半导体物理基础(5)扩散运动
半导体物理_第五章
右图所示 为锗、硅 及砷化镓 单晶材料 中电子和 空穴的漂 移运动速 度随着外 加电场强 度的变化 关系。
从可以看出，在低电场条件下，漂移速度与外加 电场成线性变化关系，曲线的斜率就是载流子的迁移 率；而在高电场条件下，漂移速度与电场之间的变化 关系将逐渐偏离低电场条件下的线性变化关系。以硅 单晶材料中的电子为例，当外加电场增加到30kV/cm 时，其漂移速度将达到饱和值，即达到107cm/s；当 载流子的漂移速度出现饱和时，漂移电流密度也将出 现饱和特性，即漂移电流密度不再随着外加电场的进 一步升高而增大。 对于砷化镓晶体材料来说，其载流子的漂移速度 随外加电场的变化关系要比硅和锗单晶材料中的情况 复杂得多，这主要是由砷化镓材料特殊的能带结构所 决定的。
因此，在上述低电场的情况下，载流子的平均自由 运动时间基本上由载流子的热运动速度决定，不随电 场的改变而发生变化，因此低电场下载流子的迁移率 可以看成是一个常数。 当外加电场增强为7.5kV/cm之后，对应的载流子定 向漂移运动速度将达到107cm/s，已经与载流子的平 均热运动速度持平。此时，载流子的平均自由运动时 间将由热运动速度和定向漂移运动速度共同决定，因 此载流子的平均自由运动时间将随着外加电场的增强 而不断下降，由此导致载流子的迁移率随着外加电场 的不断增大而出现逐渐下降的趋势，最终使得载流子 的漂移运动速度出现饱和现象，即载流子的漂移运动 速度不再随着外加电场的增加而继续增大。
其中μ称为载流子的迁移率。因此对于价带中的空穴来 说，其漂移电流密度可表示为：
同样，对于导带中的电子来说，其漂移电流密度可表 示为： μn、μp分别是电子和空穴的迁移率。
下表所示为室温下几种常见半导体材料中的载流子迁 移率。
2. 迁移率效应 前面我们给出了半导体材料中载流子迁移率的定义， 即载流子平均的定向漂移速度与外加电场之间的比值。 对于空穴而言，则有：
半导体物理第五章教材
➢ 光照停止时，半导体中仍然存在非平衡载流子。由于电子 和空穴的数目比热平衡时的增多了，它们在热运动中相遇 而复合的机会也将增大。这时复合超过了产生而导致一定 的净复合，非平衡载流子逐渐消失，最后恢复到平衡值， 半导体又回到了热平衡状态。
13
思考题
1. 掺杂、改变温度和光照激发都可以改变半导体的 电导率，试从三者的物理过程说明其区别。
nt0 Nt f(Et)1expNEttk0TEF 45
用半导体的光磁电效应的原理，该方法适合于测量短的寿 命，在砷化镓等Ⅲ-Ⅴ族化合物半导体中用得最多； ✓还有扩散长度法、双脉冲法及漂移法等。
不同的材料寿命很不相同。纯度和完整性特别好硅、锗 材料，寿命分别可达103μs、104μs；砷化镓的寿命极短，约为 10-5～10-6μs，或更低。即使是同种材料，在不同的条件 下，寿命也可在—个很大的范围内变化。
电子在导带和价 带之间的直接跃 迁，引起电子和 空穴的直接复合
电子和空穴通过 禁带的能级(复合 中心)进行复合
27
28
二、非子复合时释放能量的方式
非平衡载流子复合时释放能量的方式有三种： ➢ 发射光子：伴随着复合，将有发光现象，常称为发光复合
或辐射复合； ➢ 发射声子：载流子将多余的能量传给晶格，加强晶格的振
nt0 Nt f(Et)1expNEttk0TEF
41
n1 Nc expEtk0TEc
费米能级EF与复合中 心能级Et重合时导带
的平衡电子浓度
srnNcexpEtk 0TEcrnn1 Gn snt
内在 联系
Gn rnn1nt
42
(二) 空穴俘获与发射
1.俘获空穴 电子由复合中心能级Et落入价带与空穴复合，或者说复合
东南大学《半导体物理基础》教学大纲
《半导体物理基础》教学大纲（总学分：2.0 总上课时数：32 ）东南大学电子工程系一．课程的地位与任务本课程是电子科学与技术专业类的一门专业基础课。
学生在学习“固体物理基础”课的基础上，通过本课程的学习，掌握半导体物理的基本物理概念、模型以及各种特性。
学会应用半导体物理学理论分析和处理问题的手段和方法，为学生学习其它专业课(电子器件、集成电路等)以及今后从事半导体专业工作打下一个理论基础。
二、课程内容的教学要求1`.半导体的一般特性（Basic Semiconductor Properties）（1）回顾先修课程中关于孤立原子及自由电子运动状态，半导体晶体结构，共有化运动，导体、绝缘体、半导体结构方面的知识。
（2）了解半导体材料种类及特性（3）了解硅和锗的能带结构，Ⅲ-Ⅴ族化合物半导体的能带结构。
2 .载流子分布（Eguilibrium Carrier Statistics）（1）熟练掌握能带及费米能级概念，以及在半导体特性分析中的应用。
（2）熟悉本征半导体和杂质半导体的导电特性，掌握施主杂质、受主杂质及杂质补偿概念。
（3）掌握状态密度，载流子的统计分布，本征半导体的载流子浓度，杂质半导体的载流子浓度，一般情况下的载流子统计分布的表示方法。
（4）熟悉载流子浓度、费米能级与温度及掺杂浓度之间的关系。
（5）掌握简并半导体和非简并半导体的概念。
3 .载流子复合-产生（Recombination-Generation）（1）掌握非子注入与复合、非平衡载流子的浓度表达式、衰减、寿命等概念。
（2）了解准费米能级概念，进而掌握非平衡状态下载流子浓度的表示方法。
（3）了解直接复合，间接复合等的复合机制。
4 .载流子的散射（Carrier Scattering）（1）晶格振动散射（2）电离杂质散射5. 载流子的漂移和扩散（Carrier Drift and Carrier Diffusion）（1）掌握载流子的漂移运动和迁移率的概念。
半导体物理课件1-7章(第五章)
n0
exp
EFn EF k0T
ni
exp
EFn Ei k0T
p
Nv
exp
EFp Ev k0T
p0
exp
EF EFp k0T
ni
exp
Ei EFp k0T
np
n
2 i
exp
E Fn E Fp k 0T
有非平衡载流子存在时，由于n>n0和p>p0，所 以无论是EFn还是EFp都偏离EF， EFn偏向导带 底Ec，而EFp则偏向价带顶Ev。但是，EFn和EFp 偏离EF的程度是不同的。
9
4、非平衡载流子的注入和检验：
•注入的非平衡载流子可以引起电导调制效应,
使半导体的电导率由平衡值σ0增加为σ０+Δσ,
附加电导率Δσ可表示为
nqn pq p
(n0 n)qn ( p0 p)q p
(n0qn p0q p ) (nqn pq p )
0
光注入Δp=Δn
nqn pq p pq(n p )
复合过程的性质
• 由于半导体内部的相互作用，使得任何半导体在 平衡态总有一定数目的电子和空穴。 •从微观角度讲： •平衡态指的是由系统内部一定的相互作用所引起的 微观过程之间的平衡；这些微观过程促使系统由非 平衡态向平衡态过渡，引起非平 衡载流子的复合； •因此，复合过程是属于统计性的过程。
复合理论
通过附加电导率的测量可以直接检验非平 衡载流子的存在。
小注入时 0 0
电阻率变化：
0
1/
1 / 0
/
2 0
电阻变化：
R
l
/
S
[l
/
(
S
半导体物理与器件第五章
μn为1350cm2/(V·s)，外加电场为75V/cm时，则漂移速度为
105cm/s，其值为热运动速度的1％。可见外加电场不会显著改
变电子的能量。
• 强场，载流子从电场获得能量较多，其速度（动量）有较大 改变，造成平均自由时间减小，散射增强，最终导致迁移率 下降，速度饱和。
第五章 载流子输运现象
20
vd
1 2
e cp
mcp
E
• 在考虑了统计分布影响的精确模型中，上式中将没
有因子1/2，则
vdp
e cp
mcp
E
• 因而：
p
dp
E
e cp
mcp
第五章 载流子输运现象
8
同理，电子的平均漂移速度为：
n
e cn
mcn
其中，τcn为电子受到碰撞的平均时间间隔。
根据迁移率和速度及电场的关系，可知：
移电流密度。
解：因为Na=0，Nd=1016cm-3>ni，所以 n Nd 1016 cm3
p ni2 Nd
1.8 106 1016
2
3.24 104 cm3
漂移电流为 Jdrf e nn p p E ennE
1.61019 85001016 10 136 A cm2
非本征半导体中，漂移电流密度基本上取决于多数载流子。
第五章 载流子输运现象
5
（2）迁移率
• 用有效质量来描述空穴加速度与外加电场关系
F
mcp a
mcp
dv dt
eE
其中，e表示电子电荷电量，a代表加速度，E表示电场， mcp*为空穴的有效质量。v表示空穴平均漂移速度（不包括 热运动速度）。
• 假设粒子初始速度为0，对上式积分得
半导体物理与器件5
5.4 霍尔效应Hall Effect
5.4 霍尔效应Hall Effect
磁场力与感生电场力相等时，达到稳定状态
对于空穴 霍尔系数
可测量空穴浓度
对于电子
5.4 霍尔效应
可测量电子浓度
可测量空穴迁移率 可测量电子迁移率
• P131 5.9 • P133 5.24
作业
第五章 载流子输运现象 Carrier Transport Phenomena
➢输运是指半导体中电子和空穴的净流动，这种流动将 产生电流。
➢ 漂移运动(Drift)是指由电场引起的载流子运动 ➢ 扩散运动(Diffusion)是指由浓度梯度引起的载流子运 ➢半导体的温度梯度也能引起载流子运动，但由于半导
晶格散射 电离杂质散射
硅
5.1.3电导率（Conductivity）
S/cm
对本征半导体 对P型半导体 对n型半导体
5.1.4 饱和速度Velocity Saturat
T=300K时，随机热运动的平均能量
dn=- nE
5.2 载流子扩散
5.2.1 扩散电流密 度
5.2.1 扩散电流密度
5.2.2 总电流密度
一维情况
推广到三维情况
5.3 杂质梯度分布Graded Impurity Distributi
5.3.1 感生电场Induced Electric Field
准电中性
5.3.2 爱因斯坦关系
非均匀掺杂半导体中，在没有外加电场下，电子电流和空穴电流 分别等于零 准电中性
爱因斯坦关系
dp =(e p) pE
电子漂移电流密度 Jn drf=(-en) dn
dn=- nE Jn drf=(-en) (- nE) = (e n) nE
半导体物理知识要点总结
第一章 半导体的能带理论1. 基本概念✧ 共有化运动：原子组成晶体后，由于电子壳层的交叠，电子不在局限在某一个原子上，可以由一个原子转移到相邻的原子上去，因而电子可以在整个晶体中运动，这种运动称为电子的共有化运动。
✧ 单电子近似：假设每个电子是在大量周期性排列且固定不动的原子核势场及其他电子的平均势场中运动。
该势场也是周期性变化的。
✧ 能带的形成：原子相互接近，形成壳层交替→电子共有化运动→能级分裂（分成允带、禁带）→形成能带✧ 能带：晶体中，电子的能量是不连续的，在某些能量区间能级分布是准连续的，在某些区间没有能及分布。
这些区间在能级图中表现为带状，称之为能带。
✧ 价带：P6✧ 导带：P6✧ 禁带：P5✧ 导体✧ 半导体✧ 绝缘体的能带✧ 本征激发：价带上的电子激发成为准自由电子，即价带电子激发成为导带电子的过程，称为本征激发。
✧ 空穴：具有正电荷q 和正有效质量的粒子✧ 电子空穴对✧ 有效质量：有效质量是在描述晶体中载流子运动时引进的物理量。
它概括了周期性势场对载流子运动的影响，从而使外场力与加速度的关系具有牛顿定律的形式。
其大小由晶体自身的E-k 关系决定。
✧ 载流子及载流子浓度2. 基本理论✧ 晶体中的电子共有化运动✧ 载流子有效质量的物理意义 ：当电子在外力作用下运动时，它一方面受到外电场力f的作用，同时还和半导体内部原子、电子相互作用着，电子的加速度应该是半导体内部势场和外电场作用的综合效果。
但是，要找出内部势场的具体形式并且求得加速度遇到一定的困难，引进有效质量后可使问题变得简单，直接把外力f 和电子的加速度联系起来，而内部势场的作用则由有效质量加以概括，使得在解决半导体中电子在外力作用下的运动规律时，可以不涉及半导体内部势场的作用。
第二章 半导体中的杂质与缺陷能级1. 基本概念✧ 杂质存在的两种形式：间隙式杂质：杂质原子位于晶格原子间的间隙位置。
替位式杂质：杂质原子取代晶格原子而位于晶格点处。
半导体物理与器件-第五章 载流子输运现象
考虑非均匀掺杂半导体，假设没有外加电场，半导体处于热 平衡状态，则电子电流和空穴电流分别等于零。可写为：
Jn
0
enn Ex
eDn
dn dx
(5.41)
设半导体满足准中性条件，即n≈Nd(x)，则有：
Jn
0
eNd
x nEx
eDn
dNd x
dx
(5.42)
将式 5.40代 入上式：
0
eNd
x n
kT e
1
Nd x
dNd x
dx
eDn
dNd x
dx
(5.43) 爱因斯
Dn kT (5.44a) Dp kT (5.44b)
n e
p e
Dn Dp kT
坦关系
(5.45)
n p e
25
5.3杂质的浓度梯度
典型迁移率及扩散系数
注意： （1）迁移率和扩散系数均是温度的函数； （2）室温下，扩散系为迁移率的1/40。
移电流密度为
Jdrf d 单位：C/cm2s或A/cm2
空穴形成的漂移电流密度 JP drf epdp (5.2)
e单位电荷电量；p：空穴的数量；vdp 为空穴的平均漂移速度。
4
5.1载流子的漂移运动 漂移电流密度
弱电场条件下，平均漂移速度与电场强度成正比，有
dp pE (5.4) μp称为空穴迁移率。单位cm2/Vs
迁移率与电场大小什么关系？
10
5.1载流子的漂移运动 迁移率
载流子的散射：
声子散射和电离杂质散射
当温度高于绝对零度时，半导体中的原子由于具有一定的热 能而在其晶格位置上做无规则热振动，破坏了势函数，导致载 流子电子、空穴、与振动的晶格原子发生相互作用。这种晶格 散射称为声子散射。
半导体物理学名词解释.
半导体物理学名词解释1.能带：在晶体中可以容纳电子的一系列能2.允带：分裂的每一个能带都称为允带。
3.直接带隙半导体：导带底和价带顶对应的电子波矢相同间接带隙半导体：导带底和价带顶对应的电子波矢不相同4、施主杂质：能够施放电子而在导带中产生电子并形成正电中心的杂质，称为施主杂质。
施主能级：被施主杂质束缚的电子的能量状态称为施主能级。
5、受主杂质：能够能够接受电子而在价带中产生空穴，并形成负电中心的杂质，称为受主杂质。
受主能级：被受主杂质束缚的空穴的能量状态称为受主能级。
6、本征半导体：本征半导体就是没有杂质和缺陷的半导体。
7、禁带宽度：导带底与价带顶之间的能量差。
8、禁带：（导带底与价带顶之间能带）9、价带：（0K 条件下被电子填充的能量最高的能带）10、导带：（0K 条件下未被电子填充的能量最低的能带）11、迁移率：表示单位场强下电子的平均漂移速度，单位cm^2/(V ·s)。
12、有效质量：的作用。
有效质量表达式为：，速度：13、电子：带负电的导电载流子，是价电子脱离原子束缚后形成的自由电子，对应于导带中占据的电子空穴：带正电的导电载流子，是价电子脱离原子束缚后形成的电子空位，对应于价带中的电子空位14、费米分布：大量电子在不同能量量子态上的统计分布。
费米分布函数为：15、漂移运动：载流子在电场作用下的运动。
扩散运动：载流子在浓度梯度下发生的定向运动。
16、本征载流子：就是本征半导体中的载流子（电子和空穴），即不是由掺杂所产生出来的。
17、产生：电子和空穴被形成的过程222*dk Ed h m n =E E Fe Ef 011)(-+=直接复合：导带中的电子越过禁带直接跃迁到价带，与价带中的空穴复合，这样的复合过程称为直接复合间接复合：导带中的电子通过禁带的复合中心能级与价带中的空穴复合，这样的复合过程称为间接复合。
复合率：单位时间单位体积内复合的电子-空穴对数。
18、散射：载流子与其它粒子发生弹性或非弹性碰撞，碰撞后载流子的速度的大小和方向发生了改变。
载流子的扩散运动名词解释
载流子的扩散运动名词解释载流子的扩散运动是半导体物理学中一个关键概念。
在半导体材料中，载流子是指电荷带正、负电荷的粒子。
对于正常的金属，电子是主要的载流子。
而在半导体材料中，除了电子还有空穴作为载流子。
载流子的扩散运动指的是这些载流子在半导体材料中的自由移动。
半导体材料的特殊构造赋予了载流子扩散运动的性质。
半导体材料由n型半导体和p型半导体两部分组成。
n型半导体中，掺杂了一些杂质（如磷、砷等），这些杂质提供了额外的电子，形成了电子过剩的条件。
而p型半导体中，则掺杂了其他杂质（如硼、铝等），这些杂质形成了电子不足的条件。
在半导体材料中，载流子的扩散运动是基于浓度梯度的。
当两个区域之间存在浓度差时，载流子会自发地从浓度高的区域向浓度低的区域扩散。
这种扩散运动是自发的，不需要外加电势来驱动。
扩散运动的速度取决于载流子的浓度梯度和半导体材料的性质。
载流子浓度梯度越大，扩散速度就越快。
同时，材料的性质也会影响载流子的扩散速度。
不同的半导体材料具有不同的载流子迁移率，即载流子在材料中移动的能力。
迁移率越高，载流子的扩散速度就越快。
除了浓度梯度，载流子的扩散运动还受到材料的温度影响。
在高温下，载流子的热能增加，扩散速度也会增加。
而低温下，载流子的热能减少，扩散速度会降低。
载流子的扩散运动在半导体器件中起着重要作用。
例如，扩散运动可以帮助形成PN结，是二极管等器件的基础。
此外，扩散运动还可用于半导体材料中的掺杂过程。
通过控制材料中杂质的扩散，可以改变材料的导电性能，从而实现各种功能。
在半导体器件的设计中，了解和控制载流子的扩散运动是至关重要的。
通过控制材料的组成和温度，可以调整载流子的扩散速度从而影响器件的性能。
同时，载流子的扩散运动也是半导体材料研究中的一个热点领域。
研究人员正在寻求更好的材料和方法，以提高载流子的迁移率和扩散速度，从而推动半导体技术的发展。
总之，载流子的扩散运动是半导体材料中载流子自由移动的过程。
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p d p p Dp 2 p p p gp t x dx x p
p 0 t p p x x d 0 dx
------连续性方程
讨论（1）光照恒定 （2）材料掺杂均匀
（3）外加电场均匀
（4）光照恒定，且被半导体均匀吸收
p 0 t
dn S n x Dn dx
扩散定律
Dn---电子扩散系数（ electron diffusion coefficients）
Sn x Sn x x
---单位时间在小体积Δx· 1中 积累的电子数
S n x S n x x dS n x lim x dx
x 0
----在x附近，单位时间、单位体积中积累的电子数 稳态时，积累=损失
dSn x nx dx n
d nx nx 那么 Dn 2 dx n
2
稳态扩 散方程
d nx nx Dn 2 dx n
2
三维
Dn n
球坐标
3 在一块均匀的半导体材料中，用适当频率的光脉冲 照射其局部区域，请分别写出没有外场和加外场时， 非平衡载流子在光脉冲停止后的运动方程。 没有外场：
2 p p Dp 2 t x p ∆p t=0
t=t1 t=t2 0 x
p
有外场：
2 p p p Dp p 2 t x x p
p
gp 0
p p p0 p g p
空穴向表面扩散，满足的扩散方程
d p p Dp gp 0 2 dx p
2
边界条件为
p() p g p
p( x ) Dp x
x 0
s p p(0)
例 今有一块均匀的n型硅材料，用适当的频率、稳 定的光照射样品的左半边（如下图），产生电子-空 穴对，其产生率为gp，求稳态时、低注入水平、样品 足够长时两边的空穴浓度及分布。
2
L p ( ) L2p ( ) 4 L2p 2L
2 p
1 L（ p ） 1 Lp
Lp ( ) Lp
( p ) 0 e p x ( p ) e L p 0
x L p ( )
电场很强
电场很弱
结论：由表面注入的非平衡载流子深入样品的平均距 离，在电场很强时为牵引长度，而电场很弱时为扩散 长度。
∆p
p
t=0
t=t1 t=t2 0 A x
4 稳态下的表面复合
稳定光照射在一块均匀掺杂的n型半导体中均匀产生非平 衡载流子，产生率为gp。如果在半导体一侧存在表面复合 （如图所示），试写出非平衡载流子的表达式。 表面复合
0
体内产生的非子为
x
p
p
2 p d p p Dp 2 p p p gp t x dx x p
光照
0
x
p
p d p p Dp 2 p p p gp t x dx x p
2
2
n
n
1 d 2 dp n Dn 2 (r ) r dr dr n
解方程, 得 nx Ae
其中 Ln Dn n
x Ln
Be
x Ln
称作扩散长度
若样品足够厚
x
有nx 0
B 0
又 x 0时, nx n0
最后得 nx n0 e
P 空穴 积累率 复合率 其它产生率 t
*空穴积累率： 空穴的扩散和漂移流密度
p Sp Dp p p q x Jp
空穴积累率
2 p d p p
复合率
p
p
p
2
其它产生率
gp
x Ln
Dn q nx Ln
Dp dpx p 0 e J p 扩 qS p x qDp q dx Lp
x Lp
q
Dp Lp
px
（2）总电流密度
dnx J n J n漂 J n扩 qn n qDn dx
2 p
2 p
2L
2 p
1 ~ “” 2 ~ “”
Lp ( ) p p
——空穴的牵引长度
空穴在寿命时间内所漂移的距离 考虑到非平衡载流子是随x衰减的
p Be
又x
2 x
0时，p （p） 0
则B （p） 0
最后得：
p (p)0 e
2 x
其中
Lp ( ) Lp
2 p d p p D p 2 p p p gp t x dx x p
2 p p Dp 2 t x p
——非平衡少数载流子的扩散方程
p
p
恒定光照下
2 p p Dp 0 2 x p
——稳态扩散方程
2 用恒定光照射n型半导体，并被表面均匀吸收,且gp=0。 假定材料是均匀的，且外场均匀，试写出少数载流子满 足的运动方程，并求解。 解
dp0 ( x) q dV x p0 ( x) dx k0T dx
dV 而 dx
最后得 同理
Dp
k0T p q
Dn
k0T n q
5.6 连续性方程
指扩散和漂移运动同时存在时，少数载流子所遵守的运动方程 以一维n型为例来讨论：
ε
光 照
在外加条件下，载流子未 达到稳态时，少子浓度不仅是x 的函数，而且随时间t变化：
J p漂 qp （ 0 x） p
dp0 x J p 扩 qS p x qD p dx
qp （ 0 x） p
p0 ( x) Nve
dp0 x qD p dx
Ev ( x ) EF k0T
Nv e
[ Ev qV ( x )] EF k0T
当W<<Ln时，
x n( x) (n)（ ） 0 1 W
相应的 Sn=常数
扩散电流密度
电子的扩散电流密度
dnx J n 扩 qS n x qDn dx
空穴的扩散电流密度
dp x J p 扩 qS p x qD p dx
Dn dnx n0 e J n 扩 qSn x qDn q dx Ln
对于p型半导体：
p 0 x
n
n d n n Dn 2 nn n gn t x dx x n
2
p
2 p d p p D p 2 p p p gp t x dx x p
应用举例 1 用光照射n型半导体，并被表面均匀吸收，且gp=0 。 假定材料是均匀的，且无外场作用，试写出少数载流子 满足的运动方程。
5.5 非平衡载流子的扩散（Diffusion）运动
（1）扩散运动与扩散电流（diffusion current）
考察p型半导体的非少子扩散运动 沿x方向的浓度梯度
电子的扩散流密度
dn dx
S n x
（单位时间通过单位 截面积的电子数）
dn S n x dx
dn x dx
注意到 1 nLn n 0 e
x Ln
x Ln
若样品厚为W（W
∞)
并设非平衡少子被全部引出
则边界条件为： ∆n(0)= (∆ n)0
∆n(W)=0
x Ln
带入方程 nx Ae
得
Be
x Ln
W x sinh( ) Ln n( x) (n) 0 W sinh( ) Ln
dp x J p J p漂 J p扩 qp p qD p dx
在光照和外场同时存在的情况下:
J总 J n J p
（3） Einstein Relationship（爱因斯坦关系）
D
k 0T q
平衡条件下：
J p漂 J p扩 0
p d p p Dp 2 p p p gp t x dx x p
2
p
此时连续性方程变为
d 2 p dp p Dp p 0 2 dx dx p
方程的通解为：
p Ae
1 x
Be
2 x
1， 2
其中
Lp ( ) L ( ) 4 L