=300，
bj 350 125 350 125
s3
zj
0
2
-2M
1
-M
0
M
0
M
1
0
0
600
300
0 -M -M
σj=cj-zj
-2+2M -3+M -3+M -M 0
0
0
-475M
cB a1 1 x1 -M -2
x1
x2
s1
s2
s3
a1
a2
-2
0 1
-3
1 0
0
-1 0
0
1 -1
0
0 0
-M -M
1 0 -1 1
x1 10
3 5 5 10
x2 9
2 5 6 9
x3 4
4 1 3 4
x4 6
2 3 1 6
x5 0
1 0 0 0
x6 0
0 1 0 0
x7 0
0 0 1 0
bj
bj/aj1
70 70/3 60 60/5 25 25/5
0
σj=cj-zj
cB x5 x6 x1 0 0 10
x1 10
0 0 1 0
z1 z0 j x j
jJ
x j≥ 0 j ≤0
单纯形法
XB =B-1b-B-1NX N 代入目标函数，使目标函数用非基变量
表示，即：
Z=cT X=(cTB
cTN) XB XN =cTBXB +cTN XN =cTB (B-1b-B-1NXN )+cTN XN
=cTBB-1b+(cTN -cTBB-1N)XN cBT B-1b+σNXN cBT B-1b+(σm+1,σm+1,
Z=CTBB-1b+(σm+1 ,
σm+k ,
xm+1
σ
n
)
CTB B-1b+σ m+k
xn
因为 m+k 0, 故当λ→+∞时，Z→－∞。
18
表格单纯形法
B
N
b
CBT
CNT
I
B-1N
B-1b
0
CNT -CBT B-1N
19
可将这些重要结论的计算设计成如下一个简单的表格， 即单纯形表来完成：
min z=－6x1－4x2
x3 =100－2x1－3x2
+x4 =120－4x1－2x2
令 有 则有：
XN=(0,0)T XB=(100,120)T X（1）=（0，0，100，120）T为对应于基B1的基可行解。
问：
X（1）是否最优呢？——否
因为： x1和x2在目标函数中的系数为正，当x1↑，z ；x2↑，z 。
础上寻找一个新的基本可行解，并使目标函数值有所改善。
具体做法是：
先从检验数为负的非基变量中确定一个换入变量，使它从非基
单纯形解法表格形式
线性规划单纯形解法的表格形式教学目标1. 回顾单纯形解法基本思路的基础上，理解单纯形解法表格形式的得出过程；2. 理解单纯形表的得出过程基础上，学会用单纯形解法表格形式解决以下特殊形式的线性规划问题： m i n CXs.t. b AX ≤ (*) 0≥X教学重点难点教学重点1. 引导学生理解为什么把矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛------b B C AB C C b B A B B B 1111作为单纯性表; 2. 引导学生体会在计算过程中,如何运用初等变换的方法获得单纯形表; 3. 在用单纯形解法表格形式求解线性规划问题时, (1).如何找到初始单纯形表;(2).当检验数有负值时,进基变量与离基变量的选择. 教学难点1. 引导学生理解为什么把矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛------b B C AB C C b B AB B B 1111作为单纯性表; 2. 引导学生理解为何选择(*)这种特殊形式的线性规划问题入手进行研究; 3. 引导学生思考探寻(*)这种特殊形式的线性规划问题的初始单纯形表形式.教学方法设计和教学过程设计（1）采用引导学生自主思考,师生共同互动的方式来推进课堂.（2）教学过程从”已知”向”未知”推广,迁移运用高等代数解线性方程组的思想方法来寻找单纯形表;同时通过穿插对单纯形法思想方法的回顾,完善单纯形表,从而得到单纯形表表格形式的解题方法.（3）在学生理解单纯形表法表格形式解题方法之后,教学过程从理论向实践过渡,首先引导学生从”特殊”到”一般”,发现(*)特殊形式的线性规划问题,然后和学生一起实践单纯形解法表格形式求解线性规划问题.教学内容回顾1. 线性规划问题标准形式: m i n CXs.t. b AX ≡ (*) 0≥X 2. 线性规划单纯形解法步骤：（1） 最优解检验：检验数A B C C B 1--≡λ若0≥λ，令非基变量为零，目标函数值最小，相应的基可行解为最优解，目标函数值为最优值；若存在某个0<k λ，再判断K K A B Y 1-=.（2） 基可行解的转换：若0≤K Y ，目标函数值无限减小，没有下界，原线性规划问题无最优解；否则，进行基转换。
单纯形表 PPT课件
5
4
0
0
0
0
0
x3
(1)
3
5
1
0
0 15
x4
(
0
5
x5
(3)
2
2
0
0
1 11
Z1
(0) 0
x3
(1) 0
3/2 0 7/2 1
-5/2 0 -3/2 0
2155//22
1
x1
(2) 1
1/2 0 1/2 0
5/2
x5
(3) 0
1
0
-1
1
6
6
第二次迭代
在新的单纯形表中进行最优性检验---检验数仍有大于零的所以此表不是最优 表，进行第二次迭代：确定入基变量—作右端项和入基变量列的比值---通过 最小比值确定出基变量---圈出主元---做初等变换----建立新的单纯形表。
基变量
x1
x2
x3
x4 右端项
z
4
1
0
0
表1
x3
1
2
1
0
11
x4
2
-2
0
1
4
11
单纯形表例题
基变量 x1
x2
x3
x4 右端项 比值
表1
z
4
1
0
0 所有2检6 验数全部
x3
1
2
1
0 非正1，1 故已得11 最
x4
2
-2
0
1
4优解 2
z
0
5
0
-2
18
表2
x3
0
3
1