考点27圆锥曲线的综合应用-2016届高考文科数学必考考点专题分类训练
圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
圆锥曲线知识点及2016年高考题总结(含答案)
椭圆第一定义焦点在x 轴：cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）．面积公式S ab π=．离心率 ()0,1c e a ===．焦半径公式通径三角形面积椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为1F ,2F ，点P 为椭圆上任意一点12F PF θ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为1222sin tan 1cos 2F PF S b b θθθ∆==+．切线方程若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)上，则过0P 的切线方程是00221x x y y a b +=．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为1P 、2P ，则切点弦12P P 的直线方程是00221x x y ya b+=． 中点弦方程在椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的不平行于对称轴的弦AB 中点为00(,)M x y ，则0022:1AB AB x y l k a b +⋅=，代入M 坐标，可求出AB k ，进而利用点斜式可求得00:()AB AB l y y k x x -=-．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)内，则被0P 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+． 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+．双曲线第一定义平面内与两定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （2a ＜12F F 且20a ≠）的点的轨迹叫做双曲线． 即：122MF MF a -=．第二定义焦点在x 轴：sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数） 正割1sec cos θθ=．离心率()1,c e a ===+∞．渐近线双曲线22221x y a b -=的渐近线为b y x a=±双曲线22221y x a b-=的渐近线为ay x b=±． 焦半径公式焦点在x 轴上双曲线任意一点00(,)P x y 到焦点的距离： 左焦半径10=PF ex a + 右焦半径20=PF ex a -．通径双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为1F ,2F ，点P 为双曲线上任意一点12F PF θ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为1222sin t 1cos 2F PF S bb co θθθ∆==-．切线方程若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)上，则过0P 的切线方程是00221x x y ya b-=． 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)外，则过0P 作双曲线的两条切线切点为1P 、2P ，则切点弦12P P 的直线方程是00221x x y ya b-=． 中点弦方程在双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的不平行于对称轴的弦AB 中点为00(,)M x y ，则0022:1AB AB x y l k a b-⋅=，代入M 坐标，可求出AB k ，进而利用点斜式可求得00:()AB AB l y y k x x -=-．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)内，则被0P 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-． 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．标准方程设0p >，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，t R ∈）． 抛物线22y px =(0p >)的图像和性质：(1)焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ．(2)准线方程是：2p x -=．(3)顶点是焦点向准线所作垂线段中点，顶点平分焦点到准线的垂线段：2pOF OK ==． (4)焦准距：FK p =．(5)焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02p PF x =+． (6) 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交11(,)P x y ,22(,)Q x y ，且1QM ⊥准线于点1M ，2PM ⊥准线于点2M ，则①焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++．②221212,4p y y p x x =-=．③若直线PQ 的倾斜角为θ,则22sin pPQ θ=． ④若F 为抛物线焦点，则有112PF QF p+=．⑤P 、O 、1M 三点共线，Q 、O 、2M 三点共线．(7)通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p(8)焦半径为半径的圆：以p 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切．所有这样的圆过定点F 、准线是公切线．(9)焦半径为直径的圆：以焦半径FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切．所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线．(10)焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切．所有这样的圆的公切线是准线．切线方程若000(,)P x y 在抛物线22y px =(0p >)上，则过0P 的切线方程是00()y y p x x =+．中点弦公式抛物线2:2C x py =上，过给定点00(,)P x y 的中点弦所在直线方程为2000py x x py x -=-．2016年高考数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、（2016年四川高考）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（ ）（A ）3 （B ）23（C ）2 （D ）1 2、（2016年天津高考）已知双曲线2224=1x y b-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y - 3、（2016年全国I 高考）已知方程x 2m 2+n –y 23m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)4、（2016年全国I 高考）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为 （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）85、（2016年全国II 高考）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43-（B ）34- （C （D ）2 6、（2016年全国II 高考）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A （B ）32（C （D ）27、（2016年全国III 高考）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）348、（2016年浙江高考） 已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1二、填空题1、（2016年北京高考）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________.2、（2016年山东高考）已知双曲线E ：22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______.3、（2016年上海高考）已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________4、（2016年浙江高考）若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 三、解答题1、（2016年北京高考） 已知椭圆C ：22221+=x y a b （0a b >>） ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.2、（2016年山东高考）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞ 的离心率是32，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.3、（2016年上海高考） 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
(完整word版)2016全国卷高考文科数学模拟试题汇编圆锥曲线综合应用
2016全国卷高考文科数学模拟试题汇编----圆锥曲线综合应用2015-11-2111．已知点A （0，2），抛物线C 1：y 2=ax （a ＞0）的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM|：|MN|=1：，则a 的值等于（）A ．B ．C ．1D ．415. 过椭圆1162522=+y x 的中心任作一直线交椭圆于Q P 、两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 面积的最大值是 . 20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系x Oy中，已知圆221C :(3)(1)4x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（I ）若直线l 过点A(4,0)，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程；（II ）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.5．过抛物线24y x ＝的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若｜AF ｜＝5，则｜BF ｜＝A ．14 B ．1 C ．54D ．2 6．已知圆C ：224xy ＋＝，若点P （0x ，0y ）在圆C 外，则直线l : 004x x y y ＋＝与圆C 的位置关系为A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定13．双曲线2214x b2y －＝（b ＞0）的离心率为2，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为__________。
20．（本小题满分12分）设M 是焦距为2的椭圆E ：2221x a b2y ＋＝（a ＞b ＞0）上一点，A 、B 是椭圆E 的左、右顶点，直线MA 与MB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝－12． （1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E ：2221x a b 2y ＋＝（a ＞b ＞0）上点N （0x ，0y ）处切线方程为00221x x y ya b＋＝，4、已知过定点()2,0P 的直线l 与曲线22y x =-相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当1S ∆AOB =时，直线l 的倾斜角为（ ）A ．150B ．135C ．120D ．不存在8、若双曲线C:22221x y a b -=的一条渐近线倾斜角为6π，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2或3 B ．233C ．2或233D ．220、（本小题满分12分）已知圆:E 221924x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭经过椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点1F 、2F ，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F ，E ，A三点共线．直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且λMN =OA （0λ≠）．()1求椭圆C 的方程；()2当三角形AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程．7．已知抛物线C ：28y x =焦点为F ，点P 是C 上一点，若△POF的面积为2，则||PF =A ．52 B ．3 C ．72D ．4 已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，A 是E 的右顶点，P 、Q 是E 上关于原点对称的两点，且直线PA 的斜率与直线QA 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过E 的右焦点作直线l 与E 交于M 、N 两点，直线MA 、NA 与直线3x =分别交 于C 、D 两点，记△ACD 与△AMN 的面积分别为1S 、2S ，且12187S S ⋅=，求直线l 的方程．2、抛物线212y x =的焦点为（ ）A ．()6,0 B ．()0,6 C ．()3,0 D ．()0,35、若圆C 的半径为1，点C 与点()2,0关于点()1,0对称，则圆C 的标准方程为（ ）A ．221xy += B ．22(3)1x y -+=C ．22(1)1x y -+= D ．22(3)1x y +-=11、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴端点到直线2y a x =的距离为1，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B D ．221、（本小题满分12分） 定长为3的线段AB 的两个端点,A B 分别在x 轴，y 轴上滑动，动点P 满足2BP PA =.（1）求点P 的轨迹曲线C 的方程； （2）若过点()1,0的直线与曲线C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅的最大值。
2016年高考数学二轮复习考点汇编专题3.3圆锥曲线综合问题(原卷版)
压轴3 圆锥曲线综合问题【热点考法】高考对圆锥曲线综合问题的考查，往往从确定圆锥曲线的标准方程开始，结合直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，涉及平面向量、三角形面积、直线的斜率、定点（值）的探究与确定、存在性问题、参数范围的确定等等，综合考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、灵活运用数学知识分析问题解决问题的能力.【热点考向】直线与圆锥曲线【解决法宝】研究直线与圆锥曲线交点问题，通常将直线方程与圆锥曲线方程联立，得到一元二次方程，利用判别式讨论有交点的限制条件，应用根与系数的关系探求坐标关系．应注意得问题有二，一是数形结合思想的运用，二是注意直线的斜率不存在的情况.例1【全国百强校】【2016届高三江西师大附中、鹰潭一中联考】已知抛物线C 的标准方程为)0(22>=p px y ，M 为抛物线C 上一动点，)0)(0,(≠a a A 为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N ．当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，△MON 的面积为18． （Ⅰ）求抛物线C 的标准方程； （Ⅱ）记ANAM t 11+=，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．例2【湖北省(华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 鄂南高中)八校2016届高三第二次联考】 (本小题满分12分)定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(2212x y +=及点()A ，动点P 到圆M 的距离与到A 点的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W .（Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）过原点的直线l （l 不与坐标轴重合）与曲线W 交于不同的两点,C D ，点E 在曲线W 上，且CE CD ⊥，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线,DE CF 的斜率分别为12,k k ，求12.k k 例3【安徽省安庆市2016届高三下学期第二次模拟考试（二模）】（本小题满分12分）已知定圆:A (2216x y ++=,动圆M 过点)B,且和圆A 相切．（I ）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（II ）设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的两点P 、Q ,点()4,0N ．若P 、Q 、N 三点不共线,且ONP ONQ ∠=∠．证明：动直线PQ 经过定点． 例4【重庆市巴蜀中学高2016级高三3月月考】（本小题满分12分）若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点F 内分成了1:3的两段.（1）求椭圆的离心率；（2）过点)0,1(-C 的直线l 交椭圆于不同两点B A ,，且CB AC 2=，当AOB ∆的面积最大时，求直线l 和椭圆的方程.【热点集训】1. 【全国百强校】【2016届高三江西师大附中、鹰潭一中联考】已知中心在原点的双曲线C 的离心率等于32,其中一条准线方程34-=x ，则双曲线C 的方程是 ( ) A . 214x -= B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．212x = 2. 【2016届高三江西师大附中、鹰潭一中联考】已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为1-=x ，直线l 与抛物线C 相交于A,B 两点．若线段AB 的中点为)1,2(，则直线l 的方程为( )A ．32-=x yB ．52+-=x yC ．3+-=x yD ．1-=x y3.【安徽省安庆市2016届高三下学期第二次模拟考试（二模）】双曲线:C 22221x y a b-=（0a >,0b >）的一条渐近线方程为2y x =,则C 的离心率是（ ）ABC ．2 D4.【安徽省安庆市2016届高三下学期第二次模拟考试（二模）】设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221x y a b -=（0a >,0b >）的右顶点和右焦点,直线2a x c=交双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）AB ．3 CD ．25.【重庆市巴蜀中学高2016级高三3月月考】过抛物线x y 42=的焦点F 作直线l 与其交于B A ,两点，若4=AF ，则=BF （ ）A ．2B ．34 C ．32D ．1 6. 【山东省济南市2016届高三3月高考模拟考试】已知抛物线px y 22=()0>p ，ABC ∆的三个顶点都在抛物线上，O 为坐标原点，设ABC ∆三条边AC BC AB ,,的中点分别为Q N M ,,,且Q N M ,,的纵坐标分别为321,,y y y ，若直线AC BC AB ,,的斜率之和为1-，则321111y y y ++的值为 A 、p 21-B 、p 1-C 、 p 1D 、p21 7.【湖北省(华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 鄂南高中)八校2016届高三第二次联考】设12,F F 为椭圆22195x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为( )A ．514B ．513C ．49D ．598.【福建省泉州市2016届高三下学期3月质量检查】已知A ，B 为双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 右支上两点，O 为坐标原点，若OAB ∆是边长为c 的等边三角形，且222b a c +=，则双曲线C 的渐近线方程为 .9. 【重庆市巴蜀中学高2016级高三3月月考】已知抛物线x y 82=的准线过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点，且被双曲线截得的线段长为6，则双曲线的渐近线方程为_______.10.【重庆市巴蜀中学高2016级高三3月月考】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点分别为21,F F ，短轴两个端点为B A ,，且四边形B AF F 21是边长为2的正方形. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆的方程是2222b a y x +=+，过圆上任一点P 作椭圆C 的两条切线1l 与2l ，求证：21l l ⊥.11.【安徽省安庆市2016届高三下学期第二次模拟考试（二模）】（本小题满分12分）已知圆:M 220x y +-=的圆心是椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点,过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆M 相切． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）椭圆C 上有两点()11,A x y 、()22,B x y ,OA 、OB 斜率之积为14-,求2212x x +的值． 12.【湖北省(华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 鄂南高中)八校2016届高三第二次联考】（本题满分12分）已知抛物线22x py =上点P 处的切线方程为10x y --=．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设11(,)A x y 和22(,)B x y 为抛物线上的两个动点，其中12y y ≠且124y y +=，线段AB 的垂直平分线l 与y 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．13.【2016届高三江西师大附中、鹰潭一中联考】（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，右顶点(2,0)A 。
2016年高考数学总复习专题四圆锥曲线的综合及应用问题课件理
【规律方法】本题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等 基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学方 法，以及推理论证的能力．第(1)小题利用椭圆的标准方程及其 性质即可得出；第(2)小题的关键在于求点P的轨迹方程，设出 点B，C的坐标，利用三点共线即可得出坐标之间的关系，利 用导数的几何意义可得切线的斜率，再得出切线的方程，将交 点P的坐标代入即可得到交点P的轨迹方程．由|PF1|＋|PF2|＝ |Байду номын сангаасF1|＋|AF2|知，点P在椭圆C1上，又点P在直线y＝x－3上， 直线经过椭圆C1的内部一点(3,0)，则可判断出其交点个数．
例2：(2014年福建)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比 它到直线y＝－3的距离小2.
(1)求曲线Γ的方程； (2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分 别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A 作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动(点 P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？并证明你 的结论．
例3：(2013年广东广州一模)已知椭圆C1的中心在坐标原 点，两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，点A(2,3)在椭圆C1上， 过点A的直线l与抛物线C2：x2＝4y交于B，C两点，抛物线 C2在点B，C处的切线分别为l1，l2，且l1与l2交于点P.
(1)求椭圆C1的方程； (2)是否存在满足|PF1|＋|PF2|＝|AF1|＋|AF2|的点P？若存 在，指出这样的点P有几个(不必求出点P的坐标)；若不存在， 说明理由．
【规律方法】(1)解析几何中的定值问题是指某些几何量线 段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等的大小或某 些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而 变化，而始终是一个确定的值．
2016届高考数学二轮复习 高考大题专讲5 圆锥曲线的综合应用课件 文
yM 1 于是直线 OM 的斜率 kOM＝x ＝－2k， M 1 即 kOM· k＝－2. 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．
定点、 定值问题必然是在变化中所表现出来 的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量 积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的 量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类 问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系 等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
重点透析 难点突破
题型一 圆锥曲线中的最值与范围问题 求解圆锥曲线中的最值或范围问题的关键是建立关于求解某 个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．
(2015· 山东卷)平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 x2 y2 3 1 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的离心率为 ，且点 3， 在椭圆 C 上． a b 2 2 (1)求椭圆 C 的方程； x2 y2 (2)设椭圆 E：4a2＋4b2＝1，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y＝kx＋m 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. |OQ| ①求 |OP| 的值； ②求△ABQ 面积的最大值．
[解]
x2 y2 (1)由题意，椭圆 C 的标准方程为 4 ＋ 2 ＝1，
所以 a2＝4，b2＝2，从而 c2＝a2－b2＝2. 因此 a＝2，c＝ 2. c 2 故椭圆 C 的离心率 e＝a＝ 2 . (2)设点 A，B 的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中 x0≠0.
2y0 → → 因为 OA⊥OB， 所以OA· OB＝0， 即 tx0＋2y0＝0， 解得 t＝－ x .
解得 a＝2，b＝ 2.
高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线的综合问题(文视情况)[知识能否忆起]1．直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或 1＋1k 2|y 1－y 2|.[小题能否全取]1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 216＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( )A ．y 2－x 23＝1 B.y 23－x 2＝1C.34x 2－38y 2＝1D.34y 2－38x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，ca ＝2，c ＝2，得a ＝1，b ＝ 3.故双曲线方程为y 2－x 23＝1.2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．4．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，所以B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，则c 2＝2b 2，则c 2a 2＝23，故e ＝63.答案：635．已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________________．解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2x 2＋x 1y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x －y －7＝01.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．直线与圆锥曲线的位置关系典题导入[例1] (2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． [自主解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝21＋k 24＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |· d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1. 由题悟法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．以题试法1．(2012·信阳模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：选C 易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q (－2,0)，于是，可设过点Q (－2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(由题可知k 是存在的)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋2⇒k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，易知符合题意；当k ≠0时，其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0， 可解得－1≤k ≤1.最值与范围问题典题导入[例2] (2012·浙江高考)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧2＋c 2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， ① 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2. 因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km3＋4k 2.得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2， 设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝36·m －4212－m2.其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，2 3 ]，u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7时，u (m )取到最大值． 故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值． 综上，所求直线l 的方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.由题悟法1．解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法； (2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．2．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．以题试法2．(2012·东莞模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)上存在关于直线x ＋y ＝1对称的相异两点，则实数p 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 解析：选B 设抛物线上关于直线x ＋y ＝1对称的两点是M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，设直线MN 的方程为y ＝x ＋b .将y ＝x ＋b 代入抛物线方程，得x 2＋(2b －2p )x ＋b 2＝0，则x 1＋x 2＝2p －2b ，y 1＋y 2＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2p ，则MN 的中点P 的坐标为(p －b ，p )．因为点P 在直线x ＋y ＝1上，所以2p －b ＝1，即b ＝2p －1.又Δ＝(2b －2p )2－4b 2＝4p 2－8bp ＞0，将b ＝2p －1代入得4p 2－8p (2p －1)＞0，即3p 2－2p ＜0，解得0＜p ＜23.定点定值问题典题导入[例3] (2012·辽宁高考)如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．[自主解答] (1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．② 由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)． (2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2|·|y 2|， 故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2，从而y 21＋y 22＝b 2， 因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．由题悟法1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．以题试法3．(2012·山东省实验中学模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)及定点A (a ，b )，B (－a,0)，ab ≠0，b 2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM ，BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1，M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为________．解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2，由点A ，M ，M 1共线可知y 0－b y 202p－a＝y 1－y 0y 212p －y 202p，得y 1＝by 0－2pa y 0－b ，同理由点B ，M ，M 2共线得y 2＝2pa y 0.设(x ，y )是直线M 1M 2上的点，则y 2－y 1y 222p －y 212p ＝y 2－y y 222p－x ，即y 1y 2＝y (y 1＋y 2)－2px ，又y 1＝by 0－2pa y 0－b ，y 2＝2pay 0， 则(2px －by )y 02＋2pb (a －x )y 0＋2pa (by －2pa )＝0. 当x ＝a ，y ＝2pa b时上式恒成立，即定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2pa b .答案：⎝⎛⎭⎪⎫a ，2pa b1．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1PA u u u r ,·2PF u u u r,的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0解析：选A 设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，由双曲线方程得y 2＝3(x 2－1)．1PA u u u r ,·2PF u u u r ,＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋y 2－x －2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，1PA u u u r ,·2PF u u u r ,取得最小值－2.2．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B 设该抛物线焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p ＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．3．(2012·南昌联考)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作与x 轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M 、N (均在第一象限内)，若FM u u u u r ,＝4MN u u u u r,，则双曲线的离心率为( )A.54 B.53 C.35D.45解析：选B 由题意知F (c,0)，则易得M ，N 的纵坐标分别为b 2a ，bc a ，由FM u u u u r ,＝4MN u u u u r ,得b 2a ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a －b 2a ，即b c ＝45.又c 2＝a 2＋b 2，则e ＝c a ＝53. 4．已知椭圆x 225＋y 216＝1的焦点是F 1，F 2，如果椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，则下面结论正确的是( )A ．P 点有两个B ．P 点有四个C ．P 点不一定存在D ．P 点一定不存在解析：选D 设椭圆的基本量为a ，b ，c ，则a ＝5，b ＝4，c ＝3.以F 1F 2为直径构造圆，可知圆的半径r ＝c ＝3＜4＝b ，即圆与椭圆不可能有交点．5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足x 202＋y 20≤1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________．解析：当P 在原点处时，|PF 1|＋|PF 2|取得最小值2；当P 在椭圆上时，|PF 1|＋|PF 2|取得最大值22，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为[2,2 2 ]．答案：[2,2 2 ]6．(2013·长沙月考)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x 22＋y 2＝1，得3x 2＝2，∴x ＝±63， ∴A ⎝⎛⎭⎪⎫63，63，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，－63， ∴|AB |＝433.设点C (2cos θ，sin θ)，则点C 到AB 的距离d ＝|2cos θ－sin θ|2＝32·⎪⎪sin(θ－φ)⎪⎪≤32，∴S △ABC ＝12|AB |·d ≤12×433×32＝ 2.答案： 27．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝41－b 21＋b 22－41－2b21＋b2＝8b 41＋b22，解得b ＝22. 8．(2012·黄冈质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m,0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 点，使得|AC |＝|BC |？并说明理由．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧e ＝ca ＝22a ＋c ＝2＋1，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F (1,0)，∴0≤m ≤1. 假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k2k 2＋1.设AB 的中点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k22k 2＋1，－k 2k 2＋1.∵|AC |＝|BC |，∴CM ⊥AB ，即k CM ·k AB ＝－1，∴k2k 2＋1m －2k 22k 2＋1·k ＝－1，即(1－2m )k 2＝m . ∴当0≤m ＜12时，k ＝±m1－2m，即存在满足题意的直线l ； 当12≤m ≤1时，k 不存在，即不存在满足题意的直线l . 9．(2012·江西模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，直线y ＝x ＋6与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F 1，F 2为其左，右焦点，P 为椭圆C 上任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心为I ，且IG ∥F 1F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的垂直平分线过定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫16，0，求实数k 的取值范围．解：(1)设P (x 0，y 0)，x 0≠±a ，则G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 03，y 03. 又设I (x I ，y I )，∵IG ∥F 1F 2， ∴y I ＝y 03，∵|F 1F 2|＝2c ，∴S △F 1PF 2＝12·|F 1F 2|·|y 0|＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·| y 03| ，∴2c ·3＝2a ＋2c ，∴e ＝c a ＝12，又由题意知b ＝|6|1＋1，∴b ＝3，∴a ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由题意知Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，即m 2＜4k 2＋3，又x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，则y 1＋y 2＝6m 3＋4k2，∴线段AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.又线段AB 的垂直平分线l ′的方程为y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16，点P 在直线l ′上，∴3m 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2－16， ∴4k 2＋6km ＋3＝0，∴m ＝－16k (4k 2＋3)，∴4k 2＋3236k2＜4k 2＋3，∴k 2＞332，解得k ＞68或k ＜－68，∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－68∪⎝ ⎛⎭⎪⎫68，＋∞.1．(2012·长春模拟)已知点A (－1,0)，B (1,0)，动点M 的轨迹曲线C 满足∠AMB ＝2θ，|AM u u u u r|,·|BM u u u u r |,cos 2θ＝3，过点B 的直线交曲线C 于P ，Q 两点．(1)求|AM u u u u r |,＋|BM u u u u r|,的值，并写出曲线C 的方程；(2)求△APQ 的面积的最大值．解：(1)设M (x ，y )，在△MAB 中，|AB u u u r |,＝2，∠AMB ＝2θ，根据余弦定理得|AM u u u u r |,2＋|BM u u u u r |,2－2|AM u u u u r |,·|BM u u u u r |,cos 2θ＝|AB u u u r |,2＝4，即(|AM u u u u r |,＋|BM u u u u r |,)2－2|AM u u u u r |,·|BM u u u u r|,·(1＋cos 2θ)＝4，所以(|AM u u u u r |,＋|BM u u u u r |,)2－4|AM u u u u r |,| BM u u u u r |,·cos 2θ＝4.因为|AM u u u u r |,·|BM u u u u r |,cos 2θ＝3，所以(|AM u u u u r |,＋|BM u u u u r |,)2－4×3＝4，所以|AM u u u u r |,＋|BM u u u u r|,＝4.又|AM u u u u r |,＋|BM |,＝4＞2＝|AB u u u r |，因此点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(点M 在x 轴上也符合题意)，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)，则a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3. 所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1x 24＋y23＝1，消去x ，整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.①显然方程①的判别式Δ＝36m 2＋36(3m 2＋4)＞0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则△APQ 的面积S △APQ ＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝48×3m 2＋33m 2＋42.令t ＝3m 2＋3，则t ≥3，(y 1－y 2)2＝48t ＋1t＋2， 由于函数φ(t )＝t ＋1t在[3，＋∞)上是增函数，所以t ＋1t ≥103，当且仅当t ＝3m 2＋3＝3，即m ＝0时取等号，所以(y 1－y 2)2≤48103＋2＝9，即|y 1－y 2|的最大值为3，所以△APQ 的面积的最大值为3，此时直线PQ 的方程为x ＝1.2．(2012·郑州模拟)已知圆C 的圆心为C (m,0)，m ＜3，半径为5，圆C 与离心率e ＞12的椭圆E ：x2a2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的其中一个公共点为A (3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点． (1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究直线PF 1与圆C 能否相切？若能，设直线PF 1与椭圆E 相交于D ，B 两点，求△DBF 2的面积；若不能，请说明理由．解：(1)由已知可设圆C 的方程为(x －m )2＋y 2＝5(m ＜3)， 将点A 的坐标代入圆C 的方程中，得(3－m )2＋1＝5， 即(3－m )2＝4，解得m ＝1，或m ＝5. ∴m ＜3，∴m ＝1.∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2)直线PF 1能与圆C 相切，依题意设直线PF 1的斜率为k ，则直线PF 1的方程为y ＝k (x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0， 若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5.∴4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112或k ＝12.当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为－4，∴c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0)． ∴由椭圆的定义得： 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝3＋42＋12＋3－42＋12＝52＋2＝6 2.∴a ＝32，即a 2＝18，∴e ＝432＝223＞12，满足题意．故直线PF 1能与圆C 相切．直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，把直线PF 1的方程代入椭圆E 的方程并化简得，13y 2－16y －2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝1613，y 1y 2＝－213，故S △DBF 2＝4|y 1－y 2|＝4y 1＋y 22－4y 1y 2＝241013.1．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,2)C ．(3,2)D ．(2,4)解析：选C 依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1消去y得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)．2．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多1个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选B 由题意得4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜4，则点(m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆x 29＋y 24＝1的内部．3．(2012·深圳模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM u u u r ,·TN u u u r,的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：|OR |·|OS |为定值．解：(1)依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32， ∴c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1＞0. 由于点M 在椭圆C 上，∴y 21＝1－x 214.(*)由已知T (－2,0)，则TM u u u r ,＝(x 1＋2，y 1)，TN u u u r,＝(x 1＋2，－y 1)， ∴TM u u u r ,·TN u u u r ,＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝54x 21＋4x 1＋3＝54⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋852－15.由于－2＜x 1＜2，故当x 1＝－85时，TM u u u r ,·TN u u u r ,取得最小值－15.把x 1＝－85代入(*)式，得y 1＝35，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，35，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325.故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1325.(3)设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)， 令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21.(**)又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)， 代入(**)式， 得x R ·x S ＝41－y 21y 20－41－y 20y 21y 20－y 21＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20－y 21y 20－y 21＝4. 所以|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．平面解析几何(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012·佛山模拟)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意得a ＋2＝a ＋2a，解得a ＝－2或a ＝1. 2．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 设P (x P,1)，由题意及中点坐标公式得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5，即P (－5,1)，所以k ＝－13. 3．(2012·长春模拟)已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：选A AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－－1]2＋－1－12＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.4．(2012·福建高考)已知双曲线x 24－y 2b2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3D ．5解析：选A ∵抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为(3,0)，故双曲线x 24－y 2b2＝1的右焦点为(3,0)，即c ＝3，故32＝4＋b 2，∴b 2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±52x ， ∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52×31＋54＝ 5.5．(2012·郑州模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为( )A.98B.53C.324D.54解析：选B 依题意得，c ＋b 2＝77＋3×2c ，即b ＝45c (其中c 是双曲线的半焦距)，a ＝c 2－b 2＝35c ，则c a ＝53，因此该双曲线的离心率等于53. 6．设双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，左，右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点的位置是( )A ．在线段MN 的内部B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部C ．点N 或点MD ．以上三种情况都有可能解析：选C 若P 在右支上，并设内切圆与PF 1，PF 2的切点分别为A ，B ，则|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝(|PA |＋|AF 1|)－(|PB |＋|BF 2|)＝|AF 1|－|BF 2|.所以N 为切点，同理P 在左支上时，M 为切点．7．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1, 3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0解析：选D 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，所以|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33. 所以切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 8．(2012·新课标全国卷)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4D ．8解析：选C 抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a ＞0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.9．(2012·潍坊适应性训练)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则|P F 2|＝|F 1F 2|，则1PF u u u r ,·2PF u u u r,等于( )A ．24B ．48C ．50D ．56解析：选C 由已知得|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，根据双曲线的定义可得|PF 1|＝10，在△F 1PF 2中，根据余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝56，所以1PF u u u r ,·2PF u u u r ,＝10×6×56＝50.10．(2012·南昌模拟)已知△ABC 外接圆半径R ＝1433，且∠ABC ＝120°，BC ＝10，边BC 在x 轴上且y 轴垂直平分BC 边，则过点A 且以B ，C 为焦点的双曲线方程为( )A.x 275－y 2100＝1 B.x 2100－y 275＝1 C.x 29－y 216＝1D.x 216－y 29＝1 解析：选D ∵sin ∠BAC ＝BC 2R ＝5314，∴cos ∠BAC ＝1114，|AC |＝2R sin ∠ABC ＝2×1433×32＝14，sin ∠ACB ＝sin(60°－∠BAC )＝sin 60°cos∠BAC －cos 60°sin∠BAC ＝32×1114－12×5314＝3314， ∴|AB |＝2R sin ∠ACB ＝2×1433×3314＝6，∴2a ＝||AC |－|AB ||＝14－6＝8，∴a ＝4，又c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， ∴所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.11．(2012·乌鲁木齐模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P ，Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( )A ．2± 3B ．2＋ 3 C.3±1D.3－1解析：选A 依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2)．由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p2＝y 222p ＋p 2，所以y 21＝y 22，所以y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，y 1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2± 3.12．已知中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为4的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．32或4 2B ．26或27C ．25或27D.5或7解析：选C 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n 且m ，n ＞0)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立， 消去x 得(3m ＋n )y 2＋83my ＋16m －1＝0，由Δ＝0得3m ＋n ＝16mn ，即3n ＋1m＝16，①又c ＝2，即1m －1n＝±4，②由①②联立得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝17n ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝15，故椭圆的长轴长为27或2 5.二、填空题(本题有4小题，每小题5分，共20分)13．(2012·青岛模拟)已知两直线l 1：x ＋y sin θ－1＝0和l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，当l 1⊥l 2时，θ＝________.解析：l 1⊥l 2的充要条件是2sin θ＋sin θ＝0，即sin θ＝0，所以θ＝k π(k ∈Z )．所以当θ＝k π(k ∈Z )时，l 1⊥l 2.答案：k π(k ∈Z )14．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，A ，B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点，O 是坐标原点，OP ∥AB ，PF 1⊥x 轴，|F 1A |＝10＋5，则此椭圆的方程是______________________．解析：由于直线AB 的斜率为－b a ，故直线OP 的斜率为－b a ，直线OP 的方程为y ＝－b ax .与椭圆方程联立得x 2a 2＋x 2a 2＝1，解得x ＝±22a .根据PF 1⊥x 轴，取x ＝－22a ，从而－22a ＝－c ，即a ＝2c .又|F 1A |＝a＋c ＝10＋5，故 2c ＋c ＝10＋5，解得c ＝5，从而a ＝10.所以所求的椭圆方程为x 210＋y 25＝1.答案：x 210＋y 25＝115．(2012·陕西高考)右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，即x ＝±6，所以水面宽为2 6.答案：2 616．(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为3，即1m 2＋n2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，所以|mn |≤16，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，所以△AOB 的面积为12|mn |≥3，最小值为3. 答案：3三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(10分)求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以l 1与l 2的交点为(1,2)，设所求直线y －2＝k (x －1)(由题可知k 存在)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2， 解得k ＝0或k ＝43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.18．(12分)(2012·南昌模拟)已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解：设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －1，x 2＋y 2＝2得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0.因为点P的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理可得x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，所以k AB ＝y B －y Ax B －x A＝－k x B －1－kx A －1x B －x A＝2k －k x B ＋x Ax B －x A＝1＝k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行．19．(12分)(2012·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．解：(1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64.(2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2b 2＝1，消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a,0)及y 0＝kx 0， 得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 2＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·a 2b2＋4.由(1)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝± 5.20．(12分)(2012·河南模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，短轴的一个端点为M (0,1)，直线l ：y ＝kx －13与椭圆相交于不同的两点A ，B .(1)若|AB |＝4269，求k 的值；(2)求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M . 解：(1)由题意知c a ＝22，b ＝1. 由a 2＝b 2＋c 2可得c ＝b ＝1，a ＝2， ∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0.Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－169＝16k 2＋649＞0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k32k 2＋1，x 1x 2＝－1692k 2＋1. ∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝41＋k 29k 2＋432k 2＋1＝4269， 化简得23k 4－13k 2－10＝0，即(k 2－1)(23k 2＋10)＝0， 解得k ＝±1.(2)∵MA u u u r ,＝(x 1，y 1－1)，MB u u u r,＝(x 2，y 2－1)， ∴MA u u u r ,·MB u u u r,＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)，＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝－161＋k292k 2＋1－16k 292k 2＋1＋169＝0.∴不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M .21． (2012·广州模拟)设椭圆M ：x 2a 2＋y 22＝1(a ＞2)的右焦点为F 1，直线l ：x ＝a 2a 2－2与x 轴交于点A ，若1OF u u u r ,＋21AF u u u u r,＝0(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆M 的方程；(2)设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的任意一条直径(E ，F 为直径的两个端点)，求PE u u u r ,·PF u u u r,的最大值．解：(1)由题设知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2，0，F 1(a 2－2，0)，由1OF u u u r ,＋21AF u u u u r ,＝0，得a 2－2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2－a 2－2， 解得a 2＝6.所以椭圆M 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)设圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的圆心为N ，则PE u u u r ,·PF u u u r ,＝(NE u u u r ,－NP u u u r ,)·(NF u u u r ,－NP u u u r ,)＝(－NF u u u r ,－NP u u u r ,)·(NF u u u r ,－NP u u u r ,) ＝NP u u u r ,2－NF u u u r ,2 ＝NP u u u r ,2－1.从而将求PE u u u r ,·PF u u u r ,的最大值转化为求NP ―→,2的最大值．因为P 是椭圆M 上的任意一点，设P (x 0，y 0)， 所以x 206＋y 202＝1，即x 20＝6－3y 20.因为点N (0,2)，所以NP u u u r ,2＝x 20＋(y 0－2)2＝－2(y 0＋1)2＋12.因为y 0∈[－2， 2]，所以当y 0＝－1时，NP u u u r ,2取得最大值12.所以PE u u u r ,·PF u u u r,的最大值为11.22． (2012·湖北模拟)如图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆的一部分．曲线C 2是以O 为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线C 1和C 2的交点且∠AF 2F 1为钝角，若|AF 1|＝72，|AF 2|＝52. (1)求曲线C 1和C 2的方程；(2)设点C 是C 2上一点，若|CF 1|＝ 2|CF 2|，求△CF 1F 2的面积．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝72＋52＝6，得a ＝3.设A (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则(x ＋c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722，(x －c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，两式相减得xc ＝32.由抛物线的定义可知|AF 2|＝x ＋c ＝52，则c ＝1，x ＝32或x ＝1，c ＝32.又∠AF 2F 1为钝角，则x ＝1，c ＝32不合题意，舍去．当c ＝1时，b ＝22，所以曲线C 1的方程为x 29＋y 28＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－3≤x ≤32，曲线C 2的方程为y 2＝4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤32.(2)过点F 1作直线l 垂直于x 轴，过点C 作CC 1⊥l 于点C 1，依题意知|CC 1|＝|CF 2|. 在Rt △CC 1F 1中，|CF 1|＝ 2|CF 2|＝2|CC 1|，所以∠C 1CF 1＝45°， 所以∠CF 1F 2＝∠C 1CF 1＝45°.在△CF 1F 2中，设|CF 2|＝r ，则|CF 1|＝2r ，|F 1F 2|＝2. 由余弦定理得22＋(2r )2－2×2×2r cos 45°＝r 2， 解得r ＝2，所以△CF 1F 2的面积S △CF 1F 2＝12|F 1F 2|·|CF 1|sin 45°＝12×2×22sin 45°＝2.。
(完整)文科圆锥曲线大题复习
（完整）文科圆锥曲线大题复习高三数学圆锥曲线专题一．知识要点1、直线的斜率公式：k = tan a= 土二4（x丰x）（a为直线的倾斜角）x - x i 221两种常用的直线方程：（1）点斜式（2）斜截式2、直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种，其判断方法有：①几何法（常用方法）若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r,则：d = r o直线与圆相切d < r o直线与圆相交d > r o直线与圆相离②代数法由直线方程与圆的方程联立方程组，消元得到一个一元二次方程，则：A = 0o直线与圆相切A< 0 o直线与圆相离A> 0 o直线与圆相交3、圆的弦长若圆心到弦的距离为d，圆的半径为r,弦长是/，则l = 2工；r2 —d 2 .4、圆锥曲线的定义（包括长轴,短轴，实轴，虚轴,离心率，双曲线的渐近线等）（1）椭圆：（2）双曲线:（3）抛物线：x2 y2 x2 y25、点P（x , y）和椭圆——+ — = K a > b > 0）的关系：（1）点P（x , y）在椭圆外o -0- +与> 1 ；（2）点P（x , y）0 0 a2 b2 0 0 a2 b2 0 0在椭圆上o x0- +，=1；⑶点P（x , y）在椭圆内o x e- +，< 1a2 b2 0 0a2 b26、直线与圆锥曲线的位置关系：由直线方程与圆锥曲线联立方程组，消元得到一个一元二次方程，则：（1）相交：A> 0 o直线与椭圆相交；A> 0 n直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有A> 0 , 当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故A> 0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；A> 0 n直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有A> 0，当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点，故A> 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
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设 A(x 1 ,y1)， B(x 2 ,y 2)，则：
①焦点弦长 | AB | x1
x2
2p p或 | AB | sin 2 ( 为 AB的倾斜角 )
② x1 x2
p2 ， y1 y2
- p2
4
③1
12
p
，其中 |AF|叫做焦半径， | FA | x1
| FA | | FB | p
2
④焦点弦长最小值为
锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方
程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求
( 过定点、平行弦 ) 弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须
提醒的是“点差法”具有 不等价性，即要考虑判别式 Δ 是否为正数．
一条规律
“联立方程 求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 直线与椭圆的相交弦长问题：
定点定值的探索问题等．考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力．同时着重考查学生的分析
问题与解决综合问题的能力，是高考中区分度较大的题目
.
预测：本节内容仍是 2016 年高考的热点之一，题型仍以解答题为主，难度可能会偏难．内容会围绕直线与
圆锥曲线的位置关系，展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查．设计出探究性、存在性问题也属
【考点剖析】
1. 最新考试说明： [ 来源: 学。科。网]
1. 了解圆锥曲线的实际背景，了解在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2．理解直线与圆锥曲线的位置关系．
[ 来源 :]
3．理解数形结合思想的应用 .
2. 命题方向预测：
直线与圆锥曲线的综合考查，主要涉及曲线方程的求法、位置关系的判定及应用、弦长问题、最值问题、
（ I ）若点 C 的纵坐标为 2，求 MN ；
2
（ II ）若 AF
AM AN ，求圆 C的半径 .
【方法总结】
1. 直线与圆锥曲线的关系是解析几何中一类重要问题，解题时注意应用根与系数的关系及“设而不求”的
技巧．研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个
1. 【 2015 高考安徽，文 20】设椭圆 E 的方程为 x2 a2
y2 b2
1(a
b 0), 点 O 为坐标原点， 点 A 的坐标为 ( a,0) ,
点 B 的坐标为（ 0， b） ,点 M 在线段 AB 上，满足 BM
2 MA , 直线 OM 的斜率为
5
.
10
（Ⅰ）求 E 的离心率 e;
（Ⅱ）设点 C 的坐标为（ 0， -b） ,N 为线段 AC 的中点，证明： MN AB.
2. 【 2015 高考北京， 文 20】（本小题满分 14 分）已知椭圆 C : x2 3 y2 3，过点 D 1,0 且不过点 2,1
的直线与椭圆 C 交于 ，
两点，直线
与直线 x 3 交于点 ．
（ I ）求椭圆 C 的离心率；
（ II ）若 垂直于 x 轴，求直线
的斜率；
（ III ）试判断直线
2p.根据 | AB |
2p sin 2
可见，当
短，最短值为 2p.
求定值、最值等圆锥曲线综合问题要四重视
为 时，即 AB 垂直于 x 轴时，弦 AB 的长最 2
(1) 重视定义在解题中的作用；
(2) 重视平面几何知识在解题中的作用；
(3) 重视根与系数的关系在解题中的作用；
(4) 重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用．
）
A． 2
B． 3
（ 2）与解三角形交汇
17 2
C．
8
D ． 10
设
F1, F2 是椭圆
x2 m2
y2 n2
1(m 0, n
0) 的两个焦点， P 为椭圆上任意一点，当
F1PF2 取最大值时的
余弦值为
1
．则（Ⅰ）椭圆的离心率为
49
； [ 来源:]
（Ⅱ）若椭圆上存在一点
A , 使 OA OF2 F2 A 0 ( O 为坐标原点 ) ，且 AF1
与直线 D 的位置关系，并说明理由．
y2 x2 3. 【 2014 高考陕西第 20 题】 如图，曲线 C 由上半椭圆 C1 : a2 b2 1(a b 0, y 0) 和部分抛物线
C2 : y
x2 1( y
0) 连接而成， C1, C2 的公共点为 A, B ，其中 C1 的离心率为
3
.
2
（ 1）求 a, b 的值；
数，要注意 消元后方程的二次项系数是否含参，若含参需讨论，同时充分利用根与系数的关系进行整体运
求参数的取值范围
根据已知条件建立等式或不等关系，再求参数的取值范围
．
4. 考点交汇展示： （ 1）与基本不等式的应用交汇 【 2014 四川高考理第 10 题】 已知 F 是抛物线 y2 x 的焦点，点 A ， B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，
OA OB 2 （其中 O 为坐标原点），则 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（
AF2 , 则 向量交汇
x2 y2 过双曲线 a2 b 2 1 ( a 0, b 0) 的左焦点 F 作直线交双曲线的两条渐近线与
A,B 两点，若 FA 2FB ，
OB OA (OB) 2 , 则双曲线的离心率为（
）
A. 2 B.
3 C. 2
D. 5
【考点分类】
热点一 直线与圆锥曲线的位置关系
（ 2）过点 B 的直线 l 与 C1 ,C2 分别交于 P, Q （均异于点 A, B ），若 AP AQ ，求直线 l 的方程 .
4. 如图， 抛物线 E : y2 4x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A. 点 C在抛物线 E 上，以 C 为圆心， CO 为
半径作圆，设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M， N.
正常． 分值 12～ 16 分．会更加注重知识间的联系与综合， 更加注重对综合应用知识解决问题的能力的考查，
更加注重对数学思想方法尤其是函数思想、数形结合思想及分类讨论思想的考查
.
3. 名师二级结论：
一种方法 点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆
弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点 M ( x1，y1 )， N (x2，y2)，则弦长公式为
MN ＝
(1 k2 )[( x1
x2 )2
4x1x2] 或 MN ＝
1 (1 k2 )[(y 1
y2 )2
4 y1 y2 ] ．
直线与抛物线的相交弦长问题：
已知过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点 .