3.5 一元二次方程的应用 第2课时
答：每次降价的百分率为29.3%. 每次降价的百分率为29.3%.
随堂练 习
1.（2010·衡阳中考）某农机厂四月份生产零件50万个， 1.（2010·衡阳中考）某农机厂四月份生产零件50万个，第 衡阳中考 50万个 二季度共生产零件182万个.设该厂五、 二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份 平均每月的 182万个 增长率为x，那么x满足的方程是（ B ） 增长率为x 那么x满足的方程是（ A. 50(1+ x)2 = 182 C.50(1+2x)＝182 50(1+2x)＝ B. 50 + 50(1+ x) + 50(1+ x)2 = 182 D. 50 + 50(1+ x) + 50(1+ 2x) = 182
3.5 一元二次方程的应用
第2课时
学习目 标
1.进一步掌握运用方程解决实际问题的步骤； 1.进一步掌握运用方程解决实际问题的步骤； 进一步掌握运用方程解决实际问题的步骤 2.通过列方程解应用题， 2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析 通过列方程解应用题 问题、解决问题的能力． 问题、解决问题的能力．
设乙种药品的下降率为y 1－ 列方程 6000 ( 1－y )2 = 3600 解方程， 解方程，得
乙种药品成本的 年平均下降率是 多少？ 多少？请比较两 种药品成本的年 平均下降率． 平均下降率．
y1≈0.225，y2≈－1.775 ≈0.225，
根据问题的实际意义， 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率 约为22.5％。 约为22.5％。 22.5 甲乙两种药品成本的平均下降率相同，都是22.5％ 甲乙两种药品成本的平均下降率相同，都是22.5％ 22.5
【例3】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年 学校图书馆去年年底有图书5万册， 年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 7.2万册 年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
解: 设 年 平 增 率 x, 根 题 , 得 每 的 均 长 为 据 意
3 解这个方程: (1+ x)2 = , 2 6 6 ∴(1+ x) = ± , ∴x = −1± , 2 2 6 6 ∴x1 = −1+ ≈ 22.48%; x2 = −1− < 0(不合题意 舍去 , ). 2 2 答:每年的平均增长率约为 .48%. 22
某商店6月份的利润是2500元 要使8 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到 2500 3600元 这两个月的利润平均月增长的百分率是多少？ 3600元，这两个月的利润平均月增长的百分率是多少？ 解析：如果设平均每月增长的百分率是x,那么7 解析：如果设平均每月增长的百分率是x,那么7月份的利润 x,那么 2500（1+x） 月份的利润是2500 1+x） 2500（ 是2500（1+x）元，8月份的利润是2500（1+x）2元。 设平均每月的百分率是x，根据题意，得 设平均每月的百分率是x 根据题意， 2500(1+ x)2 = 3600 即 25(1+ x)2 = 36 解这个方程， 解这个方程，得 =0.2， 2.2(不合题意 舍去）。 不合题意， x1=0.2，x2=-2.2(不合题意，舍去）。 平均每月增长的百分率是20% 20%。 答：平均每月增长的百分率是20%。
5.两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元 生产1 5.两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药 两年前生产 5000 品的成本是6000元 随着生产技术的进步，现在生产1 品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲 6000 种药品的成本是3000元 生产1吨乙种药品的成本是3600元 种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元， 3000 3600 哪种药品成本的年平均下降率较大？ 哪种药品成本的年平均下降率较大？ 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种 药品成本为5000（ 两年后甲种药品成本为5000 药品成本为5000（1－x）元，两年后甲种药品成本为5000 5000 （1－x）2元，于是有 5000（ 5000（1－x）2=3000 解方程， 解方程，得: x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意） ≈0.225， ≈1.775（不合题意） 甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％ 甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％ 22.5
3.（2010·威海中考）小明家为响应节能减排号召， 3.（2010·威海中考）小明家为响应节能减排号召，计划利 威海中考 用两年时间，将家庭每年人均碳排放量由目前的3125kg降至 用两年时间，将家庭每年人均碳排放量由目前的3125kg降至 3125kg 2000㎏ 全球人均目标碳排放量﹚ 2000㎏﹙全球人均目标碳排放量﹚，则小明家未来两年人均 碳排放量平均每年须降低的百分率是 20% ．
新课导 入
1.列一元二次方程解应用题的步骤． 1.列一元二次方程解应用题的步骤． 列一元二次方程解应用题的步骤 (审) (解) (设) (检) (列) (答)
2.关键之处：分析题意，找出等量关系，列出方程． 2.关键之处：分析题意，找出等量关系，列出方程． 关键之处 3.验方程的解． 3.验方程的解． 验方程的解
4.(2010·咸宁中考)随着人们节能意识的增强， 4.(2010·咸宁中考)随着人们节能意识的增强，节能产品 咸宁中考 的销售量逐年增加．某商场高效节能灯的年销售量2008年 的销售量逐年增加．某商场高效节能灯的年销售量2008年 2008 为5万只，预计2010年将达到7.2万只．求该商场2008年到 万只，预计2010年将达到7.2万只．求该商场2008年到 2010年将达到7.2万只 2008 2010年高效节能灯年销售量的平均增长率． 2010年高效节能灯年销售量的平均增长率． 年高效节能灯年销售量的平均增长率 依题意得： 解：设年销售量的平均增长率为x ，依题意得： 设年销售量的平均增长率为x
分析: 主要相等关系是 每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量= 5000元 .
如 设 台 箱 价 元那 每 冰 的 价 是 果 每 冰 降 x , 么 台 箱 定 就 (2900 − x)元 每 冰 的 售 润 (2900 − x − 2500)元 , 台 箱 销 利 为 , x , 样 平 每 销 冰 的 量 (8 + 4× )台 这 均 天 售 箱 数 为 50 就 以 出 个 程进 解 问 了 可 列 一 方 , 而 习， 通过两节课的学习，你能简要说明利用方程解决实际问题 的关键和步骤吗？ 的关键和步骤吗？ 关键：寻找等量关系． 关键：寻找等量关系． 步骤： 步骤： 其一是整体地、系统地审清问题； 其一是整体地、系统地审清问题； 其二是把握问题中的“相等关系” 其二是把握问题中的“相等关系”； 其三是正确求解方程并检验解的合理性． 其三是正确求解方程并检验解的合理性．
商品利润=售价-进价； 商品利润=售价-进价；
利 润 100﹪ ×100﹪ 商 利 率= 品 润 进 价
售价=进价×（1+利润率） 售价=进价× 1+利润率） 利润率
例
题
【例2】新华商场销售某种冰箱,每台进价为250元.市场调 新华商场销售某种冰箱,每台进价为250元 250 研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销 研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8 2900元时 价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰 价每降低50元时,平均每天能多售4 50元时 箱的销售利润平均每天达到5000元 箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为 5000 多少元? 多少元?
2010·毕节中考） 有一人患了流感， 2.（2010·毕节中考） 有一人患了流感，经过两轮传染后 共有100人患了流感 那么每轮传染中， 共有 100人患了流感， 那么每轮传染中 ， 平均一个人传染的 100 人患了流感， 人数为（ 人数为（ B ） B．9人 A．8人 C．10人 10人 D．11人 11人
5(1+ x)2 = 7.2 解这个方程， 解这个方程，得 x1 = 0.2
x2 = −2.2
因为x为正数， 因为x为正数，所以 x = 0.2 = 20% 答：该商场2008年到2010年高效节能灯年销售量的平均增 该商场2008年到2010年高效节能灯年销售量的平均增 2008年到2010 长率为20% 20%。 长率为20%。
解: 设 台 箱 价 元 根 题 , 得 每 冰 降 x , 据 意
x (2900 − x − 2500)(8 + 4× ) = 5000. 50
整 得: x2 −300x + 22500 = 0. 理
解 个 程得 这 方 ,
x1 = x2 =150.
答: 每台冰箱的定价应为 2750元 .
跟踪训练
善良和谦虚是永远不应令人厌恶的两 种品德． ——斯蒂文生
5(1+ x)2 = 7.5.
跟踪训练
某药品经两次降价，零售价降为原来的一半. 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次 降价的百分率一样，求每次降价的百分率. 精确到0.1% 0.1%） 降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%） 根据题意， 解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得 设原价为1个单位， 1 2 (1− x) = 2 2 2 x =1+ , x2 =1− 解这个方程， 解这个方程，得 1 2 2
例
题
【例3】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年 学校图书馆去年年底有图书5万册， 底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 7.2万册 底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 分析:相等关系:经过两年平均增长后的图书=7.2万册. 分析:相等关系:经过两年平均增长后的图书=7.2万册. =7.2万册 基数 去年 今年 明年 5 5(1+x) x x 平均增长率 年底数量 5 5(1+x) 5(1+x)(1+x) =5(1+x)2
《一元二次方程(第2课时)》公开课教案 (省一等奖)2022年人教版
一元二次方程教学内容1．一元二次方程根的概念；2．•根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目． 教学目标了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．重难点关键1．重点：判定一个数是否是方程的根； 2．•难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根． 教学过程一、复习引入学生活动：请同学独立完成以下问题．问题1．前面有关“执竿进屋〞的问题中,我们列得方程x 2-8x+20=0 列表：x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …x 2-8x+20…问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44 列表：老师点评〔略〕 二、探索新知 提问：〔1〕问题1中一元二次方程的解是多少？问题2•中一元二次方程的解是多少？ 〔2〕如果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？老师点评：〔1〕问题1中x=2与x=10是x 2-8x+20=0的解，问题2中，x=4是x 2+7x-44=0的解.〔2〕如果抛开实际问题，问题2中还有x=-11的解． 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．回过头来看：x 2-8x+20=0有两个根，一个是2，另一个是10，都满足题意；但是，问题2中的x=-11的根不满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．例1．下面哪些数是方程2x 2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x 2+10x+12=0的两根．例2.假设x=1是关于x 的一元二次方程a x 2+bx+c=0(a ≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习:关于x 的一元二次方程(a-1) x 2+x+a 2-1=0的一个根为0,那么求a 的值x 1 2 3 4 5 6 …x 2+7x…点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.例3．你能用以前所学的知识求出以下方程的根吗？〔1〕x2-64=0 〔2〕3x2-6=0 〔3〕x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．解：略三、稳固练习教材P33思考题练习1、2．四、应用拓展例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，•这块铁片应该怎样剪？设长为xcm，那么宽为〔x-5〕cm列方程x〔x-5〕=150，即x2-5x-150=0请根据列方程答复以下问题：〔1〕x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．〔2〕完成下表：x 10 11 12 13 14 15 16 17 …x2-5x-150〔3〕你知道铁片的长x是多少吗？分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，•但是我们可以用一种新的方法──“夹逼〞方法求出该方程的根．解：〔1〕x不可能小于5．理由：如果x<5，那么宽〔x-5〕<0，不合题意．x不可能等于10．理由：如果x=10，那么面积x2-5x-150=-100，也不可能．〔2〕x 10 11 12 13 14 15 16 17 ……x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 ……〔3〕铁片长x=15cm五、归纳小结〔学生归纳，老师点评〕本节课应掌握：〔1〕一元二次方程根的概念；〔2〕要会判断一个数是否是一元二次方程的根；〔3〕要会用一些方法求一元二次方程的根．(“夹逼〞方法; 平方根的意义)六、布置作业1．教材P34复习稳固3、4 综合运用5、6、7 拓广探索8、9．2．选用课时作业设计．作业设计一、选择题1．方程x〔x-1〕=2的两根为〔〕．A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=22．方程ax〔x-b〕+〔b-x〕=0的根是〔〕．A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=1aC．x1=a，x2=1aD．x1=a2，x2=b23．x=-1是方程ax2+bx+c=0的根〔b≠0〕，那么a cb b+=〔〕．A．1 B．-1 C．0 D．2二、填空题1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．2．方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，那么m的值为________．3．方程〔x+1〕2+2x〔x+1〕=0，那么方程的根x1=______；x2=________．三、综合提高题1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求〔a-b〕2+4ab的值．2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在〔21 xx-〕2-2x21xx-+1=0，•令21xx-=y，那么有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想〔换元法〕，解决小明给出的问题：在〔x2-1〕2+〔x2-1〕=0中，求出〔x2-1〕2+〔x2-1〕=0的根．课后反思[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
一元二次方程的解法第2课时
一元二次方程的解法第2课时1．一元二次方程的求根公式及推导 (1)求根公式的定义一般地，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，它的根是x ＝－b ±b 2－4ac2a.这个式子称为一元二次方程的求根公式．(2)求根公式的推导一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的过程．具体推导过程如下：由于a ≠0，在方程两边同除以a ，得x 2＋b a x ＋ca＝0.移项，得x 2＋b a x ＝－ca.方程两边同加上(b 2a )2，得x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a )2，即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2.由于4a 2＞0，所以当b 2－4ac ≥0时，可得x ＋b2a ＝±b 2－4ac 2a .所以x ＝－b ±b 2－4ac2a.(1)配方法是推导求根公式的基础．(2)由于4a 2＞0，所以只有当b 2－4ac ≥0时，式子b 2－4ac4a 2才是非负常数，方程才能开方．(3)由此可见，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a ，b ，c 确定的，只要确定了系数a ，b ，c 的值，代入公式就可求得方程的根．【例1】方程3x 2－8＝7x 化为一般形式是________，其中a ＝________，b ＝________，c ＝________，方程的根为________．解析：将方程移项可化为3x 2－7x －8＝0.其中a ＝3，b ＝－7，c ＝－8.因为b 2－4ac ＝49－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x ＝7±1456.答案：3x 2－7x －8＝0 3 －7 －8 7±14562．公式法解一元二次方程(1)定义：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．(2)公式法是解一元二次方程的一般方法，对于任何一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出来．(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤：①将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，确定a ，b ，c 的值． ②计算b 2－4ac 的值，从而确定原方程是否有实数根．③若b 2－4ac ≥0，则把a ，b ，c 及b 2－4ac 的值代入求根公式，求出x 1，x 2；若b 2－4ac ＜0，则方程没有实数根．(1)此求根公式是指一元二次方程的求根公式，只有确认方程是一元二次方程时，方可使用．(2)“b 2－4ac ≥0”是一元二次方程求根公式的重要组成部分，是公式成立的前提条件，当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．(3)用公式法解一元二次方程时，一定先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值，并注意它们的符号．(4)当b 2－4ac ＝0时，应把方程的根写成x 1＝x 2＝－b2a ，从而说明一元二次方程有两个相等的实数根，而不是一个根．【例2】用公式法解下列方程： (1)2x (x ＋2)＋1＝0； (2)x 2＋4x －1＝10＋8x .分析：用公式法解一元二次方程时，先将一元二次方程写成ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的形式，然后判断b 2－4ac 的值是大于等于0，还是小于0.若b 2－4ac ≥0，把a ，b ，c 的值代入求根公式求解；若b 2－4ac ＜0，则原方程没有实数根．解：(1)原方程可化为2x 2＋22x ＋1＝0. 因为a ＝2，b ＝22，c ＝1， 所以b 2－4ac ＝(22)2－4×2×1＝0. 所以x ＝－22±02×2＝－22.所以x 1＝x 2＝－22.(2)将原方程化为一般形式，得x 2－4x －11＝0. 因为a ＝1，b ＝－4，c ＝－11，所以b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－11)＝16＋44＝60. 所以x ＝4±602×1＝4±2152.所以x 1＝2＋15，x 2＝2－15.点拨：用公式法解一元二次方程时，必须满足b 2－4ac ≥0，才能将a ，b 及b 2－4ac 的值代入求根公式求解．当b 2－4ac ＜0时，原方程没有实数根．3．因式分解法(1)定义：通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法．(2)因式分解法的理论依据：若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.(3)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．用因式分解法解一元二次方程的关键：一是要将方程右边化为0；二是方程左边要能分解为两个含未知数的一次因式的积．【例3】解下列方程： (1)x －3＝x (x －3)； (2)(x －2)2＝(2x ＋3)2； (3)x 2－23x ＝－3. 分析：⑴ 移项 右 边 左边能提取公因式(x －3)⑵ 移项 左边能用平方差公式进行分解⑶ 移项为 0左边正好是一个完全平方式解：(1)原方程可化为(x －3)－x (x －3)＝0. ∴(x －3)(1－x )＝0.∴x －3＝0，或1－x ＝0. ∴x 1＝3，x 2＝1.(2)原方程可化为(x －2)2－(2x ＋3)2＝0. ∴[(x －2)＋(2x ＋3)][(x －2)－(2x ＋3)]＝0， 即(3x ＋1)(－x －5)＝0. ∴3x ＋1＝0，或－x －5＝0.∴x 1＝－13，x 2＝－5.(3)原方程可化为x 2－23x ＋3＝0，即 x 2－23x ＋(3)2＝0. ∴(x －3)2＝0.∴x 1＝x 2＝ 3.4．因式分解法的两种类型一元二次方程右边化为0后，左边在因式分解时，可分为两种类型：(1)有公因式可提：把多项式的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式． 例如，解方程x －3－x (x －3)＝0，可通过提公因式(x －3)，原方程变形为(x －3)(1－x )＝0.(2)能运用公式①平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )； ②完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2.运用完全平方公式解一元二次方程，实质上与用配方法是一致的，是配方法的特殊形式.例如，解方程x 2－4＝0，利用平方差公式变形为(x ＋2)(x －2)＝0； 解方程x 2－4x ＋4＝0，利用完全平方公式变形为(x －2)2＝0.在利用提公因式法、完全平方公式及平方差公式分解因式时，公因式可能是多项式，公式中的字母也可能代表多项式，因此，要注意从整体上观察，切不可盲目地去化简整理．【例4】解下列方程：(1)4(x －3)2－25(x －2)2＝0； (2)(2x ＋1)2＋4(2x ＋1)＋4＝0； (3)(x ＋3)(x －1)＝4x －4.分析：解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．(1) 右边为0 左边可整体利用平方差公式分解因式(2) 右边为0将2x ＋1作为一个整体，左边可利用完全平方公式进行因式分解(3) 移项后把右边化为0 变形后能提公因式(x －1)解：(1)原方程可变形为[2(x －3)]22即(2x －6)2－(5x －10)2＝0.∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0， 即(7x －16)(－3x ＋4)＝0. ∴7x －16＝0，或－3x ＋4＝0.∴x 1＝167，x 2＝43.(2)原方程可变形为(2x ＋1＋2)2＝0， 即(2x ＋3)2＝0.∴2x ＋3＝0.∴x 1＝x 2＝－32.(3)原方程可变形为 (x ＋3)(x －1)－4(x －1)＝0. ∴(x －1)2＝0.∴x 1＝x 2＝1.5．利用因式分解法解一元二次方程的误区 应用因式分解法解方程时，常有以下误区：(1)对因式分解法的基本思想不理解，没有将方程化为a ·b ＝0的形式就急于求解．对此要认真审题，看方程的一边是否是0，若不是0，应先化为0.(2)产生丢根现象．对于丢根现象，往往是因为在解方程过程中，出现方程两边不属于同解变形的步骤．避免这一错误的方法主要是注意方程两边不能同除以含有未知数的项．【例5】解方程：(1)(x －2)(x －3)＝6. (2)2x (x ＋1)＝3(x ＋1)． 解答 顾问点评(1)错解 x －2＝0，或x －3＝0，得x 1＝2，x 2＝3.用因式分解法时，右边必须是0，而本题中右边不是0正解整理，得x 2－5x ＝0，∴x (x －5)＝0.∴x ＝0，或x －5＝0.∴x 1＝0，x 2＝5.先整理成一般形式，再选择适当的方法(2)错解 方程两边同时除以(x ＋1)，得2x ＝3，解得x ＝32.出现两边同除以(x ＋1)的错误正解 移项，得2x (x ＋1)－3(x ＋1)＝0，∴(x＋1)(2x －3)＝0.∴x ＋1＝0，或2x －3＝0.解得x 1＝－1，x 2＝32.移项后可提公因式(x ＋1)6．选择适当的方法解一元二次方程解法 适合类型 注意事项 直接开平方法(x ±m )2＝n n ≥0时，有解；n ＜0时，无解配方法 x 2＋px ＋q ＝0二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方公式法 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 先化为一般形式再用公式．b 2－4ac ≥0时，方程有解；b 2－4ac ＜0时，方程无解因式 分解法 方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积 方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式选择的原则：首先要看因式分解法或直接开平方法是否可行，接着考虑配方法，最后考虑公式法．①因式分解法和直接开平方法虽然简便，但并非所有的方程都适用；②配方法适用于任何一个一元二次方程，但过程比较麻烦； ③公式法是在配方法的基础上，利用其导出的求根公式直接求解．因此，在解一元二次方程时，为了提高解题速度和准确率，应先观察方程特点，灵活选择适当的方法进行解题．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例6－1】选择适当的方法解下列方程： (1)3x (x －1)＝1－x ；(2)x 2－2x －11＝0； (3)2x 2－5x －1＝0. 分析：(1) 将方程右边的“1－x ”移到方程左边，则变为“x －1”，此时有公因式“x －1”可提.因式分解法(2) 仔细观察不难发现二次项系数与一次项系数的特点，“x 2－2x ”易于配方，可选用配方法求解.配方法(3) 公式法适用于任何一元二次方程，此题是一元二次方程的一般形式，确定a ，b ，c 的值，就可以直接代入公式求解. 公式法解：(1)原方程可化为3x (x －1)＋(x －1)＝0， ∴(x －1)(3x ＋1)＝0.∴x －1＝0，或3x ＋1＝0.∴x 1＝1，x 2＝－13.(2)移项，得x 2－2x ＝11，配方，得x 2－2x ＋1＝11＋1，即(x －1)2＝12. ∴x －1＝±23，即x ＝±23＋1. ∴x 1＝23＋1，x 2＝－23＋1. (3)∵a ＝2，b ＝－5，c ＝－1，b 2－4ac ＝(－5)2－4×2×(－1)＝33＞0， ∴x ＝－(－5)±(－5)2－4×2×(－1)2×2＝5±334.∴x 1＝5＋334，x 2＝5－334.【例6－2】用适当的方法解下列方程：(1)9(x ＋2)2＝16；(2)(x －1)2－(x －1)－6＝0； (3)4x 2－42x ＋1＝0；(4)(3x －4)2＝9x －12.分析：(1)题利用直接开平方法解较好．(2)题利用因式分解法解较好．(3)题利用求根公式法解较好．(4)题利用因式分解法解较好．解：(1)原方程变形为(x ＋2)2＝169，所以x ＋2＝±43，即x ＝±43－2.所以x 1＝－23，x 2＝－103.(2)原方程变形为(x －1＋2)(x －1－3)＝0，即(x ＋1)(x －4)＝0， 所以x ＋1＝0或x －4＝0.所以x 1＝－1，x 2＝4. (3)因为a ＝4，b ＝－42，c ＝1， 所以b 2－4ac ＝(－42)2－4×4×1＝16. 所以x ＝42±162×4＝2±12.所以x 1＝2＋12，x 2＝2－12.(4)原方程变形为(3x －4)2＝3(3x －4)， 即(3x －4)2－3(3x －4)＝0，分解因式，得(3x －4)[(3x －4)－3]＝0， 即(3x －4)(3x －7)＝0， 所以3x －4＝0或3x －7＝0. 所以x 1＝43，x 2＝73.7．用十字相乘法解一元二次方程十字相乘法能把某些二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)因式分解．这种方法的关键是把二次项的系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1·a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1·c 2，并使a 1c 2＋a 2c 1正好是一次项系数b ，那么可以直接写出结果：ax 2＋bx ＋c ＝(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)．当二次项系数为1时，上述公式变为x 2＋bx ＋c ＝(x ＋c 1)(x ＋c 2)．此时解决问题的关键是将常数项分解为两个数的积，且其和等于一次项系数．例如，分解因式2x 2－7x ＋3，利用上述方法将二次项系数与常数项分解为1×2与(－1)×(－3)，则交叉相乘再相加，得1×(－1)＋2×(－3)＝－7，结果正好等于一次项系数－7，于是二次三项式2x 2－7x ＋3可分解为(x －3)(2x －1)．【例7】用十字相乘法解下列方程： (1)x 2＋2x －8＝0； (2)6x 2＋5x －50＝0.分析：(1)此方程右边为0，二次项系数为1，常数项－8可分解为4×(－2)，而4＋(－2)＝2，于是原方程可化为(x ＋4)(x －2)＝0.(2)此方程右边为0，左边是一个二次三项式，由于6＝2×3，－50＝(－5)×10，则2×10＋3×(－5)＝5，于是原方程可化为(2x －5)(3x ＋10)＝0. 解：(1)原方程可化为(x ＋4)(x －2)＝0， ∴x ＋4＝0，或x －2＝0. ∴x 1＝－4，x 2＝2.(2)原方程可化为(2x －5)(3x ＋10)＝0， ∴2x －5＝0，或3x ＋10＝0.∴x 1＝52，x 2＝－103.。
《认识一元二次方程》一元二次方程PPT(第2课时)
2. 关于x的方程(m+2)2x2+3m2x+m2-4=0有一根为0，则2m2-4m+3的值
为多少？
解：∵x=0是方程的解，
∴代入得m2-4=0.
∴m=±2.
经检验m=±2都符合题意.
∴2m2-4m+3=2×22-4×2+3=3.
或2m2-4m+3=2×（-2）2-4×（-2）+3=19.
∴代数式2m2-4m+3的值为3或19.
就是方程的一个解.
第四步：若在x的大致范围内取值，没有一个数能够使方程的左边
等于0, 进一步取值,找出最接近于0且小于0的数,这个数就是方程的
近似取值.
目标测试
1.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2=x+a2-1=0的一根是
x=0，则a的值为（ B ）
A.1
B.-1
C.1或-1
D.0
目标测试
-0.06
-0.02
0.03
0.07
A 3＜x ＜3.23
B 3.23＜x ＜3.24
C 3.24＜x ＜3.25
D 3.25＜x ＜3.26
强化训练
2、一名跳水运动员进行10米跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必须在距水面5
米以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动
所以x=0不是方程的解.
一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等的未知数
的值叫一元二次方程的解或根.
知识讲解
例 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m.
分析：一根为2即x＝2，只需把x＝2代入原方程.
解：把x=2代入一元二次方程得：
应用一元二次方程(第二课时) 教案
一元二次方程应用一元二次方程（二）一、学生知识状况分析九年级学生的思维应该说已经具有一定的水平，对于方程的理解也不是第一次接触，在学习一元一次方程及其应用和二元一次方程组、分式方程及其应用时，学生就已经经历了“问题情境－建立方程模型－解决问题”这一数学化的过程，理解了学习方程的意义，对于简单的实际问题也能够通过寻找其中的数量关系来解决。
本节内容的设置，正是《新课程标准》在知识点上呈螺旋上升趋势的具体体现。
但是学生的思维需要逐渐培养，在学生具备一定的思维水平的基础上，教师是引导学生学习的关键，在学习难度较大的知识点时，兴趣是关键。
教师还应从学生的积极性入手，努力去挖掘学生的主动性和合作性，以增强学生克服困难的决心。
本节主要研究列一元二次方程解应用题，研究过程中让学生亲自经历和体验运用一元二次方程解决实际问题的过程，使其认识到运用一元二次方程解决实际问题源于解决问题的实际需要，通过一元二次方程建模的应用以及教师的形象比喻，使学生自然感受一元二次方程建模的意义和作用；同时关注学生运用一元二次方程解决实际问题的多样化和合理化，从而培养学生解决问题的兴趣和能力，提高学生的思维水平和应用数学知识去解决实际问题的意识。
二、教学任务分析本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务。
但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。
因此，本节教学中须要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成。
显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。
为此，本节课的教学目标是：①通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。
《认识一元二次方程第2课时》精品教学方案
1认识一元二次方程第2课时配套北师大版【教学方案】第二章一元二次方程1认识一元二次方程第2课时一、教学目标1.理解方程解的概念.2.经历对一元二次方程解的探索过程能理解其意义.3.会利用“两边夹”的思想估算一元二次方程的解.4.培养学生的估算意识和能力，发展学生的数感.二、教学重难点重点：探索一元二次方程的解和近似解.难点：利用“两边夹”的思想估算一元二次方程的解. 三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计【合作探究】教师活动：通过列表让学生直观的感受到方程的解满足的条件，从而引出一元二次方程的解，再通过延续上一节课的两个具体问题，引导学生估算一元二次方程的解，从而归纳得出用“两边法”求一元二次方程的基本步骤.问题1：下面哪些数是方程x2–2x–8=0的解?-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4预设：列表归纳：像数-2，4使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解(又叫做根).问题2：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程(8-2x)(5-2x)=18，你能求出这个宽度吗？(1)x可能小于0吗?说说你的理由．预设：x不可能小于0，因为宽度不能为负.追问：x可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由.预设：x不可能大于4，(8-2x)表示地毯的长，所以有8-2x>0，x不可能大于2.5，(5-2x)表示地毯的宽，所以有5-2x>0.(2)你能确定x的大致范围吗？预设：由(1)可知：0<x<2.5(3)填写下表：预设：(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？预设：由(3)列表可知，当x=1时，方程两边相等，所以地毯花边的宽1m.你还有其他求解方法吗？预设：教师鼓励学生尝试别的方法，可以考虑从运算的角度18等于6×3.【做一做】问题3：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x 满足方程72＋(x＋6)2＝102，也就是x2+12x-15=0.(1)小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗？为什么？(2)底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？预设：(1)不正确，因为x=1时不满足方程.(2)不可能是2，因为x=2时不满足方程.不可能是3，因为x=3时不满足方程.(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？预设：在(1)(2)基础上列表：观察表格发现，当x=1时，x2+12x-15小于0，当x=2时，x2+12x-15大于0，所以猜测1<x<2，即滑动距离在1m到2m之间.(4)由(3)可知x的整数部分是1，那它的十分位是几？预设：下面是小亮的求解过程：可知x取值的大致范围是:1<x<1.5.进一步计算：所以1.1＜x＜1.2，因此x整数部分是1，十分位部分是1．【归纳】上述求解是利用了“两边夹”的思想，用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：①在未知数x的取值范围内排除一部分取值；②再次进行排除，取值范围确定在两个连续整数之间；③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例请估算出一元二次方程x2-2x-1=0的正数根(精确到0.1).分析：①先列表确定整数部分，当2＜x＜3时，-1＜x2-2x-1＜2，则正数根在2到3之间；②再列表确定十分位部分，当2.4＜x＜2.5时，-0.04＜x2-2x-1＜0.25，则正数根在2.4到2.5之间；③最后确定百分位部分，当x=2.45时，x2-2x-1的值是否大于0，若大于0，则正数根在2.40到2.45之间，若小于0，则正数根在2.45到2.50之间.再根据精确到0.1，四舍五入取值即可. 解：(1)列表.依次取x=0，1，2，3，…由上表可发现，当2＜x＜3时，-1＜x2-2x-1＜2；(2)继续列表，依次x=2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，…由表发现，当2.4＜x＜2.5时，-0.04＜x2-2x-1＜0.25；(3)取x=2.45，则x2-2x-1≈0.1025.∴ 2.4＜x＜2.45，∴x≈2.4即正数根为2.4.教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应后两个数的平方.您能求出这五个整数分别是多少吗？2.根据题意，列出方程，并估算方程的解：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m.苗圃的长和宽各是多少？3.有一条长为16m的绳子，你能否用它围出一个面积为15m2的矩形？若能，则矩形的长、宽各是多少？答案：1.解:设第一个整数为x．x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2．3x2＋6x＋5＝2x2＋14x＋25．x2－8x－20＝0．列表：所以x＝-2或10．所以，这五个整数分别是10，11，12，13，14或-2，-1，0，1，2.2.解：设苗圃的宽为x m，则长为(x+2)m，根据题意得：x(x+2)=120.即x2+2x-120=0.列表：所以，苗圃的宽为10m，长为12m．3.解:能，设矩形的宽为x m，则长为(8-x)m，依题意，得x(8-x)＝15．即：x2-8x+15＝0．列表：所以，矩形的宽为3m，长为5m．思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第35页。
北师版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 应用一元二次方程 第2课时 一元二次方程的实际应用(二)
解：(1)依题意，得 y＝2＋9005－0 x ＝20－5x0 (2)依题意，得(x－400)(20－5x0 )＝1 600，解得 x1＝600，x2＝800， ∵销售量最大，∴x＝600. 答：当每件售价定为 600 元时，该网店每天盈利 1 600 元
4．(4分)(河南中考)国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年 增加.2017年至2019年我国快递业务收入由 5 000亿元增加到7 500亿 元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列 方程为( C )
A.(3＋x)(4－0.5x)＝15 B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15 C.(x＋4)(3－0.5x)＝15 D．(x＋1)(4－0.5x)＝15
2．(5分)(平顶山期末)将进货单价为40元的商品按50元出售时，售出
500个，经市场调查发现：该商品每涨价1元，其销量减少10个．为了赚 8 000元，则售价应定为___6_0_元__或__8_0_元______．
果每千克应降价 9 元
12．(18分)(郑州高新区期中)某汽车租赁公司共有汽车50辆，市场调查 表明，当租金为每辆每日200元时可全部租出；当租金每提高10元，租 出去的车就减少2辆．
(1)当租金提高多少元时，公司的每日收益可达到10 120元？ (2)公司领导希望日收益达到10 200元，你认为能实现吗？若能，求出 此时的租金；若不能，请说明理由； (3)汽车日常维护要一定费用，已知外租车辆每日的维护费为100元， 未租出的车辆每日的维护费为50元，当租金为多少元时，公司的每日利 润恰好为5 500元？(每日利润＝每日收益－每日维护费)
3．(9分)(平顶山期中)某网店销售一款羽绒服，每件售价900元，每天 可卖2件．为迎接“双11”抢购活动，该网店决定降价销售，市场调查 反映：售价每降低50元，每天可多卖1件．已知该款羽绒服每件进价400 元，设该款羽绒服每件售价x元，每天的销售量为y件．
《一元二次方程的应用》PPT(第2课时)
解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程 6000 (1 x)2 3600
解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775． 得乙种药品成本年平均下降率为 0.225.
两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产 品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量， 成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变 化状况．
(60－x－40)
100＋x×20 2
＝2
240，
化简，得 x2－10x＋24＝0，
解得 x1＝4，x2＝6； 答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元；
(2)由(1)可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元，因为要尽 可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6 元，此时，售
价为 60－6＝54(元)，5640×100%＝90%.
问题3 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生 产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
甲种药品成本的年平均下降额为 (5 000 - 3 000) ÷ 2 = 1 000（元），
2．某糖厂 2014年食糖产量为 a 吨，如果在以后两 年平均减产的百分率为 x，那么预计 2015 年的产量将是
ห้องสมุดไป่ตู้___a_(_1_-x_)__．2016年的产量将是___a_(1___x_)_2_．
问题2 你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？ 两年后：
变化后的量 = 变化前的量 1 x2
乙种药品成本的年平均下降额为 (6 000 - 3 600 )÷ 2 = 1 200（元）．
湘教版九年级数学上册第2章教案：一元二次方程的应用
2。
5 一元二次方程的应用第1课时一元二次方程的应用(1)教学目标【知识与技能】使学生会用列一元二次方程的方法解应用题、【过程与方法】让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值。
【情感态度】在应用一元二次方程的过程中,提高学生的分析问题、解决问题的能力、【教学重点】建立一元二次方程模型解决一些代数问题。
【教学难点】把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题、教学过程一、情景导入,初步认知列方程解应用问题的步骤是什么？①审题,②设未知数,③列方程,④解方程,⑤答、【教学说明】七年级学过一元一次方程的应用,实际上是据实际题意,设未知数,列出一元一次方程求解,从而得到问题的解决。
但有的实际问题,列出的方程不是一元一次方程,是一元二次方程,这就是我们本节课所研究的问题,一元二次方程的应用、二、考虑探究,获取新知1。
某省农作物秸秆资源巨大,但合理使用量十分有限,因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率,若今年的使用率为４0％,计划后年的使用率达到9０％,求这两年秸秆使用率的年平均增长率(假设该省每年产生的秸秆总量不变)分析:由于今年到后年间隔两年,因此问题中涉及的等量关系是:今年的使用率×(１+年平均增长率)２＝后年的使用率解:设这两年秸秆使用率的年平均增长率为ｘ,则依照等量关系,可列出方程: 40%(1+x)２＝９0%解得:x1=50%,x2=-２。
5依照题意可知:ｘ=５0%答:这两年秸秆使用率的平均年增长率为50％。
2、为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每瓶零售价由１00元降为81元、求平均每次降价的百分率、分析:问题中涉及的等量关系是:原价×(1-平均每次降价的百分率)2＝现在的售价解:设平均每次降价的百分率为x,则依照等量关系,可列出方程:100(1—x)2＝8１解得:x1=１0%,x2＝1、9依照题意可知:x＝10％答:平均每次降价的百分率为10%。
湘教版数学九年级上册_《一元二次方程的应用(第2课时)》优质学案
第2课时 图形面积问题要点感知 几何图形中常见的等量关系(1)S 三角形=12×底×高； (2)S 矩形=长×宽；(3)S 梯形=+2上底下底×高； (4)直角三角形三边关系(勾股定理)：a 2+b 2=c 2；(5)S 正方形=边长×边长；(6)V 长方形=长×宽×高.预习练习1-1 等腰梯形的面积为160 cm 2，上底比高多4 cm ，下底比高多20 cm ，这个梯形的高为( )A.8 cmB.20 cmC.8 cm 或20 cmD.非上述答案1-2 为了绿化校园，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多4米，面积是320平方米，则操场的长为 米，宽为 米.1-3 (2012·青岛)如图所示，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x 米，则根据题意可列方程为 .知识点 图形面积问题1.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN 最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m 长的墙的材料，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.则AB 长度为( )A.10B.15C.10或15D.12.52.如图，在一条长90 m，宽60 m的矩形草地上修三条小路，小路都等宽，除小路外，草地面积为5 192 m2，则小路的宽度应为(B)A.1 m或104 mB.1 mC.2 mD.1.5 m3.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8 cm，BC=6 cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1 cm/秒，点Q的速度为2 cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动.下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15 cm2的是( )A.2秒钟B.3秒钟C.4秒钟D.5秒钟4.在一幅长50 cm，宽30 cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是1 800 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程为 .5.(2012·大连)如图是一张长9 cm、宽5 cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12 cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形长为x cm，则可列出关于x的方程为 .6.如图，在长15米、宽10米的矩形场地ABCD上，建有三条同样宽的走道，其中一条与AD 平行，另两条与AB平行，其余的部分为草坪.已知草坪的总面积为126平方米，求走道的宽度.7.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙保留1 m宽的通道，当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2?8.已知一个包装盒的表面展开图如图.(1)若此包装盒的容积为1 125 cm3，请列出关于x的方程，并求出x的值；(2)是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为1 800 cm3？若存在，请求出相应的x 的值；若不存在，请说明理由.9.如图，在△ABC中，AB=6 cm，BC=7 cm，∠ABC=30°，点P从A点出发，以1 cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2 cm/s的速度向C点移动.如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4 cm2？挑战自我10.如图，为了美化街道，刘大爷准备利用自家墙外的空地种植两种不同的花卉，墙的最大可用长度是12.5 m，墙外可用宽度为3.25 m.现有长为21 m的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有一道隔栏的矩形花圃.(1)若要围成总面积为36 m2的花圃，边AB的长应是多少？(2)花圃的面积能否达到36.75 m2？若能，求出边AB的长；若不能，请说明理由.参考答案课前预习预习练习1-1 A1-2 20 161-3 (22-x)(17-x)=300当堂训练1.B2.B3.B4.(50+2x)(30+2x)=1 8005.(9-2x)(5-2x)=126.设走道的宽为x米，根据题意，得(15-x)(10-x)=126.解得x=24(舍去)或x=1.答：走道的宽为1米.课后作业7.设矩形温室的宽为x m，则长为2x m，根据题意，得(x-2)(2x-4)=288，解得x1=-10(不合题意，舍去)，x2=14.∴x=14，2x=2×14=28.答：当矩形温室的长为28 m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积为288 m2.8.(1)根据题意，得15x(20-x)=1 125，整理，得x2-20x+75=0.解得x=15(舍去)或x=5.答：包装盒的高为5 cm.(2)根据题意，得15x(20-x)=1 800，即x2-20x+120=0.∵Δ=(-20)2-4×1×120=-80＜0，∴此方程无解，即不存在这样的x的值，使得包装盒的体积为1 800 cm3.9.过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB=90°.∵∠ABC=30°，∴QE=12QB.∴S△PQB=12·PB·QE.设经过t秒后△PBQ的面积等于4 cm2，则PB=6-t，QB=2t，QE=t. 根据题意，得1 2·(6-t)·t=4.即t2-6t+8=0.解得t1=2，t2=4.当t=4时，2t=8，8＞7，不合题意舍去，取t=2. 答：经过2秒后△PBQ的面积等于4 cm2.10.(1)设AB的长为x米，则长为(21-3x)米，根据题意，得x(21-3x)=36.解得x=3或x=4.∵墙外可用宽度为3.25 m，∴x只能取3.答：边AB的长为3 m.（2）不能.理由：花圃的面积为(21-3x)x=-3(x-3.5)2+36.75，∴当AB长为3.5 m时，有最大面积，为36.75平方米，但由于墙外可用宽度为3.25 m<3.5 m.即花圃的面积不能达到36.75 m2.7C学科网，最大最全的中小学教育资源网站，教学资料详细分类下载！。
湘教版九年级上册数学精品教学课件 第2章 一元二次方程 第2课时 图形面积问题
视频：平 移求面积 动态展示
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例2 如图，要利用一面墙（墙长为 25 m）建羊圈，用
100 米的围栏围成总面积为 400 m2 的三个大小相同的矩
形羊圈，求羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是多少米 ？
解：设 AB 长是 x m. (100 - 4x)x = 400 整理得 x2 - 25x + 100 = 0.
运用常见几何图形的 面积公式构建等量关系
几何图形问 题与一元二 次方程
类型
课本封面问题
彩条/小路宽 度问题
常采用图形 平移聚零为 整，方便列 方程
动点面积问题
用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料
围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m
的门，所围鸡场的长、宽分别为多少时，面积为 80 m2？
解：设矩形鸡场垂直于住房墙的一边长为 x m，
则平行于住房墙的一边长 (25 − 2x + 1) m.
由题意得 x(25 − 2x + 1) = 80，
上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使
草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？
方法一：
x
解：设道路的宽为 x m. 则
20 32 32x 20x x2 540. 20
x
还有其他列法吗？
32
方法二：
x
解：设道路的宽为 x m. 则
(32 − x)(20 − x) = 540.
20
整理，得 x2 − 52x + 100 = 0.
解得
x1=
17 3
229
0.62，x2=
17
3
229