§3 高斯公式与斯托克斯公式 答案

§3 高斯公式与斯托克斯公式

1.应用高斯公式计算下列曲面积分;

(1),S

yzdydz zxdzdx xydxdy ++⎰⎰其中S 是单位球面2221x y z ++=的外侧;

(2)222,S

x dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰其中S 是立方体0,,x y z a ≤≤表面的外侧;

(3)222,S

x dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰其中S 是锥面222x y z +=与平面z h =所围空

间区域(0z h ≤≤)的表面,方向取外侧;

(4)333,S

x dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰其中S 是单位球面2221x y z ++=的外侧;

(5),S

xdydz ydzdx zdxdy ++⎰⎰其中S 是上半球面z =.

3.应用斯托克斯公式计算下列曲线积分:

(1)222222()()(),L

y z dx x z dy x y dz +++++⎰其中L 为1x y z ++=与三坐标面

的交线,它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧;

(2)23,L

x y dx dy zdz ++⎰其中L 为221,y z x y +==所交的椭圆的正向;

(3)()()(),L

z y dx x z dy y x dz -+-+-⎰其中L 为以(,0,0),(0,,0),(0,0,)A a B a C a 为

顶点的三角形沿ABCA 的.

4.求下列全微分的原函数:

(1);yzdx xzdy xydz ++

(2)222(2)(2)(2).x yz dx y xz dy z xy dz -+-+-

5.验证下列线积分与路线无关,并计算其值:

(1)(2,3,4)23(1,1,1);xdx y dy z dz -+-⎰

(2)222

111(,,)(,,)

x y z x y z ⎰其中()()111222,,,,x y z x y z 在球面2222x y z a ++=上.