2.3幂函数导学案

2 ，则 f(4)＝________. 2
1 2．如图所示，曲线是幂函数 y＝x 在第一象限内的图象，已知 α 分别取－1,1， ，2 四个 2 值，则相应图象依次为______________．
α
3．写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： － (1)f(x)＝x2＋x 2；
1
(2)f(x)＝ x 2 x
【幂函数的概念】 (1)如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 w 千克，那么她需要支付 p 这里 是 的函数． ，这里 ，这里 是 是
(2)如果正方形的边长为 a，那么正方形的面积 S (3)如果立方体的边长为 a，那么立方体的体积 V
的函数． 的函数． ，
(4)如果一个正方形场地的面积为 S，那么这个正方形的边长 a＝ 这里 是 的函数．
－ － －
1 2
1 2
训练 3 比较下列各组数的大小：
(1) 8

7 8
和－ ( ) 8 ；(2)(－2)
1 9
7
－3
和(－2.5) 3；
－
(3)1.1
－0.1
和 1.2
－0.1
；(4) 4.1 ， (3.8)
2 5

2 3
和 (1.9) .
3 5
小结 比较两个幂的大小要仔细观察它们的异同点，指数相同底数不同时，要利用幂函 数的单调性比较，底数相同而指数不同时，要利用指数函数的单调性比较，指数与底数 都不同时，要通过增加一个起桥梁作用的数进行比较． 【当堂训练】 1．已知幂函数 f(x)＝xα 的图象经过点2，
1
yx
定义域 值域 奇偶性
y x2
y x3
y x2
y x 1
单调性
定点 例 2 证明：幂函数 f(x)＝ x在[0，＋∞)上是增函数．
训练 2 证明幂函数 f(x)＝x3 在定义域上是增函数．
1
ห้องสมุดไป่ตู้1.5 2
例 3 比较大小： (1) 1.5 ， 1.7 ；(2)(－1.2)3，(－1.25)3；(3)5.25 1，5.26 1，5.26 2.
例 1 写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性： (1) y x3 ；(2) y x 2
1
；(3 y x 2 .
训练 1
已知 y (m2 2m 2) xm
2
1
2n 3 是定义域为 R 的幂函数，求 m，n 的值．
求幂函数的定义域时，通常要对幂的指数做变形，把负指数变成正指数，把分数指数变 成根式的形式，这样易于看出自变量的受限程度． 【幂函数的图象和性质】 如下图在同一坐标系内作出函数 y x ； y x2 ； y x3 ； y x 2 ； y x 1 的图象， 思考下列问题：
是常数．
【注意】只有满足函数解析式右边的系数为 1 ，底数为自变量 x ，指数为常数这三个条 x 4 件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝ 2 幂函数．
问题 4 观察下列两组函数，说出它们的共同点与不同点： － (1)y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝x 1； 1 (2)y＝2x，y＝3x，y＝( )x，y＝0.3x. 2 共同点：均是幂的形式． 不同点：第一组： 是自变量，第二组： 是自变量．
(5)如果某人 t s 内骑车行进了 1 km，那么他骑车的平均速度 v＝ 这里 问题 1 是 的函数．
km/s，
上面 5 个问题中函数的对应法则分别是什么？
问题 2 上面 5 个问题中的 5 个函数有什么共同特征？ 上面 5 个问题中涉及到的函数，都是形如：y＝xα，其中 是自变量， 【幂函数定义】 一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量， α 是常数．
鸡西市第十九中学学案
2014 年（ ）月（ ）日 班级 姓名
2.3 学习 目标 重点 难点
幂函数
1
1．通过具体实例了解 幂函数的概念 ； 2．会画幂函数 y x ， y x2 ， y x3 ， y x 1 ， y x 2 的图象，并通过其 图象 了解幂函数的图象和性质 ； 会用常见的幂函数的性质解决 比较大小 等问题． 类比研究 一般函数、指数函数、对数函数的方法 元，
；当 0<α<1 时，幂函数的图象 函数．
③α<0 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是
在第一象限内，当 x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴， 当 x 趋于＋∞时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴；
④幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线 y＝x 对称； ⑤在第一象限，作直线 x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂 指数按从小到大的顺序排列． 问题 2 仔细观察这五个函数的图象，你能填写表格的内容吗？

1 2
1
1
(3)f(x)＝ x 2 3( x) 4
y
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6
1
y
6 5 4 3 2 1
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3 -4 -5 -6
1 2 3
4 5 6
x
问题 1 你能从这五个具体的函数图象中，发现什么规律？ ①所有的幂函数在( ， )上都有定义，并且图象都过定点( ，并且在区间[0，＋∞)上是 , 函数． ； )； ②α>0 时，幂函数的图象通过 特别地，当 α>1 时，幂函数的图象