二分法练习
用二分法求方程的近似解(带练习)
4.5.2用二分法求方程的近似解1．二分法的概念对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0．(2)求区间(a，b)的中点__c__．(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则__c__就是函数的零点；②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)<0(此时零点x0∈(c，b))，则令a＝c.(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．以上步骤可借助口诀记忆：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为()A．4，4 B．3，4C．5，4 D．4，3D解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3，故选D.2．若函数f(x)在(1，2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分( )A ．5次B ．6次C ．7次D ．8次C 解析：设对区间(1，2)至少二等分n 次，初始区间长为1. 第1次二等分后区间长为12；第2次二等分后区间长为122；第3次二等分后区间长为123；…第n 次二等分后区间长为12n .根据题意，得12n ＜0.01，∴n ＞log 2100. ∵6＜log 2100＜7， ∴n ≥7.故对区间(1，2)至少二等分7次．【例1】下面关于二分法的叙述中，正确的是( ) A ．用二分法可求所有函数零点的近似值B ．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C ．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D ．只能用二分法求函数的零点B 解析：用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A 错误；二分法是一种程序化的运算，可以在计算机上完成，故选项C 错误；求函数的零点的方法还有方程法、函数图象法等，故选项D 错误．故选B.运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数的零点．1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是()A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解A解析：使用二分法必须满足二分法的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．2．已知下列四个函数图象，其中能用二分法求出函数零点的是()A解析：由二分法的定义与原理知A选项正确.【例2】利用二分法求方程x2－x－1＝0的近似解(精确度为0.3)．解：令f(x)＝x2－x－1，由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，故可取区间(1，2)作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：零点所在区间中点的值中点函数值(1，2) 1.5 －0.25(1.5，2) 1.75 0.312 5(1.5，1.75) 1.625 0.015 625∵|1.75－1.5|＝0.25＜0.3，∴方程x2－x－1＝0的近似解可取1.5或1.75.二分法的步骤证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点．(精确度为0.1)证明：∵函数f(x)＝2x＋3x－6，∴f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.∴f(x)在区间(1，2)内有零点．又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点．设该零点为x0，则x0∈(1，2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1，1.5)．取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1，1.25)．取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125，1.25)．取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5，1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴可取x0＝1.25，则该函数的零点近似解为1.25.探究题1某方程在区间D＝(2，4)内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得的近似值的精确度达到0.1，则应将区间D等分的次数至少是________次．5解析：第一次等分，则根在区间(2，3)内或(3，4)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，3)内，第二次等分，则根在区间(2，2.5)内或(2.5，3)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.5)内，第三次等分，则根在区间(2，2.25)内或(2.25，2.5)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.25)内，第四次等分，则根在区间(2，2.125)内或(2.125，2.25)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.125)内，第五次等分，则根在区间(2，2.062 5)内或(2.062 5，2.125)内，此时精确度ε<0.1.满足题目要求，故至少要等分5次.探究题2在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6C解析：已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又0.68＝12×(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．1．根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．2．区分好“精确度”与“精确到”．3．现实生活中，有很多问题可以用二分法来解决，例如线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄漏等．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量轻一点)，现在只有一台天平，应用适当的方法最多称几次就可以发现这枚假币？将26枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那13枚金币里面；将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任意拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则轻的那一枚是假币．依据上述分析，最多称4次就可以发现这枚假币．用二分法求方程的近似解练习(30分钟60分)1.(5分)定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当fa＋b2＝0时，函数f(x)的零点是() A．(a，b)外的点B.a＋b2C．区间a，a＋b2或a＋b2，b内的任意一个实数D．x＝a或bB解析：由fa＋b2＝0知a＋b2是零点，且在(a，b)内．2．(5分)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如表所示．x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.51.562 5f(x) －0.871 6 －0.578 8 －0.281 30.021 01 0.328 43 0.641 15则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为()A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3C解析：由题意可知f(x)为增函数．由f(1.375)•f(1.437 5)＜0，可知方程2x＋3x＝7的近似解可取为1.4.故选C.3．(5分)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下．f(1)≈－2 f(1.5)≈0.625 f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是()A．1.25 B．1.375 C．1.42 D．1.5C解析：由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.406 25，1.437 5)之间，且1.437 5－1.406 25<0.05.结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.4.(5分)用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值时，先取区间中点c＝32，则下一个含根的区间是32，2．5.(5分)某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确到0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在后面的过程中，他用二分法又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断，方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．1．5，1.75，1.875，1.812 5解析：第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5)．6.(5分)利用计算器，列出部分自变量和函数值的对应值如表：x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8 －0.6 －0.4 －0.2 0y＝2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 30.659 8 0.757 9 0.870 6 1y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(a在表格中第一行里的数据中取值)，则a 的值为________．－1或－0.8解析：令f(x)＝2x－x2，由表中的数据可得f(－1)<0，f(－0.6)>0，f(－0.8)<0, f(－0.4)>0，∴方程的根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内．∴a＝－1或a＝－0.8.7.(5分)用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度为0.001)时，如果选取初始区间是[1.4，1.5]，则达到精确度要求至少需要计算________次．7解析：设至少需要计算n次，则n满足0.12n<0.001，即2n>100，因为n∈N*，且27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次．8.(12分)以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．先求值，f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________．所以f(x)在区间________内存在零点x0，填表：区间中点m f(m)的符号区间长度解：f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为区间中点m f(m)的符号区间长度(1，2) 1.5 ＋ 1(1，1.5) 1.25 ＋0.5(1，1.25) 1.125 －0.25(1，125，1.25) 1.187 5 ＋0.125(1.125，1．187 5) 0.062 5因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取为1.187 5.9.(13分)求方程x2－2x－1＝0的一个大于零的近似解(精确度为0.1)．解：设f(x)＝x2－2x－1，先画出函数图象的草图，如图所示.因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，所以在区间(2，3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1，取2和3的中间数2.5，因为f(2.5)＝0.25>0，所以x1∈(2，2.5)，再取2与2.5的中间数2.25，因为f(2.25)＝－0.437 5<0，所以x1∈(2.25，2.5)，如此继续下去，得f(2.375)<0，f(2.437 5)>0，则x1∈(2.375，2.4375)，因为|2.437 5－2.375|＝0.062 5<0.1.所以此方程大于零的近似解为2.437 5.。
(必修第一册)用二分法求方程的近似解(同步练习)(含解析)
4.5.2用二分法求方程的近似解一、单选题1．用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（ ） A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.42．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算，得f (0)<0，f (0.5)>0，第二次应计算f (x 1)，则x 1等于（ ） A ．1B ．－1C ．0.25D ．0.753．设函数3()48f x x x =+-，用二分法求方程3480x x +-=近似解的过程中，计算得到()10f <，()30f >，则方程的近似解落在区间（ ） A ．()1,1.5 B ．()1.5,2 C ．()2,2.5D ．()2.5,34．已知函数()22log 6f x x x =--，用二分法求()f x 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ）A ．()1,2B ．()2,2.5C ．()2.5,3D ．()3,3.55．一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：1g20.301=，1g30.4771=，答案采取四舍五入精确到0.1h ） A ．2.3小时B ．3.5小时C ．5.6小时D ．8.8小时二、多选题6．用二分法求函数()232xf x x =+-在区间[]0,2上的零点近似值取区间中点1，则（ ） A ．下一个存在零点的区间为()0,1B ．下一个存在零点的区间为()1,2C ．要达到精确度1的要求，应该接着计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭D ．要达到精确度1的要求，应该接着计算32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．以下函数图象中，能用二分法求函数零点的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1.25B ．1.4375C ．1.40625D ．1.42199．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的是（ ）A ．y =2x+1B ．y =1010x x x x -+≥⎧⎨+<⎩，，，C ．y =12x 2+4x +8D ．y =|x |10．若函数()f x 的图像在R 上连续不断，且满足(0)0f <，(1)0f >，(2)0f >，则下列说法错误的是（ ） A ．()f x 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B ．()f x 在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C ．()f x 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D ．()f x 在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点三、填空题11．为了求函数()237x f x x =+-的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数()f x 的部分对应值，如下表所示：12．已知函数()322f x x x =--，()()120f f ⋅<，用二分法逐次计算时，若0x 是[]1,2的中点，则()0f x =________.四、解答题13．用二分法求24x x +=在[1]2，内的近似解(精确度为0.2).参考数据：14．判断函数()321f x x =-的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度0.1)15．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是2m （m 为正整数）．将这2m 个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组12m -个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者． 例如，当待检测的总人数为8，且标记为“x ”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过4轮共n 次检测后，才能确定标记为“x ”的人是唯一感染者．（1）写出n 的值；（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；（3）若待检测的总人数为102，且其中不超过2人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值．参考答案1．B 【分析】利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得. 【详解】依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.70.68,()0.72∈，且满足|0.72-0.68|<0.1， 所以所求的符合条件的近似值为0.7. 故选：B 2．C 【分析】根据二分法的原理，直接求解即可. 【详解】第一次计算，得f (0)<0，f (0.5)>0，可知零点在()0,0.5之间， 所以第二次计算f (x 1)，则x 1＝00.52+＝0.25. 故选：C 3．A 【分析】根据二分法求方程的近似解的过程，由条件先求得()20f >，再求32f ⎛⎫⎪⎝⎭的符号，只须找到满足()()0f a f b <即可【详解】取12x =，因为()24828260f =⨯+-=>，所以方程近似解()01,2x ∈， 取232x =，因为3273f 4870282⎛⎫=⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以方程近似解031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：A. 4．C 【分析】根据函数解析式，结合二次函数与对数函数单调性，分别判断ABD 都不正确，再结合零点存在性定理，即可得出结果. 【详解】因为函数()22log 6f x x x =--在()0,∞+上显然是连续函数，2yx 和2log 6y x =+在()0,∞+上都是增函数，当()1,2x ∈时，2222246log 16log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()1,2x ∈上恒成立； 当()2,2.5x ∈时，22222.5 6.257log 26log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()2,2.5x ∈上也恒成立；当()3,3.5x ∈时，222239log 3.56log 6x x >=>+>+，所以()22log 60f x x x =-->在()3,3.5x ∈上恒成立，又22(2.5) 2.5log 2.560f =--<，2(3)9log 360f =-->，根据函数零点存在性定理，可得()f x 的其中一个零点的初始区间可为()2.5,3. 故选：C. 【点睛】 方法点睛：判断零点所在区间的一般方法：先根据题中条件，判断函数在所给区间是连续函数，再由零点存在性定理，即可得出结果. 5．A 【分析】药在血液中以每小时20%的比例衰减，根据指数函数模型列方程或不等式求解． 【详解】设从现在起经过x 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效． 则25000.81500x ⨯=，0.80.6x =，lg 0.8lg 0.6x =，lg 0.8lg 0.6x =，6lglg 0.6lg 2lg310.3010.4771110 2.38lg 0.83lg 2130.3011lg 10x +-+-====≈-⨯-．故选：A ． 6．AC 【分析】根据二分法求零点的步骤，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】因为()0020210f =+-=-<，()222620f =+->，()112320f =+->，所以()()010f f <，所以下一个存在零点的区间为()0,1，故A 正确，B 错误； 要达到精确度1的要求，应该接着计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确，D 错误.故选：AC ． 7．ABC 【分析】根据利用二分法无法求不变号的零点问题确定选项. 【详解】D 选项虽然有零点，但是在零点左右两侧函数值符号都相同， 因此不能用二分法求零点，而A ，B ，C 选项符合利用二分法求函数零点的条件． 故选：ABC ． 【点睛】本题考查了零点判定定理的应用和二分法求解函数的零点．属于容易题. 8．BCD 【分析】由根的存在性定理判断根的较小区间，从而求近似解． 【详解】解：由表格可得，函数32()22f x x x x =+--的两点在(1.375,1.4375)之间， 符合条件的有BCD. 故选：BCD ． 9．CD 【分析】根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值． 【详解】对于选项C ，y =12x 2+4x +8=12(x +4)2≥0，故不能用二分法求零点的近似值. 对于选项D ，y =|x |≥0，故不能用二分法求零点的近似值. 易知选项A ，B 有零点，且可用二分法求零点的近似值. 故选：CD ． 10．ABD 【分析】根据()f x 的图像在R 上连续不断，()00f <，()10f >，()20f >，结合零点存在定理，判断出在区间()0,1和()1,2上零点存在的情况，得到答案． 【详解】由题知()()010f f ⋅<，所以根据函数零点存在定理可得()f x 在区间()0,1上一定有零点， 又()()120f f ⋅>，无法判断()f x 在区间()1,2上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点． 故选：ABD ． 11．1.4 【分析】根据函数零点存在定理、用二分法求方程的近似解的相关知识，代值求解即可. 【详解】由题表知()()1.375 1.43750f f ⋅<，且1.4375 1.3750.06250.1-=<， 所以方程的一个近似解可取为1.4， 故答案为：1.4. 12． 1.625-. 【分析】先求出0x 的值，再代入解析式即可求解. 【详解】因为0x 是[]1,2的中点，所以0 1.5x =，所以()()30 1.5 1.52 1.52 1.625f x f ==-⨯-=-，故答案为： 1.625-. 13．1.375 【分析】本题直接用二分法求方程的近似解即可. 【详解】解：令()24xf x x =+-，则()12140f =+-<，()222240f =+->，∵24x x +=在[1]2，内的近似解可取为1.375. 14．0.75 【分析】首先由()()010f f ⋅<结合()f x 的单调性可知()f x 有且只有一个零点()00,1x ∈，再利用取区间中点的方法利用零点存在性定理将零点所在区间逐渐减半，直到满足精确度即可. 【详解】因为()321f x x =-，所以()010f =-<，()12110f =-=>因为()()010f f ⋅<，所以()f x 在区间()0,1内有零点，因为()321f x x =-在R 上为增函数，所以()f x 有且只有一个零点()00,1x ∈，取区间()0,1的中点10.5x =，()30.520.510.750f =⨯-=-<，所以()()0.510f f ⋅<，可得()00.5,1x ∈，取区间()0.5,1的中点20.75x =，()30.7520.7510.156250f =⨯-=-<，所以()()0.7510f f ⋅<，可得()00.75,1x ∈，取区间()0.75,1的中点30.875x =，()30.87520.87510.33980f =⨯-=>，所以()()0.750.8750f f ⋅<，可得()00.75,0.875x ∈，取区间()0.75,0.875的中点40.8125x =，()30.812520.812510.07280f =⨯-=>，所以()()0.750.81250f f ⋅<，可得()00.75,0.8125x ∈， 因为0.81250.750.06250.1-=<，所以()321f x x =-零点的近似值可取为0.75.15．（1）7n =；（2）感染者人数可能的取值为2，3，4；（3）39． 【分析】（1）由图可计算得到n的取值；（2）当经过4轮共9次检测后确定所有感染者，只需第3轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果；（3）当所需检测次数最大时，需有2名感染者，并在第2轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为92的组，每组1个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果.【详解】（1）由题意知：第1轮需检测1次；第2轮需检测2次；第3轮需检测2次；第4轮需检测2次；12227∴=+++=；n（2）由（1）可知：若只有1个感染者，则只需7次检测即可；经过4轮共9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，则只需第3轮时，对两组都都进行检查，即对最后4个人进行检查，可能结果如下图所示：∴感染者人数可能的取值为2，3，4.（3）若没有感染者，则只需1次检测即可；+⨯=次检测即可；若只有1个感染者，则只需121021若有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组中；+⨯=次检测；∴此时两组共此时相当于两个待检测人数均为92的组，每组1个感染者，此时每组需要12919⨯=次检测；需21938∴若有2个感染者，且检测次数最多，共需38139+=次检测.综上所述：所需总检测次数的最大值为39.。
用二分法求方程的近似解-经典例题及答案
例1：利用计算器，求方程0122=--x x 的一个近似解（精确到0.1）．【解】设2()21f x x x =--，先画出函数图象的简图.(如右图所示)因为 (2)10,(3)20f f =-<=>，所以在区间(2,3)内，方程2210x x --=有一解，记为1x .取2与3的平均数2.5，因为(2.5)0.250f =>，所以 12 2.5x <<.再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f =-<，所以 12.25 2.5x <<.如此继续下去，得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5)f f x <>⇒∈1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>⇒∈ 2.4375)，因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为1 2.4x ≈.利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.点评:①第一步确定零点所在的大致区间),(b a ，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； 零点所在区间 区间中点函数值 区间长度]3,2[ 0)5.2(>f 1]5.2,2[ 0)25.2(<f 0.5]5.2,25.2[ 0)375.2(<f 0.25]5.2,375.2[ 0)4375.2(>f0.125 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．例2：利用计算器，求方程x x -=3lg 的近似解（精确到0.1）．分析：分别画函数lg y x =和3y x =-的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个程x x -=3lg 的解．由函数lg y x =与点的横坐标就是方3y x =-的图象可以发现，方程x x -=3lg 有惟一解，记为1x ，并且这个解在区间(2,3)内. 【解】设()lg 3f x x x =+-，利用计算器计算得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(3)0(2.5,3)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(2.75)0(2.5,2.75)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(2.625)0(2.5,2.625)f f x <>⇒∈(2.5625)0,(2.625)0f f <>1x ⇒∈(2.5625,2.625)因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为1 2.6x ≈.思考:发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法．除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等．例3：利用计算器，求方程24x x +=的近似解（精确到0.1）．【解】方程24x x +=可以化为24xx =-．分别画函数2x y =与4y x =-的图象，由图象可以知道，方程24x x +=的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为 1.4x ≈.追踪训练一1. 设0x 是方程ln 4x x =-+的解，则0x 所在的区间为 （ B ）A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)2. 估算方程25710x x --=的正根所在的区间是 （ B ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．计算器求得方程25710x x --=的负根所在的区间是（ A ）A ．（1-，0）B ．()2,1--C ．()2.5,2--D ．()3, 2.5--4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到0.1)(1)lg 21x x =-+ (2)34xx =+答案: (1)0.8(2)1 3.9x ≈-,2 1.6x ≈ 一、含字母系数的二次函数问题例4：二次函数2()f x px qx r =++中实数p 、q 、r 满足021p q r m m m++=++，其中0m >，求证：（1）()01m pf m <+)； （2）方程()0f x =在(0,1)内恒有解． 分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：1m m +是区间(0,1) 内的数，且()01m pf m <+，这就启发我们把区间(0,1) 划分为(0，1m m +)和（1m m +，1）来处理． 【解】（1）2()[()()]111m m m pf p p q r m m m =+++++ 2[](1)1pm q r pm m m m=++++ 2[](1)2pm p pm m m =-++222(2)(1)[](1)(2)m m m p m m m +-+=++ 22(1)(2)p m m m =-++， 由于()f x 是二次函数,故0p ≠，又0m >，所以，()01m pf m <+． ⑵ 由题意，得(0)f r =, (1)f p q r =++． ①当0p >时，由（1）知()01m f m <+ 若0r >，则(0)0f >，又()01m f m <+, 所以()f x 在（0，1m m +）内有解． 若0r ≤，则(1)f p q r =++=(1)p m ++()2p r r m m =--++=02p r m m ->+，又()01m f m <+，所以()0f x =在（1m m +,1）内有解．②当0p <时同理可证．点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数0p ≠．若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改．（2）对字母p 、r 分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对p 分类，然后对r 分类显然是比较好．追踪训练二1．若方程2210ax x --=在(0,1)内恰有一则实数a 的取值范围是 (B )A ．1[,)8-+∞B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．1[,1)8-2.方程22210x x k -+-=的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是112k <<； 3．已知函数()24f x mx =+，在[2,1]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是____12m m ≥≤-或_____________．4．已知函数()3f x x x =+⑴试求函数()y f x =的零点；⑵是否存在自然数n ，使()1000f n =？若存在，求出n ，若不存在，请说明理由．答案：（1）函数()y f x =的零点为0x =；（2）计算得(9)738f =，(10)1010f =，由函数的单调性，可知不存在自然数n ，使()1000f n =成立．。
3.1.2 用二分法求方程的近似解--讲义练习及答案
3.1.2 用二分法求方程的近似解1.A 方程322360x x x -+-=在区间[2,4]-上的根必定在( ) A ．[2,1]-内B ．5[,4]2内C ．7[1,]4内 D ．75[,]42内 2.A 已知函数3()28f x x x =+-的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：则方程3280x x +-=的近似解可取为(精确度为0.1)( ) A ．1.50 B ．1.66C ．1.70D ．1.752()2(0)f x x x =->，我们知道f (1)·f (2)<0(1,2)的近似值满足精确度为0.1，则对区间(1，2)二等分的次数至少为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6新知新讲1.B 已知函数3()log 26f x x x =+-证明：（1）在定义域内只有唯一的一个零点； （2）试求出一个零点所在的长度不大于14的区间.2.A 如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是______.3.B某电器公司生产A种型号的家庭电脑，2010年平均每台电脑的生产成本为5000元，并按纯利润为20%标定出厂价.2011年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产逐年降低，2014年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是2010年的80%，但却实现了纯利润50%.(1)求2014年每台电脑的生产成本；(2)以2010年的生产成本为基数，用二分法求2010年-2014年间平均每年生产成本降低的百分率（精确度0.01）.1.B已知函数f(x)=13x3-x2-3x+9.(1)求函数f(x)的一个负实数零点(精确到0.1);(2)解不等式13x3-x2-3x+9≤0.3.1.2 用二分法求方程的近似解参考答案1. D2. B3. B新知新讲1.（1）证明：因为(1)40f =-<，(3)10f =>，且3log y x =在(0,)+∞上是单调增函数，2y x =在(0,)+∞上是单调增函数，所以函数3()log 26f x x x =+-在(0,)+∞上是单调增函数，所以函数3()log 26f x x x =+-在定义域内只有唯一的一个零点.（2）因为3(2)log 220f =-<，由（1）知，零点在(2,3)之间，因为355()log 1022f =-<，所以零点在(52,3)之间，因为311111()log 0442f =->，所以零点在(52,114)之间.即零点所在的长度不大于14的区间是(52,114). 2.①③3.(1)3200元 （2）10.3125%1.(1)-3 (2){|33}x x x ≤-=或。
二分法
方程
近ln 似x 值 。2x60
二：用二分法求方程的近似解
❖例1：用二分法求方程 lnx+2x-6=0的近似解
区间
8
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
6
(2.5,3)
4
2.f5 x = ln x +2 x --06.084
2.75
0.512
(2.5,2.75)
2
2.625
0.215
(2.5,2.625)
-5
(2.5,2.5625)
2.5625
0 23 5
10
-2
2.53125
0.066
15
-0.009
(2.53125,2.2625) -4
2.546875
(2.53125,2.546875) -6
2.5390625
(2.53125,2.5390625) -8
2.53515625
表1 二分法过程中的函数近似值 图3 函数的近似解示意图
-4
1.4375
0.02
-5
(1.375,1.4375)
表3 - 二6 分法过程中的函数近似值
图6 方程近似解的示意图
10
四：典型例题及归纳小结
❖ 归纳小结 二分法是求方程近似解的一种常用方法，它是 利用方程的根与对应的函数零点的关系，将求 解方程转化为求解函数的零点的近似解。
❖ 算法步骤 ❖ 逐步逼近思想. ❖ 数形结合思想. ❖ 近似与精确的相对统一.
图4 几个函数图像示意图
三：用二分法求方程近似解步骤算法
❖二分法求方程近似解的算法（给定精确度 ）：
▪ 1：确定区间[ a , b，] 验证 f(a) f，(b给)定0精确度 ；
二分法
由上式计算可知,x2=3就是所求函数的一个零 点.
例2
求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个为正数的 零点(误差不超过0.1) 解 由于f(0)=-2<0,f(1)=-2<0,f(2)=6>0,可以 取区间[1,2]作为计算的初始区间. 端点(中点)坐标 中点的函数值 X1=(1+2)/2=1.5 f(x1)=0.625>0 X2=1.25 X3=1.375 f(x2)<0 f(x3)<0 取区间 [1,2] [1,1.5] [1.25,1.5] 区间长度 1 0.5 0.25
3.循环进行,达到精确要求
练习
1. 函数f(x)=-x2+8x-16在区间[3,5]上( B )
(A)没有零点
(C)有两个零点
(B)有一个零点
(D)无数个零点
2.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间[-2,4]上的变号零 点必定在( D )内 (A) [-2,1] (C) [1,1.75] (B) [2.5,4] (D) [1.75,2.5]
3.用二分法求函数的零点,函数的零点总位于区间 [an,bn]上,当 an bn m 时函数的近似零点与真正 零点的误差不超过( B )
A.mΒιβλιοθήκη B.m/2C. 2m
D. m/4
4. 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房 到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这一 条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
y
ae
o d c b
x
通过取中点,不断把函数的区间一分为 二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得 到函数的零点或零点的近似值,这样的方法 叫做二分法.
例1
求函数f(x)=x3-3x2+2x-6在区间[0,4]内的变 号零点. 解 f(0)=-6<0 f(4)=18>0 端点(中点)坐标 中点的函数值 X1=(0+4)/2=2 X2=(2+4)/2=3 f(x1)=f(2)=-6<0 f(x2)=f(3)=0 取区间 [0,4] [2,4]
“用二分法求方程的近似解”典型例题与答案解析
1．方程log 3x+x=3的近似解所在区间是A （0，2）B （1，2）C （2，3）D （3，4） 2．下列函数，在指定范围内存在零点的是 A y= x 2-x x ∈(-∞ ,0) B y=∣x ∣-2 x ∈[-1,1] C y= x 5+x-5 x ∈[1,2] D y=x 3-1 x ∈( 2,3 ) 3. 方程2x +3302x -=的解在区间 A （ 0，1 ）内 B （ 1，2）内 C （2，3）内 D 以上均不对4．方程log a x=x+1 (0<a<1)的实数解的个数是 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个5．下列图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是 （ ）AB6．证明：方程2x -230x -=的两根一个在区间（-2，-1）内，一个在（3，4）内。
[巩固提高]1．方程3640x x -=的实根个数为 （ ）A 0B 1C 2D 32．方程2310x x -+=在区间（2，3）内，根的个数为 （ ） A 0 B 1 C 2 D 不确定3．方程lnx+2x=6的解一定位于区间（ ）内 A （1，2） B （2，3） C （3，4） D （4，5）4．函数f(x)= 25x -的函数零点的近似值（精确到0.1）是（ ）A 2.0B 2.1C 2.2CDD 2.35．三次方程32210x x x +--=在下列哪些连续整数之间有根？ （ ）A –2与-1之间B –1与0之间C 0与1之间D 1与2之间E 2与3之间6．函数y=1()2x 与函数y=lg x 的图象的交点横坐标（精确到0.1）约是 （ ）A 1.3B 1.4C 1.5D 1.67．方程310x x --=在区间[1，1.5]的一个实数根（精确到0.01）为__________________8．已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间（a,b ）(b-a=0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确到0.0001）的近似值，那么将区间（a,b ）等分的次数是____________ 9．求方程lnx+2x-6=0的近似解。
二分法求方程的近似解(分层作业)-【上好课】高一数学同步备课系列(原卷版)
4.5.2 二分法求方程的近似解（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）用二分法求函数()3222f x x x x =+--的一个零点的近似值（误差不超过0.1）时，依次计算得到如下数据：12f ，()1.50.625f =，()1.250.984f =-，()1.3750.260f =-，关于下一步的说法正确的是（ ）A ．已经达到对误差的要求，可以取1.4作为近似值B ．已经达到对误差的要求，可以取1.375作为近似值C ．没有达到对误差的要求，应该接着计算()1.4375fD ．没有达到对误差的要求，应该接着计算()1.3125f2．（2022·全国·高一课时练习）若函数()31f x x x =--在区间[]1,1.5内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下： x11.51.251.3751.3125()f x －1 0.875 －0.2969 0.2246 －0.05151则方程310x x --=的一个近似根（误差不超过0.05）为（ ） A ．1.375B ．1.34375C ．1.3125D ．1.253．（2022·全国·高一课时练习）关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是（ ） A ．用二分法求方程的近似解一定可以得到()0f x =在[],a b 内的所有根 B ．用二分法求方程的近似解有可能得到()0f x =在[],a b 内的重根 C ．用二分法求方程的近似解有可能得出()0f x =在[],a b 内没有根 D ．用二分法求方程的近似解有可能得到()0f x =在[],a b 内的精确解4．（2022·全国·高一课时练习）若函数32()22f x x x x =+--的部分函数值如下，那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）可以是（ ）12f()1.50.625f =()1.250.984f ≈-()1.3750.260f ≈-()1.43750.162f ≈A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.55．（2022·江苏·南京师范大学附属中学江宁分校高一期中）用二分法研究函数()321f x x x =+-的零点时，第一次计算，得()00f <，()0.50f >，第二次应计算()1f x ，则1x 等于（ ） A ．1B ．1-C ．0.25D ．0.756．（2022·全国·高一课时练习）用二分法研究函数()5381f x x x =+-的零点时，第一次经过计算得()00f <，()0.50f >，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）A ．()0,0.5，()0.125fB ．()0,0.5，()0.375fC ．()0.5,1，()0.75fD ．()0,0.5，()0.25f7．（2022·全国·高一课时练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题8．（2022·全国·高一课时练习）某同学用二分法求函数()237xf x x =+-的零点时，计算出如下结果：()1.50.33f ≈，()1.250.87f ≈-，()1.3750.28f ≈-，()1.43750.02f ≈，()1.406250.13f ≈-．下列说法正确的有（ ）A ．()f x 的零点在区间()1.375,1.40625内B ．()f x 的零点在区间()1.25,1.4375内C ．精确到0.1的近似值为1.4D ．精确到0.1的近似值为1.59．（2022·全国·高一课时练习）如图，函数()f x 的图像与x 轴交于()1,0M x ，()2,0N x ，()3,0P x ，()4,0Q x 四点，则能用二分法求出()f x 的零点近似值的是（ ）A ．1xB ．2xC ．3xD ．4x10．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是（ ） A ．23y x=- B ．1,01,0x x y x x -+≥⎧=⎨+<⎩C ．233y x x =-+D ．2y x =-11．（2022·湖北大学附属中学高一阶段练习）某同学用二分法求函数()237xf x x =+-的零点时，计算出如下结果：()1.50.33f =，()1.250.87f =-，()1.3750.26f =-，()1.43750.02f =，()1.40650.13f =-，()1.4220.05f =-，下列说法正确的有（ ）A ．精确到0.1的近似值为1.375B ．精确到0.01的近似值为1.4065C ．精确到0.1的近似值为1.4375D ．精确到0.1的近似值为1.25三、填空题12．（2022·全国·高一专题练习）根据下表，用二分法求函数3()31f x x x =-+在区间(1,2)上的零点的近似值（精确度0.1）是__________． f （1）=-1f （2）=3f （1.5）=-0.125 f （1.75）=1.109375f （1.625）=0.41601562f （1.5625）=0.1271972613．（2022·全国·高一课时练习）对于在区间[],a b 上图象连续不断且________的函数()y f x =，通过不断地把它零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做___________14．（2022·全国·高一专题练习）利用二分法求3()2f x x =-的零点时，第一次确定的区间是12（,），第二次确定的区间是___________.15．（2022·全国·高一专题练习）用二分法研究函数3()21f x x x =+-的零点，第一次经计算(0)0,(0.5)0f f <>，则第二次计算的()f x 的值为___．16．（2022·全国·高一专题练习）用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间[0,1]上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为______． 四、解答题17．（2022·全国·高一课时练习）已知函数2()281f x x x =--为R 上的连续函数，判断()f x 在()1,1-上是否存在零点？若存在，用二分法求出这个零点的近似值（精确到0.1）；若不存在，请说明理由．18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()()20f x ax bx c a =++>，且()12a f =-．(1)求证：函数()f x 有两个不同的零点；(2)设1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的零点，求12x x -的取值范围．【能力提升】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（ ） A ．f (x )＝3x －1 B ．f (x )＝x 3 C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝ln x2．（2022·全国·高一课时练习）用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间()0,1内零点的近似值，要求误差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．83．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 满足：对任意[]12,,x x a b ∈，都有()()12120f x f x x x ->-，且()()0f a b ⋅<.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[],,,,1,23a b b a b a a +⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又2403a b f +-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的零点为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．154．（2022·全国·高一课时练习）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞二、多选题5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 在区间()0,3上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若()00f >，()()()1230f f f <，则下列命题正确的是（ ） A ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间0,1和1,2内 B ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间1,2和()2,3内 C ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间0,1和()2,3内 D ．函数()f x 的两个零点不可能同时在区间1,2内6．（2022·四川省内江市第六中学高一开学考试）（多选）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈） A ．6 B ．9 C ．8 D ．7三、填空题7．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）已知函数()325f x x x =-+在[]2,1x ∈--上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行______次函数值的计算.8．（2022·全国·高一专题练习）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧(法号：一行)为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法(又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年)：对于函数()y f x =在()123123,,x x x x x x <<处的函数值分别为()11y f x =，()22y f x =，()33y f x =，则在区间[]13,x x 上()f x 可以用二次函数()()()()111212f x y k x x k x x x x =+-+--来近似代替，其中21121y y k x x -=-，3232y y k x x -=-，1231k k k x x -=-．若令10x =，22x π=，3x π=，请依据上述算法，估算2sin5π的近似值是_______． 9．（2022·全国·高一专题练习）若函数()f x 的图象是连续的，且函数()f x 的唯一零点同在()0,4，()0,2，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，53,42⎛⎫⎪⎝⎭内，则与()0f 符号不同的是______.（填写所有正确的序号） ①()4f ；②()2f ；③()1f ；④32f ⎛⎫⎪⎝⎭；⑤54f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.四、解答题10．（2022·全国·高一专题练习）阅读材料求方程220x -=的近似根有很多种算法，下面给出两种常见算法： 方法一：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法： 第一步：令22f x x ．因为()10f <，()20f >，所以设11x =，22x =．第二步：令122x x m +=，判断()f m 是否为0．若是，则m 为所求； 若否，则继续判断()()1f x f m ⋅大于0还是小于0． 第三步：若()()10f x f m ⋅>，则1x m =；否则，令2x m =．第四步：判断120.005x x -<是否成立？若是，则12,x x 之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步．方法二：考虑220x -=的一种等价形式 变形如下：2x x =，∴2x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴122x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这就可以形成一个迭代算法：给定0x根据1122k k k x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0k =，1，2，…计算多次后可以得到一个近似值(1)2的近似值（结果保留4位有效数字），比较两种方法迭代速度的快慢； (2)50.001）．11．（2022·湖南·高一课时练习）用二分法求方程210x x +-=的根的近似值（误差不超过0.001）．12．（2022·湖南·高一课时练习）借助计算器或计算机，用二分法求方程310x x --=在区间[]1,2上的根的近似值（误差不超过0.001）．13．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()11xf x x-=+. (1)探究()f x 在()1,-+∞上的单调性，并用单调性的定义证明；(2)判断方程()()21log 2f x f x +=⎡⎤⎣⎦是否存在实根？若存在，设此根为0x ，请求出一个长度为18的区间(),a b ，使()0,x a b ∈；若不存在，请说明理由.（注：区间(),a b 的长度为b a -）14．（2022·全国·高一课时练习）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC 和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．15．（2022·江西抚州·高一期末）水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为218m ，经过3个月其覆盖面积为227m . 现水葫芦覆盖面积y （单位2m ）与经过时间()x x N ∈个月的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与12(0)=+>y px q p 可供选择.23 1.732,lg 20.3010,lg 30.4771≈≈≈≈ ） （Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（Ⅱ）求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.11。
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1．已知函数f (x )的图象是连续不断的曲线，有如下的x 与f (x )的对应值表
x 1 2 3 4 5 6 7 f (x ) 132.1 15.4 －2.31 8.72 －6.31 －125.1 12.6
那么，函数f (x )在区间[1,6]上的零点至少有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个
解析：选C.观察对应值表可知，f (1)＞0，f (2)＞0，f (3)＜0，f (4)＞0，f (5)＜0，f (6)＜0，f (7)＞0，∴函数f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个，故选C.
2．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，则方程的根落在区间( )
A ．(1,1.25)
B ．(1.25,1.5)
C ．(1.5,2) D. 不能确定
解析：选B.由已知f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，
∴f (1.25)f (1.5)＜0，因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内，故选B.
3．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下：
f (1)＝－2 f (1.5)＝0.625 f (1.25)＝－0.984 f (1.375)＝－0.260 f (1.4375)＝0.162 f (1.40625)＝－0.054
那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确度0.1)为( ) A ．1.25 B ．1.375 C ．1.4375 D ．1.5
解析：选C.根据题意知函数的零点在1.40625至1.4375之间，因为此时|1.4375－1.40625|＝0.03125<0.1，故方程的一个近似根可以是1.4375.
4．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
解析：设f (x )＝x 3－2x －5，∵f (2)＝－1＜0，f (3)＝16＞0，又f (2.5)＝5.625＞0， ∴f (2)·f (2.5)＜0，因此，下一个有根区间是(2,2.5)． 答案：(2,2.5)
1．定义在R 上的奇函数f (x )( ) A ．未必有零点
B ．零点的个数为偶数
C ．至少有一个零点
D ．以上都不对
解析：选C.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，
∴f (x )至少有一个零点，且f (x )零点的个数为奇数． 2．下列函数零点不能用二分法求解的是( ) A ．f (x )＝x 3－1 B ．f (x )＝ln x ＋3 C ．f (x )＝x 2＋22x ＋2 D ．f (x )＝－x 2＋4x －1 解析：选C.对于C ，f (x )＝(x ＋2)2≥0，不能用二分法． 3．函数f (x )＝log 2x ＋2x －1的零点必落在区间( )
A ．(18，14)
B ．(14，12
)
C ．(1
2
，1)
D ．(1,2)
解析：选C.f (18)＝－154＜0，f (14)＝－5
2
＜0，
f (1
2
)＝－1＜0，f (1)＝1＞0，f (2)＝4＞0， ∴函数零点落在区间(1
2
，1)上．
4．已知f (x )＝1
x
－ln x 在区间(1,2)内有一个零点x 0，若用二分法求x 0的近似值(精确度0.1)，
则需要将区间等分的次数为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 解析：选B.由求解方程近似解的步骤可知需将区间等分4次．
5．用二分法判断方程(1
2
)x ＝x 2的根的个数是( )新 课 标 第 一 网
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
解析：选C.设y 1＝(1
2
)x ，y 2＝x 2，在同一坐标系下作图象(略)可知，它们有两个交点，∴
方程(1
2
)x ＝x 2有两个根．故选C.
6．用二分法求如图所示函数f (x )的零点时，不可能求出的零点是( )
A ．x 1
B ．x 2
C ．x 3
D ．x 4
解析：选C.观察图象可知：点x 3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x 3不能用二分法求，故选C.
7．若方程x 3－x ＋1＝0在区间(a ，b )(a ，b 是整数，且b －a ＝1)上有一根，则a ＋b ＝________.
解析：设f (x )＝x 3－x ＋1，则f (－2)＝－5<0，f (－1)＝1>0可得a ＝－2，＝－1，∴a ＋b ＝－3.
答案：－3
8．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：
f (1.6000)＝0.200 f (1.5875)＝0.133 f (1.5750)＝0.067 f (1.5625)＝0.003 f (1.5562)＝－0.029 f (1.5500)＝－0.060
据此数据，可得方程3x －x －4＝0的一个近似解(精确到0.01)为________．
解析：注意到f (1.5562)＝－0.029和f (1.5625)＝0.003，显然f (1.5562)f (1.5625)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56.
答案：1.56
9．在用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1)．
解析：因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，
所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解． 答案：0.75或0.6875
10．利用二分法求方程x2－2＝0的一个正根的近似值．(精确到0.1)
解：对于f(x)＝x2－2，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的，∵f(1)·f(2)＜0，∴f(x)＝x2－2在(1,2)内有一个零点，即方程x2－2＝0在(1,2)内有一个实数解，取(1,2)的中点1.5，f(1.5)＝1.52－2＝0.25＞0，又f(1)＜0，所以方程在(1,1.5)内有解，如此下去，得方程x2－2＝0，正实数解所在区间如下：
第1次第2次第3次第4次第5次第6次…
左端点11 1.25 1.375 1.375 1.40625…
右端点2 1.5 1.5 1.5 1.4375 1.4375…
∴方程的一个正根的近似值为1.4.
11．确定函数f(x)＝log1
2
x＋x－4的零点个数．
解：
设y1＝log1
2
x，y2＝4－x，则f(x)的零点个数，即y1与y2的交点个数，作出两函数图象如图．
由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，
当x＝4时，y1＝－2，y2＝0；
当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，
∴在(4,8)内两曲线又有一个交点，
∴两曲线有两个交点，
即函数f(x)＝log1
2
x＋x－4有两个零点．
12．求3
2的近似值(精确度0.01)．
解：设x＝3
2，则x3－2＝0.令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是32的近似
值，以下用二分法求其零点的近似值．
由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：
区间中点中点函数近似值
[1,2] 1.5 1.375
[1,1.5] 1.25－0.0469
[1.25,1.5] 1.3750.5996
[1.25,1.375] 1.31250.2610
[1.25,1.3125] 1.281250.1033
[1.25,1.28125] 1.2656250.0273
[1.25,1.265625] 1.2578125－0.01
[1.2578125,1.265625]。