稳态误差的分析与计算
系统的稳态误差为
r (t ) t
e ss
1
r (t ) t
e ss
1
2
Kp
0型 I型 II型
Kv
0
Ka
0 0
ess
1
1
2
1 K
K
p
KvKp1来自 1Ka
K
0 0
Kv
K
0
Ka
三、系统稳定误差的计算
综述，系统的稳态误差与输入信号形式有 关，对于一个结构确定的系统，如果给定 输入形式不同，其稳态误差就不同；同时 稳态误差与系统结构也密切相关，如果给 定信号一定，不同结构的系统稳态误差也 不同。 按静态误差系数法计算稳态误差的方法， 是基于拉氏变换的终值定理，只能使用阶 跃、斜坡及加速度或他们的组合，如果输 入是其他任意时间函数，以上结论则不能 成立。
ess
特征方程为D( s) 1 Gk ( s) an s n an 1s n 1 ... a2 s 2 a1s a0 0
n n 1 2 a s a s ... a s 等式两边同除以 n n 1 2 a1s a0 1 Gk ( s) 0 1 0 则 n n 1 2 an s an 1s ... a2 s 得 a1s a0 Gk ( s) 该系统为Ⅱ型系统 an s n an 1s n 1 ... a2 s 2 开环增益为 a0 a1s a0 K 2 a2 n2 n 3 s (an s an 1s ... a2 )
ess
1、先求取系统的开环传递函数 Gk ( s)
Gk (s)
C(s)
设开环传递函数为 Gk ( s) M ( s) 即，开环传递函数 N ( s) 与闭环传递函数 M (s) 有相同的零点 Gk ( s ) M (s) N (s) GB ( s ) a s a0 1 Gk ( s ) 1 M ( s ) N ( s ) M ( s ) 得 Gk ( s ) 1 ? N (s)
稳态误差分析
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3-7 稳态误差分析控制系统在输入信号作用下，其输出信号中将含有两个分量。
其中一个分量是暂态分量。
它反映控制系统的动态性能，是控制系统的重要特性之一。
对于稳定的系统，暂态分量随着时间的增长而逐渐消失，最终将趋于零。
另一个分量称为稳态分量。
它反映控制系统跟踪输入信号或抑制扰动信号的能力和准确度，它是控制系统的另一个重要特性。
对于稳定的系统来说，稳态性能的优劣一般是根据系统反应某些典型输入信号的稳态误差来评价的。
因此，本节着重建立有关稳态误差的概念。
一、误差和稳态误差设)(s C r 是控制系统输出(被控量)的希望值，)(s C 是控制系统的实际输出值。
我们定义系统输出的希望值与输出的实际值之差为控制系统的误差，记作)(s E ,即)()()(s C s C s E r -= （3-40）对于如图3－36(a)所示单位反馈系统，输出的希望值就是系统的输入信号。
因此，系统的误差为)()()(s C s R s E -= （3-40a ）可见， 单位反馈系统的误差就是偏差)(s ε。
但对于如 图 3－36(b)所示的非单位反馈系统，输出的希望值与输入信号之间存在一个给定的函数关系。
这是因为，系统反馈传递函数)(s H ，通常是系统输出量反馈到输入端的测量变换关系。
因此，在一般情况下，系统输出的希望值与输入之间的关 系为)()()(s H s R s C r =，所以系统误差为 )()()(1)(s C s R s H s E -=(3-40b) 显然，在非单位反馈系统中，误差与偏差是有差别的。
由图3-36(b)和式(3-40b)不难看出，它们之间存在如下简单关系)()(1)(s s H s E ε= (3-40c) 所谓稳态误差，是指系统在趋于稳态后的输出希望值)(∞r c 和实际输出的稳态值)(∞c 之差，即)()(∞-∞=c c e r ss下面举二个例子说明稳态误差究竟是如何产生的?它与哪些因素有关?1．随动系统如图1-7所示随动系统，要求输出角c θ以一定精度跟踪输入角r θ，显然这时输出的希望值就是系统的输入角度。
3-5稳态误差的分析与计算
0型 系统
m
K (TjS 1) G(s) j1
n
(TiS 1)
i 1
抛物线输入 Ⅱ型系统
系统开环传递函数中 不含积分环节
KPlim G(s)K
s0
ess
1 1 K
阶跃输入时，误差系数=K
输出始终不会等于输入，存在稳态误差
Klim SG (s)0 斜坡输入时，误差系数=0
e s 0 ss 稳态误差无穷大（输出不能跟随输入）
三种典型输入下对应于“0”“I”“Ⅱ”型三 种系统
有九种情况，误差的计算公式列表如下：
给定输入
给定稳态误差的终值 0型系统 I型系统 Ⅱ型系统
1(t)
1/(1+K)
0
0
t
∞1/K0源自t2/2∞∞1/K
注意: (1) 尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下 系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加 速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不 是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输 出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。
i1 n1
(is1) (k2s2 2kks1)
k1 n2
(Tjs1) (Tl2s2 2lls1)
j1
l1
稳态误差系数仅与系统参数K、(积分环节个数—系统 型号)有关，对应＝0、1、2 称 0、I、Ⅱ型系统
0、I、Ⅱ型三种系统 分别三种典型输入 稳态误差有九种情况
阶跃输入 斜坡输入
0型系统 I型系统
3. 稳态误差与系统传递系数有关
4. 稳态误差与扰动有关
本章结束
给定输入下的稳态误差与稳态误差系数
阶跃输入下:
e ssr
1
1 K
P
KPlimG(s) s0
3-3 第三节 系统误差分析与计算
第三节 系统误差分析与计算对于一个控制系统来说，不但要求其是稳定的，而且还要求其动态特性要好。
但这还不够，因为系统在输入作用下的过渡过程和稳态过程组成了时间响应的全部内容，因而研究系统的稳态过程也是相当重要的。
评定稳态过程的质量指标为稳态误差，是系统控制准确度的一种量度，是一项重要的性能指标。
控制系统设计的课题之一，就是如何使系统的稳态误差小于某个允许值。
一、误差与稳态误差1、误差误差——严格说就是被控对象的实际输出信号与理论输出信号之差。
工程上有两种误差定义。
①按输出端定义的误差含义：误差为系统希望输出量与系统实际输出量之差。
即： ()()()r e t c t c t =−或： ()()()r E s C s C s =−一般来说，这种误差信号直观实用，但是常无法进行测量，具有明显的数学意义，工程实际中相对前一种误差较少使用。
②按输入端定义的误差。
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11111E s R s B s R s H s C s R s H s s R s R s H s s G s H s R s G s H s R s G s H s =−=−=−Φ⎡⎤=−Φ⎣⎦⎡⎤=−⋅⋅⎢⎥+⎣⎦=⋅+有时也将()()()11e s G s H s Φ=+称为误差传递函数。
或者，误差表示为时间的函数：()()()e t r t b t =−这种形式的误差可以进行测量，具有一定的物理意义。
2、稳态误差在时域中误差是时间t 的函数()e t 。
一个稳定的闭环控制系统，在外加输入作用下，经过一段时间，其瞬态响应分量衰减到可以忽略的程度，其输出信号()c t 趋于稳态分量，同样其误差信号()ss c t ()e t 也将趋于一个稳态的。
()ss e t 稳态误差——当时间当t 时，→∞()e t 的稳态分量称为稳态误差，既稳定系统误差的终值。
记为()ss e t ()。
稳态误差的总结分析和例解
稳态误差的总结分析和例解控制系统稳态误差是系统控制准确度的一种度量，通常称为稳态性能。
只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义，对不能稳定的系统，根本不存在研究稳态误差的可能性。
一、 误差与稳态误差1、输入端的定义：对图一，比较输出得到：E(s)=R(s)-H(s)*Y(s)称E(s)为误差信号，简称误差图一2、输出端的定义：将图一转换为图二，便可定义输出端的稳态误差，并且与输入端的稳态误差有如下关系：E ’(s)=E(s)/H(s)输入端定义法可测量实现，输出端定义法常无法测量，因此只有数学意义，以后在不做特别说明时，系统误差总是指输入端定义误差。
图二再有误差的时域表达式：也有：e(t)= [E(S)]= [Φe (s)*R(S)]其中Φe (s)是误差传递函数，定义为：Φe (s)==根据拉氏变换终值定理，由上式求出稳态误差：(T j s+1)e ss (∞)= =二、 系统类型一般的，定义一个分子为m 阶次，分母为n 阶次的开环传递函数为：[]1()()()()ts ss e t L E s e t e t -==+G(S)H(S)=K为开环增益，ν表示系统类型数，ν=0，表示0型系统；ν=1表示Ⅰ型系统；当ν大于等于2时，除了符合系统外，想使得系统稳定相当困难。
四、阶跃输入下的ess(∞)与静态位置误差系数Kpr(t)=R*1(t),则有：ess (∞)=νν用Kp表示静态位置误差系数：ess(∞)==其中： Kp=且有一般式子：Kp=ν∞ν五、斜坡输入下的ess(∞)与静态速度误差系数Kvr(t)=Rt,则有：ess (∞)=ν用Kv表示静态速度误差系数：ess(∞)==其中： Kv=六、加速度输入下的ess(∞)与静态加速度误差系数Kar(t)=Rt2/2,则有： ess (∞)=ν、用Kv表示静态速度误差系数： ess(∞)==其中： Kv=且有： Ka=、七、扰动状况下的稳态误差系统的模型如图三所示对扰动状况下的稳态误差仍然有输入端与输出端的两种定义：图三1、输入端定义法：扰动状况下的系统的稳态误差传递函数：由拉氏变换终值定理，求得扰动状况下的稳态误差为：2、输出端定义法：212()'()0()()1()()()G s E s Y s N s G s G s H s =-=-+记Φe (s) =为误差传递函数，其中G(s)为：G(s)=G 1(s)*G 2(s)*H(s)八、减小或者消除稳态误差的措施： （1）保证系统中各个环节（或元件），特别是反馈回路中元件的参数具有一定的精度和恒定性；（2）对输入信号而言，增大开环放大系数（开环增益），以提高系统对给定输入的跟踪能力；（3）对干扰信号而言，增大输入和干扰作用点之间环节的放大系数（扰动点之前的前向通道增益），有利于减小稳态误差；（4）增加系统前向通道中积分环节数目，使系统型号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。
3.6稳态误差分析
s 0
s 0
s 0
系统的型别ν
ess
开环增益K 输入信号R(s)
线性系统的时域分析法（5）
The Principle of Automatic Control
1.阶跃输入
r (t ) R 1(t )
R lim s
s 0 ν s 0 ν
ess
ess
R 1 K
ν=0
ess
Rv K
0 0
∞
Ra K
0
线性系统的时域分析法（5）
The Principle of Automatic Control
R1 R2 R3 1 2 r (t ) R1 R2t R3t 叠加原理 ess 1 K p Kv Ka 2
例 2：系统结构图如图所示，已知输入r (t ) 2t 4t , 求系统的稳态误差。
称为零型系统 称为I型系统 称为II型系统 的系统不易稳定，也不多见。
当s→0时，G0(s)H0(s)→1
线性系统的时域分析法（5）
The Principle of Automatic Control
ess lim SEs lim sΦ e s Rs lim
s 0 s 0 s 0
系 统 型 别
静态误差系数 阶跃输入 r (t ) R p 1(t ) 斜坡输入r (t ) Rv t 位置误差essp
Kp
Kv
Ka
Rp 1 K p
速度误差 e ssv
Rv Kv
Ra Ka
0 I II III
K ∞ ∞ ∞
0 K ∞ ∞
0 0 K ∞
Rp 1 K
控制工程基础 第6章 控制系统的误差分析和计算
C0 (s)
N (s)
R(s) B(s)
(s)
-
G1 ( s )
+ G2 (s)
H (s)
e(s) -
C(s)
(b)
误差
C0(s) (s) N(s)
R(s)
1 H(s)
R1(s) C0(s)
E1(s(s))H(s)
E(s)
G1(s)
G2(s) C(s)
(c)
e(s) -+ (s)
H (s)
E(s)
因为偏差 (s) R(s) B(s) H (s)C0 (s) H (s)C(s) H (s)e(s)
这里 R(s) H (s)C0 (s) 是基于控制系统在理想工作情况下
(s) 0 得到的。
即当控制系统的偏差信号 (s) 0 时，该控制系统无调节控制
作用，此时的实际输出信号C(s)就是希望输出信号 C0 (s) 。
G(s)H(s)
i1 nv
sv (Tis 1)
i1
（4）稳态误差系数和稳态误差的总结 （系统在控制信号作用下）
此表概括了0型、Ⅰ型和Ⅱ型反馈控制系统在不同输入信号作用下的
稳态误差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，
稳态误差为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可
以得如下结论：
何改变系统结构?
(s)
- G1 K1
解：（1）给定作用下的误差传递函数为
RE (s)
(s)
R(s)
1
1
K1
K2 s
s s K1K2
当给定输入为单位阶跃输入时，稳态误差为
N (s)
+
G2
K2 s
稳态误差公式
稳态误差公式稳态误差公式是控制系统中常用的一个概念，用于评估系统输出与期望输出之间的偏差。
在控制系统设计和分析中，稳态误差公式被广泛应用，能够帮助工程师评估系统的性能和稳定性。
稳态误差公式的含义稳态误差公式指的是控制系统在稳态下输出与期望输出之间的偏差。
稳态是指系统已经达到恒定状态，即输入信号已经稳定，系统没有改变时的状态。
稳态误差是输出与期望输出之间的差值，通常用e表示。
稳态误差公式可以用以下公式表示：e(t) = y(t) - r(t)其中e(t)表示在时间t时刻的稳态误差，y(t)表示系统输出在时间t时的值，r(t)表示期望输出在时间t时的值。
稳态误差公式的应用稳态误差公式在控制系统中具有广泛的应用，通常被用于以下几个方面：1. 系统性能分析稳态误差公式可以用于分析系统的性能，帮助工程师评估系统输出与期望输出之间的差距。
通过分析稳态误差，可以明确系统的性能限制，从而确定是否需要改进系统的设计。
2. 系统稳定性分析稳态误差公式也可以用于系统稳定性分析。
稳态误差越小，系统的稳定性越好。
因此，通过分析稳态误差的大小可以评估系统的稳定性。
3. 控制系统设计在控制系统设计中，稳态误差公式是一个非常重要的工具。
通过控制系统的参数设置，可以调整系统的稳态误差。
因此，稳态误差公式可以帮助工程师设计出性能更好、稳定性更高的控制系统。
稳态误差公式的限制稳态误差公式虽然在控制系统中具有广泛的应用，但也存在一些限制。
其中最重要的一个限制是，稳态误差公式只适用于稳态下的系统。
如果系统还没有进入稳态，稳态误差公式将无法提供准确的结果。
此外，稳态误差公式还有一个限制，那就是它不能完全反映系统的动态响应。
稳态误差公式只考虑了系统输出与期望输出之间的偏差，而没有考虑系统响应的速度、振荡等因素。
因此，在分析系统性能时，需要同时考虑系统的稳态误差和动态响应。
稳态误差公式的应用示例为了更好地理解稳态误差公式的应用，下面以比例控制系统为例进行说明。
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R(S)
GC(S)
N(S) G0(S)
C(S)
稳态误差：B稳(S)态时输
H(S)
出值也是正弦量，频率
•恒值控和幅制输值系入 和统信 相：号 角稳一不态样同响值。应，—但恒值
•随动控制系统：稳态响应—跟稳随态输误入差变：化稳态时
•正弦输入下系统响应稳态实响际应值—与是期正望弦值波偏差
稳态误差：稳态时
一、稳态误差的定义
系统误差的定义:希望输出与实际输出之差。 e(t)=希望输出－实际输出
系统误差可分为稳态误差和动态误差。
说明：误差产生的原因是多样的，我们只研究由于系统结 构、参量、以及输入信号的形式不同所引起的误差。
稳态误差分类：
跟随稳态误差：用于衡量随动系统的稳态性能。表示系统能以 什么精度跟随系统输入信号的变化，用esr表示。
0、I、Ⅱ型三种系统 分别三种典型输入 稳态误差有九种情况
阶跃输入 斜坡输入
0型系统 I型系统
0型 系统
m
K (TjS 1) G(s) j1
n
(TiS 1)
i 1
抛物线输入 Ⅱ型系统
系统开环传递函数中 不含积分环节
KP lim G(s) K
s0
ess
1 1 K
阶跃输入时，误差系数=K
输出始终不会等于输入，存在稳态误差
抛物线输入下:
essr
1 Ka
m
Ka lim S 2G(s) s 0
K (TjS 1)
G(s)
S
j1
n
(TiS
1)
i 1
m1
m2
G(s)
K sv
(is 1)
(
2 k
s
2
2
k
ks
1)
i 1
k 1
n1
n2
(Tjs 1) (Tl2s2 2 ll s 1)
j 1
l 1
稳态误差系数仅与系统参数K、(积分环节个数—系统 型号)有关，对应＝0、1、2 称 0、I、Ⅱ型系统
给定稳态误差与扰动稳态误差
终值定理： ess lim e(t) lim SE(s)
t
s0
一 稳态误差终值的计算
与输入有关！
R(s) 1 S2
e位ssr置（lsi阶 m0跃1） 误G1 差(s系) 数1
1
KlimP Gl(ism)
G1(s1)KP
s0 s0
e斜ssr坡（lsi速 m度0 S）误S差1G系(数s) KlimS1liGm(sS)G(sK1)
扰动误差：用于衡量恒值调节系统的稳态性能。表示系统在扰 动信号作用下系统偏离平衡点的情况，用esn表示。
稳态误差=跟随稳态误差+扰动误差
ess = esr + esn
可以证明： s 1/ H s
E（s）与ε(s)的关系
Es Xor s Xo s sXi s Xo s
Xi s H sXo s/ H s
斜坡输入时，输出完全跟随输入， 没有稳态误差
Ka lim S2G(s) K Ⅱ型系统，抛物线输入误差系数=K
s0
ess
1 K
输出可跟随输入，但存在稳态误差
三种典型输入下对应于“0”“I”“Ⅱ”型三种系统 有九种情况，误差的计算公式列表如下：
给定输入
1(t)
t
t2/2
给定稳态误差的终值
0型系统 I型系统 Ⅱ型系统
K lim SG(s) 0 斜坡输入时，误差系数=0
e s0 ss 稳态误差无穷大（输出不能跟随输入）
Ka lim S2G(s) 0抛物线输入时，误差系数=0
e s0 ss
输出不能跟随输入， 稳态误差无穷大
I型 系统
m
K (TjS 1)
G(s)
j1 n 1
S (TiS 1)
(3) 系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差误 差等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差） 之和。
例：I型单位反馈系统的开环增益K=600s-1,系统最
大跟踪速度max =24/s，求系统 在最大跟踪速 度下的稳态误差。
解：单位速度输入下的稳态误差
ess
1 Kv
I型系统 Kv K
系统的稳态误差为
s0
ess
稳态误差无穷大 （输出不能跟随输入）
Ⅱ型 系统
m
K (TjS 1)
G(s)
S2
j1 n2
(TiS 1)
i1
系统开环传递函数 中含两个积分环节
KP lim G(s)
s0 ess 0
K lim SG(s)
s0
ess 0
Ⅱ型系统，阶跃输入和斜坡输入时 时误差系数无穷大
阶跃输入时没有稳态误差， 输出最终等于输入
输出值跟随输入值， 但与输入值有偏差。
二、稳态误差的计算
根据终值定理ess lim e(t) l源自m SE(s)t s0
二、稳态误差的计算
例３－４
终值定理，求稳态误差。
输入形 式
结构形式 开环传递函数
公式条件： sE(s) 的极点均位于S左半平面（包括坐标原点）
给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳 态误差，就取决于开环传递函数所描述的系统结构以及输入 信号形式。 因此按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类 是必要的。
1/(1+K)
0
0
∞
1/K
0
∞
∞
1/K
注意: (1) 尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下 系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加 速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不 是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输 出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。
(2) 如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差） 按比例增加。
i 1
系统开环传递函数 中含一个积分环节
KP lim G(s) s0
I型系统，阶跃输入时误差系数无穷大
ess 0
没有稳态误差 输出最终等于输入
K lim SG(s) K s0
I型系统，斜坡输入时，误差系数=K
ess
1 K
输出可跟随输入，但存在误差
Ka lim S2G(s) 0 I型系统，抛物线输入时，误差系数=0
s0 s0
R(s) S1抛3 物线ess（r 加ls速i m度0 S）2误差S1系2G数(s) KliamSl1i2mG(Ss2)G(sK)1a s 0 s0
给定输入下的稳态误差与稳态误差系数
e 阶跃输入下:
ssr
1
1 KP
KP lim G(s) s0
斜坡输入下:
essr
1 Kv
K lim SG(s) s0
ess
1 Kv
max
1 600
24
0.04
例：阀控油缸伺服工作台要求定位精度为0.05cm, 该工作台最大移动速度vmax =10cm/s，若系统 为I型，试求系统开环增益。
单位速度输入下的稳态误差为
ess
0.05 10
0.005s
系统的开环增益
K
Kv
1 ess