幂函数导学案
幂函数导学案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
幂函数导学案教学目标：1、掌握幂函数的定义和特点；2、掌握幂函数的图象绘制方法和性质分析；3、体会由特殊到一般的数学研究方法和数学结合的数学思想。
教学重点：从5个具体函数中归纳幂函数性质 教学难点：从幂函数图象中概括性质特征。
教学过程：一、幂函数定义研究1-2132x =y x =y x =y x =y x =y ，，，，问题1：在这5个函数中，有哪些是我们已经学过的函数，有哪些是我们不熟悉的函数？问题2：从自变量、函数值及解析式观察这5个函数，都有什么共同特征？定义：________________________________________________________________ 二、幂函数图象和性质研究问题3：现在我们已经学习了幂函数的定义，我们应该怎么研究幂函数的图象和性质？ 问题4：在高中阶段，我们只研究这5个幂函数的图象和性质，结合我们在前几节所学的知识，我们应该研究它们的图象和哪些性质呢？ 三、课堂探究： 探究任务1：画出1-2132x =y x =y x =y x =y x =y ，，，，的图象和性质，进行小组探究，并展示探究成果。
任务2：使用ggb 画出5个函数的图象。
任务3：观察5个函数图象的精确图象，并完成下表。
y=x 2y x =3x y =21x y =1-=x y定义域 值域 奇偶性 单调性任务4：根据以上归纳，猜想幂函数 ax y = 的一些性质：（1）a>0时 （2）a<0时任务5：观察幂函数)0()0(<=>=a x y a x y aa 和 的动态图象变化，汇总幂函数的性质。
四、探究成果：经过本节课，你有什么收获？。
高中数学《幂函数》导学案
2.3 幂函数教学目标：1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12 的图象，掌握它们的性质3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小． 教学重点：1.掌握幂函数图象并掌握它们的性质2.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小 教学难点：幂函数图象及其性质教学过程；预习教材P77－P78，完成下面问题： 知识点1 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x －45是幂函数．( )(2)函数y ＝2－x 是幂函数．( )(3)函数y ＝－x 12 是幂函数．( )(1)√ 函数y ＝x －45 符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)× 幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数；(3)× 幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 12 不是幂函数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．【训练1】 若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________．答案 13题型二 幂函数的图象及应用【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)点(2，2)与点⎝⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，分别有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 答案 （1）B(2)解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； ②当x ＝1时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12 或y ＝x 3)来判断．【训练2】 如图是函数y ＝x m n(m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn >1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn >1答案 C典例迁移题型三 利用幂函数的性质比较大小【例3】 比较下列各组数中两个数的大小：(1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3；(2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1. 解 (1)因为幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3. (2)因为幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，所以⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. 【迁移1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫13－0.3”，则二者的大小关系如何？解 因为⎝⎛⎭⎫13－0.3＝30.3，而y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25<3，所以⎝⎛⎭⎫250.3<30.3.即⎝⎛⎭⎫250.3<⎝⎛⎭⎫13－0.3. 【迁移2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3与0.325 ”，则二者的大小关系如何？解 因为y 1＝⎝⎛⎭⎫25x 在(0，＋∞)为上减函数，又0.3<25，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫2525 ，又因为函数y 2＝x 25 在(0，＋∞)上为增函数，且25>0.3，所以⎝⎛⎭⎫2525 >0.325 ，所以⎝⎛⎭⎫250.3>0.325 . 规律方法 比较幂值大小的三种基本方法【训练3】 比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫230.5与⎝⎛⎭⎫350.5；(2)－3.143与－π3； (3)⎝⎛⎭⎫1234 与⎝⎛⎭⎫3412.解 (1)∵y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35，∴⎝⎛⎭⎫230.5＞⎝⎛⎭⎫350.5.(2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(3)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x是R 上的减函数，∴⎝⎛⎭⎫1234 ＜⎝⎛⎭⎫1212 . y ＝x 12是[0，＋∞)上的增函数，∴⎝⎛⎭⎫3412 ＞⎝⎛⎭⎫1212 .∴⎝⎛⎭⎫3412 ＞⎝⎛⎭⎫1234 .课堂达标1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A ．14B ．4C ．22D ． 2答案 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13B ．y ＝x －12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23答案 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A4．函数y ＝x 13 的图象是( )答案 B5．比较下列各组数的大小：(1)－8－78 与－⎝⎛⎭⎫1978 ；(2)⎝⎛⎭⎫－23－23 与⎝⎛⎭⎫－π6－23 .解 (1)－8－78 ＝－⎝⎛⎭⎫1878 ，函数y ＝x 78 在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝⎛⎭⎫1878 >⎝⎛⎭⎫1978 .从而－8－78 <－⎝⎛⎭⎫1978 . (2)⎝⎛⎭⎫－23 －23 ＝⎝⎛⎭⎫23－23 ＝⎝⎛⎭⎫46－23 ，⎝⎛⎭⎫－π6－23 ＝⎝⎛⎭⎫π6－23 .因为函数y ＝x －23 在(0，＋∞)上为减函数，又46>π6，所以⎝⎛⎭⎫－23－23 <⎝⎛⎭⎫－π6－23 .7．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m 5<(5－2a )－m5的a 的取值范围．能力提升8．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1,0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1答案 B9．如图，函数y ＝x 23的图象是( )答案 D10．已知幂函数f (x )＝x 12 ，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________．答案 (3,5]11．已知a ＝x α，b ＝x a2 ，c ＝x 1a，x ∈(0,1)，α∈(0,1)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <a <b 12．已知幂函数y ＝f (x )＝x－2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域．13．(选做题)已知函数f (x )＝x 1-a 3的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，求最小自然数α. 教学反思。
《幂函数》导学案
y x-3-2-1-3-2-143432121《幂函数》导学案【学习目标】1.了解幂函数的形式，会判断是否是幂函数；2、了解幂函数的图象与性质；3、体会幂函数的变化规律并能进行简单的应用；【课前导学】阅读课本P77～78的内容，找出疑惑之处，完成新知学习。
问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？（1）边长为a 的正方形面积2S a =，这里S 是a 的函数；（2）面积为S 的正方形边长12a S =，这里a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3V a =，这里V 是a 的函数；（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数.以上5个函数解析式的共同特征是____________________________________________。
定义：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数.【预习自测】1、判断下列函数哪些是幂函数，其中是幂函数的序号是 ；①1y x =；②22y x =；③3y x x =-；④1y =。
2、已知幂函数()y f x =的图象过点2)，试求出这个函数的解析式；【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示探究任务：幂函数的图象与性质探究一：作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）2y x =；（3）3y x =；（4）12y x =；（5）1y x -=． 从图象分析出幂函数所具有的性质.y x =2y x = 3y x =12y x =1y x -=定义域 值域 奇偶性单调性定点探究二：证明幂函数()f x x =∞[0，+）上是增函数。
【总结提升】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来【课后作业】1、下列所给的函数中，是幂函数的是（ ） A 、3y x =- B 、3y x -= C 、32y x = D 、31y x =-2、下列命题中正确的是（ ）A 、当0α=时，函数y x α=是一条直线；B 、幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1)C 、若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=是定义域上的增函数D 、幂函数的图象不可能出现在第四象限 3、若幂函数()f x x α=在(0,)+∞上是增函数，则（ ）.A ．α>0 B ．α<0 C ．α=0 D ．不能确定4、 若11221.1,0.9a b -==，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a <l<bB ．1<a <bC ．b <l<aD ．1<b <a5、已知幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4，试求出这个函数的解析式；并作出图象，判断奇偶性、单调性。
幂函数
【幂函数】导学案【学习目标】1.了解幂函数的概念2.结合基本的幂函数，了解它们的变化情况3.理解幂函数的有关性质，并会运用 【重点难点】重点：幂函数的图像及其性质 难点：幂函数的性质的运用 【知识链接】前面我们学习了指数函数和对数函数这两类很具有价值的特殊函数的图像和性质，今天我们即将学习的幂函数和这两类函数一样也具有研究和使用的价值的另一类特殊的函数 【学习过程】阅读课本第77页的内容，尝试回答下列问题：问题1：指出①P=w ②S=2a ③V=3a ④a=21S ⑤V=1-t 这些函数具有什么共同点？问题2：如何定义幂函数，你能尝试总结幂函数的特点吗？问题3：如何去判断一个函数是幂函数?你能举几个例子吗？问题4：尝试说出幂函数和指数函数的区别？问题5：请在同一平面直角坐标系内作出幂函y=x ,y=2x ,y=3x ,y=21x ,y=1-x 的图像。
问题6：通过上述的问题5中的几个幂函数图像，总结它们的特征： ①所有的图像过点＿＿＿ ，这些函数在第＿＿＿象限内均有图像②幂函数＿＿＿＿＿＿＿＿关于y 轴对称，为什么？幂函数＿＿＿＿＿＿＿关于原点对称，为什么？幂函数＿＿＿＿＿＿既不关于y 轴对称也不关于原点对称，为什么？③幂函数＿＿＿＿＿＿均过原点，幂函数＿＿＿＿＿＿＿不过原点，即如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是＿＿＿＿问题7：通过函数图像的研究，总结幂函数的性质，完成下列表格：问题8：从上述的研究中可知幂函数的y=x α的图像取决于＿＿＿＿，其单调性取决于＿问题9：幂函数的y=x α的指数α=qp 时，且p 与q 互质尝试讨论其大致的函数图像阅读课本第78页例一尝试回答下列问题：问题1：幂函数x x f =)(为什么是幂函数？为什么在证明单调性时要强调在［0 ， ＋∞）问题2：用定义法证明函数单调性的步骤是什么？问题3：这步化简过程x1－x2=x x x x x x212121))((++-=xx x x 2121+-用的是什么原理？【基础自测】A1.已知函数122)2()(-++=m m xm m x f ，则m 为何值时，)(x f 是幂函数？B2.下列命题正确的为＿＿＿＿① 函数的图像都经过点（1，1）和点（0，0） ② 幂函数的图像不可能在第四象限 ③ n=0,函数y=x n 的图像是一条直线 ④ ④幂函数y=x n 当n ＞0时是增函数⑤幂函数y=x n 当n ＜0时在第一象限内函数值随x 的增大而减小 C4.当0＜a ＜b 时，下列不等式正确的是：（ ）并说出理由A. )1(1a b-> )1(a b - B. )1(a a +> )1(b b+ C. )1(a b-> )1(2a b- D. )1(a a -> )1(b b- B3.函数x x x f 2)(2-=的单调递增区间＿＿＿＿＿＿＿＿D4.已知m 为非负整数，函数232222)2()(-+-=m m xm m x f 在（0. +∞）上是增函数，是判断)(x f 的奇偶性【小结】【课堂检测】A1.比较大小并说明理由①95.031 与96.031 ②95.053-与95.032- ③)32(43与)43(32B2.若)1(31+-a <)23(31a --试求a 的取值范围【课后反思】。
幂函数及其性质导学案
幂函数及其性质导学案（一）创设情景，引入新课请同学们观察以下几个具体问题，分析归纳这些问题中的函数有什么共同特征？问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜ω千克，那么她需要支付P ω=元，这里P 是ω的函数；问题2：如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积2S a =，这里S 是a 的函数；问题3：如果立方体的边长为a ，那么立方体的体积3V a =，这里V 是a 的函数；问题4：如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长12a S =，这里a 是S 的函数；问题5：如果某人t s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数。
结论：这几个函数解析式的共同特征是： 。
（二）讲授新课 1、幂函数的概念（1）提问：如果设自变量为x ，函数值为y ，则得到函数分别是什么？它们的一般式是什么？即：y x =、2y x =、3y x =、1y x -=、12y x = 它们的一般式为：y x α=幂函数的定义：--------------------------------------------------------- 。
（2）合作探究：幂函数与指数函数有什么区别？ 结论：从它们的解析式来看有如下区别： 幂函数—— -------------------------------------。
指数函数——指数是自变量、底数是常数。
2、几个常见幂函数的图象和性质（1）请同学们在同一坐标系内画出幂函数y x =、2y x =、3y x =、1y x -=、12y x =的图象。
（2）合作探究：观察函数y x =、2y x =、3y x =、1y x -=、12y x =的图象，将发现的结论填入表格内。
（3）合作探究：①根据上表内容并结合图象，试总结函数y x =、2y x =、3y x =、1y x -=、12y x =的共同性质；———————————————————————。
高中数学 2.3 幂函数导学案 新人教A版必修1
《2.3 幂函数》导学案【学习目标】其中2、3是重点和难点1.通过具体实例了解幂函数的图象和性质，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。
2.画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。
3.从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质，能利用性质解决数学问题。
【课前导学】预习教材第77-78页，找出疑惑之处，完成新知学习。
1.幂函数的概念：形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数。
2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点 ； （2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 ； （3）当2,2α=-时，幂函数是 ；当11,1,3,3α=-时，幂函数是 。
【预习自测】首先完成教材上P79第1、2题，然后做自测题。
1、幂函数()f x的图象过点，则()f x 的解析式是 __ 。
2、下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）A ．3x y -=B ．3-=x yC ．32x y =D ．13-=x y 3、如图所示，幂函数αx y =在第一象限的图象， 比较1,,,,,04321αααα的大小（ ） A ．102431<<<<<αααα B ．104321<<<<<αααα C ．134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<< 4、函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是 （ ）A ．41 B ．1-C ．4D ．4-【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示。
探究一：看教材P77页5个具体的问题，这些函数的解析式结构有何共同特点？其一般形式如何？定义：幂函数的概念。
注意：幂函数与指数函数的区别。
探究二：在同一平面直角坐标系内作出函数12312,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象，它们的定义域、值域、奇偶性、单调性、公共点分别如何？ 归纳：幂函数的性质。
《幂函数》教案、导学案与同步练习
《第三章 函数的概念与性质》《3.3幂函数》教案【教材分析】幂函数是在继一次函数、反比例函数、二次函数之后，又学习了单调性、最值、奇偶性的基础上，借助实例，总结出幂函数的概念，再借助图像研究幂函数的性质.【教学目标与核心素养】 课程目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 的图象； 2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力． 数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数；2.逻辑推理：常见幂函数的性质；3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；4.数据分析：比较幂函数大小；5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。
【教学重难点】重点：常见幂函数的概念、图象和性质； 难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】 一、情景导入学生阅读课本89页五个实例，求解析式？观察五个解析式有什么共同特征？问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要付的钱数p =w 元，这里p 是w 的函数.21问题2：如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S =a 2，这里S 是a 的函数.问题3：如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V =a 3，这里V 是a 的函数.问题4：如果正方形场地的面积为S ，那么正方形的边长a =S ，这里a 是S 的函数.问题5：如果某人t s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度v =t －1km/s ，这里v 是t 的函数.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本89-90页，思考并完成以下问题 1.幂函数是如何定义的？ 2.幂函数的解析式具有什么特点？3.常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
高中数学《幂函数》导学案
1.幂函数的定义□1一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数y＝xα与指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的区别幂函数□2y＝xα的底数为自变量，指数是常数；指数函数正好相反，指数函数□3y＝a x中，底数是常数，指数是自变量．3．在同一平面直角坐标系内作出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1的图象(如图)．它们的性质如下表．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x3＋2是幂函数．()(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．()(3)指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)若y＝mxα是幂函数，则m＝________.(2)(教材改编P79T1)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f(－2)＝________.(3)若y＝ax a是幂函数，则该函数的值域是________．答案(1)1(2)－8(3)(－∞，＋∞)『释疑解难』(1)幂函数的图象大致分为下表中的几类：(2)幂函数与指数函数的区别探究1 幂函数的定义例1 (1)在函数①y ＝1x ，②y ＝x 2，③y ＝2x ，④y ＝1，⑤y ＝2x 2，⑥y ＝x －12中，是幂函数的是()A ．①②④⑤B ．③④⑥C ．①②⑥D ．①②④⑤⑥(2)已知幂函数y ＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．解析 (1)幂函数是形如y ＝x α(α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－12的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x 2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．(2)∵y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0； 故m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0.故所求幂函数的解析式为y ＝x －3或y ＝x 0，它们的定义域都是{x |x ≠0}．答案 (1)C (2)见解析 拓展提升判断函数是幂函数的依据判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.【跟踪训练1】 (1)在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．答案 (1)B (2)见解析解析 (1)∵y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；从y ＝1＝x 0(x ≠0)可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.探究2 幂函数的图象及应用例2 幂函数y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x13 ，y ＝x －12在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )A ．C 2，C 1，C 3，C 4B ．C 1，C 3，C 2，C 4 C ．C 3，C 2，C 1，C 4D ．C 1，C 4，C 2，C 3解析 由于在第一象限内直线x ＝1的右侧，幂函数y ＝x α的图象从上到下相应的指数α由大变小，即幂函数图象在第一象限内直线x ＝1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数y ＝x 2在第一象限内的图象为C 1，y ＝x －1在第一象限内的图象为C 4，y ＝x 13在第一象限内的图象为C 2，y ＝x－12在第一象限内的图象为C 3.答案 D 拓展提升幂函数图象的特征(1)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，各幂函数图象对应的指数逆时针增大；在第一象限内，直线x ＝1的左侧，指数也呈逆时针增大．(2)幂函数y＝xα，若α>0，在第一象限内函数单调递增；若α<0，在第一象限内函数单调递减．(3)图象的凹凸性：在第一象限内，当0<α<1，曲线上凸；当α>1，曲线下凹；当α<0，曲线下凹．【跟踪训练2】(1)如图是幂函数y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象，则()A．－1<n<0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1(2)已知函数y＝x 2 3 .①求其定义域；②判断其奇偶性；③已知该函数在第一象限内的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．答案 (1)B (2)见解析解析 (1)在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图所示，0<m <1，n <－1.(2)①y ＝x 23＝3x 2，定义域为实数集R . ②设y ＝f (x )，因为f (－x )＝3(－x )2＝3x 2＝f (x )，且定义域关于坐标原点对称，所以函数y ＝x 23是偶函数．③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图象关于y 轴的对称图象，即得函数y ＝x23的图象，如图所示．根据图象易知，函数y ＝x23在区间(0，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0]上是减函数．探究3 幂函数的性质及应用 例3 比较下列各题中两个值的大小：(1)2.3 34 ，2.4 34；(2)(2) －32，(3)－32；(3)(－0.31) 65，0.3565.解(1)∵y ＝x34为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，∴2.334 <2.434 .(2)∵y ＝x －32为(0，＋∞)上的减函数，且2<3，∴(2)－32 >(3)－32.(3)∵y ＝x 65为R上的偶函数，∴(－0.31) 65 ＝0.3165.又函数y ＝x 65为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴0.3165 <0.3565 ，即(－0.31) 65 <0.3565.拓展提升比较大小的方法比较幂值的大小，关键是构造适当的函数： (1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数； (2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑借助中间量，这个中间量的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．【跟踪训练3】比较下列各组数的大小：(1)⎝⎛⎭⎪⎫230.5与⎝⎛⎭⎪⎫350.5；(2)－3.143与－π3.解(1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且23>35，∴⎝⎛⎭⎪⎫230.5>⎝⎛⎭⎪⎫350.5.(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.例4若(3－2m)12>(m＋1)12，求实数m的取值范围．解因为y＝x12在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2m≥0，m＋1≥0，3－2m>m＋1，解得－1≤m<23.故实数m的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23.拓展提升利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．【跟踪训练4】已知幂函数y＝(m2＋m－5)x m2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，求此幂函数的解析式．解∵y＝(m2＋m－5)x m2－2m－3是幂函数，∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0，∴m＝2或m＝－3.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小；当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x ∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去．∴y＝x－3(x≠0)．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，且图象都过点(1,1).(2)如果α>0，幂函数图象过原点，在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.(4)在(1，＋∞)上，随幂指数的增大，图象逐渐靠上.1．下列函数是幂函数的是()A．y＝5x B．y＝x5C．y＝5x D．y＝(x＋1)3答案B解析函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，故不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．2．设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为() A．c<a<b B．a<c<bC．a<b<c D．c<b<a答案A解析a＝20.3＝80.1，b＝30.2＝90.1，c＝70.1，由幂函数y＝x0.1在(0，＋∞)上单调递增，可知c<a<b.3．函数y＝x 53的图象大致是图中的()答案 B 解析 ∵函数y ＝x53是奇函数，且α＝53>1，∴函数图象为B.4．已知幂函数f (x )的图象过点(4,2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝______.答案 24解析 设幂函数为y ＝x α(α为常数)． ∵函数f (x )的图象过点(4,2)，∴2＝4α，∴α＝12，∴f (x )＝x12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 12 ＝24.5．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f (x )的解析式．解 ∵幂函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上是减函数， ∴3m －9<0，即m <3. 又∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又y ＝x 3m －9的图象关于y 轴对称，即该函数是偶函数， ∴3m －9是偶数．∴m ＝1. ∴f (x )＝x －6(x ≠0)．A 级：基础巩固练一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域上是增函数D ．幂函数的图象不可能在第四象限 答案 D解析 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，其图象为两条射线，故A 不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故B 不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C 不正确；当x >0，α∈R 时，y ＝x α>0，则幂函数的图象都不在第四象限，故D 正确．2．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是( )A ．y ＝x13B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x －2答案 B解析 ∵A ，C 项在(－∞，0)上为增函数；D 项中y ＝x －2＝1x 2在(－∞，0)上也是增函数，故选B.3．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525 ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．a <b <cD ．b >c >a答案 C解析 ∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在R 上是减函数，又35>25，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2535 <⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即a <b .又∵函数y ＝x 25在R 上是增函数，且35>25，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3525 >⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即c >b ，∴a <b <c .4．若幂函数y ＝(m 2＋3m ＋3)x m 2＋2m －3的图象不过原点，且关于原点对称，则( )A ．m ＝－2B ．m ＝－1C ．m ＝－2或m ＝－1D ．－3≤m ≤－1答案 A解析 根据幂函数的概念，得m 2＋3m ＋3＝1，解得m ＝－1 或m ＝－2.若m ＝－1，则y ＝x －4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m ＝－2，则y ＝x －3，其图象不过原点，且关于原点对称．5．在同一坐标系内，函数y ＝x α(α≠0)和y ＝αx －1α的图象可能是( )答案 C解析 当α<0时，函数y ＝αx －1α是减函数，且在y 轴上的截距－1α>0，y ＝x α在(0，＋∞)上是减函数，∴A ，D 两项均不正确．对于B ，C 两项，若α>0则y ＝αx －1α是增函数，B 项错误，C 项正确，故选C.二、填空题6．若幂函数y ＝(m 2－m －1)·x m 2－2m －1在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.答案 －1解析 由幂函数的定义可知，m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2，当m ＝－1时，y ＝x 2，在(0，＋∞)上是增函数，符合题意；当m ＝2时，y ＝x －1，在(0，＋∞)上是减函数，不符合题意，所以m ＝－1.7．幂函数y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值为________． 答案 －12解析 ∵y ＝x －1在(－∞，0)上单调递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值是－12.8．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 (3,5) 解析∵f (x )＝x －12＝1x(x >0)，易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题9．比较下列各组数的大小：(1)3－52和3.1－52；(2)－8－78和－⎝ ⎛⎭⎪⎫19 78 ；(3)⎝⎛⎭⎪⎫－23 －23 和⎝⎛⎭⎪⎫－π6－23.解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，因为3<3.1，所以3－52 >3.1－52 .(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫18 78 ，函数y ＝x78在(0，＋∞)上为增函数，因为18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫18 78 >⎝ ⎛⎭⎪⎫1978 .从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫19 78 .(3)⎝⎛⎭⎪⎫－23 －23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23 ，⎝⎛⎭⎪⎫－π6－23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，因为23>π6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23 <⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23 ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23 <⎝⎛⎭⎪⎫－π6－23.B 级：能力提升练10．已知幂函数y ＝f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：①是区间(0，＋∞)上的增函数；②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时，f(x)的值域．解因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，所以m＝－1,0,1.因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．当m＝－1时，f(x)＝x2，只满足条件①而不满足条件②；当m＝1时，f(x)＝x0，条件①②都不满足．当m＝0时，f(x)＝x3，条件①②都满足，且在区间[0,3]上是增函数．所以当x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．。
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幂函数导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
使学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，掌握从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习. 【课堂导学】 一、预习作业
1、幂函数的概念：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中α是常量，x 是变量。
2、作出函数x y =，2
x y =，3
x y =，21x y =，31x y =， 32x y =，2
3x y =的图象.并 x y =
2
x y =
3
x y =
21x
y =
3
1x y =
32x
y =
23x
y =
定义域 值域 奇偶性 单调性
3、作出函数1
-=x y ，2
-=x y ， 23
y x
-
=的图象. 观察图象，总结填写下表：
4．幂函数α
x y =的主要性质：
（1）幂函数α
x y =在第一象限内的特征：
若1>α，函数的图象都过定点 ，下凸递增，在区间 是 函数
若10<<α，函数的图象都过定点 ，上凸递增，在区间 是 函数
若0<α，函数的图象都过定点 ，下凸递减，在区间 是 函数
（2）幂函数α
x y =的图象必过第 象限，必不过第 象限，有可能过第 象限，具体看幂函数α
x y =的奇偶性。
α
x y =是偶函数时，图象还在第 象限，是奇函数时，图象还在第 象限；也有可能既不是奇函数也不是偶函数，但不可能既是奇函数也是偶函数. 二、典型例题 例1、求函数2y
x =、12
y x
=、
2y x -=的定义域，并判断它们的奇偶性，再在同一坐
标系中作出图像。
例2利用幂函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小： ⑴
12
5.23
12
5.24；⑵10.26-
10.27-；⑶()
3
0.72-
()3
0.75-。
⑵
例3、点（
3，3）在幂函数()y f x =的图像上，点（22-，
18
）在幂函数
()y g x =的图像上，求()y f x =和()y g x =的解析式。
随堂练习
课本73页练习1、2。
三、板书设计
【巩固反馈】 一、填空题
1、下列函数中(1)x y 2=，(2)2
2x y =，(3)x
y 1=，(4)x
y 2=，：是幂函数的是_______
2、已知点
3
3，3）在幂函数()f x 的图像上，则()f x =
3、幂函数n
y x =（n 为常数），无论n 为何值必经过的定点为 4、偶函数223
()n n y x
n Z --=∈的图像为不过坐标原点，则n 的值是
1、 用“＜”或“＞”填空：3
5
2.8
-
35
2.9
-
；23
(0.11)
-
-
23
(0.12)
-
-；
6、下列函数中(1)3
x y = (2)4
x y = (3)2
-=x y (4)3
1x y =，值域是()+∞,0的函数是
_______. 7、函数
()f x 是奇函数，当0x ≥时，25
()f x x
=，则当0x <时，
()f x = ；
二、解答题 8、已知幂函数()f x 的图像过点（4，2），求(9)f 和(12)f 的值。
9、已知1222
)65()(--+-=m m x m m x f 当m 为何值时， （1）)(x f 是正比例函数；（2）)(x f 是反比例函数；
（3）)(x f 是二次函数； （4）)(x f 是幂函数，其图象不经过点（0，0）。
★10、幂函数2
223(1)m m y m m x --=--在()0,+∞上是减函数，求m 的值。