专题：一次函数与面积
八年级数学下册 一次函数专题 一次函数与面积结合问题课件 (新版)冀教版
典例精讲
解：根据题意，设与y轴交点坐标
为（0，b）
则
，
解得|b1|=43，∴| bb|=±64
①当b=24时，与y轴交点为（0，4）
，解得
3k b 0
b
4
k
4 3
b 4
∴函数解析式为 y 4 x 4 ②当b=-4时，与y轴的交3 点为（0，-4）
解得：
3k b 0
b
4
∴函数解析式为
初中数学知识点精讲课程
一次函数与面积结合问题
解题步骤归纳
解析式 由面积
求出与坐标轴交点的坐标 求出与点的坐标
根据面积公式求出面积 待定系数法求解析式
设出点的坐标
由面积求点的坐标
由解的情况判定存在与否
典例精讲
类型一：知解析式或坐标求面积
y
如图，一次函数y＝﹣2x＋4图象分别与y轴、 A
x轴交于A、B两点． 求一次函数图象与两坐标轴围成的三角形 AOB的面积。
O
B
x
典例精讲
解：当x＝0时，y＝4， 当y＝0时，-2x+4＝0，解得x＝2， ∴点A（0，4），B（2，0）， ∴OA＝4，OB＝2，
。
SAOB12OAOB12424
y A
O
B
x
典例精讲
类型二：知面积求解析式或坐标
已知y=kx+b的图象经过（3，0），且 与坐标轴围成的三角形的面积为6， 求这个一次函数的解析式。
∵△OAP的面积为4，
∴
，
∴tS=±21，2|2t |4 ∴P点2坐标为（2，4）或（-2，-4）。
说明
P在一次函数图像上，可 设P点坐标为（t，2t）， △OAP的高为点P的纵坐标 的绝对值，底为A的横坐 标的绝对值，求出t值存 在，求不出t值不存在。
一次函数和面积的知识
面积与一次函数将一次函数与面积综合在一起进行考查，是目前比较热点的一类题型，充分体现了数形结合思想的具体应用，现举例加以说明．一、由一次函数图象求面积例1 已知直线y=kx+b过点A（－1，5），且平行于直线y=－x+2．（1）求直线y=kx+b的关系式；（2）若B（m，－5）在这条直线上，O二、由面积关系求一次函数关系式 例2 如图2，直线PA 是一次函数y=x+n(n ＞0)＞n) 的图象．（1）用m 、n 表示A 、B 、P 的坐标；（2）设PA 交y 轴于点Q ，若AB=2，四边形 PQOB 的面积为65，求P 点坐标和直线PA 、PB 分析：（1）分别令y=0，代入两个一次函数，可求出A 、B 两点的坐标；要求P 的坐标，只要把y=x+n 与一次方程组，可求得含有m 、n 的x 、y 值，即可得P 点的坐标；（2）由四边形PQOB 的面积等于△PAB 的面积减去△AOQ 的面积，可求出m 、n ，从而求出P 点坐标和直线PA 、PB 的关系式．解：（1）在y=x+ n 中，令y=0，得x=－n ，所以A （－n ，0）；在y=－2x+m 中，令y=0，得x=21m ，所以B （21m ，0）；由⎩⎨⎧+-=+=m x y n x y 2，解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=323n m y n m x ，所以P （3n m -，32nm +）． （2）由y=x+ n ，得Q （0，n ），所以QO=n 。
因为A （－n ，0），所以OA=n -= n 。
所以PQOB S 四边形=PAB S ∆－AO Q S ∆=21×2×32n m +－21n 2=65，即2m+4n －3n 2=5。
又OA+OB= n+21m=2，即m=4－2n 。
所以2（4－2n ）+4n －3n 2=5，所以n 2=1，所以n=1（负值舍去），所以m=4－2×1=2，所以P （31，34）。
所以直线PA 的关系式为y=x+1；PB 的关系式为y=－2x+2．点评：对于不规则的几何图形的面积，可以通过转化的思想，化不规则为规则，如本题中将四边形PQOB 的面积，转化为两个规则图形△PAB 与△AOQ 面积的差去解决的．通过以上两道例题可以看出，解决一次函数与面积问题的基本步骤是：（1）确定交点坐标（有时可用待定系数表示）；（2）求出有关线段的长度；（3）将有关图形的面积化归为与坐标轴有联系的几个基本图形的和差倍分，然后根据题目特点利用图象与面积间的关系综合求解．。
一次函数面积问题专题(含答案解析)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与X轴交于点B (- 6 , 0),交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与X轴、y轴分别交于A B两点，直线a经过原点与线段AB 交于。
，把厶ABO勺面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m (m>n>0的图像，(1) 用m n表示A、B、P的坐标(2) 四边形PQoB勺面积是'，AB=2求点P的坐标4、A AOB的顶点0( 0, 0) A (2, 1)、B (10, 1),直线CDL X 轴且△ AOB面积二等分，若D (m, 0),求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A(2, 0)、0(0, 0),A ABo 的面积为2,求点B的坐标。
6直线y=- x+1与X轴y轴分别交点A B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ ABC N BAC=90 ,点P( a,])在第二象限，△ ABP勺面积与△ ABC7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与X轴交于A、B两点，这两直线的交点为P(1)求点P的坐标(2)求厶PAB的面积8、已知直线y=ax+b (b>0)与y轴交于点N,与X轴交于点A且与直线y=kx交于点M (2, 3)，如图它们与y轴围成的厶MoN勺面积为5,求(1)这两条直线的函数关系式(2)它们与X轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x(1)求出它们的交点A的坐标(2)求出这两条直线与X轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与X轴、y轴交于A B两点，直线I经过原点，与线段AB 交于点。
，把厶AoB的面积分为2：1的两部分，求直线I的解析式。
11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A B（1）求两直线交点C的坐标（2）求厶ABe的面积（3）在直线BC上能否找到点P,使得△ APC的面积為6,求出点P的坐标,12、已知直线y=-x+2与X轴、y轴分别交于点A和点B,另一直线y=kx+b（k≠ 0）经过点C（1，0）,且把△ AOB分为两部分，（1）若厶AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值（2）若厶AOB被分成的两部分面积为1：5,求k和b的值13、直线y=- x+3交X, y坐标轴分别为点A B,交直线y=2x-1于点P,直线-Iy=2x-1交X, y坐标轴分别为C。
一次函数面积问题专题
一次函数面积问题专题
姓名：
一、基本图形识别
求图中各三角形的面积（用坐标表示）
用两种办法求S ∆MLN （用坐标表示）
用两种办法求S ∆AOB （用坐标表示）
二、 基本题型练习
1、在直角坐标系中，O 是坐标原点，点A （3，-2）在一次函数24y x =-+图象上，图象与y 轴的交点为B ，求AOB ∆面积。
x
x
x
变式：(1)在直线AB上找一点P，使得S∆AOB = S∆BOP
变式：(2)在直线AB上找一点P，使得S∆BOP =S∆AOB
变式：(3)在Y轴上找一点P，使得S∆AOP = S∆AOB
1.1如图，直线OC 、BC 的函数关系式分别是x y =1和622+-=x y ，直线BC 与x 轴交于点B ，直线BA 与直线OC 相交于点A ，求:（1）当x 取何值时1y >2y （2）当直线BA 平分△BOC 的面积时,求点A 的坐标.
4
、
如图，已知直线PA 是一次函数)0(>+=n n x y 的图象，直线PB 是一次函数)(2n m m x y +-=的图象。
（1）用m 、n 表示出A 、B 、P 点的坐标；（2）若点Q 是直线PA 与y 轴的交点，且四边形PQOB 的面积6
5，AB=2，试求点P 的坐标，并写出直线PA 与PB 的解析式。
在平面直角坐标系中，点A （4，0），点P （x ，y ）是直线32
1+-
=x y 在第一象限的一点．（1）设△OAP 的面积为S ，用含x 的解析式表示S ，并写出自变量取值范围．（2）在直线321+-=x y 求一点Q ，使△OAQ 是以OA 为底的等腰三角形．（3）若第（2）问变为使△OAQ 是等腰三角形，这样的点。
一次函数中的面积问题
一次函数中的面积问题（专题）例1：已知一次函数 ，求该函数图象与坐标轴围成的图形的面积.（针对性训练1）已知一次函数 ，求该函数图象与坐标轴围成的图形的面积.例2：若直线 与两坐标轴所围成的图形面积为4，求该直线的解析式.（针对性训练2）若直线 与两坐标轴所围成的图形面积为6，求该直线的解析式.例3：已知一次函数图像经过（0，2）且与两坐标轴围成的三角形面积为1，求一次函数的 解析式.（针对性训练3）已知一次函数图像经过（0，-2）且与两坐标轴围成的三角形面积为3， 求一次函数的解析式.4、如图所示一次函数 的图象经过A（2，4）和B （0，2）两点，且与x 轴相交于C 点，连接AO 。
（1）求此一次函数的解析式；（2）求AOC ∆的面积.b kx y +=121+-=x y b x y +=2231-=x y b x y --=321-5、已知直线 和直线 相交于点P ，且直线分别交x 轴、 轴于点A ，B ，直线 交 轴于点C ，如图所示（1）求点P 的坐标；（2）求PCA ∆的面积.6、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象 分别与x 轴、y 轴和直线4=x 交于点A ，B ，C ，直线4=x 与x 轴交于点D ，梯形OBCD （O 为坐标原点）的面积为10，若点A 的横坐标为 ，求这个一次函数的解析式.7、直线 过点A （0，2），B （2，0），直线 ： 过点C （1，0），且把分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式.643+-=x y 243-=x y 643+-=x y 243-=x y y y bkx y +=1l 2l bmx y +=AOB ∆。
一次函数的图象与面积
练一练
已知直线y=kx+b过点A（－1，5）， 且平行于直线y=－x+2．
一．求直线y=kx+b的关系式； 若B（m，－5）在这条直线上，O为原点， 求m的值及S△AOB。
二、由面积关系求一次函数关系式
例题精讲
已知直线y=kx+b与x轴交于点(4，
y
分析：
o
x
y=–x+4
４. 如图，在同一坐标系中，关于x的一次函数
y = x+ b与 y = b x+1的图象只可能是C（
）
(A)
y
(B)
y
ox
ox
y (C)
ox
(D)
y
ox
1 2x + 1 与 直 线 a 关 于 y 轴 对 称 ， 在 同
一
坐标系中画出它们的图象，并求
已
知 直 线 出 直 线 a 的 解 析 式 .
的△ABP的面积s关于时间t的函数图象
如图乙。若AB=6cm，试回答下列问题
A
F bs
6cm
D Ea
B2cm/Ps C
图甲
o 46 9 t 图乙
A
6cm
B2cm8m/Psc
F
D 6cmE 4cm
4b 22a 4
s
C
o 46
·M 9· N·t
问题： 图甲
图乙
（坐的（的（际7标函面123意564）））是数积义MP图否关是？点点甲乙可系怎ab在坐中的以式样整标BC值D的求呢变个DC是E是ab出？的化的的在否多？长的长移图可少M是？是动甲以？N多多过中求所少少程具出在？？中有？直什△N线A么点B实P
数学人教版八年级下册专题复习：一次函数与面积问题(学生用)
专题复习：一次函数与面积问题一、忆1.直线y=2x+1与y=2x-3的位置关系是： .2.直线y=2x+5与y=0.5x+5的交点坐标是： .3.直线直线y=x-1与直线y= -0.5 x+2交点坐标是： .4.直线y=x-1与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为，此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 .5.一次函数图象经过点（0，2）和（4，0），这个一次函数的解析式为： .二、思例1(根据一次函数求面积)：直线y=x-1交x轴、y轴于点A、B，直线y=-0.5x+2交x轴、y轴于点C、点D，两直线交于点P.(1)你能求出哪些点的坐标?哪些线段的长?哪些图形的面积?(2) 求点O到直线AB的距离OM的长吗？(提示:点的横,纵坐标对求图形面积时用到的底边,高的作用. )例2(根据面积求一次函数表达式)：一次函数y=kx+b 交y=2x 于点A(1,m),交x 轴于点B ，且S △AOB =4.(1)求一次函数y=kx+b 的解析式.(2) 你能求过点(－4，0)且平行于0A 的直线解析式吗？(提示:面积中出现的底,高对点的横,纵坐标的确定作用,分类讨论,数形结合)三、练1.点P 是一次函数y=-2x+8的图象上一点，如果图象与x 轴交于Q 点，且△OPQ 的面积等于6，则P 点的坐标为 . y=-2x+82.如图：正方形ABCD 边长为4，将此正方形置于坐标系中点A 的坐标为（1，0).(1)过点C 的直线 3834-=x y 与x 轴交与E, 求S 四边形AECD ； (2)直线l 经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分，求直线l 的解析式.四、获---说说自己的收获五、延---复习题单针对训练。
专题07 一次函数中的面积问题精讲(解析版)
专题07 一次函数中的面积问题精讲一、平面直角坐标系中面积的几种求法面积问题是中考的一个重点知识点，考查方式灵活多样，很多题目有创新性，能很好考查学生的灵活运用知识的能力.我们除了要熟知常见图形的面积公式外，在平面直角坐标系中还要懂得以下几种面积的方法： 方法一、割补法割补方法不仅仅只有一种，要灵活使用.方法二、铅垂高、水平宽法=21=2ABC ABC S CD OAS CE OB⨯⨯⨯⨯△△ 二、典型例题选讲题1. 如图1-1所示，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y =2x ﹣6上时，线段BC 扫过的面积为（ ）图1-1A ．4B ．8C ．16D ．12 【答案】C .【解析】如图1-2所示．图1-2设C 点移动到直线y =2x ﹣6上的点为C ’. ∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB =3．∵∠CAB =90°，BC =5，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC =4． ∴A ′C ′=4．∵点C ′在直线y =2x -6上， ∴2x -6=4，解得 x =5．即OA ′=5， ∴CC ′=5-1=4．∴四边形BB ’C ’C 是平行四边形，面积 =4×4=16． 即线段BC 扫过的面积为16，故答案为：C .题2. 已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过A （2-，0），且与y 轴分别交于B 、C 两点，则△ABC 的面积为 （ ）．A ． 4B ． 5C ． 6D ． 7 【答案】C .【解析】因为y =2x +a 与y =-x +b 的图象都经过A (-2,0), 所以0=2×（-2）+a ， 解得：a =4， 又因为0=2+b 解得：b =-2y =2x +4、y =-x -2与y 轴分别交于B 、C 两点 ∴B (0.4)，C (0,-2)，三角形ABC 的面积=2×6÷2=6. 故答案为：C .题3. (河北中考)如图3-1所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E .点B ，E 关于x 轴对称，连接AB . (1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式； (2)若S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积，如此不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．图3-1【答案】见解析【解析】解：（1）y ＝－38x －398，令y ＝0，有0＝－38x －398，解得：x ＝－13，即C (－13，0)．令x ＝－5，则有y ＝－38×(－5)－398＝－3，即E (－5，－3)．∵点B ，E 关于x 轴对称， ∵B (－5，3)． ∵A (0，5)，∵设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋5， ∵－5k ＋5＝3， ∵k ＝25，∵直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5.（2）由（1）知E (－5，－3)， ∵DE ＝3. ∵C (－13，0)，∵CD ＝－5－(－13)＝8， ∵S ∵CDE ＝12CD ·DE ＝12.由题意知OA ＝5，OD ＝5，BD ＝3， ∵S 四边形ABDO ＝12(BD ＋OA )·OD ＝20，∵S ＝S ∵CDE ＋S 四边形ABDO ＝12＋20＝32.（3）由（2）知S ＝32，在∵AOC 中，OA ＝5，OC ＝13， ∵S ∵AOC ＝12OA ·OC ＝652＝32.5，∵S ≠S ∵AOC .理由：由(1)知直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5，令y ＝0，则0＝25x ＋5，∵x ＝－252≠－13，∵点C 不在直线AB 上，即点A ，B ，C 不在同一条直线上， ∵S ∵AOC ≠S .题4. 已知一次函数的图象过点(0,3)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为3, 则其表达式为( ) A . y ＝1.5x ＋3B . y ＝－1.5x ＋3C . y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3D . y ＝1.5x －3或y ＝－1.5x －3【答案】C .【解析】解：设该一次函数与x 轴的交点坐标为（a ,0）， 由题意得：1332a ⨯⨯=， 解得：a =±2， 当a =2时，设直线解析式为y =kx +3，将（2,0）代入，求得k =-1.5； 同理求得，当a =-2时，k =1.5.所以函数解析式为：y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3，故答案为C .题5. 如图5-1所示，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A (－2，－1)，B (1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D .图5-1(1)求该一次函数的解析式；(2)求∵AOB 的面积． 【答案】见解析.【解析】解：(1)把A (－2，－1)，B (1，3)代入y ＝kx ＋b ，得：⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－1，k ＋b ＝3. 解得⎩⎨⎧k ＝43，b ＝53.∵一次函数的解析式为y ＝43x ＋53.(2)把x ＝0代入y ＝43x ＋53，得y ＝53，∵D 点坐标为(0，53)．∵S ∵AOB ＝S ∵AOD ＋S ∵BOD ＝12×53×2＋12×53×1＝52.题6. 已知，一次函数y kx b =+的图像与正比例函数13y x =交于点A ，并与y 轴交于点(0,4)B -，△AOB 的面积为6，则kb = 【答案】203-或4. 【解析】解：因为一次函数y kx b =+的图像与y 轴交于点(0,4)B -， ∴b =－4，OB =4， 设A 点横坐标为a ， 因为△AOB 的面积为6， 所以162a OB ⨯⨯=, 即a =3或－3，点A 的坐标为（3,1）或（－3，－1） 将A 点坐标代入4y kx =-，得： k =53或－1 所以kb = 203-或4. 故答案为：203-或4.题7. 如图7-1所示,点G ，D ，C 在直线a 上,点E ,F ,A ,B 在直线b 上,若a ∥b ,Rt △GEF 从如图所示的位置出发,沿直线b 向右匀速运动,直到EG 与BC 重合.运动过程中△GEF 与矩形ABCD 重合部分的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）图7-1A B C D【解析】根据题意可得：①F、A重合之前没有重叠面积；②F、A重叠之后，重叠部分面积逐渐增大，且增加的速度越来越快；③△EFG完全进入且F与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变，④F与B重合之后，重叠部分的面积逐渐减小，减小的速度越来越慢，直至最后重叠部分的面积为0．综上所述，只有B选项图形符合．故答案为：B．题8. 如图8-1所示，已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C的坐标;(2)求∵ABC的面积.(3)在直线BC上能否找到点P,使得S∵APC=6，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。
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总结提升
学有所获
各抒己见
巩固延伸
拓展思考： 如图，直线y＝x＋n(n>0)交x轴于点A，交y轴于点Q， 直线y＝－2x＋m(m>n)交x轴于点B，交AQ于点P. (1)用m，n表示点A，B，P的坐标； (2)若AB＝2，四边形PQOB的面积 5 为 ，求点P坐标． 6
知识回顾
引例：(1)如图,已知直线l1： y＝2x－7分别交x轴和y轴于点 A、B，求△OAB的面积；
1 1 (2)若直线 l2 : y x 与 2 2 直线l1交于点C，求点C的坐标；
y
D O
A
l1
x
C
l2
B
(3)若直线l2交y轴于点D，求△BCD的面积。
方法引导
1 例1.在平面直角坐标系中，直线 y x b 分别 2 交轴于点A，交y轴于点B，且S△ABO＝4，求直线
△OPA的面积S与x的函数关系式，并
写出自变量x的取值范围； (3)探究：当△OPA的面积为12时， 求点P的坐标．
例2 动 画.gs p
方法引导
变式训练：
若点P(x，y)是第三象限内的直线l上的一个动点，
其他条件不变，在点P运动过程中，试写出△OPA的面
积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
AB的表达式.
方法引导
变式训练： 已知直线 y kx b 成的三角形的面积为
5 经过点 (0, ) ，且与坐标轴围 2
25 4
，求该直线的解析式。
方法引导
例2．如图，直线l：y＝kx＋6与x轴，y轴分别相交
于点E，F.点E的坐标为(－9，0)，点A的坐标为(－6， 0)，点P(x，y)是第二象限内的直线l上的一个动点． (1)求k的值； (2)当点P运动过程中，试写出