组合数学 第一章 排列组合4允许重复的排列与组合及不相邻的组合

设所求方案数为p(m+n；m，n)
则P(m+n；m，n)·m!·n!=(m+n)!
故P(m+n;m,n)=
—(mm—+!nn—!)!
=
(
m+n m
)
=(m+nn
)
=C(m+n,m)

设c≥a,d≥b,则由(a,b)到(c,d)的简单格路数
为|(a,b)(c,d)|=(
(c-a)+(d-b) c-a
y y=x
(m,n)
y x-y=1
(m,n. )
(0,1) . .
0 (1,0)
x (0,0) .. ..
x
(1,-1)
容易看出从(0,1)到(m,n)接触x=y的格路与
(1,0)到(m,n)的格路(必穿过x=y)一一对应
故所求格路数为( m+mn-1)－( mm+n-1-1)
=
(—m+—n-1—)!
例A {1, 2,3, 4,5, 6, 7}，取3个作不相邻的组合的组合数。
例 已知线性方程 x1 x2 ... xn b, n和b都是整数，n 1, 求此方程的非负整数解的个数
例
简单格路问题
|(0,0)→(m,n)|=(
m+n m
)
从 (0,0)点出发沿x轴或y轴的正方向每步
走一个单位，最终走到(m,n)点，有多少
m!(n-1)!
－(m—+n—-1)—!
(m-1)!n!
=(m—(m-1+—)!n(-n—1-)1!)—!
( m1—
－
1n—)
=
—n-n—m
(
m+n-1 m
)=(1－ —mn )(
m+n-1 m
)
=
—n-nm—
(
m+n-1 m
)
若条件改为可接触但不可穿过，则限制 线要向下或向右移一格，得x－y=1， (0,0)关于x－y=1的对称点为(1,-1).
条路径？ y
(m,n)
...
0
. ..
x
无论怎样走法，在x方向上总共走m步， 在y方向上总共走n步。若用一个x表示x 方向上的一步，一个字母y表示y方向上 的一步。
则(0,0)→(m,n)的每一条路径可表示为m 个x与n个y的一个有重排列。将每一个有 重排列的x与y分别编号，可得m!n!个m+n 元的无重全排列。
1.4 不相邻的组合
定义：不相邻的组合指的是从序列 A {1, 2, , n}
中取r个，其中不存在i，i+1两个相邻的数同时出 现于一个组合中的组合。
例 A {1, 2,3, 4,5, 6}取3个元素做不相邻的组合
定理1.4 从 A {1, 2, , n}中取r 个作不相邻的组合，
其组合数为c(n-r+1,r).
例 已知重集 S {6a,5b, 4c,3d，} 做重集S的全排 列，并要求任意两个d不相邻，问有多少中排
列方案？
1.4 允许重复的组合
定义：允许重复的组合指的是从 A {1, 2, , n}
中取r个元素 {a1, a2, ar}, ai A, i 1, 2, , r
而且允许 ai a j , i j
)
(c,d)
(a,b)
例 在上例的基础上若设m<n，求(0,1) 点到(m,n)点不接触对角线x=y的格路的数 目 (“接触”包括“穿过”)
从(0,1)点到(m,n)点的格路，有的接触x=y， 有的不接触。
对每一条接触x=y的格路，做(0,1)点到第 一个接触点部分关于x=y的对称格路，这 样得到一条从(1,0)到(m,n)的格路。
所求格路数为
(
m+n m
)－(
m+n m-1
)
=
(—mm+!—nn!)!－(—m-(1—m)+!(—nn)+!1—)!
=
—nn+—+11-m—
(
m+n m
)
格路也是一种常用模型
作业
P39 19， 22
为S中K个不同元素，ni 的重数，ni 也可为
结论1. 可重集S { a1, a2 , , ak }的r排列数 为 Kr 。
结论2. 设可重复S {n1 a1, n2 a2, , nk ak，} 且S的元素 个数为n n1 n2 nk ，则S的全排列数为 n! n1 ! n2 ! nk !
1.4 允许重复的排列与组合 及不相邻的组合
1.4 允许重复的排列与组合及不相邻的组合
前几节我们介绍了排列与组合都是指从n个互 不相同元素的集合里取r个互不相同的元素排列 和组合，然而在现实生活中并不一定是对不同 的元素进行排列与组合.
下面我们介绍允许重复的组合与排列
1.4 允许重复的排列
设可重复 S {n1 a1, n2 a2, , nk ak，} 其中，a1, a2, , ak
例 A {1, 2,3} 取2个作允许重复组合
1.4 允许重复的组合
定理1.2 在n个不同的元素中取r个进行组合，若 允许重复，则组合数为C(n+r-1,r).
定理1.3 r个无区别的球放进n个有标志的盒子里， 每个盒子中可多于一个，则共有 C(n+r-1,r)个。
例试问( x y z)4有多少项？