2020年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学模拟试卷(四)

2020年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学模拟试卷（四）

一、选择题（每小题3分，共计30分）

1. ?1

2的相反数是（ ） A.2 B.?2

C.1

2

D.?1

2

【答案】 C

【考点】 相反数 【解析】

根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答． 【解答】

解：?1

2的相反数是1

2．

故选C .

2. 中国是一个干旱缺水严重的国家，淡水资源总量约为28000亿立方米，约占全球水资源的6%．将28000用科学记数法表示为（ ） A.28×103 B.2.8×104 C.2.8×105 D.0.28×106 【答案】 B

【考点】

科学记数法–表示较大的数 【解析】

科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数． 【解答】

28000＝2.8×104，

3. 下列运算正确的是（ ） A.4a 2?2a 2＝2 B.(a 2)3＝a 5 C.a 3?a 6＝a 9 D.(3a)2＝6a 2 【答案】 C

【考点】 合并同类项

幂的乘方与积的乘方 同底数幂的乘法 【解析】

根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，即可解答． 【解答】

A 、4a 2?2a 2＝2a 2，故错误；

B 、(a 2)3＝a 6，故错误；

C 、正确；

D、(3a)2＝9a2，故错误；

4. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A. B.

C. D.

【答案】

B

【考点】

轴对称图形

中心对称图形

【解析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答即可．

【解答】

A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．

5. 如下图所示的图形是由7个完全相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是()

A. B.

C. D.

【答案】

B

【考点】

简单组合体的三视图

【解析】

根据几何体组成，结合三视图的观察角度，进而得出答案．

【解答】

解：根据立方体的组成可得出：

A、是几何体的左视图，故此选项错误；

B、不是几何体的三视图，故此选项正确；

C、是几何体的主视图，故此选项错误；

D、是几何体的俯视图，故此选项错误.

故选B．

6. 下面是扬帆中学九年八班43名同学家庭人口的统计表：这43个家庭人口的众数和中位数分别是（）

【答案】

B

【考点】

中位数

众数

【解析】

根据众数和中位数的概念求解可得．

【解答】

这43个家庭人口的众数3，中位数为4，

7. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转( )

A.15°

B.30°

C.45°

D.60°

【答案】

A

【考点】

平行线的判定

【解析】

先根据邻补角的定义得到∠3＝60°，根据平行线的判定当b与a的夹角为45°时，b?//?c，由此得到直线b绕点A逆时针旋转60°?45°＝15°．

【解答】

解：

∵∠1=120°，

∴∠3=60°，

∵∠2=45°，

∴当∠3=∠2=45°时，b?//?c，

∴直线b绕点A逆时针旋转60°?45°=15°．

故选A.

8. 圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为（）

A.6

B.9

C.18

D.36

【答案】

C

【考点】

弧长的计算

【解析】

进行计算．

根据弧长的公式l=nπr

180

【解答】

设该扇形的半径是r．

，

根据弧长的公式l=nπr

180

，

得到：12π=120πr

180

解得r＝18，

(k≠0)的图象大致是（）9. 在同一直角坐标系中，函数y＝kx+1与y=?k

x

A.

B.

C.

D.

【答案】

D

【考点】

反比例函数的图象

一次函数的图象

【解析】

先根据一次函数图象与系数的关系得到k的范围，然后根据k的范围判断反比例函数图象的位置．

【解答】

A、对于y＝kx+1经过第一、三象限，则k>0，?k<0，所以反比例函数图象应该分布在第二、四象限，所以A选项错误；

B、一次函数y＝kx+1与y轴的交点在x轴上方，所以B选项错误；

C、对于y＝kx+1经过第二、四象限，则k<0，?k>0，所以反比例函数图象应该分布在第一、三象限，所以C选项错误；

D、对于y＝kx+1经过第二、四象限，则k<0，?k>0，所以反比例函数图象应该分布在第一、三象限，所以D选项正确．

10. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，DE?//?BC，EF?//?AB，则下列比例式中错误的是（）

A.AE

EC =BF

FC

B.AD

BF

=AB

BC

C.EF AB =DE

BC

D.CE

CF

=EA

BF

【答案】

C

【考点】

平行线分线段成比例

【解析】

根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再分别对每一项进行判断即可．【解答】

A．∵EF?//?AB，∴AE

EC =BF

FC

，故本选项正确，

B．∵DE?//?BC，

∴AD

AB =DE

BC

，

∵EF?//?AB，∴DE＝BF，

∴AD

AB =BF

BC

，

∴AD

BF =AB

BC

，

故本选项正确，C．∵EF?//?AB，

∴EF

AB =CF

BC

，

∵CF≠DE，

∴EF

AB ≠DE

BC

，

故本选项错误，D．∵EF?//?AB，

∴CE

EA =CF

BF

，

∴CE

CF =EA

BF

，

故本选项正确，

二、填空题（每小题3分，共计30分）

计算：(√6?√8)(2√2+√6)＝________．

【答案】

?2

【考点】

二次根式的混合运算

【解析】

利用平方差公式计算．

【解答】

原式＝(√6?2√2)(√6+2√2)

＝6?8

＝?2．

在函数y=√x?3

x?4

中，自变量x的取值范围是________．

【答案】

x≥3且x≠4

【考点】

分式有意义、无意义的条件

函数自变量的取值范围

二次根式有意义的条件

【解析】

根据二次根式的意义可知：x?3≥0，根据分式的意义可知：x?4≠0，就可以求出x的范围．

【解答】

解：根据题意得：x?3≥0且x?4≠0，

解得：x≥3且x≠4．

故答案为：x≥3且x≠4.

在平面直角坐标系中，已知一次函数y=2x+1的图象经过P1(x1,?y1)、P2(x2,?y2)两点，若x1”“<”或“=”）

【答案】

<

【考点】

一次函数图象上点的坐标特点

【解析】

根据一次函数的性质，当k>0时，y随x的增大而增大．

【解答】

解：∵一次函数y=2x+1中k=2>0，

∴y随x的增大而增大，

∵x1

∴y1

故答案为：<．

小明把如图的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是________．

【答案】

1

4

【考点】

几何概率

平行四边形的性质

【解析】

先根据平行四边形的性质求出平行四边形对角线所分的四个三角形面积相等，再求出S1＝S2即可．

【解答】

根据平行四边形的性质易证平行四边形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角形，故其面积相等，

根据平行线的性质易证S1＝S2，故阴影部分的面积占一份，

故飞镖落在阴影区域的概率为：1

4

．

分式方程：x

x+2=x?1

x

的解x＝________．

【答案】

2

【考点】

解分式方程

【解析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】

去分母得：x2＝x2+x?2，

解得：x＝2，

经检验x＝2是分式方程的解．

如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，且∠BDC ＝120°，连接AC，则AC＝________．

【答案】

3√3

【考点】

切线的性质

【解析】

连接OC，BC．只要证明∠A＝30°，根据AC＝AB?cos30°计算即可．

【解答】

连接OC，BC．

∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，

∴OC⊥CD，OB⊥BD，

∴∠OCD＝∠OBD＝90°，

∵∠BDC＝120°，

∴∠BOC＝360°?∠OCD?∠BDC?∠OBD＝60°，

∴∠A=1

∠BOC＝30°，

2

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴AC＝AB?cos30°＝3√3．

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为(1,?0)，将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为________．

【答案】

21007

【考点】

规律型：数字的变化类

规律型：图形的变化类

规律型：点的坐标

【解析】

根据点M0的坐标求出OM0，然后判断出△OM0M1是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出OM1，同理求出OM2，OM3，然后根据规律写出OM2014即可．【解答】

∵点M0的坐标为(1,?0)，

∴OM0＝1，

∵线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，M1M0⊥OM0，

∴△OM0M1是等腰直角三角形，

∴OM

=√2OM0=√2，

1

同理，OM2=√2OM1＝(√2)2，

OM3=√2OM2＝(√2)3，

…，

OM2014=√2OM2013＝(√2)2014＝21007．

如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP等于2或1cm．

【答案】

1或2．

【考点】

全等三角形的性质与判定

正方形的性质

【解析】

根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD＝DC ＝PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN 全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，再由PN与DC平行，得到∠PFA＝∠DEA＝60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM 中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．

【解答】

根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，

∵四边形ABCD为正方形，

在Rt △ADE 中，∠DAE ＝30°，AD ＝3cm ， ∴ tan30°=DE

AD ，即DE =√3cm ， 根据勾股定理得：AE ＝2√3cm ， ∵ M 为AE 的中点， ∴ AM =1

2AE =√3cm ，

在Rt △ADE 和Rt △PNQ 中，{

AD =PN

AE =PQ ， ∴ Rt △ADE ?Rt △PNQ(HL)， ∴ DE ＝NQ ，∠DAE ＝∠NPQ ＝30°， ∵ PN?//?DC ，

∴ ∠PFA ＝∠DEA ＝60°，

∴ ∠PMF ＝90°，即PM ⊥AF ， 在Rt △AMP 中，∠MAP ＝30°，cos30°=AM AP

，

∴ AP =AM

cos30=

√3

√32

=2cm ；

由对称性得到AP′＝DP ＝AD ?AP ＝3?2＝1cm ， 综上，AP 等于1cm 或2cm ．

如图，矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE ＝DE ，BC ＝3BF ，连接EF ，将矩形ABCD 沿EF 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点G 处，则cos∠EGF 的值为________．

【答案】

23

【考点】

翻折变换（折叠问题） 矩形的性质 解直角三角形 【解析】

连接AF ，由矩形的性质得AD?//?BC ，AD ＝BC ，由平行线的性质得∠AEF ＝∠GFE ，由折叠的性质得∠AFE ＝∠GFE ，AF ＝FG ，推出∠AEF ＝∠AFE ，则AF ＝AE ，AE ＝FG ，得出四边形AFGE 是平行四边形，则AF?//?EG ，得出∠EGF ＝∠AFB ，设BF ＝2x ，则AD ＝BC ＝6x ，AF ＝AE ＝FG ＝3x ，在Rt △ABF 中，cos∠AFB =BF

AF =2

3，即可得出结果． 【解答】

连接AF ，如图所示： ∵ 四边形ABCD 为矩形， ∴ AD?//?BC ，AD ＝BC ，

由折叠的性质可知：∠AFE＝∠GFE，AF＝FG，∴∠AEF＝∠AFE，

∴AF＝AE，

∴AE＝FG，

∴四边形AFGE是平行四边形，

∴AF?//?EG，

∴∠EGF＝∠AFB，

设BF＝2x，则AD＝BC＝6x，AF＝AE＝FG＝3x，

在Rt△ABF中，cos∠AFB=BF

AF =2x

3x

=2

3

，

∴cos∠EGF=2

3

，

故答案为：2

3

．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E，且CD＝DE．点F

在BC上，连接EF，AF，若∠CEF＝45°，∠B＝2∠CAF，BF＝2，则AB的长为________．

【答案】

10

【考点】

全等三角形的性质与判定

勾股定理

【解析】

以AC为轴将△ACF翻至△ACK，在AB边上截取BL＝BF＝2，设CF＝x，则EL＝CK＝x，分别用含x的式子表示出Rt△ABC中的三边长，根据勾股定理列方程，解得x值，则可

得答案．

【解答】

如图，以AC为轴将△ACF翻至△ACK，在AB边上截取BL＝BF＝2

∵ ∠ACB ＝90°，DE ⊥AB

∴ ∠BCE +∠DCE ＝90°，∠BEC +∠DEC ＝90° ∵ CD ＝DE

∴ ∠DCE ＝∠DEC ∴ ∠BCE ＝∠BEC ∴ BC ＝BE

设CF ＝x ，则EL ＝CK ＝x

∴ BK ＝2x +2，BC ＝BE ＝x +2 设∠B ＝2∠CAF ＝2α

则∠CAK ＝α，∠K ＝90°?α

∴ ∠KAB ＝180°?2α?(90°?α)＝90°?α ∴ ∠K ＝∠KAB

∴ BA ＝BK ＝2x +2 在△CBL 和△EBF 中 {CB =EB ∠B =∠B BL =BF

∴ △CBL ?△EBF(SAS) ∴ ∠BCL ＝∠BEF

又∵ ∠CEF ＝45°，∠BCE ＝∠BEC ∴ ∠ECL ＝∠CEF ＝45°

∴ ∠ALC ＝180°?45°?45°?∠BEF ＝90°?∠BEF ∵ ∠ACL ＝90°?∠BCL ，∠BCL ＝∠BEF ∴ ∠ALC ＝∠ACL ∴ AC ＝AL ＝2x

在Rt △ABC 中，由勾股定理得： (x +2)2+(2x)2＝(2x +2)2 解得x ＝4或x ＝0（舍） ∴ AB ＝10

三、解答题（其中21一22题各7分，23-24题各8分，25一27题各10分，共计60分）

先化简，再求代数式(1?5

a 2?4)?a+2

a 2?3a 的值，其中a ＝2tan45°?cos60°． 【答案】 a ＝2×1?1

2=3

2 ∴ 原式=a 2?9

a 2?4?a+2

a(a?3)

=(a+3)(a?3)

(a?2)(a+2)

?

a+2

a(a?3)

=

a+3 a(a?2)

＝?6

【考点】

分式的化简求值

特殊角的三角函数值

【解析】

根据分式的运算法则即可求出答案【解答】

a＝2×1?1

2=3

2

∴原式=a2?9

a2?4?a+2 a(a?3)

=(a+3)(a?3)

(a?2)(a+2)

?

a+2

a(a?3)

=

a+3 a(a?2)

＝?6

如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．

（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；

（2）计算线段AB在旋转过程中所扫过的面积．

【答案】

如图所示，△AB′C′即为所求；

因为AB=√32+42=5，

所以线段AB在旋转过程中所扫过的面积为90?π?52

360=25

4

π．

【考点】

扇形面积的计算

作图-旋转变换

【解析】

（1）分别作出点B、C绕点A按顺时针方向旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得；（2）根据扇形的面积公式列式计算可得．

【解答】

如图所示，△AB′C′即为所求；

因为AB=√32+42=5，

所以线段AB在旋转过程中所扫过的面积为90?π?52

360=25

4

π．

某中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，如图是根据这组数据绘制成的不完整统计图．

（1）把折线统计图补充完整；

（2）求出扇形统计图中，公务员部分对应的圆心角的度数；

（3）若从被调查的学生中任意抽取一名，求取出的这名学生最喜欢的职业是“教师”的概率．

【答案】

∵军人的人数为20，百分比为10%，

∴学生总人数为20÷10%＝200（人）；

∵医生的人数占15%，

∴医生的人数为：200×15%＝30（人），

∴教师的人数为：200?30?40?20?70＝40（人），

∴折线统计图如图所示；

∵由扇形统计图可知，公务员占20%，

∴20%×360°＝72°；

∵最喜欢的职业是“教师”的人数是40人，

∴从被调查的学生中任意抽取一名，求抽取的这名学生最喜欢的职业是“教师”的概率

=40

200=1

5

．

【考点】

折线统计图

概率公式

扇形统计图

【解析】

（1）根据军人的人数与所占的百分比求解，再分别求出教师、医生的人数，补全统计图即可；

（2）根据公务员的人数占总人数的比例即可得出结论；

（3）根据教师的人数占总人数的比例即可得出结论．

【解答】

∵军人的人数为20，百分比为10%，

∴学生总人数为20÷10%＝200（人）；

∵医生的人数占15%，

∴医生的人数为：200×15%＝30（人），

∴教师的人数为：200?30?40?20?70＝40（人），

∴折线统计图如图所示；

∵由扇形统计图可知，公务员占20%，

∴20%×360°＝72°；

∵最喜欢的职业是“教师”的人数是40人，

∴从被调查的学生中任意抽取一名，求抽取的这名学生最喜欢的职业是“教师”的概率

=40

200=1

5

．

如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，连接AD，E为AD的中点，过A作AF?//?BC交BE延长线于F，连接CF．

（1）求证：四边形ADCF是菱形；

（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与△ACD面积相等的三角形（不包含△ACD）．

【答案】

证明：如图，∵AF?//?BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，

∴AE＝DE，BD＝CD，

在△AFE和△DBE中，

{∠AFE=∠DBE ∠FEA=∠BED AE=DE

，

∴△AFE?△DBE(AAS)；

∴AF＝DB．

∵DB＝DC，

∴AF＝CD，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，

∴AD＝DC=1

2

BC，

∴四边形ADCF是菱形；

与△ACD面积相等的三角形有：△ABD，△ACF，△AFB．

【考点】

菱形的判定与性质

直角三角形斜边上的中线

【解析】

（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF?//?BC，易证得△AFE?△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；

（2）根据等高模型即可解决问题；

【解答】

证明：如图，∵AF?//?BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，

∴AE＝DE，BD＝CD，

在△AFE和△DBE中，

{∠AFE=∠DBE ∠FEA=∠BED AE=DE

，

∴△AFE?△DBE(AAS)；

∴AF＝DB．

∵DB＝DC，

∴AF＝CD，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，

∴AD＝DC=1

2

BC，

∴四边形ADCF是菱形；

与△ACD面积相等的三角形有：△ABD，△ACF，△AFB．

某水果商贩用600元购进了一批水果，上市后销售非常好，商贩又用1400元购进第二批这种水果，所购水果数量是第一批购进数量的2倍，但每箱进价多了5元．

（1）求该商贩第一批购进水果每箱多少元；

（2）由于储存不当，第二批购进的水果中有10%腐坏，不能售卖，该商贩将两批水果按同一价格全部销售完毕后获利不低于800元，求每箱水果的售价至少是多少元？【答案】

该商贩第一批购进水果每箱30元；

水果的售价至少为50元

【考点】

分式方程的应用

一元一次不等式的实际应用

【解析】

（1）设该商场第一批购进了这种水果x，则第二批购进这种水果2x，根据关键语句“每

个进价多了5元”可得方程1400

2x ?600

x

=5，解方程即可；

（2）设水果的售价为y元，根据题意可得不等关系：水果的总售价-成本-损耗≥利润，由不等关系列出不等式即可．

【解答】

设该商场第一批购进了这种水果x，则第二批购进这种水果2x，

可得：1400

2x ?600

x

=5，

解得：x＝20，

经检验：x＝20是原分式方程的解，

600

20

=30，

答：该商贩第一批购进水果每箱30元；

设水果的售价为y元，根据题意得：

60y?(600+1400)?40×10%y≥800，解得：y≥50，

则水果的售价为50元．

答：水果的售价至少为50元．

已知：点A，B，C都在⊙O上，连接AB，AC，点D，E分别在AC，AB上，连接CE并

延长交⊙O于点F，连接BD，BF，∠BDC?∠BFC＝2∠ABF．

（1）如图1，求证：∠ABD＝2∠ACF；

（2）如图2，CE交BD于点G，过点G作GM⊥AC于点M，若AM＝MD，求证：AE＝GD；

（3）如图3，在（2）的条件下，当AE:BE＝8:7时，连接DE，且∠ADE＝30°．延长

BD交⊙O于点H，连接AH，AH＝8√3，求⊙O的半径．

【答案】

∵∠BDC＝∠ABD+∠BAC，

∠BDC?∠BFC＝2∠ABF，

∴∠ABD+∠BAC?∠BFC＝2∠ABF，

∵∠ABF＝∠ACF，∠BFC＝∠BAC，

∴∠ABD+∠BFC?∠BFC＝2∠ACF，

∴∠ABD＝2∠ACF．

如图2，连接AG．

设∠CGD＝∠BGE＝β，∠ACF＝α，

则∠ABD＝2α，∠AEG＝∠ABD+∠BGE＝2α+β，

∠GDA＝∠CGD+∠ACF＝α+β，

∵GM⊥AD于M且AM＝DM，

∴AG＝DG，

∴∠GAD＝∠GDA＝α+β，

∴∠AGE＝∠GAD+∠ACF＝α+β+α＝2α+β，

∴∠AGE＝∠AEG，

∴AE＝AG＝GD．

如图3，连接AG，作AP⊥DE于P，

∵∠ADE＝30°，

∴∠PAD＝60°，AP=1

2

AD，

∵GM⊥AD，

∴∠AMG＝∠APE＝90°，

∵AM＝MD，

∴AM=1

2

AD＝AP，

由（2）可知AE＝AG，

在Rt△AEP和Rt△AGM中：

{AE=AG

AP=AM

∴Rt△AEP?Rt△AGM(HL)，

∴∠EAP＝∠GAM，

∵∠GAM+∠PAG＝∠PAD＝60°，

∴∠EAP+∠PAG＝∠EAG＝60°，

∴△AEG是等边三角形，

∴EG＝AE＝AG＝DG，

∵AE:BE＝8:7，

∴设AE＝8k，BE＝7k，

作GN⊥AE于N，AN＝EN＝4k，NG＝4√3k，

∴BN＝BE+EN＝11k，

∴BG=√BN2+NG2=√121k2+48k2=13k，

∴sin∠ABG=NG

BG =4√3

13

，

连接AO并延长交圆O于Q，连接HQ，则AQ为直径，∠AHQ＝90°，

∴sin∠AQH=AH

AQ

，

∵∠AQH＝∠ABG，AH＝8√3，

∴8√3

AQ =4√3

13

，

∴AQ＝26，

∴AO=1

Q＝13，

2

即⊙O的半径为13．

【考点】

圆与相似的综合

圆与圆的综合与创新

圆与函数的综合

【解析】

（1）注意到同弧所对的圆周角相等以及∠BDC是△ABD的外角，结合题中所告诉的角度等式进行代换变形即可得结论．

（2）连接AG，然后导角推出∠AEG＝∠AGE即可．

（3）首先注意到特殊角∠ADE＝30°，于是作AP⊥DE于P，由HL定理可得△AEP?△AGM，进而推出△AEG是等边三角形，设AE＝8k，BE＝7k，作GN⊥AE于N，解△BGN可得sin∠ABG的值，而∠ABG是圆周角且所对的弦为AH，于是连接AO并延长交圆O于Q，连接HQ，sin∠AQH＝sin∠ABG=AH

，而AH已知，从而求出直径AQ，半径也

AQ

就自然知道了．

【解答】

∵∠BDC＝∠ABD+∠BAC，

∠BDC?∠BFC＝2∠ABF，

∴∠ABD+∠BAC?∠BFC＝2∠ABF，

∵∠ABF＝∠ACF，∠BFC＝∠BAC，

∴∠ABD+∠BFC?∠BFC＝2∠ACF，

∴∠ABD＝2∠ACF．

如图2，连接AG．

设∠CGD＝∠BGE＝β，∠ACF＝α，

则∠ABD＝2α，∠AEG＝∠ABD+∠BGE＝2α+β，

∠GDA＝∠CGD+∠ACF＝α+β，

∵GM⊥AD于M且AM＝DM，

∴AG＝DG，

∴∠GAD＝∠GDA＝α+β，

∴∠AGE＝∠GAD+∠ACF＝α+β+α＝2α+β，

∴∠AGE＝∠AEG，

∴AE＝AG＝GD．

如图3，连接AG，作AP⊥DE于P，