第五章 参数估计
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第5章--抽样分布与参数估计教案资料
(5)
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9
9,1
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10
10,1
10,2
10,3
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10,5
10,6
10,7
10,8
10,9
10,10
数是 ，标准差是 ，从这个总体中抽出一 个容量是 n 的样本，则样本平均数 X 也服从 正态分布，其平均数 E( X ) 仍为 ，其标准
差为 。 X 5-19
从正态分布的再生定理可以看出，只要总体 变量服从正态分布，则从中抽取的样本，不管n 是多少，样本平均数都服从正态分布。但是在 客观实际中，总体并非都是正态分布。对于从 非正态分布的总体中抽取的样本平均数的分布 问题，需要由中心极限定理来解决。
第5章--抽样分布与参数估计
第一节 抽样的基本概念与数学原理
一、有关抽样的基本概念 二、大数定理与中心极限定理
5-2
一、有关抽样的基本概念
（一）样本容量与样本个数 1.样本容量。样本是从总体中抽出的部分
单位的集合，这个集合的大小称为样本容量， 一般用n表示，它表明一个样本中所包含的单 位数。
lim
n
1 n
p
n
i 1
X
i
1
(5.5)
5-17
大数定理表明：尽管个别现象受偶然因 素影响，有各自不同的表现。但是，对总体 的大量观察后进行平均，就能使偶然因素的 影响相互抵消，消除由个别偶然因素引起的 极端性影响，从而使总体平均数稳定下来， 反映出事物变化的一般规律。
第5章多普勒参数估计
第5章多普勒参数估计多普勒参数估计是指通过接收到的多普勒频移信息，估计目标物体的速度、角度和距离等参数的过程。
在雷达、超声波测速仪等领域都应用了多普勒参数估计技术。
多普勒频移是由运动物体引起的频率变化，实际上表征了物体相对于接收器运动的信息。
在雷达系统中，通过接收到的回波信号的频率，可以推断出目标物体的运动情况。
为了实现多普勒参数估计，需要进行时间和频率域的信号分析。
时间域信号分析是指通过分析接收到的回波信号的时域波形，来推测目标物体的运动情况。
通过观察回波信号的波形，可以估计出物体的运动速度，并计算出速度的大小和方向。
然而，时间域方法只能很粗略地估计运动速度，对于更精确的参数估计，需要进行频域分析。
频域信号分析是指通过分析接收到的回波信号的频谱信息，来推测目标物体的运动情况。
通过对回波信号进行傅里叶变换，可以得到信号的频谱。
目标物体的速度会引起信号频率的变化，而频率的变化幅度与速度成正比。
因此，通过观察频谱的峰值位置和幅度，可以推断出目标物体的速度。
多普勒参数估计的另一个重要应用是测量目标物体的距离。
在雷达系统中，可以通过利用回波信号的时延信息，结合多普勒频移信息，来估计目标物体的距离。
通过计算回波信号的时延，可以得到目标物体到接收器的距离。
而多普勒频移则提供了目标物体的相对速度信息。
因此，通过综合利用时延和多普勒频移信息，可以准确测量目标物体的距离。
另外，多普勒参数估计还可以应用于估计目标物体的角度。
在雷达系统中，可以通过接收到的来自不同方向的回波信号的多普勒频移信息，来估计目标物体的角度。
通过分析各个方向上的回波信号的频谱，可以确定目标物体相对于雷达的方向。
因此，通过综合利用不同方向上的多普勒频移信息，可以准确估计目标物体的角度。
总之，多普勒参数估计是通过分析目标物体引起的多普勒频移信息，来测量物体的运动速度、角度和距离等参数。
通过时间和频率域的信号分析，可以实现对多普勒频移信息的提取和估计。
统计学
2
s n
还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。 还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。
2、总体比率的区间估计 、
由定理知：在大样本下， 由定理知：在大样本下，样本比率的分 1 布趋近于 N ( P, P(1 − P)) n 给定置信度 1 − α ，查正态表的 Zα ， 2 样本比例的抽样极限误差为
2 2 2 2
~ F (n1 − 1, n2 − 1)
得方差比 σ 12 / σ 22 的置信度为1 − α 的置信区间为
1 s12 s12 ( 2 , 2 s2 Fα ( n1 − 1, n2 − 1) s2 F
2 1−
1 ) α ( n1 − 1, n2 − 1)
2
例题：见书 页例11 例题：见书150页例 页例 练习：研究由机器A和机器 生产的钢管的内径， 和机器B生产的钢管的内径 练习：研究由机器 和机器 生产的钢管的内径， 随机抽取A生产的管子 生产的管子18只 测得样本方差0.34 随机抽取 生产的管子 只，测得样本方差 平方毫米，抽取B生产的管子 生产的管子13只 平方毫米，抽取B生产的管子13只，测得样本 方差0.29平方毫米。设两样本相互独立，且设 平方毫米。 方差 平方毫米 设两样本相互独立， 由A、B生产的管子内径分别服从正态分布 、 生产的管子内径分别服从正态分布 2 2 N ( µ1 ,σ 1 ), N ( µ 2 ,σ 2 ) µ i ,σ i 均未知。 均未知。 这里的 试求方差比的置信度为0.90的置信区间。 的置信区间。 试求方差比的置信度为 的置信区间
s 小样本） n （小样本）
综述： 综述：总体均值的置信度为 1 − α 的置信区间 表示为： 表示为：x − ∆ x ≤ µ ≤ x + ∆ x 其中： 其中： σ s ∆ ≈ Zα 大样本下： 大样本下： x = Z α σ ( x) = Z α
s n
还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。 还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。
2、总体比率的区间估计 、
由定理知：在大样本下， 由定理知：在大样本下，样本比率的分 1 布趋近于 N ( P, P(1 − P)) n 给定置信度 1 − α ，查正态表的 Zα ， 2 样本比例的抽样极限误差为
2 2 2 2
~ F (n1 − 1, n2 − 1)
得方差比 σ 12 / σ 22 的置信度为1 − α 的置信区间为
1 s12 s12 ( 2 , 2 s2 Fα ( n1 − 1, n2 − 1) s2 F
2 1−
1 ) α ( n1 − 1, n2 − 1)
2
例题：见书 页例11 例题：见书150页例 页例 练习：研究由机器A和机器 生产的钢管的内径， 和机器B生产的钢管的内径 练习：研究由机器 和机器 生产的钢管的内径， 随机抽取A生产的管子 生产的管子18只 测得样本方差0.34 随机抽取 生产的管子 只，测得样本方差 平方毫米，抽取B生产的管子 生产的管子13只 平方毫米，抽取B生产的管子13只，测得样本 方差0.29平方毫米。设两样本相互独立，且设 平方毫米。 方差 平方毫米 设两样本相互独立， 由A、B生产的管子内径分别服从正态分布 、 生产的管子内径分别服从正态分布 2 2 N ( µ1 ,σ 1 ), N ( µ 2 ,σ 2 ) µ i ,σ i 均未知。 均未知。 这里的 试求方差比的置信度为0.90的置信区间。 的置信区间。 试求方差比的置信度为 的置信区间
s 小样本） n （小样本）
综述： 综述：总体均值的置信度为 1 − α 的置信区间 表示为： 表示为：x − ∆ x ≤ µ ≤ x + ∆ x 其中： 其中： σ s ∆ ≈ Zα 大样本下： 大样本下： x = Z α σ ( x) = Z α
卫生统计学七版 第五章参数估计基础电子教案
P0.05
第三节 总体均数及总体概率的估计
一、参数估计的基础理论
参数估计区 点间 估估 计计
对总体参数估计 称的 为范 置围 信区C间（ I ， co用 nfidenicneterv）al
表示，其置信1度 ）为，（一般取置95信 %，度即为取 为0.05，此区
间的较小值称为 限置 ，信 较下 大值称为 限置 。信 一上 般进行双 区侧 间的估计。
卫生统计学七版 第五ຫໍສະໝຸດ 参数估 计基础第一节 抽样分布与抽样误差
一、样本均数的抽样分布与抽样误差
……
x15 .55 1 sx0.9617
样本均数的标准差越，大抽样误差就越大
样本均数的标准差称标为准误
x
n
sx
s n
sx称为标准误估计值，简也称标准误
标准误与标准差成正比 ，与样本含量成反比
标准误越大，抽样误差越大。
2、正态近似法
当已知时X： u
n
当未知但n足够大时X：u0.05
s n
X1.96 s n
或：X1.96s X
例5-3(P95) 某医生于2000年在某市随机抽取90名 19岁的健康男大学生，测量了他们的身高，得样本均数 为172.2cm，标准差为4.5cm，试估计该市2000年19岁健 康男性大学生平均身高的95%置信区间 。
对任意分布，在样本含量足够大时，其样本均数的分布都 近似正态分布，且样本均数的均数等于原分布的均数。
二、样本频率的抽样分布与抽样误差
总体率的标准误：
p
(1 )
n
率的标准误的估计值：
sp
p(1 p) n
标准误大抽样误差就大。
第二节 t分布
一、t分布的概念
第五章参数估计和假设检验Stata实现
第五章参数估计和假设检验的Stata实现本章用到的Stata命令有例5－1 随机抽取某地25名正常成年男子，测得其血红蛋白含量如下：146 7 125 142 7 128 1401 7 144 151 117 118该样本的均数为137.32g/L，标准差为10.63g/L，求该地正常成年男子血红蛋白含量总体均数的95%可信区间。
数据格式为计算95％可信区间的Stata命令为：结果为该地正常成年男子血红蛋白含量总体均数的95%可信区间为（132.93～141.71）例5－2 某市2005年120名7岁男童的身高X=123.62(cm)，标准差s=4.75(cm)，计算该市7岁男童总体均数90%的可信区间。
在Stata中有即时命令可以直接计算仅给出均数和标准差时的可信区间。
结果为：该市7岁男童总体均数90%的可信区间（122.90～124.34）。
例5－3 为研究铅暴露对儿童智商(IQ)的影响，某研究调查了78名铅暴露(其血铅水平≥40 g/100ml)的6岁儿童，测得其平均IQ为88.02，标准差为12.21；同时选择了78名铅非暴露的6岁儿童作为对照，测得其平均IQ为92.89，标准差为13.34。
试估计铅暴露的儿童智商IQ的平均水平与铅非暴露儿童相差多少，并估计两个人群IQ的总体均数之差的95%可信区间。
本题也可以应用Stata的即时命令：结果：差值为4.86，差值的可信区间为0.81～8.90。
例5-4 为研究肿瘤标志物癌胚抗原(CEA)对肺癌的灵敏度，随机抽取140例确诊为肺癌患者，用CEA进行检测，结果呈阳性反应者共62人，试估计肺癌人群中CEA的阳性率。
Stata即时命令为结果为肺癌人群中CEA的阳性率为44.28％，可信区间为35.90％～52.82％。
例5-5 某医生用A药物治疗幽门螺旋杆菌感染者10人，其中9人转阴，试估计该药物治疗幽门螺旋杆菌感染者人群的转阴率。
Stata即时命令为结果为例5－6 某市区某年12个月发生恶性交通事故的次数分别为：5, 4, 6, 12, 7, 8, 10, 7, 6, 11, 3, 5假设每个月恶性交通事故的次数服从Poisson分布，试估计该市平均每个月恶性交通事故的次数的95%可信区间。
统计学贾俊平-第五章-参数估计-练习题答案
2
0.058375,s0.005846, F ?2.464484, F1
0.405764
所以，方差比的置信区间为
4.051926,24.61011
5.10已知置信水平
95%,Z
/2
E1.96,120,E
20
所以，n
z
~Er
138.3，取n=139。
5.11已知
n1n2
n, E 5,112,
215，置信水平1
95%,Z
/2
1.96
所以，n
Z
2 2
1 2
256.7，取
E
n=57。
5.12已知置信水平1
95%,n1
n2n,E=0.05，取1
20.5
Z111212
所以
768.32，取n=769
12的置信区间为八01门2
(2)置信水平195%，
P1P2
0.1 1.96, 0.00096一0.00084
0.0168,0.1832
c
D
S
SI
0- 241609
S1A2
0. 058375
1S2
F0.076457
0- 005846
N
2. 464424
0-405764
1
2置信区间
5.9
Excel得，$0.241609, S20.076457, s；
统计学（第四版）贾俊平 第五章 参数估计 练习题答案
5.1（答案精确到小数点后两位）
（1）已知：n=49，15，
样本均值的标准误差X二=15荷2.14
(2)
已知：置信水平：1
95%,Z2
1.96，
(3)
0.058375,s0.005846, F ?2.464484, F1
0.405764
所以，方差比的置信区间为
4.051926,24.61011
5.10已知置信水平
95%,Z
/2
E1.96,120,E
20
所以，n
z
~Er
138.3，取n=139。
5.11已知
n1n2
n, E 5,112,
215，置信水平1
95%,Z
/2
1.96
所以，n
Z
2 2
1 2
256.7，取
E
n=57。
5.12已知置信水平1
95%,n1
n2n,E=0.05，取1
20.5
Z111212
所以
768.32，取n=769
12的置信区间为八01门2
(2)置信水平195%，
P1P2
0.1 1.96, 0.00096一0.00084
0.0168,0.1832
c
D
S
SI
0- 241609
S1A2
0. 058375
1S2
F0.076457
0- 005846
N
2. 464424
0-405764
1
2置信区间
5.9
Excel得，$0.241609, S20.076457, s；
统计学（第四版）贾俊平 第五章 参数估计 练习题答案
5.1（答案精确到小数点后两位）
（1）已知：n=49，15，
样本均值的标准误差X二=15荷2.14
(2)
已知：置信水平：1
95%,Z2
1.96，
(3)
统计学课件05第5章抽样与参数估计
反映样本数据的集中趋势和平均水平。
样本方差
定义
样本方差是每个样本数据与样本均值差的平方和的平均值，即 $s^2 = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} (x_i - overline{x})^2$。
计算方法
先计算每个样本数据与样本均值的差，然后将差平方，最后求和平 均。
作用
反映样本数据的离散程度和波动情况。
样本量的确定
根据调查目的和精度要求确定样 本量：精度要求越高，需要的样
本量越大。
根据总体规模和抽样方法确定样 本量：总体规模越大，需要的样 本量越大；分层或整群抽样较简 单随机抽样需要的样本量更大。
根据调查资源确定样本量：资源 有限时，需要在满足调查目的和 精度要求的前提下，合理确定样
本量。
02 参数估计
大数定律的数学表达
设随机变量X1,X2,...,Xn是相互独立的，且具有相同的分布函数F(x)，则对于任意正实数ε，有 lim(n->∞)P(|X1+X2+...+Xn/n-E(X))/ε)=0，其中E(X)是随机变量X的期望值。
大数定律的实例
在抛硬币实验中，随着实验次数的增加，正面朝上的频率将趋近于0.5。
中心极限定理
中心极限定理定义
中心极限定理是指在大量独立同分布的随机变量中，不论 这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布总是趋 近于正态分布。
中心极限定理的数学表达
设随机变量X1,X2,...,Xn是相互独立的，且具有相同的分布 函数F(x)，则对于任意实数x，有lim(n->∞)P(∑Xi≤x)=∫(∞->x)F(t)dt。
样本分布的性质
无偏性
如果样本统计量的数学期 望等于总体参数，则该统 计量是无偏的。
第五章参数估计与非参数估计
N
k
∴ 条件密度的估计：P(x) N
V
(V足够小)
讨论:① 当V固定的时候N增加, k也增加,当 N 时 k
P
k
1
P(x)
k N
1
只反映了P(x)的空间平均估计
N
VV
而反映不出空间的变化
② N固定,体积变小
k
当 V 0时,k=0时 P(x) N 0
V
k
k 0 时 P(x) N
i=1,2,…M
所以后验概率
P(
|
X
i)
P( X i | ).P() P(X i | )P()d(贝叶斯公式)
因为N个样本是独立抽取的，所以上式可以写成
N
P( | X i) a P(X k | ).P()
k 1
其中 a
1
P( X i | )P()d 为比例因子,只与x有关,与μ无关
∵ P(Xk| μ)=N(μ,σ2),P(u)=N(μ0,σ02)
P( X i | i) 服从正态分布
待估参数为 i 1
N
k1
logP(X k | ) 0
所以在正态分布时
P(
X
k
|
)
1 2
log[
2
n
|
|]
1 2
X
k
T
1 X k
代入上式得
N
1 X k 0
k 1
N
1 X k 0 k 1
N
所以 1( X k N) 0 k 1
出使它最大时的θi值。
∵学习样本独立从总体样本集中抽取的
N
∴ P( X i | i. i) P( X i | i) P( X k | i)
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(总体方差未知时，以样本方差代替)
1
X 2 t n1 n2 2
2
2 Sp
n1
n2
X
1
X 2 z
2
2 S12 S 2 n1 n2
2 Sp
2 2 n1 1S1 n2 1S 2
n1 n2 2
20
例题：
分别在城市1和城市2中随机抽取n1=400， n2=500的职工进行调查，经计算两城市职工的 平均月收入及标准差分别为X1=1650元，
22
思考题：
一个研究机构做了一项调查，以确定稳定的吸 烟者每周在香烟上的消费额。他们抽取49位固 定的吸烟者，发现均值为20元，标准差5元。
1.总体均值的点估计是多少？
2.总体均值μ的95%置信区间是什么？
23
思考题解答：
1.总体均值的点估计是20元。
2.总体均值μ的95%置信区间： 随机变量X表示每周香烟消费额，由题意可知，X=20， S=5，1-α=0.95，α=0.05；n=49 属于大样本，σ 未知以S估计。总体均值μ的95%置信区间为
P z Z z 1 2 2
P L U 1
X P z z 1 2 2 n
Step3：将上面等式进行等价变换即可。
P L U 1
第五章 参数估计
第五章 参数估计
利用样本数据对总体特征进行推断，通常在以下 两种情况下进行：
当总体分布类型已知(如：正态)，根据样本数据对 总体分布的未知参数进行估计或检验。参数估 计或参数检验。（如：μ或σ为何？） 当总体分布类型未知或知道很少，根据样本数据 对总体的未知分布的形状或特征进行推断。非参 数检验。（如：是否正态分布？是否随机？）
样本统计量 X,S2,p
3
第五章 参数估计
第一节 参数估计的原理
第二节 总体参数的区间估计
第三节 样本容量的确定 第四节 SPSS在参数估计中的应用
4
第一节 参数估计的原理
一、点估计与区间估计
二、优良估计量的评价标准
三、区间估计原理
Back 5
一、点估计与区间估计
点估计：以样本统计量的某一具体数值估计 未知的总体参数。该统计量称为估计量。 (一个样本)
( X z 0.0455
2
) n
12 , 26 2 , 23.6,28.4 100
有95.45%的可靠程度，估计该学院学生平均每 天体育锻炼时间在23.6到28.4分钟之间。
17
例题：
从某公司生产的一批罐装产品中，随机抽取
10罐产品的重量分别为（单位：g）
S1=230元，X2=2485元，S2=482元。求两城市
职工平均月收入的99%的置信区间。
21
解答：要求两总体均值差的99%置信区间
两总体均为大样本，1-α=99%，α=0.01 两总体均值差(μ1- μ2)的99% 置信区间为
X
1
X 2 z
2
S12 S 22 n1 n2
2 2 230 482 1650 2485 2.57 ; 897.70,772.21 400 500 估计城市1和城市2职工平均月收入在99%的置 信度下，相差在772.21元至897.79元之间。
点估计不能提供估计参数时的 估计误差大小，但区间估计可以。
Back7
二、优良估计量的评价标准
估计总体参数的方法有很多种，不同方法得到不 同的估计量。例如：对总体均值进行估计时，可 以采用样本均值，也可以采用样本中位数。
问题：什么样的估计量才是好的？
无偏性：估计量的数学期望值与总体参数的真实值相等。 有效性：两个无偏估计量中方差较小的估计量较为有效。 一致性：随着样本容量增大，估计量的取值应该越来越接近 总体参数。
( X z 0.05
2
S ) n
5 , 20 1.96 , 18.6,21.4 49
有95%的可靠程度估计每周在香烟上的平均消 费额在18.6元和21.4元之间。
Back 24
二、总体比例的区间估计
待估计 参数θ 已知条件 置信度100（1-α）% 的置信区间
总体成数 /比例 P
19
一、总体均值的区间估计（两个总体）
待估计 参数θ 已知条件
两正态总体 σ1、σ2已知
置信度100（1-α）% 的置信区间
X
X
1
X 2 z
2
12
n1
2 2
两个总体 均值之差 μ 1- μ 2
n2
2 Sp
两正态总体 σ1、σ2未 知，假定σ1=σ2 任何总体 n1≧30 n2≧30
两个总体 成数之差 P1- P2
大样本且np>5，nq>5
p z
2
p1 p n
p1 1 p1 p2 1 p2 n1 n2
两独立总体，大样本 n1p1>5，n1q1>5 n2p2>5，n2q2>5
p1 p2 z
2
25
例题：
某商场从顾客中随机抽取200人，其中持信 用卡消费的顾客有6人。 试求在90%的置信度下，顾客持信用卡消费 的比例的置信区间。
θ是待估计参数，由样本确定两个统计量θL和θU 满 足： P（θL<θ<θU）= 1 –α
随机区间（θL,θU）是置信度为1–α时θ的置信区间 (confidence interval)。θL：置信下限；θU：置信上限
10
（一）置信区间的定义
θL和θU都是随机变量(统计量)，是不确定的。 在区间估计中，置信度为100（1–α）%的含义 是：在根据不同样本得到的所有置信区间中，
当n一定时，置信度越高，置信区间的范围越大， 则估计的参数的精确性越低。
Back 12
（二）区间估计的步骤
Back
Step1：找出一个已知抽样分布的随机变量，该随机变量 包含参数θ，但不包含其它未知参数。 X Z ~ N 0,1 n 如：对μ估计，σ2已知
Step2：根据给定的1–α，在抽样分布中确定临界点。
26
解答：
本题是对总体比例的估计，p表示样本中持信用卡消费 的顾客比例，p=6/200=0.03， 1-α=0.9，α=0.1 。由 题意可知，n=200 属于大样本，且np=6和n(1-p)=194均 大于5。因此，总体比例P的90%置信区间为
( p z 0.1
2
p1 p ) n
0.0102,0.0498
顾客辨识正确比例在27%和33%之间，可靠程度为99%。 也就是同样方法构造的约99%的区间包含总体比例。
Back 29
三、正态总体方差的区间估计
待估计 参数θ 总体方差 σ2 已知条件 置信度100（1-α）% 的置信区间
正态总体
2 2 n 1S n 1S , 2 2 n 1 1 n 1 2 2
0.031 0.03 , , 0 . 03 1 . 64 200
顾客中持信用卡消费的比例在1.02%至4.98% 之间，可靠程度为90%。
27
思考题：
一项市场调查想了解家庭主妇中有多少人只要 通过容器形状和颜色就可以辨认出清洁剂的品 牌。在被抽到的1400名主妇中有420位具有这
318,320,322,321,321,
323,319,320,320,324
要求以95%为置信度，估计该公司这批产品
平均重量的置信区间。已知罐装产品重量服 从正态分布。
18
解答：要求总体均值μ的95%置信区间
随机变量X表示罐装产品的重量，由题意可知，σ 未知，以样本数据计算均值和方差， 1-α=95%， α=0.05，n=10 属于小样本。
样本均值X、样本比例p和样本方差S2分别是总体
均值μ、总体比例P和总体方差σ2的最佳估计量。
Back8
三、区间估计原理
（一）置信区间的定义
（二）区间估计的步骤
Back9
（一）置信区间的定义
给定一概率值所建立的包含待估计参数的区间， 称置信区间，相对应的概率值称置信系数或置信 度，以（1- α）表示，α是一个小概率，表示区间 估计不可靠概率。（α常取0.05, 0.1, 0.01） 。
需要特别指出的是：所有的统计推断都要以随机样本为 基础，如果样本是非随机，统计推断方法就不适用。
2
第五章 参数估计
总体参数是常数，但常未知，需要用样本统计量去估计。
参数估计是根据样本统计量的数值对 总体参数进行估计的过程。
总体：拉萨市民(收入，满意度) 样本: n 人 抽样
总体参数μ,σ2,P
推论 估计/检验
n≧30，σ已知
n≧30，σ未知 总体均值 μ
n<30，正态总体，σ已知 n<30，正态总体，σ未知
X z
2
n S n
X z
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X z
2
n
S X t n 1 n 2
15
例题()
某大学从某一学院中随机抽取学生100人，得 知他们平均每天用于体育锻炼的时间为26分 钟。根据以往数据知道，该学院学生每天锻
1 P X z X z n n 2 2
13
第二节 总体参数的区间估计
一、总体均值的区间估计
二、总体比例的区间估计
1
X 2 t n1 n2 2
2
2 Sp
n1
n2
X
1
X 2 z
2
2 S12 S 2 n1 n2
2 Sp
2 2 n1 1S1 n2 1S 2
n1 n2 2
20
例题：
分别在城市1和城市2中随机抽取n1=400， n2=500的职工进行调查，经计算两城市职工的 平均月收入及标准差分别为X1=1650元，
22
思考题：
一个研究机构做了一项调查，以确定稳定的吸 烟者每周在香烟上的消费额。他们抽取49位固 定的吸烟者，发现均值为20元，标准差5元。
1.总体均值的点估计是多少？
2.总体均值μ的95%置信区间是什么？
23
思考题解答：
1.总体均值的点估计是20元。
2.总体均值μ的95%置信区间： 随机变量X表示每周香烟消费额，由题意可知，X=20， S=5，1-α=0.95，α=0.05；n=49 属于大样本，σ 未知以S估计。总体均值μ的95%置信区间为
P z Z z 1 2 2
P L U 1
X P z z 1 2 2 n
Step3：将上面等式进行等价变换即可。
P L U 1
第五章 参数估计
第五章 参数估计
利用样本数据对总体特征进行推断，通常在以下 两种情况下进行：
当总体分布类型已知(如：正态)，根据样本数据对 总体分布的未知参数进行估计或检验。参数估 计或参数检验。（如：μ或σ为何？） 当总体分布类型未知或知道很少，根据样本数据 对总体的未知分布的形状或特征进行推断。非参 数检验。（如：是否正态分布？是否随机？）
样本统计量 X,S2,p
3
第五章 参数估计
第一节 参数估计的原理
第二节 总体参数的区间估计
第三节 样本容量的确定 第四节 SPSS在参数估计中的应用
4
第一节 参数估计的原理
一、点估计与区间估计
二、优良估计量的评价标准
三、区间估计原理
Back 5
一、点估计与区间估计
点估计：以样本统计量的某一具体数值估计 未知的总体参数。该统计量称为估计量。 (一个样本)
( X z 0.0455
2
) n
12 , 26 2 , 23.6,28.4 100
有95.45%的可靠程度，估计该学院学生平均每 天体育锻炼时间在23.6到28.4分钟之间。
17
例题：
从某公司生产的一批罐装产品中，随机抽取
10罐产品的重量分别为（单位：g）
S1=230元，X2=2485元，S2=482元。求两城市
职工平均月收入的99%的置信区间。
21
解答：要求两总体均值差的99%置信区间
两总体均为大样本，1-α=99%，α=0.01 两总体均值差(μ1- μ2)的99% 置信区间为
X
1
X 2 z
2
S12 S 22 n1 n2
2 2 230 482 1650 2485 2.57 ; 897.70,772.21 400 500 估计城市1和城市2职工平均月收入在99%的置 信度下，相差在772.21元至897.79元之间。
点估计不能提供估计参数时的 估计误差大小，但区间估计可以。
Back7
二、优良估计量的评价标准
估计总体参数的方法有很多种，不同方法得到不 同的估计量。例如：对总体均值进行估计时，可 以采用样本均值，也可以采用样本中位数。
问题：什么样的估计量才是好的？
无偏性：估计量的数学期望值与总体参数的真实值相等。 有效性：两个无偏估计量中方差较小的估计量较为有效。 一致性：随着样本容量增大，估计量的取值应该越来越接近 总体参数。
( X z 0.05
2
S ) n
5 , 20 1.96 , 18.6,21.4 49
有95%的可靠程度估计每周在香烟上的平均消 费额在18.6元和21.4元之间。
Back 24
二、总体比例的区间估计
待估计 参数θ 已知条件 置信度100（1-α）% 的置信区间
总体成数 /比例 P
19
一、总体均值的区间估计（两个总体）
待估计 参数θ 已知条件
两正态总体 σ1、σ2已知
置信度100（1-α）% 的置信区间
X
X
1
X 2 z
2
12
n1
2 2
两个总体 均值之差 μ 1- μ 2
n2
2 Sp
两正态总体 σ1、σ2未 知，假定σ1=σ2 任何总体 n1≧30 n2≧30
两个总体 成数之差 P1- P2
大样本且np>5，nq>5
p z
2
p1 p n
p1 1 p1 p2 1 p2 n1 n2
两独立总体，大样本 n1p1>5，n1q1>5 n2p2>5，n2q2>5
p1 p2 z
2
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例题：
某商场从顾客中随机抽取200人，其中持信 用卡消费的顾客有6人。 试求在90%的置信度下，顾客持信用卡消费 的比例的置信区间。
θ是待估计参数，由样本确定两个统计量θL和θU 满 足： P（θL<θ<θU）= 1 –α
随机区间（θL,θU）是置信度为1–α时θ的置信区间 (confidence interval)。θL：置信下限；θU：置信上限
10
（一）置信区间的定义
θL和θU都是随机变量(统计量)，是不确定的。 在区间估计中，置信度为100（1–α）%的含义 是：在根据不同样本得到的所有置信区间中，
当n一定时，置信度越高，置信区间的范围越大， 则估计的参数的精确性越低。
Back 12
（二）区间估计的步骤
Back
Step1：找出一个已知抽样分布的随机变量，该随机变量 包含参数θ，但不包含其它未知参数。 X Z ~ N 0,1 n 如：对μ估计，σ2已知
Step2：根据给定的1–α，在抽样分布中确定临界点。
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解答：
本题是对总体比例的估计，p表示样本中持信用卡消费 的顾客比例，p=6/200=0.03， 1-α=0.9，α=0.1 。由 题意可知，n=200 属于大样本，且np=6和n(1-p)=194均 大于5。因此，总体比例P的90%置信区间为
( p z 0.1
2
p1 p ) n
0.0102,0.0498
顾客辨识正确比例在27%和33%之间，可靠程度为99%。 也就是同样方法构造的约99%的区间包含总体比例。
Back 29
三、正态总体方差的区间估计
待估计 参数θ 总体方差 σ2 已知条件 置信度100（1-α）% 的置信区间
正态总体
2 2 n 1S n 1S , 2 2 n 1 1 n 1 2 2
0.031 0.03 , , 0 . 03 1 . 64 200
顾客中持信用卡消费的比例在1.02%至4.98% 之间，可靠程度为90%。
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思考题：
一项市场调查想了解家庭主妇中有多少人只要 通过容器形状和颜色就可以辨认出清洁剂的品 牌。在被抽到的1400名主妇中有420位具有这
318,320,322,321,321,
323,319,320,320,324
要求以95%为置信度，估计该公司这批产品
平均重量的置信区间。已知罐装产品重量服 从正态分布。
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解答：要求总体均值μ的95%置信区间
随机变量X表示罐装产品的重量，由题意可知，σ 未知，以样本数据计算均值和方差， 1-α=95%， α=0.05，n=10 属于小样本。
样本均值X、样本比例p和样本方差S2分别是总体
均值μ、总体比例P和总体方差σ2的最佳估计量。
Back8
三、区间估计原理
（一）置信区间的定义
（二）区间估计的步骤
Back9
（一）置信区间的定义
给定一概率值所建立的包含待估计参数的区间， 称置信区间，相对应的概率值称置信系数或置信 度，以（1- α）表示，α是一个小概率，表示区间 估计不可靠概率。（α常取0.05, 0.1, 0.01） 。
需要特别指出的是：所有的统计推断都要以随机样本为 基础，如果样本是非随机，统计推断方法就不适用。
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第五章 参数估计
总体参数是常数，但常未知，需要用样本统计量去估计。
参数估计是根据样本统计量的数值对 总体参数进行估计的过程。
总体：拉萨市民(收入，满意度) 样本: n 人 抽样
总体参数μ,σ2,P
推论 估计/检验
n≧30，σ已知
n≧30，σ未知 总体均值 μ
n<30，正态总体，σ已知 n<30，正态总体，σ未知
X z
2
n S n
X z
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X z
2
n
S X t n 1 n 2
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例题()
某大学从某一学院中随机抽取学生100人，得 知他们平均每天用于体育锻炼的时间为26分 钟。根据以往数据知道，该学院学生每天锻
1 P X z X z n n 2 2
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第二节 总体参数的区间估计
一、总体均值的区间估计
二、总体比例的区间估计