第5章 仿真用的概率概念

• 变化系数：标准差与平均值的比值，反映了随机数偏离平均值的
x x E X f x dx E f x dx E X 变化程度。变化系数= D X X
2 2 2
E X 2 E X

2
随机变量、概率函数、随机数
随机变量、概率函数、随机数
2001.9.10
连续型随机变量的数字特征
• 平均值：设X为随机变量，其概率密度函数为 f (x)，则该随机变量 的平均值m为：

m

x f x dx
2
平均值又称为数学期望。 • 数学方差
2
D X E X i E X
2
数学方差反映了各个随机变量的采样值偏离平均值的平均程度 D X E X i E X x E X f x dx
X P{X=Xi} x0 P0 x1 P1 x2 P2
n
… …

… …
xn Pn
… …
其中 Pn 0 , n 1,2,, • 数学方差
P
n 1

1 记 E X X x Pi
i 0
，称为X 的平均值。
DX EX i EX
2
2 2 数学方差反映了各个随机变量的采样值偏离平均值的平均程度 D X E X i E X X i E X Pi i 0 • 变化系数：标准差与平均值的比值，反映了随机数偏离平均值的 2 2 2 2 X i P E X 变化程度。变化系数=i D X E XE X E X i 0
第五章 仿真用的概率概念
§1 随机变量、概率函数、随机数 §2 均匀的连续分布随机数及其生成 §3 各种离散分布随机数的产生
§4 非均匀的连续分布随机数及其产生
仿真用的概率概念
2001.9.10
确定性活动与随机活动
确定性活动：是可以事先预言的，即在准确地重复一定的条件
下，其变化的结果总是确定的，或者根据其过去的状态，相同的 条件下可以预言将来的发展变化，我们把这一类活动称为确定性 对于随机性活动进行研究所利用的数学工具是概 活动。确定性活动的主要特征是活动的运动可以用一个确定的数 学形式来描述：f(t)，或是数学函数，或是数学图表等。 率论及数理统计对于实际系统中随机活动进行研 究时，往往由于众多的随机因素使得数学描述和 随机性活动：其变化的结果是事先不可预言的，即在相同的条 分析变得十分困难，这时我们往往求助于计算机 件下进行重复实验，每次结果未必相同，或者是知道其过去的状 况，在相同的条件、未来的发展事先都不能确定，这一类活动我 仿真。仿真为这类复杂的随机系统的研究提供了 们称为随机性活动。随机性活动的主要特征是这类活动的描述可 一个方便有效的手段。 以通过数学统计的方法描述。
F x
xi
P X
Xi
xi
P
i
其中 Pi 为X 取值X i 的概率。 0 F x 1 由定义可见 当x<y时，F(x)≤F(y)，即F(x)是个单调增加的函数。
随机变量、概率函数、随机数
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连续型随机变量
定义
定义：若存在非负函数 f (x)，使得随机变量X取值于任一 区间(a，b)的概率为 P(a<x≤b)=
模值：xmax x, f xmax max f x 中间值：xm x, F xm 0.5
x
在x=1处时 f(x) 均达到峰值，则x=1就是随机变量的模值。 中间值：Xm=1.6783469
随机变量、概率函数、随机数
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数理统计中的基本运算规则
• R ，X一随机变量，则 E(αX)= αE(X)
• X，Y为两个相互独立的随机变量，则 E( X+Y )= E(X)+ E(Y) • R ，X一随机变量，则 • R ，X一随机变量，则 D(αX)= α2D(X) D(X +α)= D(X)
• X，Y为两个相互独立的随机变量，则 D( X+Y )= D(X)+ D(Y)
随机变量、概率函数、随机数
• 随机数表：利用物理过程可以得到大量随机数，并将这些数制成表。
在使用随机数时就可以依一定的顺序从表中取出随机数。为了适应实际 需要的位数，对取出的随机数可以进行截断或拼接处理。
• 随机数产生程序：按照一定的算法计算出具有类似于均匀分布随机
变量的独立取样值性质的数。因为这些数是按照定性的算法计算出来的， 会有一定的周期性，因而被称为伪随机数。由于我们的目的是利用随机 数来对随机活动的统计分析，只要伪随机数的数理统计性质能够满足实 际需要就可以了。这些数理统计性质包括均匀性、独立性等。一般计算 机上，产生随机数的函数为（0，1）均匀分布的随机数。
均匀连续分布的随机数及其生成
2001.9.10
计算机产生随机数的算法
• 用计算机程序通过计算产生的随机数都是伪随机数，它具有一定
的周期性。 • 计算机产生随机数的特点：实用性强、简单易操作、产生速度快、
计算机存储空间的要求低。
• 计算机上用数字方法产生的随机数的一般要求有：
1. 产生的数值序列要具有分布的均匀性、抽样的随机性、试验的独立性
达到计算机表示的最小值，并且在实际需要
的精度之内变量可以达到任意值，就可以把 这个变量看成是连续的。
0
x1
x2
1
x
(0，1)均匀分布密度函数
均匀连续分布的随机数及其生成
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(0，1)均匀分布随机数的产生方法
• 物理过程：常用的物理装置有放射粒子计数器、电子管随机数产生器。
利用电子噪声或放射源去激励一个周期为0~9的计数器，对计数器定时 选行采样就可以得到所需的随机数的一位数。多次重复此过程或者利用 几个计数器同时运行，就可以得到任意位数的随机数。
F x

f x dx
x
由累积分布函数定义可知，0 F x 1 μ
当时 x1 x2 ， F x1 F x2 。
累积分布函数是单调递增函数。
随机变量、概率函数、随机数
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概率密度函数
/
累积分布函数
随机变量X落入区间(a，b)内的概率 是 F b F a 。图中给出了一个连续随 机变量的密度函数曲线和累积分布函
随机变量、概率函数、随机数
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离散型随机变量
定义
• 定义：对于随机活动的不同结果我们可以用不同的数 值与其对应。这样，就可以用一个变量来描述随机活 动，变量按一定的概率取某个值对应于随机活动按一 定的概率取某个结果。这类变量称为随机变量。
– 离散型随机变量：若随机变量只取有限个数值或可列无穷多 个数值，则称此类随机变量为离散型随机变量。 – 连续型随机变量：若随机变量可以取值于某个区间中的任一 数，我们称为连续型随机变量。
以及前后的一致性。
2. 产生的随机数要有足够长的周期，以满足你真的实际需要。 3. 产生随机数的速度要快，占用的内存空间要小。
均匀连续分布的随机数及其生成
2001.9.10
计算机产生随机数的算法
计算机产生随机数的通常方法是利用一个递推公式：
X n f X n1 , X n2 , , X nk
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(0，1)均匀分布随机数
随机数：所谓随机数就是随机变量的样本取样值。 均匀分布的随机数：随机变量x在其可能值范围中的任 一区间出现的概率正比于此区间的大小与可能值范围 的比值。 (0，1)均匀分布随机数：在各种分布的随机数中，最 常用和最重要的是在(0，1)区间上的均匀分布随机数。 其他许多分布的随机数都可以由(0，1)均匀分布 随机数经过变 换和计算来产生。
均匀连续分布的随机数及其生成
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(0，1)均匀分布随机数的定义
f(x)
• (0，1)均匀分布随机变量x 的概率密度函数为
1 , f x 0 , 0 x 1 其它
1
0
x1
x2
1
x
(0，1)均匀分布密度函数
• 累积分布函数
0 , F x x , 1 , x0 0 x 1 x 1
X 1 bn / 21bn / 22 bn / 2n
X X 重复上述过程，可得二进制n为数序列 X 0， 1， 2 … 。令， y1 y yn X i 2 n 则 y0 ， ， 2 …就是所需要的(0，1)均匀分布随 机数序列。
计算机产生随机数的算法
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Pn 0 , n 1,2,,
P
n 1

n
1
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随机变量、概率函数、随机数
离散型随机变量
概率分布函数
离散型随机变量 X 的累积分布函数定义，当X小于或等于 某个给定值x的概率函数，记为P(X≤x) = F(x)。 设随机变量X可能取值x1，x2，…，xn，…，则X的累积分 布函数为
• 定义：随机变量的数字特征是与它的分布有关的某些 数值，例如平均值、最大可能值等，它们反映了随机
变量某些方面的特征。
• 分类：根据随机变量的种类：分别介绍离散型随机变 量的数字特征、连续型随机变量的数字特征
随机变量、概率函数、随机数
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离散型随机变量的数字特征
• 平均值：设X为离散随机变量，其概率函数由下表给出：
平方取中法 ——步骤
任取一十进制正整数 确定一偶数位数n 将所选十进制数化为n位的二进制数 平方运算得到2n位的二进制数
平方取中法
这是最早产生随机数的一种方法，一个二进制n位数 X，自乘后一般得到一个2n位数X2。设