八年级数学上册 第二章 实数

第二章实数

目录

第二章实数 (1)

第一课时：实数的认识 (1)

知识要点一：认识无理数 (1)

知识要点二：平方根 (1)

知识要点四：算术平方根 (2)

拓展：随机的n (3)

知识要点五：立方根 (3)

知识要点五：估算无理数的大小 (4)

知识要点六：实数的概念 (5)

知识要点七：实数的性质 (5)

知识要点八：实数与数轴 (6)

知识要点九：实数的比较大小 (8)

知识要点10：实数的运算 (9)

总练习题 (9)

C 基础巩固 (9)

B 能力提升 (10)

A 拔尖训练 (11)

第二课时：二次根式的性质、化简与运算 (12)

知识要点一：二次根式的概念 (12)

知识要点二：二次根式有意义的条件 (12)

知识要点三：二次根式的性质与化简 (13)

知识要点四：最简二次根式 (13)

知识要点五：分母有理化 (14)

知识要点六：二次根式的乘除法 (15)

知识要点七：同类二次根式 (16)

知识要点八：二次根式的加减法 (16)

知识要点九：二次根式的混合运算 (17)

知识要点十：二次根式的化简求值 (17)

知识要点十一：二次根式的应用 (18)

总练习题 (19)

C 基础巩固 (19)

B 能力提升 (19)

A 拔尖训练 (20)

第一课时：实数的认识

知识要点一：认识无理数

伟大的数学家——毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了.可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m 等于多少？是整数呢，还是分数？这个问题引起了学派成员希帕斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希帕斯断言：m 既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数．

希帕斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础，为

此引起了他们的恐慌．为了维护学派的威信，他们残忍地将希帕斯扔进地中海．这样，无理数的发现人被谋杀了！

定义1 无限不循环小数叫做无理数。

常见的无理数的类型：

（1）有规律但不循环的小数；

（2）有特定意义的符号，如π；

（3）方开不尽的数（见知识要点二之开方的概念）。

练习：

（1）下列说法正确的是( )

A.无限小数是无理数

B.无理数是无限小数

C.两个无理数的和一定是无理数

D.两个无理数之和一定是有理数

（2）在0、1010010001.0/27-7

2241.331601.04-3、、、、、、 π

（相邻两个1之 间0的个数逐次加1个）中，属于无理数的是 。

（3）在2017321 ，，，中共有 个无理数。

知识要点二：平方根

定义2 一般的，如果一个数x 的平方等于a.即a x =2，那么这

个数x 叫做a 的平方根；求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数。 记作:a x ±=。

注意：一个整数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是

零，负数没有平方根。

练习：

（1）已知：()04-122=++y x ，则=+22y x 。

（2）若1915-+a a 和都是M 的平方根，则M 的值为 。

（3）已知575.893.2,75.8526.922==；当008575.0,857500,5.857222===z y x 求z y x 、、的值。

知识要点四：算术平方根

定义3 如果一个正数x 的平方等于a ，那么x 叫做a 的算术平方根，记作：a ，读作：根号a 。

注意： 零的算术平方根是零，记作：00=。

练习：

（1）下列说法：1）4的算术平方根是2；2）-36没有算术平方根；

3)一个数的算术平方根一定是正数；4）2a 的算术平方根是a ；

其中正确的个数有 个。

（2）当63-a 的值为最小值时，a= ______。

（3）已知()()=----=-+n m n m m n m ,36353-622 。

（4）已知n n 24+是整数，则正整数n 的最小值是______。

拓展：随机的

n

知识要点五：立方根

定义4 如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根，记作：3a x =。

立方根的性质：

① 任何实数都有立方根，且只有一个；

② 正数有一个正的立方根；零的立方根是零；负数有一个负的

立方根；

③ ()a a =3

3 a a =33 a a -=-33 练习：

（1）若312-a 和33-1b 互为相反数，则=b

a 。

（2）若06533=-+-y x ，则=+y x 。

（3）已知372b 是一个正整数，试写出满足要求的最小正整数b. 知识要点五：估算无理数的大小

估算一个无理数的大致范围，一般先估算出正数部位，再逐层“夹

逼”其范围，得出近似数；我们通过对带根号的无理数的估算，不仅让同学们增强对“”和“3”这两种符号的理解，而且能让提个醒儿们实实在在的体会到了无理数的存在性，并对无理数的大小的估算方法有所了解。

（1）若190+<

（2）118+的整数部分是a ，小数部分是b ，则13422++-b a a =

（3）已知x 是10的正合适部分，y 是10的小数部分，求()

1

10--x y 的平方根。

知识要点六：实数的概念

知识要点七：实数的性质

1、实数的分类

(1) 按定义分：

???

????????????数无理数：无限不循环小无限循环小数有限小数分数整数有理数实数 有理数

整数 正整数 零

负整数 分数 正分数

负分数

限循环小数 无限不循环小

数

(2) 按性质分：正实数、零、负实数。

2、实数的相反数、倒数、绝对值

相反数：实数a 的相反数是-a

倒 数：非零实数a （0≠a ）的倒数是a

1

绝对值：设a 表示一个实数，则 ()()()??

???<-=>=0000a a a a a a 练习：

（1）若实数a 满足1-=a a

，则( )

A. a ＞0

B.a ＜0

C.a ≥0

D.a ≤0

（2）若x ，y 互为倒数，则2xy ﹣2=______．

（3）设a ，b ，c 为不为零的实数，那么c

c b b a a x ++=

的不同的取值共有( )

A.6种

B.5种

C.4种

D.3种 知识要点八：实数与数轴

数轴上任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数也都可以

用数轴上的一个点来表示。即：实数与数轴上的点一一对应。

练习：

（1）如图，OB=OA=2，且点A 表示的数为x ，则102-x 的立方根为( )

A.10

-

2 C.2 D.﹣2

2 B.-10

-

（2）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右无滑动地滚动一周，原点滚到了点A，下列说法正确的( )

A.点A所表示的是π

B.OA上只有一个无理数π

C.数轴上无理数和有理数一样多

D.数轴上的有理数比无理数要多一些

（3）已知，三个实数a，b，c在数轴上的点如图所示，|a﹣b|+|c ﹣a|﹣|c+b|的值可能是( )

A.2a

B.2b

C.2c

D.﹣2a

针对练习：

（1）比较大小（差值法）：5-3与32+

（2）比较大小（平方法）：31067++与

（3）比较大小（倒数法）：6-75-6与

（4）比较大小（数形结合法）：已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，比较a 、-a 、b 、-b 、c 、-c 的大小

思考：比较223344555432、、、

的大小 练习：

（1）三个数，﹣π，﹣3.14，﹣3的大小关系是 。

（2）若0＜x ＜1，则x ，x x x 12、、中，最小的数是 。

（3）如果a+b ＜0，且b ＞0，那么a 、b 、﹣a 、﹣b 的大小关系为

练习：

（1）计算，()328--2-3416-91?+=

（2）已知a ，b 都是正整数，且18=+b a ，则a+b= 。

（3）若a

总练习题

C 基础巩固

（1）下列实数中，是无理数的是( )

A.7

11 B.0.1010010001 C. 39 D.0 （2）在数﹣3.14，2，0，π，16 0.1010010001…中无理数的个数有( )

A.3个

B.2个

C.1个

D.4个 （3）16的平方根等于( )

A.2

B.-4

C.±4

D.±2

（4）一个数的算术平方根是x ，则比这个数大2的数的算术平方根是( )

A. 22+x

B.2+x

C.22-x

D.22+x

（5）若一个数的平方根为a ，立方根为b ，则下列说法正确的是（ ）

A.a ＞b

B.a ＜b

C.a=b

D.都有可能

（6）m 没有平方根，且|m+1|=2，则m=______．

（7）一个正数m 的两个平方根分别是a+1和a ﹣5，则a=______ ，m=______．

（8）当63-a 的值为最小值时，a= ______．

（9）已知a 、b 为实数，且()0111=---+b b a ，求20122011b a -的值

B 能力提升

（1）比较2，375，的大小，结果是 。

（2）如果a+b ＜0，且b ＞0，那么a 、b 、﹣a 、﹣b 的大小关系为( )

A. a ＜b ＜﹣a ＜b

B.﹣b ＜a ＜﹣a ＜b

B. a ＜﹣b ＜﹣a ＜b D.a ＜﹣b ＜b ＜﹣a

（3）如图，面积为5的正方形ABCD 的顶点A 在数轴上，且表示的数为1，若AD=AE ，则数轴上点E 所表示的数为( )

A. -5

B.5-1

C.2

5-1- D.5-23 （4）已知8.62=73.96，若x2=0.7396，则x 的值等于______。

（5）在CCTV “开心辞典”栏目中，主持人问这样一道题目：“a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是平方根等于本身的数，请问：a ，b ，c 三数之和是”( )

已知（x ﹣y-6）的算术平方根和(y+5)2互为相反数，则x

y 5-

的平方根为______.

（6）下面有3个结论： （1）存在两个不同的无理数，它们的差是整数； （2）存在两个不同的无理数，它们的积是整数； （3）存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数． 其中正确的结论有 。

（7）已知a ，b 满足04

5

4422=++-+b a b a ，则-ab 的平方根为 。 A 拔尖训练

（1）化简表达式n a a a a 333317116013117160131-+--+-（其中n 为大于2的奇数），

所得的结果等于 。

（2）已知x ，y 都是有理数，且满足方程042313121=--??

? ??++??? ??+ππy x ，则x-y= 。

（3）已知8个数： ()2

323231-232717-4--1416.3,2-12336.0,8-21????????+??? ??+，，，，，π 其中无理数有 。 （4）已知3132323132323,3,4b a b y b a a x b a +=+==+，则()()=-++3232y x y x 。

（5）如果a+b=3333,2200222002c b c b b a -=+-=-+，，

那么333c b a -的值为 。

第二课时：二次根式的性质、化简与运算

知识要点一：二次根式的概念

定义1 一般的，我们把形如()0≥a a 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

要点诠释：（1）根指数为2；（2）被开方数为非负数。 定义2 形如3,,,5x ab b a a +，这些式子，用基本的运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。

注意：如1+a 这类代数式只能称为含有二次根式的代数式，不能称之为二次根式；而3222++x x 这类代数式，应把这些32，二次根式看做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。

练习：

（1）2,1,27,,2,,11032222+-+++x x x a y x m ，，上述各式不是二次根式的是 。

（2）如果 n n m -是二次根式，那么m ，n 应满足的条件是 。

（3）下列各式中，()??? ??-<+≥--+2112,03,

1,4,1,3232a a a a m x m ，，一定是二次根式的为 。

知识要点二：二次根式有意义的条件

要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数 求二次根式中字母的取值范围的基本依据：

A. 被开方数大于或等于零；

B. 分母中有字母时，要保证分母不为零。

练习：

（1）无论x 取任何实数，代数式m x x +-62都有意义，则m 的取值范围是 。

（2）已知x x x =-+2017-2016，则22016-x 的值为 。

（3）已知实数a 满足a a a =-+2009-2008，那么22008-a 值是 。 知识要点三：二次根式的性质与化简

二次根式性质1：()00≥≥a a 双重非负性

例1：已知013-2=-+b a ，求a,b,的值

方法构想：如果几个非负数()()02≥a a a a 、、的和为0，那么每一个数都是0.

二次根式性质2:

()()02≥=a a a ， ()()

a a a a a a a =????≤-≥=2200 例2:已知xy<0，化简二次根式2x y x

-的结果为 。 例3：已知a

a a a -+=+662，则a 的取值范围为 。 知识要点四：最简二次根式

定义3：满足下列条件的二次根式叫做最贱二次根式，；

（1）被开方数中的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数侯因式。

定义诠释：最简二次根式（1）被开方数中各因式的指数都是1；（2）被开方数不含字母。

练习：

（1）下列二次根式中，那些是最简二次根式？哪些不是？

()ab x x x x b a b a 75.0;4

2;112;;21222>+--+ （2）已知223+--a b b a b 和是相等的最简二次根式，求a 、b 的值

（3）若53125--n m b a 为最简二次根式，且m 、n 为正整数，则n m -2= 。

知识要点五：分母有理化

分母有理化类型1：

a a

b a a a b a b =??= 分母有理化类型2：()()()()

a b a b c a b a b a b c a b c -+=+?-+=-2 分母有理化类型3：()()()()b a b a c b a b a b a c b a c

-+=+?-+=- 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式。

一般常见的有礼哈因式总结：

1)

a 2)

b a +的有理化因式为 a -

3) b n a +的有理化因式为 a -

4) b a + 5)

b n a m +的有理化因式为 a m - 练习：

（1）比较下列各组数的大小：1）1

-211-32与 2）5-66-7与

（2）化简：

5-322+ （3）若1

20162015-=m ，则20162015223---m m m 的值是 。 知识要点六：二次根式的乘除法 二次根式的乘法法则：ab b a =? 算术平方根的性质：()0;0≥≥?=b a b a ab

注意：a 、b 必须都是非负数，上式才能成立。

练习：

（1）对于任意实数x ，下列各式中一定成立的是（ ） A.1112+?-=-x x x B.()112+=+x x C.()()x x -?-=?4-4- D.24636x x =

（2）化简：=?-?3-b ab a 。

（3）设b a ==3,2，用含a 、b 的式子表示54.0，则下列表示正确的是（ ）

A.0.3ab

B.3ab

C.0.1ab 2

D.0.1a 2b 二次根式的除法法则：

()0;0≥≥=b a b a b

a

公式诠释：1）两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数；

2）如果根号前有系数，就把系数相除仍旧作为二次根号

前的系数。

注意：如果被开方数是带分数，先把它化成假分数。

思考：

33

--a a a a 和中实数a 的取值范围一样吗？为什么？ 练习： （1）化简：()064169-8133>???

? ??÷b b （2）化简：()0;0312122>>÷????

??÷a b b a a b a ab （3）已知

x x x x -=1-12，则x 的取值范围是 。 （4）???? ?

?-÷?32131221xy y x x = 。 知识要点七：同类二次根式

定义：把几个二次根式化成最简二次根式后，，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。

练习：

（1）下列二次根式，不能与12合并的是( )

A. 48

B.18

C.3

11 D.75- （2）若两个最简二次根式a a -92与可以合并，则a= 。

（3）如果最简二次根式a a 21783--与可以合并，那么使x a 24-有意义的x 的取值范围是______。

知识要点八：二次根式的加减法

二次根式的加减即为同类二次根式的合并。

二次根式加减法的步骤：

① 将每一个二次根式化为最简二次根式；

② 找出其中的同类二次根式；

③ 合并同类二次根式。

知识要点九：二次根式的混合运算

要点提示：：

1、二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先乘方，再乘除，最后加减，整式与分式的运算法则根式中仍然适用。

2、二次根式混合运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。

3、二次根式的混合运算中，每一个根式可看作是一个“单项式”，多个不是同类二次根式之和可以看作是一个多项式，因此多项式乘法法则及乘法公式在根式运算中，仍然适用，以简便计算。 练习：

（1）计算()????

??--+188124243224-32）（= 。 （2）已知119+的小数部分是a ，11-9的小数部分是b ，求734-+-ab a b 的值。

（3）已知2121-=+=n m ，，且()()876314722=--+-n n a m m ，则a 的值等于 。

知识要点十：二次根式的化简求值

有条件的二次根式的化简与求值问题往往联系着分解变形、整体代换等重要的数学思想方法，其解题的基本思路：

1、直接代入:直接将一直条件带入到待化简求值的式子中；

2、变形代入：适当的条件，适当的结论，同时变形条件与结论呢，再代入求值

练习：

（1）已知21,21-=+=y x ，则代数式222y xy x ++的值

为 。

（2）设ab b a ab m ?????

??-=1，其中a=3，b=2，则m 的值

为 。

（3）已知ab b a b a 6,0=+>>，则b

a b a +-的值为 。 知识要点十一：二次根式的应用

()()()

()()()()???????????≥≥==?=????≤-≥=≥=≥≥≥0b 0;a b a b a ;ab b a :运算规律a a 0a a 0a a a (3);0a a a 双重非负性；（2）0a 0a 性质：（1）的式子叫做二次根式0a a 形如概念：一般地，我们把二次根式222二次根式的加减即为同类二次根式的合并。

练习：

（1）设M 、x 、y 均为正整数，且y x M -=28-，则M y x ++的值是 。

（2）某小区有一块长方形的草地，这块草地的宽为(2-6)m ，为美化小区环境，给这块长方形草地四周安装白色的低矮栅栏，所需的栅栏的长度为(22-610)m ，那么这块草地的面积为 。

（3）已知(),2,03m n m m -=<-则n 的取值范围是 。

总练习题

C 基础巩固

（1）下列说法中①6-是二次根式，②a 是二次根式，③()0≥a a 是二次根式，④16不是二次根式，正确的有 。

（2）如果 m

n 是二次根式时，那么m 和n 应满足条件是 。

（3）如果实数x 、y 满足 111+-+-=x x y ，那么 3y x +的值是 。

（4）要使121-3-=

x x 有意义，则x 应满足 。 （5）已知：a =

3-21， b=321+ ，则a 与b 的关系是 。

（6）若22-+n m 和2233+-m m 都是最简二次根式，则m= ;n= 。

（7）计算ab

ab a 1?÷ 等于 。 （8）在根式①b a +2 ，②

5x ，③ xy x -2，④abc 27 中，最简二次根式有 。

（9）已知53,53-=+=b a ，则代数式22b ab a +-的值为 。

B 能力提升

（1）已知6232=-m m ，那么532

332+-m m 的值为 。