2017春人教版高中数学必修五课件：2.4 第2课时 等比数列的性质2
2 3 4 3
2
2
5.在等比数列{an}中,若公比q>1,且a2a8=6,a4+a6=5,则
a5 =________. a7
பைடு நூலகம்
【解析】因为a4·a6=a2·a8=6,a4+a6=5,
所以a4,a6是方程x2-5x+6=0的两个根, 解得x1=2,x2=3,又q>1,所以a4=2,a6=3,
a5 a4 2 . 所以 a7 a6 3 答案: 2 3
2 1 1 5 ( ) , 32 2
所以n-4=5,n=9.
类型二:等比数列性质的应用 【典例2】已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,由{an} 中的部分项组成的数列 a b ，a b ， ，a b ,…为等比数列,
1 2 n
其中b1=1,b2=5,b3=17.求数列{bn}的通项公式.
所以an=am·qn-m.
2.已知等比数列{an}的公比为q,若 m+n=p+λ (m,n,p,λ ∈N*)则它们对应的项存在怎样的
关系?
用文字语文描述:它们对应项的积相等. ⇓
用符号语言描述:am·an=ap·aλ . am·an=a1·qm-1·a1·qn-1.
= a12 ·qm+n-2.
ap·aλ =a1·qp-1·a1·qλ -1= ·qp+λa12-2. 因为m+n-2=p+λ -2,故am·an=ap·aλ .
第2课时
等比数列的性质
【自主预习】 主题:等比数列的性质
1.已知等比数列{an},首项为a1,公比为q,则该数列中
第n项an与第m项am存在怎样的关系? ⇓
用符号语言描述:由an=a1·qn-1,am=a1·qm-1,
n 1 a a q n m 故 n 1 q , m 1 a m a1 q
2
【解析】设等比数列{an}的公比为q,
因为a4+a7=a3·q+a6·q=(a3+a6)q,
所以q=
a 4 q 7 18 1 . a 3 q 6 36 2
因为a4+a7=18,所以a4(1+q3)=18,
4 所以a4=16,所以an=a4·qn-4=16 ( 1 ) n ,
1 n 4 1 1 n 4 令16( ) , 所以( ) 2 2 2
bn 1 ·a1. 2
【延伸探究】1.(变换条件)典例2若加上条件a1=1,求 数列{an}的通项公式.
2 【解析】依题意 a 5 =a1·a17,即(1+4d)2=1+16d,
即1+8d+16d2=1+16d,16d2=8d, 因为d≠0,所以d= 1 . 所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)× 1 n 1 .
3.观察下面几个等比数列中项的变化趋势,指出它们的 单调性.
(1)-1, 1 , 1 , 1 , 1 ,
4 8 (2)9,3,1, 1 , 1 , 3 9 2 16
(3)-1,-2,-4,-8,-16,…
(4)1, 1 , 1 , 1 , 1 , (5)2,2,2,2,2,…
6.已知数列{an}为等比数列,若a1+a2+a3=21, a1·a2·a3=216,求an.
【解析】因为a1·a2·a3= a 3 =216,所以a2=6, 2
所以a1·a3=36,又a1+a3=21-a2=15, 所以a1,a3是方程x2-15x+36=0的两根3和12.
当a1=3时,q= a 2 =2,an=3·2n-1;
2 2
又a1-1=- 1 ,
1 1 所以数列{an-1}是首项为,公比为 的等比数列. 2 2 2
1 1 n 1 1 n (2)由(1)知an-1= ( ) ( ) ( ) , 2 2 2 所以bn=(2-n)(an-1)= n n 2 2 2 n 2 3 n 所以bn+1-bn= n 1 n n 1 , n 1 2 2 2
a 4 2, a14 2, 所以 或 a14 3 a 4 3, 所以 q10 2 或q10 3 , 3 2 所以 a 20 q10 2 或 3 . a10 3 2
【补偿训练】在等比数列{an}中,已知a3+a6=36, a4+a7=18,an= 1 ,求n的值.
(2)根据等比数列的性质,得a5·a6=a1·a10=a2·a9 =a3·a8=a4·a7=9, 所以a1·a2·…·a9·a10=(a5·a6)5=95, 所以log3a1+log3a2+…+log3a10 =log3(a1·a2·…·a9·a10)=log395=5log39=10.
【规律总结】等比数列中基本量求解时的两种方法 (1)方程或方程组法:根据条件建立起关于a1,q的方程 或方程组,通过解方程,求出a1,q,进而求出其余量. (2)数列性质法:利用性质整体求值,简化运算过程.巧 妙地利用性质m+n=p+q⇒am·an=ap·aq和an·am= (ma 2 p
(2)(2016·滨州高二检测)若an>0,a5a6=9,求log3a1+ log3a2+…+log3a10的值.
【解题指南】(1)由等比数列的性质得a7a8=a5a10=a6a9, 从而得解. (2)由等比数列的性质得a5·a6=a1·a10=…=a4·a7,从而进 行求解.
【解析】(1)选D.因为数列{an}是各项均为正数的等比 数列,则由等比数列的性质有a7·a8=a5·a10=a6·a9,故 a7a8= a a a a 3 9 3 3. 5 9 6 10
+ n =2p,m,n,p∈N*)或an=am·qn-m可以简化解题过程.
【巩固训练】在等比数列{an}中,a7·a11=6,a4+a14=5,则
a 20 ( 等于 a 10
)
3 B. 2 2 3 D. 或 3 2
2 A. 3 3 2 C. 或 2 3
【解析】选C.因为a7·a11=a4·a14=6, 又a4+a14=5,
注意事项: 等比数列性质应用的注意点 (1)巧用性质,可以减少计算量. (2)利用性质m+n=p+q⇒am·an=ap·aq时要注意,只有序号 之和相等时才能成立,且若am·an=ap·aq不能得出 m+n=p+q.
(3)特别地,若m+n=2p,则am·an= a 2 . p
【题型探究】 类型一:利用等比数列的性质求解基本量 【典例1】(1)若各项均为正数的等比数列{an}中,a5a9=3, a6a10=9,则a7a8= ( A. 3 C.4 3 B.2 3 D.3 3 )
3 9 27 81
提示:(1)项是增加的,且a1<0,0<q<1,是单调递增数列. (2)项是减小的,且a1>0,0<q<1,是单调递减数列.
(3)项是减小的,且a1<0,q>1,是单调递减数列.
(4)项是摆动的,a1>0,q<0,不是单调数列. (5)项是不变的,a1>0,q=1,是常数列.
⇓
1.等比数列的常用性质 设等比数列{an}的公比为q,则
A.-6
B.-2
C.2
D. 2
3
【解析】选A.由等比数列的性质知a4·a7=a1·a10=-6.
2.在等比数列{an}中,已知a7·a12=5,则a8·a9·a10·a11= ( )
A.10
B.25
C.50
D.75
【解析】选B.由等比数列的性质可得a7·a12=a8·a11= a9·a10=5,故a8·a9·a10·a11=52=25.
【解题指南】根据 a b ，a b ，a b 成等比数列,得出等差数
1 2 n
列{an}的首项与公差的关系,从而求出数列{ a b }的通
n
项,再根据 a b 为等差数列{an}中的第bn项,求出数列{bn}
n
的通项.
2 =a a ,即(a +4d)2= a (a +16d),所 【解析】依题意 a 5 1 17 1 1 1
2 2 2
2.(改变问法)典例2若条件不变,试判断a485是否为数列 {bn}中的项. 【解析】由bn=485,即2·3n-1-1=485, 所以3n-1=243=35, 所以n-1=5,即n=6. 所以a485是数列{bn}中的第6项.
【规律总结】等差、等比数列综合问题的解题方法与 技巧 (1)转化思想:将非等差(比)数列转化,构造新的等差 (比)数列,以便于利用分式和性质解题. (2)注意等差(比)数列公式和性质的灵活应用.
【探究总结】 知识归纳:
方法总结: (1)在等比数列{an}中距首末两项等距离的两项的积相 等,即a1an=a2an-1=a3an-2=…. (2)在等比数列{an}中,序号成等差数列的项仍成等比 数列.
(3)在等比数列{an}中,连续取相邻k(k∈N*)项的和(或 积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列. (4){an}是等比数列,且an>0,则{logaan}(a>0且a≠1)是 等差数列.
当n<3时,bn+1-bn>0,即b1<b2<b3, 当n=3时,bn+1-bn=0,即b4=b3, 当n>3时,bn+1-bn<0,即b4>b5>b6>…,
1 所以数列{bn}的最大项为b4=b3= . 8
q=1 时,{an}为常数列. (3)当____
【深度思考】 结合教材P51例4.你还能得出哪些结论?
若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λ an}, { 1 },a 2 n ,
2
2
5.在等比数列{an}中,若公比q>1,且a2a8=6,a4+a6=5,则
a5 =________. a7
பைடு நூலகம்
【解析】因为a4·a6=a2·a8=6,a4+a6=5,
所以a4,a6是方程x2-5x+6=0的两个根, 解得x1=2,x2=3,又q>1,所以a4=2,a6=3,
a5 a4 2 . 所以 a7 a6 3 答案: 2 3
2 1 1 5 ( ) , 32 2
所以n-4=5,n=9.
类型二:等比数列性质的应用 【典例2】已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,由{an} 中的部分项组成的数列 a b ，a b ， ，a b ,…为等比数列,
1 2 n
其中b1=1,b2=5,b3=17.求数列{bn}的通项公式.
所以an=am·qn-m.
2.已知等比数列{an}的公比为q,若 m+n=p+λ (m,n,p,λ ∈N*)则它们对应的项存在怎样的
关系?
用文字语文描述:它们对应项的积相等. ⇓
用符号语言描述:am·an=ap·aλ . am·an=a1·qm-1·a1·qn-1.
= a12 ·qm+n-2.
ap·aλ =a1·qp-1·a1·qλ -1= ·qp+λa12-2. 因为m+n-2=p+λ -2,故am·an=ap·aλ .
第2课时
等比数列的性质
【自主预习】 主题:等比数列的性质
1.已知等比数列{an},首项为a1,公比为q,则该数列中
第n项an与第m项am存在怎样的关系? ⇓
用符号语言描述:由an=a1·qn-1,am=a1·qm-1,
n 1 a a q n m 故 n 1 q , m 1 a m a1 q
2
【解析】设等比数列{an}的公比为q,
因为a4+a7=a3·q+a6·q=(a3+a6)q,
所以q=
a 4 q 7 18 1 . a 3 q 6 36 2
因为a4+a7=18,所以a4(1+q3)=18,
4 所以a4=16,所以an=a4·qn-4=16 ( 1 ) n ,
1 n 4 1 1 n 4 令16( ) , 所以( ) 2 2 2
bn 1 ·a1. 2
【延伸探究】1.(变换条件)典例2若加上条件a1=1,求 数列{an}的通项公式.
2 【解析】依题意 a 5 =a1·a17,即(1+4d)2=1+16d,
即1+8d+16d2=1+16d,16d2=8d, 因为d≠0,所以d= 1 . 所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)× 1 n 1 .
3.观察下面几个等比数列中项的变化趋势,指出它们的 单调性.
(1)-1, 1 , 1 , 1 , 1 ,
4 8 (2)9,3,1, 1 , 1 , 3 9 2 16
(3)-1,-2,-4,-8,-16,…
(4)1, 1 , 1 , 1 , 1 , (5)2,2,2,2,2,…
6.已知数列{an}为等比数列,若a1+a2+a3=21, a1·a2·a3=216,求an.
【解析】因为a1·a2·a3= a 3 =216,所以a2=6, 2
所以a1·a3=36,又a1+a3=21-a2=15, 所以a1,a3是方程x2-15x+36=0的两根3和12.
当a1=3时,q= a 2 =2,an=3·2n-1;
2 2
又a1-1=- 1 ,
1 1 所以数列{an-1}是首项为,公比为 的等比数列. 2 2 2
1 1 n 1 1 n (2)由(1)知an-1= ( ) ( ) ( ) , 2 2 2 所以bn=(2-n)(an-1)= n n 2 2 2 n 2 3 n 所以bn+1-bn= n 1 n n 1 , n 1 2 2 2
a 4 2, a14 2, 所以 或 a14 3 a 4 3, 所以 q10 2 或q10 3 , 3 2 所以 a 20 q10 2 或 3 . a10 3 2
【补偿训练】在等比数列{an}中,已知a3+a6=36, a4+a7=18,an= 1 ,求n的值.
(2)根据等比数列的性质,得a5·a6=a1·a10=a2·a9 =a3·a8=a4·a7=9, 所以a1·a2·…·a9·a10=(a5·a6)5=95, 所以log3a1+log3a2+…+log3a10 =log3(a1·a2·…·a9·a10)=log395=5log39=10.
【规律总结】等比数列中基本量求解时的两种方法 (1)方程或方程组法:根据条件建立起关于a1,q的方程 或方程组,通过解方程,求出a1,q,进而求出其余量. (2)数列性质法:利用性质整体求值,简化运算过程.巧 妙地利用性质m+n=p+q⇒am·an=ap·aq和an·am= (ma 2 p
(2)(2016·滨州高二检测)若an>0,a5a6=9,求log3a1+ log3a2+…+log3a10的值.
【解题指南】(1)由等比数列的性质得a7a8=a5a10=a6a9, 从而得解. (2)由等比数列的性质得a5·a6=a1·a10=…=a4·a7,从而进 行求解.
【解析】(1)选D.因为数列{an}是各项均为正数的等比 数列,则由等比数列的性质有a7·a8=a5·a10=a6·a9,故 a7a8= a a a a 3 9 3 3. 5 9 6 10
+ n =2p,m,n,p∈N*)或an=am·qn-m可以简化解题过程.
【巩固训练】在等比数列{an}中,a7·a11=6,a4+a14=5,则
a 20 ( 等于 a 10
)
3 B. 2 2 3 D. 或 3 2
2 A. 3 3 2 C. 或 2 3
【解析】选C.因为a7·a11=a4·a14=6, 又a4+a14=5,
注意事项: 等比数列性质应用的注意点 (1)巧用性质,可以减少计算量. (2)利用性质m+n=p+q⇒am·an=ap·aq时要注意,只有序号 之和相等时才能成立,且若am·an=ap·aq不能得出 m+n=p+q.
(3)特别地,若m+n=2p,则am·an= a 2 . p
【题型探究】 类型一:利用等比数列的性质求解基本量 【典例1】(1)若各项均为正数的等比数列{an}中,a5a9=3, a6a10=9,则a7a8= ( A. 3 C.4 3 B.2 3 D.3 3 )
3 9 27 81
提示:(1)项是增加的,且a1<0,0<q<1,是单调递增数列. (2)项是减小的,且a1>0,0<q<1,是单调递减数列.
(3)项是减小的,且a1<0,q>1,是单调递减数列.
(4)项是摆动的,a1>0,q<0,不是单调数列. (5)项是不变的,a1>0,q=1,是常数列.
⇓
1.等比数列的常用性质 设等比数列{an}的公比为q,则
A.-6
B.-2
C.2
D. 2
3
【解析】选A.由等比数列的性质知a4·a7=a1·a10=-6.
2.在等比数列{an}中,已知a7·a12=5,则a8·a9·a10·a11= ( )
A.10
B.25
C.50
D.75
【解析】选B.由等比数列的性质可得a7·a12=a8·a11= a9·a10=5,故a8·a9·a10·a11=52=25.
【解题指南】根据 a b ，a b ，a b 成等比数列,得出等差数
1 2 n
列{an}的首项与公差的关系,从而求出数列{ a b }的通
n
项,再根据 a b 为等差数列{an}中的第bn项,求出数列{bn}
n
的通项.
2 =a a ,即(a +4d)2= a (a +16d),所 【解析】依题意 a 5 1 17 1 1 1
2 2 2
2.(改变问法)典例2若条件不变,试判断a485是否为数列 {bn}中的项. 【解析】由bn=485,即2·3n-1-1=485, 所以3n-1=243=35, 所以n-1=5,即n=6. 所以a485是数列{bn}中的第6项.
【规律总结】等差、等比数列综合问题的解题方法与 技巧 (1)转化思想:将非等差(比)数列转化,构造新的等差 (比)数列,以便于利用分式和性质解题. (2)注意等差(比)数列公式和性质的灵活应用.
【探究总结】 知识归纳:
方法总结: (1)在等比数列{an}中距首末两项等距离的两项的积相 等,即a1an=a2an-1=a3an-2=…. (2)在等比数列{an}中,序号成等差数列的项仍成等比 数列.
(3)在等比数列{an}中,连续取相邻k(k∈N*)项的和(或 积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列. (4){an}是等比数列,且an>0,则{logaan}(a>0且a≠1)是 等差数列.
当n<3时,bn+1-bn>0,即b1<b2<b3, 当n=3时,bn+1-bn=0,即b4=b3, 当n>3时,bn+1-bn<0,即b4>b5>b6>…,
1 所以数列{bn}的最大项为b4=b3= . 8
q=1 时,{an}为常数列. (3)当____
【深度思考】 结合教材P51例4.你还能得出哪些结论?
若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λ an}, { 1 },a 2 n ,
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高三数学等比数列2
2、a1 .a n a 2 .a n1 a 3 .a n 2 ...
3.如果 a n bn 是项数相同的等比数列,那 么 a n bn 也是等比数列．
结论：如果 a b 是项数相同的等 比数列，那么 a n bn 也是等比数列．
n n
bn 的公比为 证明：设数列a n 的公比为p， q，那么数列 a n bn 的第n项与第n+1项分 n 1 n n 别为 a1p n 1 b1q n 1 与 a1p b1q ，即 a1b1 (pq) n 与 a1b1 (pq) ．
因为 它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq 为公比的等比数列．
a n 1 b n 1 a1b1 (pq) n pq, n 1 a n bn a1b1 (pq)
特别地，如果是a 等比数列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc是不等 于０的常数，那么数列 c a 也是等比数列．
n
n
探究
对于例４中的等比数列 a n 与 bn ，数
1.定义法:
an1 q(是与n无关的数或式子 , 且q 0 ） an
2.中项法:
an1 an1 an ( 0)
2
三个数a,b,c成等比数列
2 ac b
五、等比数列的性质
1、若m, n, p, q N , 且m n p q,
则a m a n a p a q
an , 若a1 a2 a3 7, 4.已知等比数列
a1 a2 a3 8, 求an.
a1 1, q 2或a1 4, q
1 2
课后作业
P60 习题 2.4 A 组 第 3、 7、 8题
选做: P59 探究 选做: P75 第1,2,4题
3.如果 a n bn 是项数相同的等比数列,那 么 a n bn 也是等比数列．
结论：如果 a b 是项数相同的等 比数列，那么 a n bn 也是等比数列．
n n
bn 的公比为 证明：设数列a n 的公比为p， q，那么数列 a n bn 的第n项与第n+1项分 n 1 n n 别为 a1p n 1 b1q n 1 与 a1p b1q ，即 a1b1 (pq) n 与 a1b1 (pq) ．
因为 它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq 为公比的等比数列．
a n 1 b n 1 a1b1 (pq) n pq, n 1 a n bn a1b1 (pq)
特别地，如果是a 等比数列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc是不等 于０的常数，那么数列 c a 也是等比数列．
n
n
探究
对于例４中的等比数列 a n 与 bn ，数
1.定义法:
an1 q(是与n无关的数或式子 , 且q 0 ） an
2.中项法:
an1 an1 an ( 0)
2
三个数a,b,c成等比数列
2 ac b
五、等比数列的性质
1、若m, n, p, q N , 且m n p q,
则a m a n a p a q
an , 若a1 a2 a3 7, 4.已知等比数列
a1 a2 a3 8, 求an.
a1 1, q 2或a1 4, q
1 2
课后作业
P60 习题 2.4 A 组 第 3、 7、 8题
选做: P59 探究 选做: P75 第1,2,4题
2017春人教版高中数学必修五课件：2.4 第2课时 等比数列的性质3
方法二：各项均为正数的等比数列{an}中， a10a11=a9a12=…=a1a20， 则a1a20=e5， 设lna1+lna2+…+lna20=S， 则lna20+lna19+…+lna1=S， 2S=20ln(a1a20)=100，S=50.
【延伸探究】 1.(变换条件)若将本题条件“a10a11+a9a12=2e5”改为 “a3·a9=2a52，a2=2”，其他条件不变，结果又如何？
a10 a11 2
答案： 2
【知识探究】
知识点1 等比数列通项公式的推广
观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：等比数列通项公式的推广形式是如何得出的？ 问题2：等比数列通项公式的推广形式的主要作用是什 么？
【总结提升】 1.等比数列通项公式推广形式的证明 设等比数列{an}的公比为q，则 an=a1qn-1，am=a1qm-1，m，n∈N*，两式相除得
等比数列的性质
观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：等比数列{an}中，若m+n=s+t，则aman=asat， 该结论是如何证明的？ 问题2：已知数列{an}是等比数列，还有哪些与该数列 有关的等比数列呢？
【总结提升】 1.等比数列中四项关系的性质及证明 若等比数列{an}中，m，n，s，t∈N*且m+n=s+t， 则aman=asat.
【方法技巧】巧用等比数列的性质解题 (1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法 ①基本步骤：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组， 解出a1和q，然后利用通项公式求解； ②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时 运算稍繁.
(2)利用等比数列的性质解题 ①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分 析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； ②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维 含量.
人教版高中数学必修五课件：第二章 数列2-4-2 等比数列的性质
【所以自主{an解2}答是】首1项.因为为1，an公=2比n-为1，4所的以等a比ann数122 列，22nn=故1 242a，n2=4n-1.
答案：an2=4n-1
2.由a4·a7=-512，得a3·a8=-512.
由
解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍).
所以aaq33 =a8a
am·an=ak·al
2.等比数列的单调性
(1)当a1>0，_q_>_1_或a1<0，_0_<_q_<_1_时，{an}为递增数列. (2)当____，0<q<1或a1<0，____时，{an}为递减数列. (3)当_a_1>_0_时，{an}为常数列q.>1
q=1
1.在等比数列{an}中，a6=6，a9=9，则a3=( )
(3)若m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？ 提示：相等，aman=2m-1×2n-1=2m+n-2， apal=2p-1×2l-1=2p+l-2，因为m+n=p+l， 所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.
探究2：对任意的等比数列{an}，若有m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)， 那么aman=apal吗？ 提示：相等，设等比数列{an}的公比为q，则am=a1qm-1， an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman= a1qm-1×a1qn-1=a12 qm + n-2， apal= a1qp-1×a1ql-1=a12qp + l-2， 因为m+n=p+l，所以aman=apal.
【教学资源网·世纪金榜】2017春人教A版高中数学必修五课件：第2章 数列2.4 第2课时
数 学 必 修 ⑤ · 人 教 A 版
1 2 1 2 若 a3＝12，a7＝3，则有 3＝12×q ，∴q ＝ ，q ＝ ，q＝± . 4 2 2
4 4
∴q 的值可能有 4 个．
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第二章 数列
命题方向2 ⇨等比数列的设项技巧
已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为 16，首 尾两个数之积为－128，求这四个数. 导学号 54742423
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第二章 数列
2a a [解析] 设四个数为 －a、 、a、aq， q q
2 a q ＝16 则由题意得 2a－a· aq＝－128 q
a＝8 ，解得 q＝4
a＝－8 或 q＝4
.
因此所求的四个数为－4,2,8,32 或 4，－2，－8，－32.
2
(2)若四个数成等比数列，可设为 a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数， a a 可设 3， ，aq，aq3. q q
数 学 必 修 ⑤ · 人 教 A 版
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第二章 数列
〔跟踪练习 2〕 导学号 54742424 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去 1,1,4,13，则成等差数列，则这
数 学 必 修 ⑤ · 人 教 A 版
(4)若等比数列的下标具有某种规律时，应考虑应用性质求解．
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第二章 数列
〔跟踪练习 1〕 导学号 54742422
25 (1)在等比数列{an}中，已知 a7a12＝5，则 a8a9a10a11＝________.
1或64 (2){an}为等比数列，且 a1a9＝64，a3＋a7＝20，则 a11＝________.
2 [解析] 由等比数列的性质，得 a4a6＝a2 5，a2a4＝a3， 2 ∴(a3＋a5)2＝a2 ＋ 2 a a ＋ a 3 3 5 5，
1 2 1 2 若 a3＝12，a7＝3，则有 3＝12×q ，∴q ＝ ，q ＝ ，q＝± . 4 2 2
4 4
∴q 的值可能有 4 个．
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第二章 数列
命题方向2 ⇨等比数列的设项技巧
已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为 16，首 尾两个数之积为－128，求这四个数. 导学号 54742423
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第二章 数列
2a a [解析] 设四个数为 －a、 、a、aq， q q
2 a q ＝16 则由题意得 2a－a· aq＝－128 q
a＝8 ，解得 q＝4
a＝－8 或 q＝4
.
因此所求的四个数为－4,2,8,32 或 4，－2，－8，－32.
2
(2)若四个数成等比数列，可设为 a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数， a a 可设 3， ，aq，aq3. q q
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第二章 数列
〔跟踪练习 2〕 导学号 54742424 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去 1,1,4,13，则成等差数列，则这
数 学 必 修 ⑤ · 人 教 A 版
(4)若等比数列的下标具有某种规律时，应考虑应用性质求解．
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第二章 数列
〔跟踪练习 1〕 导学号 54742422
25 (1)在等比数列{an}中，已知 a7a12＝5，则 a8a9a10a11＝________.
1或64 (2){an}为等比数列，且 a1a9＝64，a3＋a7＝20，则 a11＝________.
2 [解析] 由等比数列的性质，得 a4a6＝a2 5，a2a4＝a3， 2 ∴(a3＋a5)2＝a2 ＋ 2 a a ＋ a 3 3 5 5，
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(二)课件 新人教A版必修5
根据等比数列的性质 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log10.
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
1234
4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
1234
课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
1234
4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
1234
课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
人教A版高中数学高二必修5课件2.4等比数列(二)
(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那 么 别数为列q11，a1nq1，q2{，anqq·b21，n}，|q1|.bann，{|an|}仍 是 等 比 数 列，且 公 比 分
2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝
2.4 等比数列(二)
29
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中， 特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的 应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
30
跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列， Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn； 解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an ＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
的m的个数；若不存在，请说明理由.
解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列， 则2b4＝b1＋bt，
∴ 7 ×2＝ 1 ＋ 2t－1 ，
7＋m
1＋m 2t－1＋m
2.4 等比数列(二)
28
7m＋1 7m－5＋36
∴t＝
＝
＝7＋
36
，
m－5
m－5
m－5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值，且共有8个.
2.4 等比数列(二)
26
(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，
2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝
2.4 等比数列(二)
29
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中， 特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的 应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
30
跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列， Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn； 解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an ＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
的m的个数；若不存在，请说明理由.
解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列， 则2b4＝b1＋bt，
∴ 7 ×2＝ 1 ＋ 2t－1 ，
7＋m
1＋m 2t－1＋m
2.4 等比数列(二)
28
7m＋1 7m－5＋36
∴t＝
＝
＝7＋
36
，
m－5
m－5
m－5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值，且共有8个.
2.4 等比数列(二)
26
(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，
高中数学人教A版必修五教学课件：第二章 《数列》 2.4 第2课时 等比数列的性质
－6 解析：a4a7＝a1· a10＝ ＝－2. 3
答案：B
3． 等比数列{an}中， 若 a9＝－2， 则此数列前 17 项之积为____________．
解析：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 ＝a17 9 ＝(－2) ＝－2 .
2 ∴a6 ＝a2· a10，
1 ∴a10＝162 × ＝13 122. 2
2
法三：由公式 ap· aq＝ap＋k· aq－k 得
2 a2· a10＝a2＋4· a10－4＝a6 .
1 ∴a10＝1622× ＝13 122. 2
答案：13 122
探究二
an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的 “下标”的指导作用，分析等比数列项 与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________.
解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列．
－
1n－1 4n－1 n－1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )＝3×3 .
[感悟提高]
(1)解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改
变，但其变化规律不改变，事实上，给出的图形只是问题的载体，我 们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．
a1＝1， 1 ∴ 或 1 q ＝ . q＝2，
高中数学 2.4.2 等比数列的性质课件 新人教A版必修5
∴
6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
第二十一页，共30页。
问题
(wèntí)导
学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,
可设 3 , ,aq,aq3.
第 2 课时
等比数列的性质
第一页，共30页。
目标(mùbiāo)
导航
课前预习导学
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预习(yùxí)
引导
学习目
记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;
点
难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
第十八页，共30页。
问题(wèntí)
导学
课前预习导学
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6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
第二十一页，共30页。
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三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,
可设 3 , ,aq,aq3.
第 2 课时
等比数列的性质
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学习目
记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;
点
难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
第十八页，共30页。
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2017-2018学年高中数学人教A版必修5课件：2-4-2等比数
第2课时
等比数列的性质
1.复习巩固等比数列的概念及其通项公式. 2.掌握等比中项的应用. 3.掌握等比数列的性质,并能解决有关问题.
1.等比数列的定义及通项公式
【做一做 1】
A.3 B.9 答案:C
1 等比数列{an}的公比 q=3,a1= , 则������5 等于( 3
).
C.27 D.81
2.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a 与b的等比中项,这三个数满足关系式G2=ab. 【做一做2】 已知10是a与20的等比中项,则a= . 答案:5
1.等比数列的性质 剖析已知在等比数列{an}中,首项为a1,公比为q(q≠0),则an=a1· qn-1. (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}是递增数列;当q>1,a1<0 或0<q<1,a1>0时,数列{an}是递减数列;当q=1时,数列{an}是常数列; 当q<0时,数列{an}是摆动数列(它所有的奇数项同号,所有的偶数项 同号,但是奇数项与偶数项异号). (2)an=am· qn-m(m,n∈N*). (3)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,有am· an=ap· aq.但am+an≠ap+aq.当 2 m+n=2k(m,n,k∈N*)时,有am· an = ������������ . (4)若数列{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等, 且等于首末两项之积,即a1· an=a2· an-1=a3· an-2=…=am· an-m+1.
个数,根据中间两数之积为 16,将中间两数分别设为 , ������������ , 列方程解 得a,q.这样既可使未知量减少,同时解方程也较为方便.
等比数列的性质
1.复习巩固等比数列的概念及其通项公式. 2.掌握等比中项的应用. 3.掌握等比数列的性质,并能解决有关问题.
1.等比数列的定义及通项公式
【做一做 1】
A.3 B.9 答案:C
1 等比数列{an}的公比 q=3,a1= , 则������5 等于( 3
).
C.27 D.81
2.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a 与b的等比中项,这三个数满足关系式G2=ab. 【做一做2】 已知10是a与20的等比中项,则a= . 答案:5
1.等比数列的性质 剖析已知在等比数列{an}中,首项为a1,公比为q(q≠0),则an=a1· qn-1. (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}是递增数列;当q>1,a1<0 或0<q<1,a1>0时,数列{an}是递减数列;当q=1时,数列{an}是常数列; 当q<0时,数列{an}是摆动数列(它所有的奇数项同号,所有的偶数项 同号,但是奇数项与偶数项异号). (2)an=am· qn-m(m,n∈N*). (3)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,有am· an=ap· aq.但am+an≠ap+aq.当 2 m+n=2k(m,n,k∈N*)时,有am· an = ������������ . (4)若数列{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等, 且等于首末两项之积,即a1· an=a2· an-1=a3· an-2=…=am· an-m+1.
个数,根据中间两数之积为 16,将中间两数分别设为 , ������������ , 列方程解 得a,q.这样既可使未知量减少,同时解方程也较为方便.
2016-2017学年高中数学人教A必修5课件：2.4.2 等比数列的性质
又 cn＝an－1，∴q＝12.
∴{cn}是以－12为首项，公比为12的等比数列．
第二十五页，编辑于星期五：十六点 四分。
(2)由(1)可知 cn＝－12·12n－1＝－12n， ∴an＝cn＋1＝1－12n. ∴当 n≥2 时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1＝12n－1－12n＝12n. 又 b1＝a1＝12，代入上式也符合，∴bn＝12n.
第十五页，编辑于星期五：十六点 四分。
【自主解答】 法一 设前三个数为aq，a，aq， 则aq·a·aq＝216，所以 a3＝216，所以 a＝6. 因此前三个数为6q，6,6q. 由题意知第 4 个数为 12q－6. 所以 6＋6q＋12q－6＝12，解得 q＝23. 故所求的四个数为 9,6,4,2.
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【自主解答】 (1)证明：∵an＋Sn＝n， ①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.
②
②－①得 an＋1－an＋an＋1＝1.
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴aan＋n－1－11＝12，∵首项 c1＝a1－1，
又 a1＋a1＝1，∴a1＝12，∴c1＝－12，
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项 的 积 ，即 a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 3．两等比数列合成数列的性质 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c 为不等于 0 的常数，则数列{can}，{an·bn}， abnn也为 等比数列 ．