常用坐标系之间的关系与转换
空间大地坐标系及平面直角坐标系转换公式
§2.3.1 坐标系的分类正如前面所提及的,所谓坐标系指的是描述空间位置的表达形式,即采用什么方法来表示空间位置。
人们为了描述空间位置，采用了多种方法，从而也产生了不同的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等。
在测量中常用的坐标系有以下几种：一、空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标系原点位于参考椭球的中心，Z 轴指向参考椭球的北极，X 轴指向起始子午面与赤道的交点，Y 轴位于赤道面上且按右手系与X 轴呈90°夹角。
某点在空间中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
空间直角坐标系可用图2-3来表示：图2-3 空间直角坐标系二、空间大地坐标系空间大地坐标系是采用大地经、纬度和大地高来描述空间位置的。
纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间中的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高是空间点沿参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。
空间大地坐标系可用图2-4来表示：图2-4空间大地坐标系三、平面直角坐标系平面直角坐标系是利用投影变换，将空间坐标空间直角坐标或空间大地坐标通过某种数学变换映射到平面上，这种变换又称为投影变换。
投影变换的方法有很多，如横轴墨卡托投影、UTM 投影、兰勃特投影等。
在我XX 用的是高斯-克吕格投影也称为高斯投影。
UTM 投影和高斯投影都是横轴墨卡托投影的特例，只是投影的个别参数不同而已。
高斯投影是一种横轴、椭圆柱面、等角投影。
从几何意义上讲，是一种横轴椭圆柱正切投影。
如图左侧所示，设想有一个椭圆柱面横套在椭球外面，并与某一子午线相切〔此子午线称为中央子午线或轴子午线〕，椭球轴的中心轴CC ’通过椭球中心而与地轴垂直。
高斯投影满足以下两个条件：1、 它是正形投影；2、 中央子午线投影后应为x 轴，且长度保持不变。
将中央子午线东西各一定经差〔一般为6度或3度〕X 围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面沿某一棱线展开，便构成了高斯平面直角坐标系，如以下图２－５右侧所示。
直角坐标系转换成圆柱坐标系单位坐标矢量
直角坐标系转换成圆柱坐标系单位坐标矢量直角坐标系和圆柱坐标系是数学中常见的两种坐标系。
在进行几何或物理问题的分析和计算时，我们经常需要在不同坐标系之间进行转换。
本文将重点介绍如何将直角坐标系中的单位坐标矢量转换为圆柱坐标系中的单位坐标矢量。
直角坐标系直角坐标系是平面几何中常见的坐标系，它由x轴和y轴组成，其中原点为坐标系的起点。
我们可以使用(x, y)来表示该坐标系中任意一点的位置。
在直角坐标系中，单位坐标矢量可以表示为：i = (1, 0)j = (0, 1)其中i代表x轴方向的单位矢量，j代表y轴方向的单位矢量。
圆柱坐标系圆柱坐标系是三维空间中常见的坐标系，它由极径r、极角θ和高度z组成。
我们可以使用(r, θ, z)来表示该坐标系中任意一点的位置。
在圆柱坐标系中，单位坐标矢量可以表示为：ρ = (1, 0, 0)ϕ = (0, 1, 0)k = (0, 0, 1)其中ρ代表ρ轴方向的单位矢量，ϕ代表ϕ轴方向的单位矢量，k代表z轴方向的单位矢量。
坐标系转换接下来，我们将会详细介绍如何将直角坐标系中的单位坐标矢量转换为圆柱坐标系中的单位坐标矢量。
在进行转换之前，我们先来看一下直角坐标系和圆柱坐标系之间的关系。
在圆柱坐标系中，x轴的正方向与ρ轴的重合，y轴的正方向与ϕ轴的重合，z轴的正方向与k轴的重合。
那么可以得到以下关系：ρ = x·cos(θ) + y·sin(θ)ϕ = -x·sin(θ) + y·cos(θ)z = z通过对上述关系进行求导，我们可以得到单位坐标矢量之间的转换关系。
单位坐标矢量的转换如下：ρ = i·cos(θ) + j·sin(θ)ϕ = -i·sin(θ) + j·cos(θ)k = k示例为了更好地理解直角坐标系到圆柱坐标系单位坐标矢量的转换过程，我们来看一个示例。
假设有一个点P在直角坐标系中的位置为(3, 4)，我们需要将该点的单位坐标矢量转换为圆柱坐标系中的单位坐标矢量。
常用坐标系
一、常用坐标系1、北京坐标系北京54坐标系为参心大地坐标系，大地上的一点可用经度L54、纬度M54和大地高H54定位，它是以克拉索夫斯基椭球为基础，经局部平差后产生的坐标系。
1954年北京坐标系的历史：新中国成立以后，我国大地测量进入了全面发展时期，再全国范围内开展了正规的，全面的大地测量和测图工作，迫切需要建立一个参心大地坐标系。
由于当时的“一边倒”政治趋向，故我国采用了前苏联的克拉索夫斯基椭球参数，并与前苏联1942年坐标系进行联测，通过计算建立了我国大地坐标系，定名为1954年北京坐标系。
因此，1954年北京坐标系可以认为是前苏联1942年坐标系的延伸。
它的原点不在北京而是在前苏联的普尔科沃。
北京54坐标系，属三心坐标系，长轴6378245m，短轴6356863，扁率1/298.3；2、西安80坐标系1978年4月在西安召开全国天文大地网平差会议，确定重新定位，建立我国新的坐标系。
为此有了1980年国家大地坐标系。
1980年国家大地坐标系采用地球椭球基本参数为1975年国际大地测量与地球物理联合会第十六届大会推荐的数据，即IAG75地球椭球体。
该坐标系的大地原点设在我国中部的陕西省泾阳县永乐镇，位于西安市西北方向约60公里，故称1980年西安坐标系，又简称西安大地原点。
基准面采用青岛大港验潮站1952－1979年确定的黄海平均海水面（即1985国家高程基准）。
西安80坐标系，属三心坐标系，长轴6378140m，短轴6356755，扁率1/298.257221013、2000国家大地坐标系的定义国家大地坐标系的定义包括坐标系的原点、三个坐标轴的指向、尺度以及地球椭球的4个基本参数的定义。
2000国家大地坐标系的原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心；2000国家大地坐标系的Z轴由原点指向历元2000.0的地球参考极的方向，该历元的指向由国际时间局给定的历元为1984.0的初始指向推算，定向的时间演化保证相对于地壳不产生残余的全球旋转，X轴由原点指向格林尼治参考子午线与地球赤道面（历元2000.0）的交点，Y轴与Z轴、X轴构成右手正交坐标系。
空间大地坐标系与平面直角坐标系转换公式
§坐标系的分类正如前方所说起的 ,所谓坐标系指的是描绘空间地点的表达形式 ,即采纳什么方法来表示空间地点。
人们为了描绘空间地点，采纳了多种方法，进而也产生了不一样的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等。
在丈量中常用的坐标系有以下几种：一、空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标系原点位于参照椭球的中心，Z 轴指向参照椭球的北极，X 轴指向开端子午面与赤道的交点，Y 轴位于赤道面上且按右手系与X 轴呈 90°夹角。
某点在空间中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
空间直角坐标系可用图2-3来表示：图 2-3 空间直角坐标系二、空间大地坐标系空间大地坐标系是采纳大地经、纬度和大地高来描绘空间地点的。
纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间中的点与参照椭球的自转轴所在的面与参照椭球的开端子午面的夹角；大地高是空间点沿参照椭球的法线方向到参照椭球面的距离。
空间大地坐标系可用图2-4 来表示：图 2-4 空间大地坐标系三、平面直角坐标系平面直角坐标系是利用投影变换，将空间坐标空间直角坐标或空间大地坐标经过某种数学变换映照到平面上，这类变换又称为投影变换。
投影变换的方法有好多，如横轴墨卡托投影、 UTM 投影、兰勃特投影等。
在我国采纳的是高斯-克吕格投影也称为高斯投影。
UTM 投影和高斯投影都是横轴墨卡托投影的特例，不过投影的个别参数不一样而已。
高斯投影是一种横轴、椭圆柱面、等角投影。
从几何意义上讲，是一种横轴椭圆柱正切投影。
如图左边所示，假想有一个椭圆柱面横套在椭球外面，并与某一子午线相切（此子午线称为中央子午线或轴子午线），椭球轴的中心轴CC’经过椭球中心而与地轴垂直。
高斯投影知足以下两个条件：1、它是正形投影；2、中央子午线投影后应为x 轴，且长度保持不变。
将中央子午线东西各必定经差（一般为 6 度或 3 度）范围内的地域投影到椭圆柱面上，再将此柱面沿某一棱线睁开，便组成了高斯平面直角坐标系，以以下图２－５右边所示。
椭球面上的常用坐标系及其相互关系
§6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系6.2.1大地坐标系 P 点的子午面NPS 与起始子午面NGS 所构成的二面角L ，叫做P 点的大地经度，由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°～180°），向西为负，叫西经（0o～180°）。
P 点的法线Pn 与赤道面的夹角B ，叫做P 点的大地纬度。
由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°～90°）；向南为负，叫南纬(0°～90°)。
大地坐标系是用大地经度L 、大地纬度B 和大地高H 表示地面点位的。
过地面点P 的子午面与起始子午面间的夹角叫P 点的大地经度。
由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°~180°），向西为负，叫西经（0°~-180°）。
过P 点的椭球法线与赤道面的夹角叫P 点的大地纬度。
由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°~90°），向南为负，叫南纬（0°~-90°）。
从地面点P 沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。
大地坐标坐标系中，P 点的位置用L ,B 表示。
如果点不在椭球面上，表示点的位置除L ,B 外，还要附加另一参数——大地高H ，它同正常高正常H 及正高正H 有如下关系 ⎪⎭⎪⎬⎫+=+=)()(大地水准面差距高程异常正正常N H H H H ζ6.2.2空间直角坐标系以椭球体中心O 为原点，起始子午面与赤道面交线为X 轴，在赤道面上与X 轴正交的方向为Y 轴，椭球体的旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O -XYZ ，在该坐标系中，P 点的位置用Z Y X ,,表示。
地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z 轴指向地球北极，x 轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y 轴垂直于XOZ 面并构成右手坐标系。
6.2.3子午面直角坐标系设P 点的大地经度为L ，在过P 点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立y x ,平面直角坐标系。
常用坐标系之间的关系与转换
7.5 常用坐标系之间的关系与转换一、大地坐标系和空间大地直角坐标系及其关系 大地坐标系用大地纬度企丈地经度L 和丈地髙H 来表示点的位置°这种坐标系是经 典大地测量甬:両用座标紊7屜据地图投影的理论,大地坐标系可以通过一定的投影转 化为投影平面上的直角坐标系，为地形测图和工程测量提供控制基础。
同时，这种坐标系 还是研究地球形状和大小的 种有用坐标系°所以大地坐标系在大地测量中始终有着重要 的作用.空间大地直角坐标系是-种以地球质心为原点购亘墮®坐标系，一般用X 、化Z 表 示点BSSTSTT 逐碇SS 範菇飞両H 绕禎扭转冻其轨道平面随时通过 地球质心。
对它们的跟踪观测也以地球质心为坐标原点，所以空间大地直角坐标系是卫星 大地测量中一种常用的基本坐标系。
现今，利用卫星大地测量的手段*可以迅速地测定点的空间大地直角坐拯，广泛应用于导航定位等空间技术。
同时经过数学变换，还可求岀点 的大地坐标I 用以加强和扩展地面大地网，进行岛屿和洲际联测，使传统的大地测量方法 发生了深刻的变化，所以空间大地宜角坐标系对现今大地测量的发展’具有重要的意义。
、大地坐标系和空间大地直角坐标系的转换如图7- 23所示’尸点的位置用空间 大地直角坐标〔X, Y, Z)表示，其相应 的大地坐标为(E, L)a 将该图与图？一5加以比较可见，图7-5中的子午椭圆平面 相当于图7-23中的OJVP 平面.其中 PPz=Z.相当于图7-5中的j7；OP 3相当 丫于图7-5中的仏两平面的经度乙可视为相同，等于"叽 于是可以直接写岀X=jrcQsi f Y=jrsinL, Z=y将式(7-21).式(7-20)分别代入上式, 井考虑式(7-26)得X=Ncos^cosZr ”Y =NcQsBsinL > (7—78)Z=N (1—护〉sin^ ；上式表明了 2种基本坐标系之间的关系。
BB 7-231.由大地坐标求空间大地直角坐标当已知椭球面上任一点P 的大地坐标(B, L)时，可以按式(7-78)直接求该点的 空间大地直角坐标(X, Y, Z)。
enu坐标系和xyz坐标系的对应关系
ENU坐标系和XYZ坐标系是空间中常用的两种坐标系，它们分别用于描述不同的方向性和空间关系。
对于工程建模、导航和飞行控制等领域，了解它们的对应关系十分重要。
1. ENU坐标系概述ENU坐标系是一种东北天坐标系，也称为本地坐标系。
其中E代表东（East），N代表北（North），U代表天（Up）。
在ENU坐标系中，X轴指向东方，Y轴指向北方，Z轴指向天空。
这种坐标系常用于描述飞行器的运动状态和导航位置，其坐标原点一般设定为起飞点。
2. XYZ坐标系概述XYZ坐标系是一个惯性坐标系，也称为地球坐标系或世界坐标系。
其中X轴指向赤道上的经度为零的点，Y轴指向赤道上的经度90度的点，Z轴指向地球自转轴的北极。
这种坐标系常用于工程建模、计算机图形学和机器人技术中，描述物体的位置和运动。
3. ENU坐标系与XYZ坐标系的对应关系为了在不同坐标系间进行转换和配准，需要了解ENU坐标系和XYZ坐标系的对应关系。
具体来说，可以通过以下方式进行对应：- ENU坐标系的X轴对应XYZ坐标系的Y轴- ENU坐标系的Y轴对应XYZ坐标系的X轴- ENU坐标系的Z轴对应XYZ坐标系的-Z轴4. 应用举例在飞行器导航与控制中，常常需要将GPS坐标（一般为XYZ坐标系下的）转换为ENU坐标系下的坐标，以便进行准确的定位和路径规划。
另外，在工程建模中，有时也需要将地理坐标转换为局部坐标系以便进行精细化的建模和分析。
总结：ENU坐标系和XYZ坐标系是空间中常用的两种坐标系，它们分别用于描述不同的方向性和空间关系。
对于飞行器导航与控制、工程建模和其他相关领域，了解它们的对应关系具有重要意义。
希望通过本文的介绍，读者能够对这两种坐标系有更进一步的了解，并能够在实际应用中灵活运用。
在飞行器导航和控制中，对于ENU坐标系和XYZ坐标系的对应关系有着重要的应用。
在现代航空领域，飞行器需要准确地进行定位和导航，ENU坐标系的对应关系就成了十分关键的一环。
常用坐标系及其变换
§2-2 常用坐标系及其变换坐标系的定义：坐标系是量测物体的质心或质点在空间的相对位置，以及物体在空间的相对方位所使用的基准线组。
引入坐标系的目的：1 确切地描述飞行器的运动状态。
2 研究飞行器运动参数的变化规律。
1 惯性坐标系定义：一、常用坐标系的定义¾近程导弹飞行力学中，忽略地球的自转和公转，将与地球固连的坐标系看作惯性坐标系。
¾远程导弹飞行力学中，应考虑地球自转，将以地心为原点，坐标轴不随地球自转而转动的坐标系看作惯性坐标系。
在空间位置不变或作直线运动的坐标系。
实际应用时应注意的问题：2 直角坐标系定义：又称“笛卡儿坐标系”，轴线互相垂直的坐标系。
原点：发射点（发射飞行器时的惯性中心上）地面坐标系（）轴：指向任何方向，通常取指向目标的方向。
轴：轴：d ddOXY Z O d OY d OX d OZ 与轴垂直，并位于过O 点的铅垂面内，指向上方。
d OX 与、轴垂直并组成右手坐标系。
dOX d OY特点：固连于地球表面，随地球一起转动可以看作惯性系。
由于有翼导弹飞行距离小、飞行时间短，因此可以把地球看作静止的，并把地球表面看作平面，此时可以将地面系看作惯性系。
对于近程导弹来说，可以认为重力与Y轴平行，方向相反。
地面，取包含发射点的水平面或称切平面。
基准面：目的：决定飞行器重心移动的规律、空间的姿态、导弹速度方向。
原点：导弹的质心。
弹体坐标系（）轴：沿纵轴，指向头部为正。
轴：轴：111OX Y Z O 1OY 1OX 1OZ 与轴垂直，并位于纵向对称平面内，指向上方为正。
1OX 弹体纵向对成平面垂直，并与、轴组成右手坐标系。
1OX 1OY特点：与弹体固连，相对于弹体不动；动坐标系。
目的：决定导弹相对于地面坐标系的姿态；把导弹旋转运动方程投影到该坐标系上，可以使方程式简单清晰。
导弹气动力矩三个分量沿此系分解；常用于研究导弹的稳定性和操纵性。
原点：导弹的质心。
弹道固连系（）轴：与飞行速度方向一致。
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7.5 常用坐标系之间的关系与转换一、大地坐标系和空间大地直角坐标系及其关系大地坐标系用大地纬度企丈地经度L 和丈地髙H 来表示点的位置°这种坐标系是经 典大地测量甬:両用座标紊7屜据地图投影的理论,大地坐标系可以通过一定的投影转 化为投影平面上的直角坐标系，为地形测图和工程测量提供控制基础。
同时，这种坐标系 还是研究地球形状和大小的 种有用坐标系°所以大地坐标系在大地测量中始终有着重要 的作用.空间大地直角坐标系是-种以地球质心为原点购亘墮®坐标系，一般用X 、化Z 表 示点BSSTSTT 逐碇SS 範菇飞両H 绕禎扭转冻其轨道平面随时通过 地球质心。
对它们的跟踪观测也以地球质心为坐标原点，所以空间大地直角坐标系是卫星 大地测量中一种常用的基本坐标系。
现今，利用卫星大地测量的手段*可以迅速地测定点的空间大地直角坐拯，广泛应用于导航定位等空间技术。
同时经过数学变换，还可求岀点 的大地坐标I 用以加强和扩展地面大地网，进行岛屿和洲际联测，使传统的大地测量方法 发生了深刻的变化，所以空间大地宜角坐标系对现今大地测量的发展’具有重要的意义。
、大地坐标系和空间大地直角坐标系的转换如图7- 23所示’尸点的位置用空间 大地直角坐标〔X, Y, Z)表示，其相应 的大地坐标为(E, L)a 将该图与图？一5上式表明了 2种基本坐标系之间的关系。
加以比较可见，图7-5中的子午椭圆平面 相当于图7-23中的OJVP 平面.其中 PPz=Z.相当于图7-5中的j7；OP 3相当 丫于图7-5中的仏两平面的经度乙可视为相同，等于"叽 于是可以直接写岀X=jrcQsi f Y=jrsinL, Z=y将式(7-21).式(7-20)分别代入上式, 井考虑式(7-26)得X=Ncos^cosZr ”Y =NcQsBsinL > (7—78)Z=N (1—护〉sin^ ；BB 7-231.由大地坐标求空间大地直角坐标当已知椭球面上任一点P 的大地坐标(B, L)时，可以按式(7-78)直接求该点的 空间大地直角坐标(X, Y, Z)。
如果P 点不恰好位于椭球面，例如位于大地高为H 的H 点处，此时由大地坐标求空间大地直角坐标的公式则为X=y=z=L=arctan §利用上式可直接由空间大地直角坐标X 、Y 求出大地经度厶。
为了求岀B 和H,还应对公式作些变化，以适应迭代计算的需要。
由公式(7-79)第一、三式得 (N 十H) ZcosL・ a” = (1_e2)式中，cos 厶仍由式(7-79)得出cos.—(N +H )COS B~ yy2_|_y2代入前式又由式(7-79)得 H = --------- 7：— NcosB式(7-81).式(7-82)就是求3、H 的迭代公式。
迭代开始时设N Q = Q随后，每次迭代按下列公式进行N { — —— __ —V 1—，sin 叨—cosB —(N+H) cosBcos L] (N 十H) cosBsinL、 〔N (1—e 2) +刃〕sinBJ2.由空间大地直角坐标求大地坐标 当已知X 、y 、Z 反求B 、L 、H 时，可以采用直接解法或迭代解法。
由公式(7-79)第…、二两式得(7-79) (7-80)B=arctanVX^Y 2 (7-81)(7-82)B 0=arctanHo=+ W+Z2_ 应 2 VX 2^Y 2厂〕宜至b-B—和Hi-H—小于要求的限值为止。
一般，在要求H精确至0.001m、占精确至0.0000/时，需要迭代4次。
三、不同空间大地直角坐标系的换算利用“GPS”定位所获取的点位属于空间大地直弟坐标系。
可是由于各国所采用的参考椭球及其定位不同，参考椭球中心也不和地球质心重合，所以世界上存在着各不相同的空间大地直角坐标系。
为了将“GPS”定位成果转换成各自需用的成果，就出现了不同空间大地直角坐标系的换算。
这在“GPS”定位的数据处理中，应用十分广泛.在高等数学的解析几何里，曾经论证了二维直角坐标系中，当坐标轴旋转角度。
时(图7-24),用旧系坐标表示新系坐标的公式为.. > (7-33)丁弄=—日sma-F^ia costfj在三维空间直角坐标系中，新、旧两坐标系的变换需要在3个坐标平面上，分别通过3次转轴才能完成。
如图7-25所示.2个空间大地直角坐标系和0 —心Yirr Z e ,它们的原点一致，但相应的坐标轴互不平行，存在微小差异。
按以下步骤进行转轴可以将o—心丫旧乙日转换成o-x新第一*保持OZ时轴不动，绕其将OX" ox日轴錠转微小角度殳，旋转后的坐标轴设为OX\ OY\ OZ\则有X* —X^ cose.+Yjg sine fY1= —X|日sin®十F旧cose s ZT日<7-84)图7—25第二，保持OF 轴不动，绕其将OZJOX ，轴旋转微小角度旋转后的坐标轴设为OX"、OY\ OZ\ 则有X"= X ，cos®—Z'sin^Yr=r > (7-85)Z"=X'sin£Y+Z'cos&Y,第三，保持OX"轴不动，绕其将0严、OZ"轴旋转微小角度匕，旋转后的坐标轴设为 OX*、OY 祈、OZ 輪,则有X^=X n *=y"coss+Z"sin£x [(7-86)= 一y"sinEx+Z"cos&x这样，将O 一X 旧Y 旧Z 旧分别绕3个坐标轴旋转了 3个微小角度£z 、弘5,使其和 O —天新丫新Z 新重合。
£x 、£丫、£z 称为欧勒角。
将式(7—84)代入式(7—85),再代入式(7 — 86),由于馭、£丫、£乙是秒级微小量，略 去其正弦、余弦函数展开式中2次及以上各项，得当新、旧2个坐标系的原点不相一致时，还需根据坐标轴的平移原理，将旧系原点移至新系原点，其变化公式为式中，X 。
、y 。
、Z 。
称为3个平移参数，是旧坐标系原点在新坐标系中的3个坐标分量。
若再考虑两个坐标系的尺度比例也不一致，即存在有尺度变化的参数，设为虹则有Xgf=Xo+ (1+上)Xia+®YiB—£Y Z(.日丫新=丫。
+ (1+“)丫旧一叨^+谄旧》(7—88)Zjfi=Zo+ (1+&) Zig+Cy^S -€X Y|0 .上式即为布尔莎公式。
公式中存在7个参数：3个平移参数X 。
、丫。
和Z 。
，3个旋转参 数昭为、切1个尺度变化参数虹习惯上称这种换算法为七参数法。
七参数法除布尔莎 公式外，还有莫洛琴斯基公式和范士公式等。
由公式(7-88)可知，由一个坐标系换算成另一个坐标系，必须知道其转换参数。
转 换参数可以通过联测一些公共点获得，因为通过公共点联测，可以得到这些公共点在新、IB 2个坐标系中的坐标值，于是就可以利用公式(7-88)求出转换参数。
当公共点数较多时, 观测方程式个数就大丁所求参数个数，这时还可根据测董平差原理列立观测值的误差方程 式，组成并解算法方程，求得转换参数。
(7-87)Xgj =X|日+£疔旧r£yZ 日2新=2旧十£丫乂旧一5丫旧X 新=Xo+X|日+£疔口 — £丫乙日四、不同大地坐标系的换算地面点在椭球面上的位置，是由一定元素和定位的椭球所规定的.如果选择的椭球元 素和定位发生变化，地面点在椭球面上的大地坐标必将随之变化•根据椭球元素和定位的 变化推求点的大地经纬度和大地高变化的公式，叫做大地坐标微分公式，它是不同大地坐 标换算的基础，下面首先来推导大地坐标微分公式。
由公式(7-79)可以看出，点的空间大地直角坐标是椭球几何元素(用长半径◎和扁 率产表示)和椭球定位元素(吕、L 、H)的函数口当椭球元素和定位结果发生了变化时，点 的空间大地直角坐标必然发生变化*取式(7-79)的全微分，即dN 37Vde 3 f找、丄 M . 石=厉石=厉卫(1 一代曲⑵一刃石 ⑵-r)2匚严历需=磊〔復 t l-ehin 2B )3 =^sinBcosB则根据式(7-79)可以求出二 ^cosBcosL= -cosBcosL da a寻=^cosBcosL= y^jcosBcosLsin 2BcosBcosL — (N+H) sin£cosZ=— (M+H) sinBcosL将以上5式代入式(7-89)第1式得考虑到(7-89)3XoU 3X dL = ~(N+H) cosBsinL dX dH=cosBcosL dX 器也+訓/•+報盼報"爲dN d r, , j > NdX=NcosBcos 厶虫+McosBcos 厶sin?" 7^7— (M+Z/) sinBcosLdB a 1—/—(N+H) cosBsinLd£+cosBcosLd/l同理 dy=NcosBsinL — 4-A/cosBsinLsin 2B 7^7— (M+H) sinBsin 厶dB a 1—j + (M+H) cosBcosLdL+cosBsinLdHdZ=N (1—e 2) sinB ——M (l+cos z B —^2sin 2B) sinB 县： a- 1—J+ (M+H) cosBdB+sinBdH若以dH 、dB 、d 厶为未知数解算以上3式，则得dH=cosBcosLdX+cosBsinLdY+sinBdZ —N (1—^2sin 2B)乎+M (l-e 2sin 2B) sin 2BdB=肚*芳〔一sinBcosLdX —sinBsinLdy-4-cosBdZ+WsinBcosB 乎+M (2-？siiM) sinBcosB 筲〕dL= XT } rj (—secBsin£dX+secBcosLdy)h+H 式中，血、”表示椭球元素(长半径、扁率)的变化；dx 、収、dz 表示楠球中心的变化, 即椭球定位的变化。
因此，式(7-91)就是由于椭球元素和定位变化引起点的大地坐标变 化的公式，亦即大地坐标微分公式。
将上式代入下式，即得不同大地坐标系的换算公式力新=厶旧+d 厶}B^=B^+dB [日新=H 旧+dH ：当考虑欧勒角和尺度变化参数时，可将式(7-88)写成如下形式 dX=X 新一/=&+宓旧+莎旧一翻旧dK=y M 一丫旧=人+羽旧rzXm +翻旧dZ=Zfr — %=Zo+〃Z 旧 +&X 旧一“Y|日上式等号右端的X 旧、Z l3用式(7-79)等号右端的函数代入后，再将上式代入式(7— 91),经过整理可得广义大地坐标的微分公式 ,> (7-90) > (7-91)(7-92)(i//=cosBcosLX 0+cosBsinjLy a +sinBZ 0—-Ve 2sinBcosBsinZx x+N/sinBcosBcosL€y+N (1—e 2sin 2B) k —N (1—e 2sin 2B) +M (1 —/sirfB) sin 2B dB= »z ! rr (—sinBcos 厶X°—sinBsinZyo+cosBZo) —sinLe x M 十HN . ] 4-cosLey —^e 2sinBcosB^+：N/sinBcosB 屯+M (2—护sin'B) sinBcosBd 厶=&；H (—secBsinLXo+secBcos 厶7%)+tanBcosZx x-rtanBsinL€Y —€z 上式即为布尔莎形式的广义大地坐标微分公式。