二重积分的计算
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法本文在介绍二重积分的计算方法前，先来介绍与二重积分有关的性质，最后总结出二重积分的计算步骤.（一）二重积分的性质性质1 设，为常数，则⎰⎰[f (x, y) +g(x, y)]d=⎰⎰f (x, y)d+⎰⎰g(x, y)d.D D D性质2 如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和⎰⎰f (x, y)d=⎰⎰f (x, y)d+⎰⎰f (x, y)d.D D1 D2性质3 如果在D 上，f (x, y) =1 ，是D 的面积，则⎰⎰1d=⎰⎰d=.D D性质4 如果在D 上，f (x, y) ≤g(x, y) ，则特别地，有⎰⎰f (x, y)d≤⎰⎰g(x, y)d.D D⎰⎰f (x, y)d≤⎰⎰ f (x, y) d.D D性质5 设M ，m 分别是f (x, y) 在闭区域D 上的最大值和最小值，是D 的面积，则m≤⎰⎰f (x, y)d≤M.D性质6 （二重积分的中值定理）设函数f (x, y) 在平面闭区域D 上连续，是D 的面积，则存在(,) ∈D ，使得⎰⎰f (x, y)d=Df (,).（二）二重积分的计算方法1.利用对称性和奇偶性进行判断（1）利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性①若积分区域D 关于y 轴对称，且被积函数f (x, y) 关于x 具有奇偶性，则1⎧⎪2⎰⎰ f (x , y )dxdy , f (x , y )关x 于为偶函数 ⎰⎰ f (x , y )dxdy = ⎨ D 1 ， D ⎪⎩0, f (x , y )关于x 为奇函数其中 D 1 为 D 在 y 轴右侧的部分.②若积分区域 D 关于 x 轴对称，且被积函数 f (x , y ) 关于 y 具有奇偶性，则⎧⎪2⎰⎰ f (x , y )dxdy , f (x , y )关y 于为偶函数⎰⎰ f (x , y )dxdy = ⎨ D 1， D ⎪⎩0, f (x , y )关于y 为奇函数其中 D 1 为 D 在 x 轴上方的部分.（2） 利用变量的对称性①若积分区域 D 关于 y = x 对称，则⎰⎰ f (x , y )dxdy = ⎰⎰ f ( y , x )dxdy .DD②若积分区域 D 关于 y = -x 对称，则⎰⎰ f (x , y )dxdy = ⎰⎰ f (- y ,-x )dxdy .DD2. 利用直角坐标计算二重积分（1） 适合先 y 后 x 的积分区域（ X 型区域）若积分区域 D 由不等式1 (x ) ≤ y ≤ 2 (x ) ， a ≤ x ≤ b 确定，则b 2 ( x )⎰⎰ f (x , y )dxdy = ⎰adx ⎰( x )f (x , y )dy .D1（2） 适合先 x 后 y 的积分区域（ X 型区域）若积分区域 D 由不等式 1 ( y ) ≤ x ≤2( y ) ， c ≤ y ≤ d 确定，则d2 ( y) ⎰⎰ f (x , y )dxdy = ⎰cdy ⎰ ( y ) f (x , y )dx .D1在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序，这时, 1既要考虑积分区域 D 的形状，又要考虑被积函数 f (x , y ) 的特性。
二重积分的简单计算
探秘二重积分的计算方法
二重积分是高等数学中的一个重要概念，用于求解平面上某个区域内的面积，也被称为二重积分面积公式。
下面，我们将探讨二重积分的简单计算方法。
首先，二重积分的计算需要先确定被积函数和积分区域。
假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，其在直角坐标系下的边界可以用以下公式表示：
∬f(x,y)dxdy = ∫∫f(x,y)dA
接下来，我们需要根据积分区域D的形状来确定积分的范围。
当积分区域为直角坐标系下有界区域时，我们可以采用以下方法求解：
1. 积分区域为矩形时，通常采用先对x积分后对y积分的方法，即：
∫∫f(x,y)dA = ∫ab∫cd f(x,y)dxdy
其中，积分范围为a≤x≤b，c≤y≤d。
2. 积分区域为三角形时，可采用先对y积分后对x积分的方法，即：
∫∫f(x,y)dA=∫cd∫h1(x)h2(x) f(x,y)dydx
其中，积分范围为c≤y≤d，h1(x)≤y≤h2(x)。
3. 积分区域为梯形时，可采用换元法将积分区域转化为矩形的形式，即：
∫∫f(x,y)dA=∫ab∫g1(y)g2(y) f(x,y)dxdy
其中，积分范围为g1(y)≤x≤g2(y)，a≤y≤b。
以上是二重积分计算的基本方法，希望能对您有所帮助。
二重积分的计算方法
若区域如图， 则必须分割.
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
D3 D1
D2
.
D
D1
D2
D3
例 1
改变积分
1
dx
1 x
f ( x, y)dy 的次序.
00
解 积分区域如图
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
（6）若D对称于原点，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 0.
D
（7）若D对称于直线y x,则 f ( x, y)d f ( y, x)d .
D1
D2
(或 f ( x, y)d f ( y, x)d ). 对称于直线y x
(t
1 2
sin
2t
)
|04
1
4 说明：
(11分）
形如积分 f ( x, y) d , max{ f ( x, y), g( x, y)}d ,
D
D
min{ f ( x, y), g( x, y)}d , sgn{ f ( x, y) g( x, y)}d
D
D
等的被积函数均应当做分区域函数看待，利用积分的
的可加性分区域积分。
(17)(本题满分 11 分)2008 年数学二、三 y
计算 max{xy,1}dxdy,其中
D
D={(x, y) | 0 x 2,0 y 2}.
解 曲线xy 1将区域D分成
2
D2 D1
o
2x
两个区域D1和D2
D
二重积分计算法
2
12
22
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也
可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视
积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体 的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
x2 y2 R2, x2 z2 R2 它们在第一象限的图形如下
二、利用极坐标系计算二重积分
由二重积分的定义知
n
D
f
(x,
y)d
lim
0 i 1
f
(i ,i ) i
极坐标与直角坐标之间的关系
__
__
i ri cos i , i ri sin i
n
lim
0
i1
f
(i
,i
)
i
n_
__ _ _
D
c 1(y)
上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这
个积分也常记作
d 2 (y)
f (x,y)d dy f (x, y)dx 2'
Dc 1(y)来自二重积分化为二次积分时,确定积分限是解题关键.
若将其交换积分次序,先对x积分后对y积分,则其积分 区域如下图
交换积分次序为
2x
dx f (x, y)dy
lim
0
i1
f
(ri
cosi
,
ri
sin
i
)
ri
ri
i
即： f (x, y)d f (r cos ,r sin )rdrd
10.2 二重积分的计算
∫∫D
b a d
f (x, y) dx dy
ϕ2 ( x)
1
= ∫ d x ∫ (x) f (x, y) dy ϕ = ∫ d y∫
c
ψ 2 ( y)
ψ 1( y) y)
f (x, y) dx
y y = ϕ (x) 2 d x =ψ2 ( y) x =ψ1( y) D y y = ϕ1(x) c o a x bx
§10.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法
1
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 被 函 由曲顶柱体体积的计算可知 当 积 数 f (x, y) ≥ 0 且在D上连续时 且在 上连续时, 若D为 X – 型区域 上连续时 为 ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) D: a ≤ x ≤b
I = ∫∫ f (x, y) d x d y = ∫ dy ∫
D
2
8− y2 2y
0
f (x, y)dx
8
例5. 计算 所围成. y = 4 − x2, y = −3x, x =1 所围成. 解: 令f (x, y) = x ln(y + 1+ y )
2
其中D 由
4
y = −3x
y
y = 4 − x2
令ρ = ∆u + ∆v , 则
2 2
T
y
M4
M3
D
M1
M2
o
x
∂x x2 − x1= x(u + ∆u, v) − x(u, v)= ∆u + o(ρ) ∂u (u, v)
18
∂x x4 − x1= x(u, v + ∆v) − x(u, v) = ∆v + o(ρ) ∂v (u, v) 同理得 y2 − y1 = ∂ y ∆u + o(ρ) ∂u (u, v) ∂y y4 − y1 = ∆v + o(ρ) ∂v (u, v) 充分小时, 当∆u, ∆v充分小时 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 充分小时
二重积分的计算
求体积关键：画出投影区域D，想象出曲顶。
例10、求下列积分。
（ 1）
y x
f ( x , y ) dxdy 0 x 1,0 y 2 others
1, f ( x, y) 0,
（ 2）
f ( x , y ) dxdy
x2 y z
xy , f ( x, y) 0,
又 I1 I2
D1
(x
2
y ) dxdy ,
2 3
D2
(x
2
y ) dxdy , 则有 ( C )
2 3
A.I 1 4 I 2
B .I 1 4 I 2
C .I 1 4 I 2
D .I 1 2 I 2
例7、设 D 是 xoy 面上以
的三角形区域
( 1 ,1 ), ( 1 ,1 ) 和 ( 1 , 1 ) 为顶点 ,则
2
f ( x , y ) dx ;
(3)
dx
0
0
2
dx
1
f ( x , y ) dy .
0
1
例7、 计算积分 I
例8、计算
2
2 1 4
dy
y 1 2
y
e x dx
1 1 dy 2
y y
y
e x dx .
D
y x dxdy , 其中 D : 0 x 1 , 0 y 1 .
0 x 2 ,0 y others
x 2
作业
习题7-2（1）：1（奇数题）、5 （奇数题） 练 习 题
42二重积分的计算
o
x
o
x 2 ( y)
x
如果去掉以上结论中关于 z f (x, y) 0,(x, y) D 的限制，则上述结论仍是成立的.
几点说明：
（ⅰ）若区域D是一个矩形，即D
为
D : a x b,c y d
则
b
d
d
b
f (x, y)dxdy a dxc f (x, y)dy c dya f (x, y)dx
A(x)
y
为确定曲顶柱体的体积,可在
oa x b
x
x处用垂直 轴x 的平面去截曲
顶柱体,设其截面面积为 A(x)
由定积分的应用可知：已知
z
平行截面面积的立体的体积
公式为
A(x)
y
从而
b
V a A(x)dx
b
f (x, y)d a A(x)dx
D
oa x b
x
其中 A(x) 是垂直于 x轴的平面与曲顶柱体相交部分
这样，我们就把计算二重积分的问题化为计算两次
定积分的问题。第一次计算定积分
A(x) 2 (x) f (x, y)dy 1 ( x)
时，x看作是常量， y是积分变量；第二次积分时，x
是积分变量.
这是先对 y，后对 的x 两次积分(适合于 型X区域).
类似地，如果D是Y型区域,可用垂直于 y 轴的平面
D
2
y
D1
1 0 1 x D2
二、利用极坐标计算二重积分
在二重积分的计算中,如果积分域是圆域或部分圆 域,被积函数为 f (x2 y2 ), f (形y )式, f,(利x )用极坐
xy
标变换来计算二重积分会十分方便. 积分的变量代换是计算积分的一个有效方法,对二 重积分也有类似的方法.在这类方法中极坐标变换
高等数学《二重积分的计算》
D
y x , x 1 所围.
y
解 将 D 看作 y — 型区域 , 则 1
D={(x , y)| y x 1 ，0 y 1 } , y y x
xydxdy
1
0
dy
1 y
y2
sin
xy
d
x
o
1x
D
1
[
y cos
y2
y cos
y]dy
0
1 sin 2
y2
y
sin
y
cos
y
1
0
1
cos 1
d
2
dx
1
x 1 x
x2 y2
dy
D
2(x3
1
x)dx
1 4
x
4
1 2
x
2
2 1
9. 4
例 5 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
D {(x, y) | 0 x y , 0 y 1} ,
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x )
d dy 2( y) f ( x, y)dx.
c
1( y)
为计算方便,可选择积分次序,采用哪一种次序积分 通常取决于被积函数的结构.
必要时还可以交换积分次序.
例2 计算 y2 sin xydx dy , 其中 D 由 y 0,
0
1 1 y2
y2 x y 2x x2
例 8
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解: 为计算简便, 选择Y–型区域，
D xyd
2
dy
1
y2
y2 xyd x
y
2 y2 x y
o 1
D
4x
y x2
2 1
1 2
x
2
y
y2
y2 dy
1 2 [ y( y 2)2 y5 ] dy 2 1
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例3. 计算 sin x dxdy, 其中D 是直线 Dx
第二节
第十章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、直角坐标系中的平面区域分类
1. X – 型区域
y y 2(x)
D
:
1(
x) a
y x
b
2
(
x)
D o a y 1(x)b x
特征：用平行于 y 轴的直线穿过区域 D，与边界曲线
x
2
1
1 2
x3
1 2
x
dx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
y
2 y
yx
1
o 1 x 2x
I
2
dy
1
y2xyd x
2
1
1 2
x
2
y
2 d
y
y
2 1
2
y
1 2
y3
dy 9 8
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例2. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
及直线
所围成的闭区域.
则 e f x f y d b a 2 .
D
例12. 求 I xy d , D : x2 y2 R2
D
例13. 求 I ( x + y )d , D : x y 1
D
例14. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解: 设两个直圆柱方程为
z
x2 y2 R2, x2 z2 R2
非常有用的反常积分公式
ex2 d x
0
2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例6的结果, 得 故①式成立 .
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例7. 求球体
被圆柱面 x2 y2 2 ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D : 0 r 2 a cos , 0
2
z
由对称性可知
D
d
2 ( )
f
(r
cos , r sin )r
o dr
1( )
r 1( ) r 2 ( )
特别,
对
D
:
0 r (
0
2
)
o
r 1( )
r ( )
D f (r cos , r sin ) r d r d
D
2
( )
d f (r cos , r sin ) r d r o
0
0
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u y
v y
hk J (u,v) hk
u v
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因此面积元素的关系为 d J (u, v) d u d v
从而得二重积分的换元公式:
D f (x, y) d x d y
f (x(u,v), y(u,v)) J (u,v) d u d v D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
D
dv
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证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
在uov坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域D, 任取其中一个小矩
形, 其顶点为
v
vk v
M 4 M 3
D
M1 M 2
o u u h u
M1 (u, v) ,
M 2 (u h,v),
T
M3 (u h,v k), M 4 (u,v k).
y
x y 2
解: 令 u y x , v y x,则
D
x v u , y v u (D D)
2
2
ox
v v2
J
(x, y) (u, v)
1 2
1
2
1 2
1
1 2
2
D u v u v
ou
u
D
ev
1 2
dudv
e e1
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例9. 计算由
所围成的闭区域 D 的面积 S .
c o
c
1(y)
x
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当被积函数 f (x, y)在D上变号时, 由于
f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y)
2
2
f1(x, y)
f2 (x, y) 均非负
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 注：做题时一般不再写出 D，而是把D画出来，用一 条射线穿过D，先遇到的是下限，后遇到的是上限。
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例4. 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x 2
I
0
d
x 2 0
f (x, y)dy 2
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
I D f (x, y) d x d y
2
8 y2
dy
f (x, y)dx
若 f ≡1 则可求得D 的面积
d 1 2 2 ( ) d
D
20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1) y r ( )
(2) y r ( )
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)
2
2
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解: 令 u y2 , v x2 , 则
x
y
D
:
p a
u v
q b
D
x2 by
y
y2 qx
D y2 px
x2 ay
J (x, y) (u, v)
1 (u, v)
1 3
o
v b
所围成的闭区域.
y
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, y x
因此取D 为X – 型域 :
D
sin x
x
dxd y
0
sin x
x
dx
x
0 dy
D x o x
0 sin x dx
2
说明: 当先对 x (或 y )积分很难或根本无法积分时， 则不论积分区域如何，只能选择X (或 Y ) – 型区域。
通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边
形, 其对应顶点为Mi (xi , yi ) (i 1, 2,3, 4)
y
M3
D M 4
M1 M2
令 h2 k2, 则
o
x
x2
x1
x(u
h,
v)
x(u,
v)
x u
(u,
v)
h
o(
)
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x4
x1
x(u,
v
k)
x(u, v)
例6. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
r d r d
2
d
0
a rer2 d r
0
(1 ea 2 )
由于 ex2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
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注: 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上
J (x, y) cos (r, ) sin
r sin r cos
r
D f (x, y) d x d y D f (r cos , r sin ) r d r d
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yx
例8. 计算 e yx d x d y , 其中D 是 x 轴 y 轴和直线
所围成的闭域.
0
2y
y x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1 D2
o 22 2 x
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例5. 计算下列积分
1
3
dx
2
sin y2dy
1
x1
1
yy
1
yy
2
2 1
dy
1
e x dx
1 dy y
e x dx
4
2
2
答：1 1 1 cos 4
2
2 3 e 1 e
82
例6. 设 f (u) 连续，求 I x 1 y f x2 y2 d , D
V 4 D 4 a2 r 2 r d r d
o
y
2 acos 0
4a2 r2 rdr
2a
x
32 a3( 2 )
3 23
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*三、二重积分换元法
v
定理: 设 f (x, y) 在闭域 D上连续, 变换:
T
:
x y
x(u, v) y(u, v)
(u,v) D D