第一轮复习 命题及其关系、充分条件与必要条件

命题及其关系、充分条件与必要条件1．了解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．一、基础知识A ．命题1．命题可以判断 真假 的陈述句，叫做命题．注：（1）数学命题的表达形式有：语言、符号、式子等．（2）判断一个语句是否是命题，一看“陈述句”，二看“可判断真假”仅此两点．例如，①今天天气不错；②两直线平行，内错角相等；③213x +=；④若a b =，c d =，则a c b d +=+．以上四个句子中，①虽是陈述句，但不能判断其真假．“天气不错”的标准不明确．②是陈述句，且能判断正确，因此是命题．对于③，当1x =时，为真；当1x ≠时，为假．这句话虽是陈述句，但无真假可言，因此不是命题. ④显然是命题．2．假命题、真命题真命题：可以判断为 真 的命题，即当题设成立时，结论一定成立，叫做真命题．假命题：可以判断为 假 的命题，即当题设成立时，结论不一定成立或一定不成立，叫做假命题．注:判断一个命题的真假时，如果说一个命题是真命题，那么必须证明它的正确性；而判断一个命题是假命题时，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．延伸阅读: 开句、命题函数、开句的取真集（内容不要求掌握）（1）开句、命题函数形如“213x +=”、“32x +>”等单独的方程、不等式语句，都不是命题，因为它们也对也不对，即无真假可言．这些语句在数理逻辑上叫做开句．开句又叫做命题函数，意思是当变元（这里的x ）取不同的个体的时候，就得到不同的命题．开句常记作()P x 、()Q y ，其中变元,x y 是在一定范围里变化.当x 取某个个体a 时，开句()P x 就变成了命题()P a （与开句相对，有的书上把命题叫做句）．如：对于“32x +>”而言，当1x >-时，为真；当1x ≤-时，为假．（2）开句的取真集对于开句，最为关心的是，哪些个体使句子为真，哪些个体使句子为假．例如，对于“32x +>”而言，“”时为真，“”时为假.使开句()P x 取真的x 的范围叫做的取真集，记作{|()}x P x ．对开句来说，取真集为{|32}{|1}x x x x +>=>-．解方程，解不等式，本质上是找开句的取真集．（3）将命题函数()P x 变成命题命题函数()P x 变成命题的方法有两个．方法一：将命题函数()P x 中的x 用特殊个体a 代入，从而得到对特殊个体a 进行判断的命题，这种命题叫做单称命题()P a ． 例如“张三是共产党员”，其中“张三”是被判断的个体，“是共产党员”是谓词，“是”是判断词．再如，命题函数():32P x x +>，对x 赋值1,3-，可得到命题(1)P 和(3)P -，即(1):132P +>，和(3):(3)32P --+>．当然(1)P 是真命题，(3)P -是假命题．方法二：利用量词来限制个体的范围例如：命题函数():32P x x+>，前面添加量词“所有的”或“有”，得到命题“所有的实数x都有32x+>”或“有实数x使32x+>”．前者是假命题，后者是真命题．3．命题的形式若p，则q．其中p叫做命题的条件（或题设），q叫命题的结论．注：绝大多数命题都能写成上述形式，但有些则不能，如特称命题．B．四种命题及其关系1．四种命题及其关系（1）四种命题是指原命题、原命题的逆命题、否命题、逆否命题.（2）设原命题为：“若p，则q”，则原命题的逆命题、否命题、逆否命题分别定义如下：逆命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件，其形式：“若q，则p”．否命题：条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，其形式：“若p⌝”．⌝，则q 逆否命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，其形式：“若q⌝”．⌝，则p 延伸阅读：偏逆命题（内容不要求掌握）当命题的条件和结论都是一个简单命题时，只要将它们进行交换就得到了原命题的逆命题.如上面例子．当命题的条件和结论不只是一个简单命题时，将命题条件和结论中的简单命题任意进行交换位置，就可以得到多个原命题的逆命题. 如命题“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”，命题条件有两个：“A：垂直于弦”、“B：过圆心”；结论也有两个：“C：平分这条弦”、“D：平分弦所对的两条弧”.其形式即为：A B C D∧→∧，该命题的所有偏逆命题有：∧→∧：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧；A CB DA DB C∧→∧：垂直于弦且平分弦所对弧的直线经过圆心并且平分这条弦；∧→∧：平分弦的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧；B C A D∧→∧：平分弦所对的弧直径垂直平分这条弦．B D A C2．四种命题的真假关系（1）四种命题间的三种基本关系：互逆、互否、互为逆否关系．（2）具有互逆关系的命题：原命题与其逆命题、原命题的否命题与原命题的逆否命题．具有互否关系的命题：原命题与其否命题、原命题的逆命题与原命题的逆否命题．具有互为逆否关系的命题：原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与原命题的否命题．（3）等价命题：同真同假的两命题称为等价命题．具有互为逆否关系的两个命题等价．注：同真同假的含义：其中任何一个命题的真与假必然导致另一命题的真与假．（4）不等价关系：两命题的真假性没有关系．互逆命题、互否命题不等价．C．充分条件与必要条件记命题“若p，则q”为“q p→”，若命题“若p，则q”为真，则进一步记作“p q⇒”，为假时，则记作p q≠>．1．基本概念（1）若p q⇒，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．（2）若p q<≠，则称p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．⇒，且p q（3）若p q ⇒，且p q ⇐，则称p 是q 的充要条件，这时，q 也是p 的充要条件．（4）若p q ≠>，且p q <≠，则称p 是q 的不充分不必要条件，这时，q 也是p 的不充分不必要条件．注：（1）在判断中，要完整地叙述条件类型.比如：“充分不必要条件”不能只说成“充分条件”．（2）叙述充要条件的等价语句：“当且仅当”、“必须且只须”、“若且仅若”等．其中，“当、必须、若”表达的是条件的充分性，而“仅当、只须、仅若”表达的是条件的必要性．2．对“充分条件”与“必要条件”的理解（1）从定义本身去理解充分条件：要使结论q 成立，只要具备条件p 就足够了．事实上，式子p q ⇒已经表明，条件p 成立时，结论q 一定成立，就是说，要使结论q 成立，只要具备条件p 就足够了． 必要条件：当条件q 成立时，结论p 不一定成立，但条件q 不成立时，结论p 一定不成立. 依题意，条件为q 、结论为p ．一方面，虽然命题“p q →”为真，但其逆命题“q p →”却未必为真，因此，当条件q 成立时，结论p 不一定成立． 另一方面，命题“p q →”为真，从而其逆否命题“q p ⌝→⌝”也真，即q p ⌝⇒⌝，据此可知，条件q 不成立时，结论p 一定不成立．（2）利用开关电路图理解“充分条件”与“必要条件”视“开关A 的闭合”为条件p ，“灯泡B 亮”为结论q ，则图①中，条件p 是结论q 的 条件． 充分不必要条件（,p q p q ⇒<≠）图②中，条件p 是结论q 的 条件． 必要不充分条件（,p q p q ≠>⇐）图③中，条件p 是结论q 的 条件． 充要条件（,p q p q ⇒⇐）图④中，条件p 是结论q 的 条件． 不充分不必要条件（,p q p q ≠><≠）（3）从集合间的包含关系理解“充分条件”与“必要条件”设条件p 对应集合A ，条件q 对应集合B ，即:{|()}p A x p x =，:{|()}q B x q x =．①若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，若A B ≠⊂，则p 是q 的充分不必要条件． 事实上，若有x A ∈，∵A B ⊆，可得x B ∈，即p q ⇒，∴p 是q 的充分条件．若有x A ∈，∵A B ≠⊂，可得x B ∈，p q ⇒且p q <≠，∴p 是q 的充分不必要条件． ②若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，若B A ≠⊂，则p 是q 的必要不充分条件． 事实上，若有x A ∈，∵A B ⊆，可得x B ∈，即p q ⇒，∴q 是p 的必要条件．若有x A ∈，∵A B ≠⊂，可得x B ∈，p q ⇒且p q <≠，∴p 是q 的必要不充分条件． ③若A B =，则p 与q 互为充要条件．事实上，若有x A ∈，∵A B =，可得x B ∈，即p q ⇒，若有x B ∈，∵A B =，可得x A ∈，即q p ⇒，∴p 、q 互为充要条件． ④若A B ⊄且B A ⊄，则p 是q 的既不充分条件也不必要条件．①②③④事实上，若有x A ∈，∵A B ⊄，可得x B ∉，即p q ≠>，同理p q <≠，p 是q 的既不充分也不必要条件．二、基本思想方法等价转化的思想示例 已知1:|1|23x p --≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解：由1|1|23x --≤得，{|210}A x x =-≤≤．由22210(0)x x m m -+-≤>得，{|11,0}B x m x m m =-≤≤+>． ∵q p ⇒，∴B A ⊆．结合数轴有12,110,0.m m m -≥⎧⎪+≤⎨⎪>⎩ 解得03m <≤．点评与警示：本题利用等价转化思想，把p q ⌝⇒⌝转化为q p ⇒，进一步转化为B 是A 的子集，然后利用数轴列出不等关系．A ．命题的判断、命题的真假判断例 判断下列语句哪些是命题？若是命题，是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的真子集； 命题；假命题．（2）三角函数是单调函数吗？ 疑问句，不是命题．（3）空间里垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 命题；假命题．（4）3x <； 开句，不是命题．（5）若x ∈R ，则2210x x -+>； 命题；真命题（∵二次三项式221x x -+的判别式70∆=-<，在x ∈R 条件下，始终有2210x x -+>）．（6）若整数a 是素数，则a 是奇数；命题；假命题（∵2a =时，由条件推不出结论）．（72=-． 命题；假命题．点评与警示：构成命题的条件有两个，一个是陈述句，另一个是能判断真假．B ．命题的形式例 把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．（1）周长相等的两个三角形面积相等；（2）偶数能被2整除；（3）奇函数的图象关于原点对称；（4）同弧所对的圆周角不相等；（5）菱形对角线互相平分；（6）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（7）负数的立方是负数；（8）对顶角相等．解：（1）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形面积相等． 假命题．（2）若一个数是偶数，则它能被2整除． 真命题．（3）若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称． 真命题．（4）若两个圆周角是同弧所对的圆周角，则它们不相等． 假命题．（5）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分． 真命题．（6）若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．真命题．（7）若一个数是负数，则这个数的立方是负数． 真命题.（8）若两个角是对顶角，则这两个角相等． 真命题．选填②C ．四种命题的概念例 把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.（1）当2x =时，2320x x -+=；（2）对顶角相等；（3）等底等高的两三角形全等；（4）两边及夹角对应相等的两三角形全等．解：（1）原命题：若2x =，则2320x x -+=． 逆命题：若2320x x -+=，则2x =．否命题：若2x ≠，则2320x x -+≠． 逆否命题：若2320x x -+≠，则2x ≠．（2）原命题：若两个角是对顶角，则它们相等． 逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等. 逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．（3）原命题：若两个三角形的对应高和底分别相等，则这两个三角形全等.逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应高和底分别相等.否命题：若两个三角形的对应高和底不都相等，则这两个三角形不全等.逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应高和底不都相等．（4）原命题：若两个三角形对应两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等．逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应两边和夹角分别相等．否命题：若两三角形的应边两对及夹角不都相等，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应两边及夹角不都相等．点评与警示：正确叙述正面术语的否定形式，如“都”的否定应为“不都”而非“都不”．D ．四种命题之间的关系例 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．（1）垂直于平面α内无数条直线的直线l 垂直于平面α；（2）若0q <，则方程20x x q ++=有实根；（3）若220x y +=，则0x y ==；（4）菱形对角线垂直且相等．解：（1）原命题：若直线l 垂直于平面α内无数条直线，则直线l 垂直于平面α． 假命题.逆命题：若直线l 垂直于平面α，则直线l 垂直于平面α内无数条直线． 真命题.否命题：若直线l 不垂直于平面α内无数条直线，则直线l 不垂直于平面α． 真命题．逆否命题：若直线l 不垂直于平面α，则直线l 不垂直于平面α内无数条直线． 假命题．（2）逆命题： 若方程20x x q ++=有实根，则0q <． 假命题．否命题：若0q ≥，则方程20x x q ++=无实根． 假命题．逆否命题：若方程20x x q ++=无实根，则0q ≥． 假命题．（3）逆命题：若0x y ==，则220x y +=． 真命题．否命题：若220x y +≠，则,x y 中至少有一个不为0． 真命题．逆否命题：若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠． 真命题．（4）逆命题：对角线垂直且相等的四边形是菱形． 假命题．否命题：不是菱形的四边形的对角线不垂直或不相等． 假命题．逆否命题：对角线不垂直或不相等的四边形不是菱形． 假命题．E ．利用等价命题证明例 证明：若220x y +=，则0x y ==.分析：将“若220x y +=，则0x y ==”视作原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠”为真命题．证明：若,x y 中至少有一个不为0，不妨设0x ≠，则20x >，∴220x y +>，即220x y +≠.因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．F ．充要条件的判定例 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？（1）:2p a b +=，:q 直线0x y +=与圆22()()2x a y b -+-=相切．（2）:||p x x =，2:0q x x +≥．（3）设,l m 均为直线，α为平面，其中l α⊄，m α⊂，://p l α，://q l m ．（4）设,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，:q αβ<，:tan tan q αβ<． （5）ABC △中，内角,A B 对边的长分别为,a b ，:p a b >， :sin sin q A B >．解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）必要不充分条件；（4）充要条件；（5）充要条件．G ．由充分条件、必要条件求参数取值范围 已知条件321:022n n p +-≤-，条件22:q x x a a +<-，且p ⌝是q ⌝的一个充分不必要条件，则a 的取值范围是A ．1[2,]2--B ．1{,2}2C ．[1,2]-D ．1(2,][2,)2-+∞ 解：不等式321022n n +-≤-等价于3(21)(22)0,220,x x x +⎧--≤⎪⎨-≠⎪⎩即1228x ≤<，解得31x -≤<，∴条件p 对应的取值集合[3,2)M =-． 由22x x a a +<-，得()[(1)]0x a x a +--<．当1a a -<-，即12a >时，解集为(,1)a a --，这时条件q 对应的取值集合(,1)N a a =--； 当1a a -=-，即12a =时，解集为∅，这时N =∅； 当1a a ->-，即12a <时，解集为(1,)N a a =--． ∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，从而条件q 对应的取值集合N 是条件p 对应的取值集合M 的真子集． 当12a >时，(,1)N a a =--，由N M ，得3,11,a a -≤-⎧⎨≥-⎩解得122a <≤； 当12a =时，N =∅，显然有N M ； 当12a <时，(1,)N a a =--，由N M ，得31,1,a a -≤-⎧⎨≥-⎩解得112a -≤<． 综上，a 的取值范围是[1,2]-．答案：C ．H ．错解剖析写出命题“若a b =，c d =，则a c b d +=+”的否命题和逆否命题．否命题是： ．逆否命题是： ．错解：否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a 与b ，c 与d 都不相等，则a c b d +≠+．逆否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a c b d +≠+，则a 与b ，c 与d 都不相等．错因分析：事件“a b =，c d =”的正确否定应为：①a 与b 、c 与d 不都相等；②a b ≠或c d ≠．正解：否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a b =，c d =中至少有一个不成立，则a c b d +≠+．逆否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a c b d +≠+，则a b =，c d =中至少有一个不成立．M ．方法规律探究四种条件的判定方法.（1）定义推断法：分别去判断p q ⇒和q p ⇒是否成立，然后形成结论．（2）原、逆命题推断法：原真逆假⇔条件为：充分不必要； 原假逆真⇔条件为：必要不充分；原真逆真⇔条件条件为：充要； 原假逆假⇔条件为：不充分不必要.（3）逆否命题判别法：判断命题p q ⌝→⌝的真假，改为判断其逆否命题q p →的真假．（4）集合推断法：具体内容见前面．（5）传递法：即123n p p p p ⇒⇒⇒⇒，得1n p p ⇒．一、选择题1．下列语句不是命题的有①230x -=；②与一条直线相交的两直线平行吗？③315+=；④536x ->．A ．①③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④解：①开句，不是命题．②疑问句，不是命题．③陈述句，并能判断为假，是命题，假命题．④开句，不是命题．答案：C ．2．若,M N 是两个集合，则下列命题中的真命题是A ．如果M N ⊆，那么M N M =B ．如果MN N =，那么M N ⊆ C ．如果M N ⊆，那么M N M = D ．如果MN N =，那么N M ⊆答案：A ． 3．有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题；②“若a b >，则22a b >”的逆否命题；③“若3x ≤-，则260x x +->”的否命题；④“若b a 是无理数，则,a b 是无理数”的逆命题；其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解：①逆命题为：,x y 互为相反数，则0x y +=． 真命题．②逆否命题为：若22a b ≤，则a b ≤． 假命题．③否命题为：若3x >-，则260x x +-≤． 假命题（∵26032x x x +-≤⇔-≤≤，332x x >-≠⇒-≤≤）．④逆命题为：若,a b 是无理数，则b a 是无理数． 假命题（∵a =b 2b a =不是无理数）．答案：B ．二、判断题4．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．（1）等边三角形的三个内角相等；（2）当0a >时，函数y ax b =+的值随x 值的增加而增加．解：（1）若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．真命题．（2）当0a >时，若x 的值增加，则函数y ax b =+的值也增加，真命题．5．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假.（1）矩形的对角线相等；（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（3）能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；（4）实数的平方是非负数．解：（1）若一个四边形式矩形，则其对角线相等.真命题．（2）若一个点在线段的垂直平分线上，则它到线段两端点距离相等.真命题．（3）若一个能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除.真命题．（4）若一个为实数，则这个数的平方为非负数．真命题．6.给出以下命题，判断p 是q 的什么条件？（1）:p A B =，:sin sin q A B =；（2）:2p x >且3y >，:5q x y +>；（3）:p 正方形，:q 菱形；（4）:p a b >，11:q a b <．解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）充分不必要条件；（4）不充分不必要条件．二、解答题7．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的否命题与和逆否命题．（1）ac bc a b >⇒>；（2）当14m >-时，210mx x -+=无实根．解：（1）若ac bc >，则a b >． 否命题：若ac bc ≤，则ca b ≤． 逆否命题：若a b ≤，则ac bc ≤．（2）若14m >-，则方程210mx x -+=无实根． 否命题：若14m ≤-，则方程210mx x -+=有实根． 逆否命题：若方程210mx x -+=有实根，则14m ≤-． 8．有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题；②“若a b >，则22a b >”的逆否命题；③“若3x ≤-，则260x x +->”的否命题；④“若b a 是无理数，则,a b 是无理数”的逆命题；其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解：①逆命题为：,x y 互为相反数，则0x y +=． 真命题．②逆否命题为：若22a b ≤，则a b ≤． 假命题．③否命题为：若3x >-，则260x x +-≤． 假命题（∵26032x x x +-≤⇔-≤≤，332x x >-≠⇒-≤≤）．④逆命题为：若,a b 是无理数，则b a 是无理数． 假命题（∵a =b 2b a =不是无理数）．答案：B ．9．写出下列命题“若0m ≤且0n ≤，则0m n +≤”的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若0m n +≤，则0m ≤且0n ≤． 假命题．否命题：若0m >或0n >，则0m n +>． 假命题．逆否命题：若0m n +>，则0m >或0n >． 真命题．10．求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等．分析：将“若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等”视为原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等”为真命题．证明：若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等．因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．11．证明：若222430a b a b -+--≠，则1a b -≠．分析：将“若222430a b a b -+--≠，则1a b -≠”视为原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若1a b -=，则222430a b a b -+--=”为真命题．证明：若1a b -=，则1a b =+，∴2222243(1)2(1)432122430a b a b b b b b b b b -+--=+-++--=+++--=，即222430a b a b -+--=．因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.12．已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数，,a b ∈R ，若()()0f a f b +≥，求证：0a b +≥． 分析：将“若()()0f a f b +≥，则0a b +≥”视为原命题．要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若0a b +<，则()()0f a f b +<”。