折叠中的直角三角形ppt课件
人教课标版 初中数学九年级上册第二十二章 23折叠型问题的探究(共22张PPT)
（4）在折叠问题中，若直接解决较困难时， 可将图形还原，可让问题变得简单明了。有时 还可采用动手操作，通过折叠观察得出问题的 答案。
全等性
轴对称
对称性（折痕）
实 质 折 重过程 折叠问题 重结果 叠
精 髓
利用Rt△
方程思想
【二】利用勾股定理解决问题
如图，沿AE折叠长方形，使D点落在BC边上的F处，已知
AB=8,BC=10.求CE的长.
10
A
D
解∴AA总1：FB、结根==标A8：据D已c折=m知1叠，0c可EmF知，＋，EEF△C==AEDDFCE，=≌8△cmAD，E，
8
10
B 6
8-x
E 8-x x F4C
∴2在、R找t△相A等BF中
练习
1.如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点落在对角 线BD上的点E处，此时折痕DF的长是多少？
A
8
D
6
4x
6
B 8-x
xC
心得：先标等量，把条件集中到一Rt△中， 利用勾股定理得方程。
练习
2.如图，将一长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
【冀教版】初中数学八年级上：17.2《直角三角形》ppt课件
证明:∵∠CEF=135°,∠ECB=
1 2
∠ACB=45°,
∴∠CEF+∠ECB=180°,∴EF∥BC.
7.如图所示,在Rt △ ABC
中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于D.求证AD= 1
解析:在A直B.角三角形ABC中,由∠B=30°,利用
4
在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜
4.含有30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
检测反馈 1.在△ ABC中,满足下列条件: ①∠A=60°,∠C=30°;②∠A+∠B=∠C; ③∠A∶∠B∶∠C =3∶4∶5;④∠A=90°-∠C. 其中能确定△ ABC是直角三角形的有 ( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4
=CD+DE+CE=4+5+5=14.故选C.
4.如图所示, △ ABC中,∠ACB=90的长为( A )
A.20
B.15 C.10
D.18
解析:∵∠ACB=90°,CD是高, ∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°,∴∠BCD=∠A=30°, 在Rt △ BCD中,BC=2BD=2×5=10,在Rt △ ABC中, AB=2BC=2×10=20.故选A.
1 2
AB.
由(1)知∠ACD=∠DCE=30°,∴∠ACE=∠A=60°,
∴ △ ACE是等边三角形,∴AC=AE=EC= 1 AB,
∴AE=BE,即点E是AB的中点. ∴CE是AB边上的中线,且CE=
1 2
AB.
2
(2)在Rt △ ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=30°,那么 ∠A= 60 ° ,∠B= 30 ° .
2020年人教版八年级数学下册第17章《折叠---勾股定理应用》公开课课件
C
4m
4m 上 B
C
4m 左 前 后
右
下 A
如图，一圆柱体木块的底面周长为24cm，
高AB为4cm ，BC是直径，一只蚂蚁从点
A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最
短路程大约是（
）
A.6cm B.12cm C.13cm D.16cm
B
C
A
B
C
B
C
B1
沿AB剪开
A
A
A1
∵ 底面圆的周长为24cm ∴BB1=24cm 又∵点C 是BB1 的中点 ∴BC=12cm 而∵AB=4cm ∴ 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
A
x
1.5米
1.5米
2.2米
2.2米
1.5米
1.5米
Cx
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3.1米
折叠三角形
例1、如图，一块直角三角形的纸片，两 直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上， 且与AE重合，求CD的长．
A
D
E
B
FC
立体图形展开问题
杜登尼(Dudeney,1857-1930年) 是19世纪英国知名的谜题创作 者．“蜘蛛和苍蝇”问题最早出 现在1903年的英国报纸上，它是 杜登尼最有名的谜题之一．它对 全世界难题爱好者的挑战，长达 四分之三个世纪．
A
B
如图，有一棱长为4m的立方体房间，一只 蜘蛛在A处. ⑴若一只苍蝇在B处，蜘蛛去抓苍蝇需要爬 行的最短路程是多少？ ⑵若苍蝇在C处，则最短路程是多少？
A
A
A
《三角形的内角》三角形PPT(第2课时)
思考 如果一个都不知道，或只知道1个角，你能知道
三角形各角的度数吗？
新课导入
课堂小结
三角形内角和定理：三角形内角和为 180°。
为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅
助线.
在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
推论 直角三角形的两个锐角互余。
反之，有两个角互余的三角形是直角三角形。
B
C
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
A
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵
∠C =90°，
∴
∠A +∠B =90°．
B
C
直角三角形的表示：
直角三角形可以用符号“Rt△”表示.如：直角三角形ABC 可
以写成Rt△ ABC．
例1 如图，∠C=∠D=90 °，AD，BC相交于点E. ∠CAE与
（ ）
新课导入
三角形内角和定理的辨析
例题
若一个三角形三个内角度数的比为 2︰3︰4，那么这
个三角形是( B )
A .直角三角形
B .锐角三角形
C .钝角三角形
D .等边三角形
例题
(1)一个三角形中最多有 1 个直角.
(2)一个三角形中最多有 1 个钝角.
(3)一个三角形中至少有 2 个锐角.
60°
x =18°
x =30°
新课导入
例题+变式：根据三角形内角和定理求角度
归纳 ①直接计算： 直接利用三角形的内角和180°进行计算．
②形题数解：
设某一个角为x（或将某一个角视为未知数），其余
的角用x的代数式表示，从而根据题意列出方程(组)求
解，这就是“形题数解”．
中考数学一轮复习折叠问题PPT学习教案
∠∠ADO＝E∠＝E∠，COD，∴△AOE≌△COD(AAS) AE＝CD，
(2)
若
∠
OCD
＝
30
°
AB
＝
，
3求Leabharlann △AOC，
的面积
．
∵△AOE≌△COD，∴AO＝CO，∵∠OCD＝30°，AB＝
3，∴CO＝CD÷cos30°＝ 3÷ 23＝2，∴△AOC 的面积＝12 AO·CD＝12×2× 3＝ 3
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【解析】根据翻折的性质可得CE＝C′ E，判 断出△E FG是 等边三 角形， 根据等 边三角 形的性 质表示 出EF， 即可得 解．
解：由翻折的性质得，CE＝C′E，∵BE＝2CE， ∴BE＝2C′E，又∵∠C′＝∠C＝90°，∴∠EBC′＝30°， ∵∠FD′C′＝∠D＝90°，∴∠BGD′＝60°∴∠FGE＝ ∠BGD′＝60°，∵AD∥BC，∴∠AFG＝∠FGE＝60°， ∴∠EFG＝12(180°－∠AFG)＝21(180°－60°)＝60°， ∴△EFG 是等边三角形，∵AB＝t，∴EF＝t÷ 23＝233t， ∴△EFG 的周长＝3×233t＝2 3t
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在折叠问题中，利用对称性可得到相等的角和边．
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折叠后求长度 1．(2014·黔东南州)如图，在矩形ABCD中，AB＝8 ，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重 合，求折痕EF的长．
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【解析】设BE＝x，则CE＝16－x，根 据翻折 的性质 可得A E＝CE ，然后 在Rt△ ABE中 ，利用 勾股定 理列出 方程求 出x，过 点E作 EH⊥A D于H ，可得 四边形A BEH是 矩形， 利用勾 股定理 列式计 算即可 得解．
考点38 图形折叠中的直角、等腰三角形问题及落点固定问题(
专题38 图形折叠中的直角三角形问题【精典讲解】1、如图例3-1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为ACBF EDAC BFED图例3-1 图例3-2图例3-3【解析】从题目所给的“当△AEF 为直角三角形时”条件出发，以直角顶点所在位置进行分类讨论. 通过观察及分析可知∠BED =∠DEF =60°，所以∠AEF =180－120°=60°. 即点E 不可能为直角顶点.分两种情况考虑： ①当∠EAF =90°时，如图例3-2所示. ∵∠B =30°，BC =3∴3303=33AC tan BC =︒⨯=，2=23AB AC = ∵∠EAF =90°∴∠AFC =60°，∠CAF =30°在Rt △ACF 中，有：3cos =32AF AC CAF =÷∠÷，24BF AF == 由折叠性质可得：∠B =∠DFE =30°，122BD DF BF === ②当∠AFE =90°时，如图例3-3所示.由折叠性质得：∠B =∠DFE =30°，122BD DF BF === ∴∠AFC =60°，∠F AC =30°∴3tan 313CF FAC AC =∠⨯=⨯= 所以，BF =2，112BD DF BF === 综上所述，BD 的长为2或1.【点睛】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运用勾股定理及相似三角形知识. 通过此题，可总结出：①遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发点在于直角顶点的位置；②解决直角三角形存在性问题的方法是数形结合，先作出符合题意的图形，再用勾股定理或相似三角形、三角函数性质解题.2、如图例4-1，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处．当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为 ．ABCDEB'ABC DEB'图例4-1 图例4-2 图例4-3【解析】此题以“当△CEB ′为直角三角形时”为突破口，分析可能是直角顶点的点，得出存在两种情况，即点B ′及点E 分别为直角顶点.分两种情况考虑：①当∠CEB ′=90°时，如图例4-2所示.由折叠性质得：AB =AB ′，四边形ABE B ′是矩形. 所以四边形ABE B ′是正方形. 此时，BE =AB =3.②当∠CB ′E =90°时，如图例4-3所示.由折叠性质知，∠AB ′C =90°，所以∠AB ′C+∠CB ′E =180°. ∴点A 、B ′、C 共线在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC =5 由折叠得：AB = AB ′=3 所以B ′C =2设BE =x ，则B ′E =x ，EC =4－x在Rt △ABC 中，由勾股定理得：EC 2=B ′E 2+B ′C 2 即：（4-x ）2=x 2+22 解得：x =1.5.综上所述，BE 的值为3或1.5.【点睛】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论且作出相应图形，要求学生掌握三点共线的理由，折叠的性质及勾股定理的应用.3、如图例5-1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，21BC =+，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ∆为直角三角形，则BM 的长为 ．A (B')BCMN ABCM NB'图例5-1图例5-2图例5-3【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论. ①当∠CM B ′=90°时，如图例5-2所示.由折叠知：∠BMN =∠B ′MB =45°，又因为∠B =45°，所以∠BNM =90°，∠MNB ′=90° 即∠BNM +∠MN B ′=180°，所以B 、N 、B ′三点共线，此时B ′与点A 重合.所以，12122BM BC +==①当∠CB ′M =90°时，如图例5-3所示.由折叠知∠B =∠B ′=45°，因为∠C =45°，可得∠B ′MC =45°，所以△B ′MC 是等腰直角三角形设BM = B ′M =x ，B ′C =x ，则MC =2x因为BC =2+1所以x +2x =2+1 解得：x =1，即BM =1.综上所述，BM 的值为212+或1. 【点睛】根据题意判断出C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的三边关系求解. 4、 如图例6-1，在∠MAN =90°，点C 在边AM 上，AC =4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A’BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称. D 、E 分别为AC 、BC 的中点，连接DE 并延长交A’B 所在直线于点F ，连接A’E . 当△A’EF 为直角三角形时，AB 的长为 .M N AA'FEDC B图例6-1图例6-2图例6-3【解析】分两种情况讨论.①当∠A’FE=90°时，如图例6-2所示. ∵D、E分别为AC、BC的中点∴DE是三角形ABC的中位线即DE∥BA∴∠A’BA=90°∴四边形AB A’C为矩形由折叠得AC=A’C∴四边形AB A’C为正方形即AB=AC=4.②当∠A’EF=90°时，如图例6-3所示. ∵∠A’EF=∠CDE=90°∴A’E∥CD∴∠DCE=∠CEA’由折叠知：∠DCE=∠A’CE∴∠CEA’=∠A’CE∴A’C=A’E=4又∵E是BC中点即A’E是Rt△A’BC的中线∴BC=2A’E=8在Rt△A’BC中，由勾股定理得，A’B=43由折叠性质得：AB=A’B=43.综上所述，AB的长为4或43.【点睛】利用中位线性质（三角形的中位线平行于第三边）及正方形判定，用勾股定理求解.【针对训练】1、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )A．3 B．32C．2或3 D．3或32【解析】【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=2243=5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得x=32，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为32或3．故选D．【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．2、如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则ADDF的值为A．1113B．1315C．1517D．1719【解析】【分析】根据折叠的性质可得出DC =DE 、CP =EP ，由∠EOF =∠BOP 、∠B =∠E 、OP =OF 可得出△OEF ≌△OBP （AAS ），根据全等三角形的性质可得出OE =OB 、EF =BP ，设EF =x ，则BP =x 、DF =4﹣x 、BF =PC =3﹣x ，进而可得出AF =1+x ．在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，即可得出答案． 【详解】根据折叠，可知：△DCP ≌△DEP ，∴DC =DE =4，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，∵90EOF BOPB E OP OF ∠∠∠∠=⎧⎪==︒⎨⎪=⎩，∴△OEF ≌△OBP （AAS ），∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE ﹣EF =4﹣x ．又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC ﹣BP =3﹣x ，∴AF =AB ﹣BF =1+x ．在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即（1+x ）2+32=（4﹣x ）2，解得：x =0.6，∴DF =4﹣x =3.4，∴1517AD DF =． 故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF =1+x ，求出AF 的长度是解题的关键．3、如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 是BC 上一点，3，Q 是CD 上一动点，将△CEQ 沿直线EQ 折叠后，点C 落在点P 处，连接PA ．点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动，当PA 的长度最小时，CQ 的长为（ ）A ．333-B ．33-C ．32D ．3【解析】试题解析：如图所示：在Rt △ABE 中，AE=．∵BC=3，BE=，∴EC=3-．由翻折的性质可知：PE=CE=3-．∵AP+PE≥AE ， ∴AP≥AE -PE ．∴当点A 、P 、E 一条直线上时，AP 有最小值．∴AP=AE-PE=2-（3-）=3-3．故选A ．考点：翻折变换（折叠问题）．4、如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把矩形沿AE 折叠，使点B 落在点B '处．当CEB '∆为直角三角形时，BE 的长为____________．【解析】 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC ，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠E B′C=90°，所以点A 、B′、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=6，可计算出CB′=4，设BE=x ，则EB′=x ，CE=8-x ，然后在Rt △CEB′中运用勾股定理可计算出x ．②当点B′落在AD 边上时，如答图2所示．此时四边形ABEB′为正方形． 【详解】由题意知，需分两种情况讨论：①当90CB E ︒'∠=时，如图1，由折叠得，90AB E B ︒'∠=∠=，AB AB '=， ∴180AB C ︒'∠=，∴,,A B C '三点共线．在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =， ∴5AC =． ∵AB AB 3'==， ∴2B C AC AB ''=-=．设BE x =，则4CE BC BE x =-=-，B E x '=，在Rt B CE '∆中，222B E B C CE ''+=，即2222(4)x x +=-，解得32x =． ②当90B EC ︒'∠=时，如图2，由折叠可知ABE AB E '∆∆≌， ∴BE B E '=，90B AB E ︒'∠=∠=， ∴四边形ABEB '是正方形， ∴3BE AB ==．综上所述，当CEB '∆为直角三角形时，BE 的长为32或3．故答案是：32或3. 【点睛】考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．5、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝23，E 是AB 边上一点，AE ＝2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A ′，当点E ，A ′，C 三点在一条直线上时，DF 的长为_____．【解析】【分析】利用勾股定理求出CE，再证明CF=CE即可解决问题．（注意有两种情形）【详解】解：如图，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠AEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，在Rt△BCE中，EC==，∴CF＝CE＝，∵AB＝CD＝6，∴DF＝CD﹣CF＝6﹣，当点F在DC的延长线上时，易知EF⊥EF′，CF＝CF′＝，∴DF＝CD+CF′＝故答案为6﹣或．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明△CFE的等腰三角形，属于中考常考题型．6、如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=4，点P为线段AB上一动点，过点P作PE⊥AB交直线AD 于点E，将∠A沿PE折叠，点A落在F处，连接DF，CF，当△CDF为直角三角形时，线段AP的长为__________．【解析】【分析】分两种情形讨论：①如图1，当DF⊥AB时，△CDF是直角三角形；②如图2，当CF⊥AB时，△DCF是直角三角形，分别求出即可．【详解】分两种情况讨论：①如图1，当DF⊥AB时，△CDF是直角三角形．∵在菱形ABCD中，AB=4，∴CD=AD=AB=4．在Rt△ADF中，∵AD=4，∠DAB=45，DF=AF=22，∴AP12=AF2=．②如图2，当CF⊥AB时，△DCF是直角三角形．在Rt△CBF中，∵∠CFB=90°，∠CBF=∠A=45°，BC=4，∴BF=CF2，∴AF2，∴AP12=AF=22+综上所述：线段AP2或22+．222+【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键，正确画出图象，注意分类讨论的思想，属于中考常考题型．专题39 图形折叠中的等腰三角形问题【精典讲解】1、如图例7-1，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B ′处，若△CDB ′恰为等腰三角形，则DB ′的长为 .A BCDB'F E图例7-1【解析】根据△CDB ′为等腰三角形，以CD 为腰或底分三种情况讨论，①DB ′=DC ；②CB ′=CD ；③CB ′=DB ′. 对于①DB ′=DC ，作图方法以E 为圆心BE 长为半径作弧，以D 为圆心CD 长为半径作弧，两弧交点即为B ′. 对于②CB ′=CD ，作图方法以E 为圆心BE 长为半径作弧，以C 为圆心CD 长为半径作弧，两弧交点即为B ′. 对于③CB ′=DB ′，作图方法以E 为圆心BE 长为半径作弧，弧与CD 垂直平分线的交点为B ′.A BCDB'FEA BC DB'(F )EA BCDB'F EMN图例7-2 图例7-3 图例7-4详解：①DB ′=DC ， 如图例7-2所示. 易知：DB ′=DC =16.②CB ′=CD ，如图例7-3所示.由折叠性质可知：BF = B ′F =CD =16，此时F 点与C 点重合，不符题意.③CB′=DB′，如图例7-4所示.由题意得，DN=CN=8，因为AE=3，所以EM=5. B′E=BE=13.在Rt△EB′M中，由勾股定理得，B′M=12.所以B′N=4.在Rt△DB′N中，由勾股定理得，B′D=54.综上所述，B′D的长为16或54.【点睛】以CD为腰或底分三种情况讨论，排除其中一种，利用勾股定理求解.【针对训练】1、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P为边AD上一动点，连接BP，把△ABP沿BP折叠，使A 落在A′处，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为（）A．2 B 23C．223D．243【解析】【分析】根据△A′DC为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①A'D=A'C，②A'D=DC，③CA'=CD，分别求得AP的长，并判断是否符合题意．【详解】①如图，当A′D=A′C时，过A′作EF⊥AD，交DC于E，交AB于F，则EF垂直平分CD，EF垂直平分AB∴A'A=A'B由折叠得，AB=A'B，∠ABP=∠A'BP ∴△ABA'是等边三角形∴∠ABP=30°∴AP=223333 AB==；②如图，当A'D=DC时，A'D=2由折叠得，A'B=AB=2∴A'B+A'D=2+2=4连接BD，则Rt△ABD中，BD=22222425AB AD+=+=∴A'B+A'D＜BD（不合题意）故这种情况不存在；③如图，当CD=CA'时，CA'=2由折叠得，A'B=AB=2 ∴A'B+A'C=2+2=4∴点A'落在BC 上的中点处此时，∠ABP=12∠ABA'=45° ∴AP=AB=2．综上所述，当△A′DC 为等腰三角形时，AP 的长为2 33或2． 故选C. 【点睛】本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．2、如图，菱形ABCD 的边，8AB =，60B ∠=,P 是AB 上一点，3BP =，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ．当'CA 的长度最小时，'C Q 的长为（ ）A ．5B ．7C ．8D ．132【解析】 【分析】作CH AB ⊥于H ，如图，根据菱形的性质可判断ABC ∆为等边三角形，则3432CH AB ==4AH BH ==，再利用7CP =勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，然后证明CQ CP =即可． 【详解】解：作CH AB ⊥于H ，如图，菱形ABCD 的边8AB =，60B ∠=，ABC ∆∴为等边三角形，CH AB ∴==，4AH BH ==， 3PB =，1HP ∴=，在Rt CHP ∆中，7CP ==， 梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ，∴点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上， ∴当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，APQ CPQ ∴∠=∠，而//CD AB ，APQ CQP ∴∠=∠，CQP CPQ ∴∠=∠， 7CQ CP ∴==.故选：B．【点睛】考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定A′在PC上时CA′的长度最小．3、如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，将△ABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，CP与AD交于点F，连接BP交AC于点G，交AD于点E，下列结论不正确的是()A．B．△PBC是等边三角形C．AC＝2AP D．S△BGC＝3S△AGP【解析】【分析】如图，首先运用勾股定理求出AC的长度，进而求出∠ACB＝30°，此为解决该题的关键性结论；运用翻折变换的性质证明△BCP为等边三角形；运用射影定理求出线段CG、AG之间的数量关系，进而证明选项A、B、C成立，选项A不成立.【详解】如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°；由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，而AB＝，BC＝3，∴AC＝2，AB＝AC，∴∠ACB＝30°；由翻折变换的性质得：BP⊥AC，∠ACB＝∠ACP＝30°，BC＝PC，AB＝AP，BG＝PG，∴GC＝BG＝PG，∠BCP＝60°，AC＝2AP，∴△BCP为等边三角形，故选项B、C成立，选项A不成立；由射影定理得：BG2＝CG•AG，∴AG＝BG，CG＝3AG，∴S△BCG＝3S△ABG；由题意得：S△ABG＝S△AGP，∴S△BGC＝3S△AGP，故选项D正确；故选：A．【点睛】考查了翻折变换的性质、矩形的性质、射影定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用矩形的性质、射影定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．4、如图，将一张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上一点，将△CDE 沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD.则下列结论中：①△ADF是等边三角形；②tan∠EBF＝2－；③S△ADF＝S正方形ABCD；④BF2＝DF·EF.其中正确的是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【解析】【分析】由正方形的性质得出AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，由折叠的性质得出MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，由线段垂直平分线的性质得出FD=FA，得出△ADF是等边三角形，①正确；设AB=AD=BC=4a，则MN=4a，BN=AM=2a，由等边三角形的性质得出∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，FA=AD=4a，FM=AM=2a，得出FN=MN-FM=（4-2）a，由三角函数的定义即可得出②正确；求出△ADF的面积=AD•FM=4a2，正方形ABCD的面积=16a2，得出③错误；求出∠BFE=∠DFB，∠BEF=∠DBF，证出△BEF∽△DBF，得出对应边成比例，得出④正确；即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，由折叠的性质得：MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，∴FD=FA，∴AD=FD=FA，即△ADF是等边三角形，①正确；设AB=AD=BC=4a，则MN=4a，BN=AM=2a，∵△ADF是等边三角形，∴∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，FA=AD=4a，FM=AM=2a，∴FN=MN-FM=（4-2）a，∴tan∠EBF==2-，②正确；∵△ADF的面积=AD•FM=×4a×2a=4a2，正方形ABCD的面积=（4a）2=16a2，∴，③错误；∵AF=AB，∠BAF=90°-60°=30°，∴∠AFB=∠ABF=75°，∴∠DBF=75°-45°=30°，∠BFE=360°-90°-60°-75°=135°=∠DFB，∵∠BEF=180°-75°-75°=30°=∠DBF，∴△BEF∽△DBF，∴，∴BF 2=DF•EF ，④正确； 故选B ． 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形是等边三角形和证明三角形相似是解决问题的关键．5、已知ABC 中， AC BC =， Rt C ∠=∠．如图，将ABC 进行折叠，使点A 落在线段BC 上（包括点B 和点C ），设点A 的落点为D ，折痕为EF ，当DEF 是等腰三角形时，点D 可能的位置共有（ ）．A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种 【解析】（1）当点D 与C 重合时，∵AC=BC ，AE=DE （即CE ），AF=DF （即CF ），∴此时△AFC （即△AFD ）是等腰直角三角形，点E 是斜边AC 的中点， ∴EF=DE ，∴△EDF 为等腰三角形．（2）当点D 与B 点重合时，点C 与E 重合， ∵AC=BC ，AF=DF （即BF ），∴此时EF=12AB=DF （即BF ）， ∴△DEF 是等腰三角形；（3）当点D 移动到使DE=DF 的位置时，△DEF 是等腰三角形． 综上所述，当△DEF 为等腰三角形时，点D 的位置存在3中可能. 故选B.6、如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，3AE =，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF ∆沿EF 折叠，点B 落在'B 处，若'CDB ∆恰为等腰三角形，则'DB 的长为______.【解析】 【分析】根据翻折的性质，可得B’E 的长，根据勾股定理可得CE 的长，然后再根据等腰三角形的判定进行分情况讨论 【详解】需分三种情况讨论：（1）若'DB DC =，则'16DB =（易知此时点F 在BC 上且不与点C 、B 重合）；（2）若'CB CD =，因为'EB EB =，'CB CB =，所以点E 、C 在'BB 的垂直平分线上，则EC 垂直平分'BB ，由折叠可知点F 与点C 重合，不符合题意，则这种情况不成立；（3）如图，若''CB DB =，作'B G AB ⊥与AB 交于点G ，交CD 于点H .因为AB CD ∥，所以'B H CD ⊥.因为''CB DB =，所以182DH CD ==，所以8AG DH ==，则5GE AG AE =-=，因为'13B E BE ==.在'Rt B EG ∆中，由勾股定理求得'12B G =，所以''4B H GH B G =-=.在'Rt B DH ∆中，由勾股定理求得'45DB =DB 或45.综上，'16【点睛】本题考查折叠性质和勾股定理，本题关键在于能够对等腰三角形的情况进行分类讨论7、在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2cm，M为AB的中点，N为BC上一动点（不与点B重合），将△BMN 沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为_____．【解析】【分析】分两种情况：①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性质得出AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，DE=AD=2，求出33BG=BC+CG=3，由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，证明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=120°，证出D、E、N三点共线，设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②如图2，当CE=CD上，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（含CE=DE这种情况）．【详解】解：分两种情况，①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，∴DE=AD=2，∵DG⊥BC，∴∠CDG=90°-60°=30°，∴CG=12CD=1，∴DG=3CG=3，BG=BC+CG=3，∵M为AB的中点，∴AM=BM=1，由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，在△ADM和△EDM中，AD＝ED，AM＝EM ，DM＝DM，∴△ADM≌△EDM（SSS），∴∠A=∠DEM=120°，∴∠MEN+∠DEM=180°，∴D、E、N三点共线，设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得：（3-x）²+（3）² =（x+2）²，解得：x=45，，即BN=45；②当CE=CD时，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，如图2所示：CE=CD=DE=DA ，△CDE 是等边三角形，BN=BC=2（符合题干要求）； 综上所述，当△CDE 为等腰三角形时，线段BN 的长为45或2； 故答案为45或2． 【点睛】本题考查了折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.专题40 图形折叠中的落点固定问题【精典讲解】1、如图例8-1，矩形ABCD 中，AD =5，AB =7，点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D ′落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为 ．图例8-1DCB AD'D'DCB A D'E M N图例8-2图例8-3【解析】如图例8-2.发现有两个不同的D’点，对不同的位置分别求解.如图例8-3所示.因为BD′是∠ABC的平分线所以∠D′BN=45°，D′N=NB由折叠知AD′=AD=5.设D′N=NB=x，则AN=7－x在Rt△AD′N中，由勾股定理得，AD′2=D′N2+AN252=x2+(7-x)2，解得x=3或4.①当x=3时，D′M=2，AN=4. 设DE=y，则D′E=y，EM=4-y 在Rt△ED′M中，由勾股定理得，ED′2=D′M2+EM2即y2=22+(4-y)2，解得y=5 2 .②当x=4时，D′M=1，AN=3. 设DE=y，则D′E=y，EM=3-y 在Rt△ED′M中，由勾股定理得，ED′2=D′M2+EM2y2=12+(3-y)2，解得y=5 3 .综上所述，DE的长为52或53.【点睛】D′落在∠ABC的角平分线上，作出∠ABC的角平分线，再以A为圆心以AD长半径画弧，弧与∠ABC 的角平分线的交点即为D’点. 根据折叠中，折痕是对应点连线的垂直平分线作出折痕.2、如图例9-1，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE 折叠，点B落在点B’处，过点B’作AD的垂线，分别交AD、BC于点M、N，当点B’为线段MN的三等分点时，BE的长为.图例9-1【解析】取线段AB 的三等分点P 、G ，过点P 、G 作PQ ∥AD ，GH ∥AD以点A 为圆心，以AB 长为半径画弧，该弧与PQ 、GH 的交点即为B ’. 如图例9-2.BA B'B'C D P G Q HBA B'C DG H E NMBA B'C D PQE NM图例9-2图例9-3 图例9-4①取弧BB ’与GH 的交点，如图例9-3所示因为BG = B ’N =1，B ’M =AG =2，由折叠得AB =AB ’=3.在Rt △AGB ’中，由勾股定理得：B ’G 5，所以AM 5. 因为∠MAB ’=∠EB ’N 所以cos ∠MAB ’=cos ∠EB ’N即:'''AM B NAB B E=设BE = B ’E =x 513x= 解得：x 355BE 355②取弧BB ’与PQ 的交点，如图例9-4所示因为BP= B’N=2，B’M=AP=1，由折叠得AB=AB’=3.在Rt△APB’中，由勾股定理得：B’P=22，所以AM=22.因为∠MAB’=∠EB’N所以cos∠MAB’=cos∠EB’N即:''' AM B N AB B E=设BE= B’E=x，则222 3x=解得：x=322，即BE=322.综上所述，BE的长为355或322.【点睛】根据题意画出图形后，利用一线三直角的线段比例相等求解.【针对训练】1、如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N（1）若CM=x，则CH=（用含x的代数式表示）；（2）求折痕GH的长．【解析】（1）∵CM=x，BC=6，∴设HC=y，则BH=HM=6﹣y，故y2+x2=（6﹣y）2，整理得：y=﹣x2+3，∵∠HMC+∠MHC=90°，∴∠EMD=∠MHC，∴△EDM∽△MCH，∴=，∴=，解得：HC=﹣x2+2x，故答案为：﹣x2+3或﹣x2+2x；（2）方法一：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=∠D=90°，设CM=x，由题意可得：ED=3，DM=6﹣x，∠EMH=∠B=90°，故∠HMC+∠EMD=90°，∵∠HMC+∠MHC=90°，∴∠EMD=∠MHC，∴△EDM∽△MCH，∴=，即=，解得：x1=2，x2=6，当x=2时，∴CM=2，∴DM=4，∴在Rt△DEM中，由勾股定理得：EM=5，∴NE=MN﹣EM=6﹣5=1，∵∠NEG=∠DEM，∠N=∠D，∴△NEG∽△DEM，∴=，∴=，解得：NG=，由翻折变换的性质，得AG=NG=，过点G作GP⊥BC，垂足为P，则BP=AG=，GP=AB=6，当x=2时，CH=﹣x2+3=，∴PH=BC﹣HC﹣BP=6﹣﹣=2，在Rt△GPH中，GH===2．当x=6时，则CM=6，点H和点C重合，点G和点A重合，点M在点D处，点N在点A处．MN同样经过点E，折痕GH的长就是AC的长．所以，GH长为6．方法二：有上面方法得出CM=2，连接BM，可得BM⊥GH，则可得∠PGH=∠HBM，在△GPH和△BCM中，∴△GPH≌△BCM（SAS），∴GH=BM，∴GH=BM==2．2、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（1）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；（2）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，求m（用含有t的式子表示）；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果）．【解析】（1）根据题意，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（2，6）；（2）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°，∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ，又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ，∴=，由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11﹣t，CQ=6﹣m．∴=，∴m=t2﹣t+6（0＜t＜11）；（3）过点P作PE⊥OA于E，如图3，∴∠PEA=∠QAC′=90°，∴∠PC′E+∠EPC′=90°，∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴=，在△PC′E和△OC′B′中，，∴△PC′E≌△OC′B′（AAS），∴PC'=OC'=PC，∴BP=AC'，∵AC′=PB=t，PE=OB=6，AQ=m，EC′=11﹣2t，∴=，∵m=t2﹣t+6，∴3t2﹣22t+36=0，解得：t1=，t2=故点P的坐标为（，6）或（，6）．3、如图，在菱形纸片ABCD中，AB=15，tan∠ABC=，将菱形纸片沿折痕FG翻折，使点B落在AD边上的点E处，若CE⊥AD，则cos∠EFG的值为．【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接BE，过点P作PE⊥AB，∵AB=15，tan∠ABC=，∴AH=9，BH=12，∴CH=3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=15，AD∥BC，∵AH⊥BC，∴AH⊥AD，且AH⊥BC，CE⊥AD，∴四边形AHCE是矩形∴EC=9，AE=CH=3，∴BE===3，∵将菱形纸片沿折痕FG翻折，使点B落在AD边上的点E处，∴BF=EF，BE⊥FG，BO=EO=∵AD∥BC，∴∠ABC=∠P AE，∴tan∠ABC=tan∠P AE=，且AE=3，∴AP=，PE=，∵EF2=PE2+PF2，∴EF2=+（15﹣EF+）2，∴EF=，∴FO===∴cos∠EFG==，故答案为：4、如图，在菱形ABCD中，AB=5，tan D=，点E在BC上运动（不与B，C重合），将四边形AECD沿直线AE翻折后，点C落在C′处，点D′落在D处，C′D′与AB交于点F，当C′D'⊥AB时，CE长为．【解析】如图，作AH⊥CD于H，交BC的延长线于G，连接AC′．由题意：AD=AD′，∠D=∠D′，∠AFD′=∠AHD=90°，∴△AFD′≌△AHD（AAS），∴∠F AD′=∠HAD，∵∠EAD′=∠EAD，∴∠EAB=∠EAG，∴=（角平分线的性质定理，可以用面积法证明）∵AB∥CD，AH⊥CD，∴AH⊥AB，∴∠BAG=90°，∵∠B=∠D，∴tan B=tan D==，∴=，∴AG=，∴BG===，∴BE：EG=AB：AG=4：3，∴EG=BG=，在Rt△ADH中，∵tan D==，AD=5，∴AH=3，CH=4，∴CH=1，∵CG∥AD，∴=，∴CG=，∴EC=EG﹣CG=﹣=．故答案为．5、如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD=3，DE=1，则AB=5．【解析】∵折叠，∴△ADE≌△AD'E，∴AD=AD'=3，DE=D'E=1，∠DEA=∠D'EA，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DEA=∠EAB，∴∠EAB=∠AEB，∴AB=BE，∴D'B=BE﹣D'E=AB﹣1，在Rt△ABD'中，AB2=D'A2+D'B2，∴AB2=9+（AB﹣1）2，∴AB=5故答案为：56、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点N为边BC的中点，点M为AB边上任意一点，连接MN，把△BMN沿MN折叠，使点B落在点E处，若点E恰在矩形ABCD的对称轴上，则BM的长为5或．【解析】①当E在矩形的对称轴直线PN上时，如图1此时∠MEN=∠B=90°，∠ENB=90°，∴四边形BMEN是矩形．又∵ME=MB，∴四边形BMEN是正方形．∴BM=BN=5．②当E在矩形的对称轴直线FG上时，如图2，过N点作NH⊥FG于H点，则NH=4．根据折叠的对称性可知EN=BN=5，∴在Rt△ENH中，利用勾股定理求得EH=3．∴FE=5﹣3=2．设BM=x，则EM=x，FM=4﹣x，在Rt△FEM中，ME2=FE2+FM2，即x2=4+（4﹣x）2，解得x=，即BM=．故答案为5或．7、如图，在矩形ABCD中，AB=6，点E 在边AD上且AE =4，点F是边BC上的一个动点，将四边形ABFE沿EF翻折，A、B的对应点A1、B1与点C在同一直线上，A1B 1与边AD交于点G，如果DG=3，那么BF的长为．【解析】∵△CDG∽△A'EG，A'E=4∴A'G=2∴B'G=4由勾股定理可知CG'=则CB'=由△CDG∽△CFB'设BF=x∴解得x=故答案为第41 页共41 页。
勾股定理在折叠问题中的应用讲PPT课件
.
3
C D
B
E
A
E
A
A
E
DD
F
B
F
C
C
A
.
B D
EC
CA
B
B
D E FC
4
项目一、折叠 直角三角形
例 1： 如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=8cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
B
D
A
E
C
.
5
练习：如图，有一张直角三角形纸片，两直 角边AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直 线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E， 求CD的长.
E
A
D
B
（D）
F
C
（C）
.
8
❖2、如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC 折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点 F.若AB=6，BC=8，
❖求:
（1）△FAC是等腰三角形
（2）求CF的长
A
E FD
（3）求△FAC的周长和面积.
.
B
9C
这节课你有哪些收获？
1、折叠的实质：轴对称． 2、选择合适的直角三角形利用勾 股定理列方程解决折叠问题．
.
6
项目二、折叠长方形
例2：如图所示，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在
BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求CE的
长。 A
8
B
解：根据折叠可知，△AFE≌△ADE，
10
D
∴AF=AD=10cm，EF=ED， AB=8 cm，EF＋EC=DC=8cm，
∴在Rt△ABF中
中考一轮复习《第19讲直角三角形》课件
ABCD的面积为
.
【解析】连接BE.设AB=3x，则BC=5x，
所以BE= BC=5x，由勾股定理得，AE=4x.
所以ED=x，又AE·ED=4 ，
3
即4x·x= 4 ，x2= 4，
3
3
所以矩形ABCD的面积为3x·5x=15x2=5.
答案：5
【变式训练】
(2014·南充中考)如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将
【规律方法】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三 角形的三个步骤 1.确定三角形的最长边. 2.计算最长边的平方以及其他两边的平方和. 3.判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等，若相等， 则此三角形为直角三角形，否则不是直角三角形.
【真题专练】
1.(2014·滨州中考)下列四组线段中，可以构成直角三角形的
此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同
时 经 过 边 AB ， AD( 包 括 端 点 ) ， 设 BA′=x ， 则 x 的 取 值 范 围
是
.
【解析】当折痕经过点B时，x取得最大值，此时BA′=BA=8； 当折痕经过点D时，x取得最小值，此时在Rt△DC A′中，由勾 股定理可得BA′=15，∴BA′=2. 答案：2≤x≤8
命题新视角 用勾股定理解展开与折叠问题
【 例 】(2013· 山 西 中 考 ) 如 图 ， 在 矩 形 纸 片 ABCD 中 ， AB=12 ，
BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上
的点A′处，则AE的长为
.
【审题视点】
【真题专练】
1.(2013·资阳中考)如图，点E在正方形
ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
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本节中的方法和思想：
1、特殊到一般、一般到特殊、转化
2、观察、归纳、概括
课后思考：
“在直角三角形中，如果一条直角边是斜边 的一半，那么这条直角边所对的角是30°” 这句话对吗?
“若三角形中一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。”这句话对吗？
83、一时的忍耐是为了更广阔的自由 ，一时 的纪律 约束是 为了更 大的成 功。 84、在你不害怕的时间去斗牛，这不 算什么 ；在你 害怕时 不去斗 牛，也 没有什 么了不 起；只 有在你 害怕时 还去斗 牛才是 真正了 不起。
85、能把在面前行走的机会抓住的人 ，十有 八九都 会成功 。 86、天赐我一双翅膀，就应该展翅翱 翔，满 天乌云 又能怎 样，穿 越过就 是阳光 。
动动脑 想一想
直角三角形的性质：
A
直角三角形斜边上中线等于
斜边的一半。
∵∵∵若∠∠∠上AAA图CCCBBB中===，999△000゜ ゜ ゜A，，，BCＣDA是是DＤ=直Ａ是B角ＡＢDＢ三上上角的的形中中，点线C．．D ∴中是 的Ｃ线斜长Ｄ等边为＝于多AB斜少12上Ａ边c的Ｂm的中?（一线直半，角．①三）A角B形=1斜0边cm上,C的D C ②CD=2cm，则AB的长为多少？
畅所欲言
谈谈今天的收获
祝同学们学习进步
谢谢指导！
例1
在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,
交AC于D，沿DE所在的直线折叠，点A
恰好能与点B重合，若CD= 3 ，
则AB的长度为
．
C D3
1
2
A
E
B
E
D′
F A
DA
D E
B
CB
F
C
A
D
E
B
FC
试一试
如图，把一张Biblioteka 8 , 宽 4 的长方形纸片折叠,
B
30°角所对的直角
C
边等于斜边的一半）
探索与发
现
A
如图是一副三角板拼成的四
边形ABCD，E为BD的中点。 B
点E与点A，C的距离相等吗？
请说明理由。
E D
C
发现一
如图是一副三角板拼成的四边 形ABCD，E为AD的中点。点E A 与点B，C的距离相等吗？请说明 理由。
连结BC，取BC的中点F,你 能知道BC与EF的位置关系 吗？
53、勇士搏出惊涛骇流而不沉沦，懦 夫在风 平浪静 也会溺 水。 54、好好管教自己，不要管别人。
55、人的一生没有一帆风顺的坦途。 当你面 对失败 而优柔 寡断， 当动摇 自信而 怨天尤 人，当 你错失 机遇而 自暴自 弃的时 候你是 否会思 考：我 的自信 心呢？ 其实， 自信心 就在我 们的心 中。 56、失去金钱的人损失甚少，失去健 康的人 损失极 多，失 去勇气 的人损 失一切 。 57、暗自伤心，不如立即行动。
3、后悔是崇高的理想就像生长在高山 上的鲜 花。如 果要搞 下它， 勤奋才 能是攀 登的绳 索。 44、幸运之神的降临，往往只是因为 你多看 了一眼 ，多想 了一下 ，多走 了一步 。 45、对待生活中的每一天若都像生命 中的最 后一天 去对待 ，人生 定会更 精彩。
46、活在昨天的人失去过去，活在明 天的人 失去未 来，活 在今天 的人拥 有过去 和未来 。 47、你可以一无所有，但绝不能一无 是处。
B
E
F
D
C
发现二三
如如图图，，已已知知A△BA⊥BBGD中，，AACB⊥⊥CBDD于,EB为，AADC的⊥中CD
点于。C E,EB为与AEDC的相中等点吗，？点请F说是明B理C的由中。点,EF垂直BC吗？
请说明理由。
G
C
F
B
A
E
D
动动口 说一说
本节中的知识：
1、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半。
48、通过辛勤工作获得财富才是人生 的大快 事。— —巴尔 扎克 49、相信自己能力的人，任何事情都 能够做 到。
50、有了坚定的意志，就等于给双脚 添了一 对翅膀 。—— 乔·贝利 51、每一种挫折或不利的突变，是带 着同样 或较大 的有利 的种子 。—— 爱默生 52、如果你还认为自己还年轻，还可 以蹉跎 岁月的 话，你 终将一 事无成 ，老来 叹息。
30°
A
C
例3 如图，一名滑雪运动员沿倾斜角为30°的斜 坡，从A滑行至B。已知AB=200m，问这名滑雪 运动员的高度下降了多少m？
将这个性质归纳概括成结论：
A
D
B
C
在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
A
∵△ABC是直角三角形，∠B=30°
∴（A在C直=角三12 角A形B中，
30°
87、活鱼会逆流而上，死鱼才会随波 逐流。 88、钕人总是把男人的谎言当作誓言 去信守 。
89、任何业绩的质变都来自于量变的 积累。 90、要战胜恐惧，而不是退缩。
91、推销产品要针对顾客的心，不要 针对顾 客的头 。 92、无论做什么，记得是为自己而做 ，那就 毫无怨 8、相信所有的汗水与眼泪，最后会化 成一篇 山花烂 漫。
B
1
CD= AB
2
等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 吗？
练一练
1.在ΔABC中, ∠ C =90°,∠B=2∠A,则∠A= 60，°∠ B = 。30° 2. 在RtΔABC中,∠C= Rt∠, AB=13, AC=5, 则BC= 12 。 3.在RtΔABC中,斜边上的中线CD =５,则斜边AB的长为10 。 4.在RtΔABC中,∠C=90°,∠A=30°, AB+BC=12,则AB=8 。 5. ΔABC的三边长分别为8,15,17, 则ΔABC为 直角三角形。
45、生活犹如万花筒，喜怒哀乐，酸 甜苦辣 ，相依 相随， 无须过 于在意 ，人生 如梦看 淡一切 ，看淡 曾经的 伤痛， 好好珍 惜自己 、善待 自己。 46、有志者自有千计万计，无志者只 感千难 万难。 47、苟利国家生死以，岂因祸福避趋 之。 48、不要等待机会，而要创造机会。
49、如梦醒来，暮色已降，豁然开朗 ，欣然 归家。 痴幻也 好，感 悟也罢 ，在这 青春的 飞扬的 年华， 亦是一 份收获 。犹思 “花开 不是为 了花落 ，而是 为了更 加灿烂 。 50、人活着要呼吸。呼者，出一口气 ；吸者 ，争一 口气。 51、如果我不坚强，那就等着别人来 嘲笑。
折叠后使相对的两个点A、C重合,点D落在D′， 折痕为EF,求重合部分的面积.
D′
4
8-x
A
xG
8-x D
E
4
B
F
C
8
例1
解：∵ BD平分∠ABC ∴∠1= ∠2 由折叠可知∠A= ∠1 ∴ ∠A= ∠1 = ∠2 在Rt△ABC中,∠A+∠ABC=90° ∴∠A=∠1=∠2=30 ° 在Rt△BCD中, CD= 3
③若∠A =40°，则其他角为多少度？
④若∠A=30°，你能得到什么结论？
D
B
例如：如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A= 3，0°CD是斜 边上的中线，则能得到什么结论A？
可得到: △ADC是等腰三角形 △BDC是正三角形 AD=BD=CD=BC
30°
D
C
B
B
△ADC是等腰三角形
△BDC是正三角形
G
D
A
E
4
B
F
C
8
动动手
动动脑
将长为8、宽为4的长方形纸片进行适当折叠，
画出折叠后的图形，并根据图形设计题目，在
小组内交流解答。 A
D
要求：
1. 只能折叠一次 B
C
2. 设计的题目要用直角三角形相关知识
进行求解
（09黑龙江中考）如图，将长方形纸片ABCD沿直线 AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E. （1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明. （2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点， PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说 明理由.
52、若不给自己设限，则人生中就没 有限制 你发挥 的藩篱 。 53、希望是厄运的忠实的姐妹。 54、辛勤的蜜蜂永没有时间悲哀。 55、领导的速度决定团队的效率。
56、成功与不成功之间有时距离很短 只要后 者再向 前几步 。 57、任何的限制，都是从自己的内心 开始的 。
58、伟人所达到并保持着的高处，并 不是一 飞就到 的，而 是他们 在同伴 誉就很 难挽回 。 59、不要说你不会做！你是个人你就 会做！
9、忘掉失败，不过要牢记失败中的教 训。 10、如果敌人让你生气，那说明你还 没有胜 他的把 握。
11、一百次心动不如一次行动。 12、天下之事常成于困约，而败于奢 靡。 13、人生短短数十载，最要紧是证明 自己， 不是讨 好他人 。 14、世上并没有用来鼓励工作努力的 赏赐， 所有的 赏赐都 只是被 用来奖 励工作 成果的 。 15、只要我们能梦想的，我们就能实 现。 16、只要站起来比倒下去多一次就是 成功。 17、诚心诚意，诚字的另一半就是成 功。 18、我终于累了，好累，好累，于是 我便爱 上了寂 静。 19、只有收获，才能检验耕耘的意义 ；只有 贡献， 方可衡 量人生 的价值 。
解得x＝3
∴ CD=DE=3cm
例2
将一张长 8 , 宽 4 的长方形纸片ABCD折叠， 折叠后使相对的两个点A、C重合,你能求出重 叠部分的面积吗？
A
D
B
C
例2
如图，把一张长 8 , 宽 4 的长方形纸片折叠, 折叠后使相对的两个点A、C重合,点D落在D′， 折痕为EF,求重合部分的面积.