北京工商大学高等数学题及答案(9)

x − 2 y −1 z − 0 = = 0 . 2 所求法线方程为 1
3 2 五.(6 分)将数 12 分成三个正数 x, y, z 之和,使函数 u = x y z 的值最大.
3 2 解 用拉格朗日乘数法求之.作辅助函数 F ( x, y, z ) = x y z + λ ( x + y + z − 12) ,
∂z ∂z 一.(5 分)求函数 z = ln(1 + x + 2 y ) 的偏导数 ∂x , ∂y 和全微分.
2
∂2z 2 二.(6 分)设函数 z = y sin( xy ) + x ,求 ∂x∂y . ∂2z 三.(6 分)设函数 u = f ( x, xy, xyz ) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求 ∂z∂y .
Fx = 3 x 2 y 2 z + λ = 0 3 Fy = 2 x yz + λ = 0 3 2 Fz = x y + λ = 0 x y z 由 + + − 12 = 0
知, x = 6, y = 4, z = 2 为其解.
解得 x = 6, y = 4, z = 2 .据所给实际问题
∂ 2u 三.(6 分)设函数 u = f ( x, xy.xyz ) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求 ∂z∂y .
∂u = f '1 ⋅0 + f ' 2 ⋅0 + f '3 ⋅ xy = xyf '3 解 ∂z ,
∂ 2u ∂ = ( xyf '3 ) = xf '3 + xy( f "31 ⋅0 + f "32 ⋅ x + f "33 ⋅ xz ) = xf '3 + x 2 yf "32 + x 2 yzf "33 ∂z∂y ∂y .
∫ dx ∫
a
b
x
a
2
f ( y )dy = ∫ f ( x)(b − x)dx
a
b
.
2.(10 分)设 f ( x) = x ( −π ≤ x ≤ π ) ,将 f ( x) 展为傅利叶级数,并求常数项级数
∞ (−1) n−1 1 ∑ ∑ 2 2 n n =1 及 n=1 n 的和.
∞
∂z ∂z 一.(5 分)求函数 z = ln(1 + x + 2 y ) 的偏导数 ∂x , ∂y 和全微分.
九.(6 分)计算曲线积分 到点 B(2,1,2) 的直线段.
I = ∫ ( x + 2)dx + ( y − 1)dy + zdz
Γ
,其中 Γ 是由点 A(1,3,2)
十.(6 分) 计算曲线积分
I = ∫ ( x 2 − y 2 )dx − 2 xydy
L
,其中 L 是由点 O(0,0) 沿直
2 线 y = x 到点 A(1,1) ,再由点 A 沿曲线 x = 2 y − y 到点 B(0,2) 的路径.
= 4π ∫
π
4 0
2 1 4 (sin ϕ cos ϕ ⋅ r cos ϕ )dϕ 4 0
= −16π ∫
π
4 0
d cos ϕ 1 = 16π ⋅ 4 = 8π 3 cos ϕ 2 cos 2 ϕ 0 .
∞
π
十二.(10 分)判别下列级数的收敛性:(1)
∑(
n =1
n +1 − n )
; (2)
0
r cos ϕ ⋅ r 2 sin ϕ dr
π 1 2a cos ϕ = 2π ∫ 4 sin ϕ cos ϕ ⋅ r 4 dϕ 0 4 0
= −8πa
4
∫
π
4 0
7 cos 5 ϕd cos ϕ = π a 4 6
九.(6 分)计算曲线积分 到点 B(2,1,2) 的直线段.
I = ∫ ( x + 2)dx + ( y − 1)dy + zdz
Ω:
0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ ϕ ≤
π
4
, 0≤r ≤
2 cos ϕ
由高斯公式知,
I = ∫∫ ydydz − xdzdx + z 2 dxdy = ∫∫∫ (0 + 0 + 2 z )dv = 2 ∫∫∫ zdv
Σ Ω Ω
= 2 ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0 4 0
2π
π
2 cos ϕ 0
r cos ϕ ⋅ r 2 sin ϕ dr
Γ
,其中 Γ 是由点 A(1,3,2)
解 Γ 的参数方程为 x = 1 + t , y = 3 − 2t , z = 2, t : 0 → 1 .因此
I = ∫ ( x + 2)dx + ( y − 1)dy + zdz = ∫ [(1 + t + 2) + (3 − 2t − 1)(−2)]dt
Γ 0
x 1 + ( )2 dx x + y y = = x x 2 xy dy 2( ) =u y ,并令 y 注:本题将原方程变为 能更方便地求
∑2
n =1
∞
n
sin
π
3n .
解 (1) 部分和
sn = 2 − 1 + 3 − 2 + + n + 1 − n = n + 1 − 1 ,
lim s n = +∞ ,所以级数发散. 因为 n→∞
∞ 2 2 u n = 2 sin n ≤ 2 ⋅ n = π ⋅ ∑ 3 3 3 ,而级数 n=1 3 收敛,由比较 (2) 因为 n n
1 1 3 5 = ∫ (5t − 1)dt = ( t 2 − t ) = 0 0 2. 2
1
十.(6 分) 计算曲线积分
I = ∫ ( x 2 − y 2 )dx − 2 xydy
L
,其中 L 是由点 O(0,0) 沿直
2 线 y = x 到点 A(11) ,再由点 A 沿曲线 x = 2 y − y 到点 B(0,2) 的路径.
∞
∞ (±2) 2 n 1 = ∑ ∑ n 4 x = ± 2 = = n n 1 1 R = 2 所以收敛半径 .又当 时,原级数为 发散,所以原级数
的收敛域为 (−2,2) .
1 x 展成 x + 1 的幂级数,并指出收敛域.
十四.(7 分)将
f ( x) =
f ( x) = 解
1 1 1 = =− x − 1 + ( x + 1) 1 − ( x + 1) .
六.(5 分)求 闭区域.
∫∫ e
D
−( x2 + y 2 )
dσ
,其中 D 是由圆心在原点,半径为 a 的圆周所围成的
y
o
x
解 积分区域如图所示,用极坐标计算之.
∫∫ e
D
−( x2 + y 2 )
dσ
=∫
2π
0
dθ ∫ e −r rdr − π ∫ e −r d (−r 2 ) = π (1 − e −a ) 0 0 = .
Y 2
O
X
2 2 解 设 P( x, y ) = x − y , Q( x, y ) = −2 xy ,那么 P( x, y ), Q( x, y ) 在 xoy 面上具有连
∂P ∂Q = −2 y = ∂x ,因此积分与路径无关,可取从 O 到 B 的线段作积 续的偏导数,且 ∂y 分路径.所以
十一.(7 分)计算
I = ∫∫ ydydz − xdzdx + z 2 dxdy
Σ
2 2 ,其中 Σ 为锥面 z = x + y 与
z = 2 所围成的立体表面的外侧.
十二.(10 分)判别下列级数的收敛性:
(1)
∑(
n =1
∞
n +1 − n )
;
(2)
∑2
n =1
∞
n
sin
π
3n .
∞
x 2n ∑ n 十三(7 分)求级数 n=0 4 的收敛半径和收敛域.
z 四.(5 分)求曲线 e − z + xy = 3 在点 P0 (2,1,0) 处的切平面与法线方程.
z F (2,1,0) = 1, Fy (2,1,0) = 2, Fz (2,1,0) = 0 解 令 F ( x, y, z ) = e − z + xy − 3 ,那么 x ,
因此,所求切平面方程为 1( x − 2) + 2( y − 1) + 0( z − 0) = 0 ,即 x + 2 y − 4 = 0 .
I = ∫ ( x 2 − y 2 )dx − 2 xydy = ∫ 0dy = 0
L 0
2
.
十一.(7 分)计算
I = ∫∫ ydydz − xdzdx + z 2 dxdy
Σ
2 2 ,其中 Σ 为锥面 z = x + y 与
z = 2 所围成的立体表面的外侧.
Z 2
O X
Y
解 如图,设 Σ 所围闭区域为 Ω .在球面坐标系下 Ω 可表示为
2 2 2
a
a
七.(6 分)将二重积分
∫∫ f ( x, y)dσ
D
化为先对 y 后对 x 的二次积分,其中 D 是
1 y = ( x > 0) x 由直线 y = x, x = 2 及 围成的闭区域.
Y
O 1
2
X
解 积分区域如图所示.