《二面角》第二课时示范公开课教学设计【高中数学】

《二面角》教学设计第二课时◆教学目标1、进一步理解线面角的定义.提升学生的数学抽象素养.2、掌握求线面角的两种基本方法，即空间向量法与几何法，提升学生的数学运算素养◆教学重难点◆教学重点：掌握求线面角的两种基本方法，即空间向量法与几何法.教学难点：灵活运用两种基本方法求线面角.◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第50-52页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节主要学习二面角第二课时用空间向量求二面角的大小．（2）学生在学习了异面直线所成角的概念及线面角的基础上，对空间角的问题有了一定的经验，二面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开．为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台．设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架二、探索新知问题2：如果21n n ，分别是平面21αα，的一个法向量,设21αα，所成角的大小为θ，通过作图讨论θ与〉〈21n n ，的关系.师生活动：学生根据个人理解，老师指导学生总结答案.预设的答案：由图（1）（2）易知，〉〈=21,n n θ或〉〈-=21,n n πθ 特别的，〉〈=21,sin sin n n θ追问：根据上述解答过程,请同学们探究二面角为锐角和钝角时的余弦值情况.师生活动：学生根据个人理解，老师指导学生总结答案.预设的答案：已知θ为锐角,当〉〈21n n ，为锐角时,θ=〉〈21n n ，,〉〈=21,cos cos n n θ,当〉〈21n n ，为钝角时,〉〈-=21,n n πθ,〉〈-=21,cos cos n n θ,所以恒有|,cos |cos 21〉〈=n n θ.设计意图：该内容探究的是如何用两个平面的各自一个法向量去研究两个平面所成角的大小.教师可以在前面方法回顾的基础上,引导学生进行自主学习与尝试．三、初步应用例3： 如图所示，已知四棱锥ABCD S -中，ABCD ABCD SA ,面⊥为直角梯形，,90 =∠=∠ABC DAB 且AD BC AB SA 3===,求平面SCD SAB 与所成角的正弦值．师生活动：学生尝试建系解答，做完同桌总结思路，给出本体解答的一般步骤，由老师指定学生解答．预设的答案：解：依题意可得，AD ,AB ,AS 两两互相垂直，以A 为原点, AS AB AD ,,的方向分别为z y x ,,轴正方向，AD 的长为单位长度，建立如图所示直角坐标系，则：)0,0,1(),0,3,3(),3,0,0(),0,0,0(D C S A 所以)0,3,2(),3,0,1(),0,0,1(=-==DC DS AD 显然，AD 是平面SAB 的一个法向量，设平面''BCD A 的一个法向量为),,(z y x n =， 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+-=⋅03203y x DC n z x DS n 取3=x ，可得1,2=-=z y ，此时)1,2-,3(=n 因为14143||||,cos ==〉〈n AD nAD n AD 所以所求的角的正弦值为14701491=- 设计意图：例3是以条件较为特殊的几何体来示范用空间向量求平面所成角的问题.教师可以通过师生的探究与交流．教师讲解：在解题的过程中应该注意的方面：(1)条件的特殊性.存在共顶点的三条棱两两互相垂直,利于建系,可以直接确定其中一个平面的一个法向量;有三条棱长相等,因此,此四棱锥可视为某正方体中的一部分.可以合理利用题目中条件的特殊性,灵活确定点的坐标及平面的一个法向量．(2)所求的问题是两个平面所成角的正弦值.虽然前面有“尝试与发现”的结论,但是向量公式中没有正弦值,可以先求余弦值,再求正弦值,这是通法.事实上,两个平面所成角为特殊角的情况还是非常少的,因此,多数情况下为求所成角的三角函数值．(3)直观上看,平面SAB 与平面SCD 没有公共的棱,因此用作二面角的平面角去解答就会很困难,这也体现了向量方法在解答较复杂的立体几何问题时的优势.在条件不变的前提下,教师还可以让学生求平面SAD 与平面SBC 所成角的正弦值,以巩固学生本小节知识与方法的掌握．例4：如图所示，已知直三棱柱111C B A ABC -中,2,1,901====∠AA BC AC ABC ,且D 是1AA的中点.求平面BDC 与平面1BDC 所成角的大小.师生活动：学生先尝试自己建立坐标系，并给出解答，由老师指定学生解答．预设的答案：依题意可得，CA,CB,1CC 两两互相垂直，以C 为原点, 1,,CC CB CA 的方向分别为z y x ,,轴正方向，建立如图所示直角坐标系，则：)2,0,0(),1,0,1(),0,1,0(),0,0,0(1C D B C 所以)2,1,0(),1,0,1(),1,0,1(),0,1,0(11-=-===BC DC CD CB设平面BCD 的一个法向量为),,(z y x n =， 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅==⋅00z x DC n y CB n 取,1=z ，可得0,1=-=y x ，此时)1,0,1-(=n设平面D BC 1的一个法向量为),,(z y x m =， 则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅020m 11z y BC m z x DC 取,1=z ，可得2,1==y x ，此时)1,2,1(=m因为0=⋅n m所以所求的角的大小为90°．设计意图：法向量的方向决定了法向量的夹角与二面角的平面角的大小的关系是相等或互补.这就需要结合算出的法向量,将坐标原点作为始点,根据横、纵、竖坐标的正负,判断其终点所在的空间直角坐标系的卦限,从而确定其方向.法向量方向的判断环节,有助于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力.问题3：根据例4所求问题中的不能直接确定平面的一个法向量.解答过程也是给出了证明空间中两个平面垂直的一种方法.请学生归纳解题的一般过程.师生活动：在教师的指导下共同讨论．预设的答案：根据题目条件合理地建立空间直角坐标系;根据所设长度写出必要的点的坐标;根据点的坐标求出两组有公共顶点的棱(线段)的方向向量;用方程组分别求出两个平面的一个法向量;利用向量的夹角公式求出向量夹角的三角函数值;写出所求问题的结论．设计意图：法向量方向的判断环节,有助于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力.问题4：根据所学，请学生总结求二面角的平面角的一般方法．师生活动：在教师的指导下共同讨论．预设的答案：一定义法:在棱上任取一点,过这点在两个半平面内分别引棱的垂线,这两条射线所成的角,就是二面角的平面角；二是利用三垂线定理及其逆定理:自二面角的一个面上的一点向另一个平面引垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足),斜足与面上这一点连线,和斜足与垂足连线所夹的角,就是二面角的平面角；三是射影面积公式法:SS 'cos =θ(其中'S 表示射影图形面积,S 表示原图形面积)．设计意图：使用向量方法解决二面角的平面角问题,不能离开对立体几何图形的分析.实际上,向量方法与综合几何方法也是相互关联的.向量在立体几何中的应用的灵活性来源于立体几何图形位置关系和向量运算的联系,也就是实现向量语言对立体几何问题的描述.学习二面角的内容,对学生的空间想象力有着较高的要求．四、归纳小结，布置作业问题5：如果21n n ，分别是平面21αα，的一个法向量,设21αα，所成角的大小为θ，讨论θ与〉〈21n n ，的关系.师生活动：在教师的指导下共同讨论． 预设的答案：〉〈=21,n n θ或〉〈-=21,n n πθ 特别的，〉〈=21,sin sin n n θ设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确利用空间向量求二面角的大小 布置作业：教科书第52页练习B1,2,3．五、目标检测设计1已知二面角α­l ­β，其中平面α的一个法向量m ＝(1,0，－1)，平面β的一个法向量n ＝(0，－1,1)，则二面角α­l ­β的大小可能为________．设计意图：考查学生对空间向量求夹角的正弦值．2．三棱锥A ­BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1·n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A ­BD ­C 的大小为( )A ．π3B ．2π3C ．π3或2π3D ．π6或π3设计意图：考查学生对空间向量求夹角．3、已知向量m ，n 分别为直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－32，则直线l 与平面α所成的角为________．设计意图：考查学生对空间向量求夹角．参考答案：1．60°或120° [cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－12·2＝－12， ∴〈m ，n 〉＝120°，∴二面角α­l ­β的大小为60°或120°．]2．C [当二面角A ­BD ­C 为锐角时，它等于〈n 1，n 2〉＝π3． 当二面角A ­BD ­C 为钝角时，它应对等于π－〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3．]3、60° [设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝32．又∵θ∈[0,90°]，∴θ＝60°．]。