2013年数学高考备考二轮复习 核心考点六 第19课时 空间向量
高考数学常考知识点之空间向量
空间向量1．空间向量的概念： 具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 b ab a)(R a OP运算律：⑴加法交换律：a b b a⑵加法结合律：)()(c b a c b a⑶数乘分配律：b a b a)( 3 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．4．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t a ． 其中向量a 叫做直线l 的方向向量.5．向量与平面平行： 已知平面 和向量a r ，作OA a u u u r r ，如果直线OA 平行于 或在 内，那么我们说向量a r 平行于平面 ，记作：//a r ． 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的 6．共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb r r r推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB u u u r u u u r u u u r 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB u u u r u u u u r u u u r u u u r ①①式叫做平面MAB 的向量表达式7 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc r r r r推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC u u u r u u u r u u u r u u u r 8 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b r r ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b u u u r u u u r r r ，则AOB 叫做向量a r 与b r 的夹角，记作,a b r r ；且规定0,a b r r ，显然有,,a b b a r r r r ；若,2a b r r ，则称a r 与b r 互相垂直，记作：a b r r . 9．向量的模：设OA a u u u r r ，则有向线段OA uu u r 的长度叫做向量a r 的长度或模，记作：||a r .10．向量的数量积： a b r r ||||cos ,a b a b r r r r ．已知向量AB a u u u r r 和轴l ，e r 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A ，作点B 在l 上的射影B ，则A B u u u u r 叫做向量AB u u u r 在轴l 上或在e r 上的正射影.可以证明A B u u u u r 的长度||||cos ,||A B AB a e a e u u u u r u u u r r r r r ．11．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e r r r r r ．（2）0a b a b r r r r ．（3）2||a a a r r r ．12．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b r r r r r r ．（2）a b b a r r r r （交换律）（3）()a b c a b a cr r r r r r r （分配律）．空间向量的坐标运算一．知识回顾：（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b ，则),,(332211b a b a b a b a ))(,,(321R a a a a 332211b a b a b a b a a ∥)(,,332211R b a b a b a b 332211b a b a b a 0332211 b a b a b a b a222321a a a (a a )232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d .（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 a ，如果 那么向量叫做平面 的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面 的法向量，AB 是平面 的一条射线，其中 A ，则点B 到平面 ||n .②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角 l 中平面 ,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，21,n n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线 a 平面 ， D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥ 的充要条件是存在有序实数对 使CE CD AB .（常设CE CD AB 求解 ,若 ,存在即证毕，若 ,不存在，则直线AB 与平面相交）.AB。
专题6 向量法求空间角与距离(课件)高考数学二轮复习(新高考地区专用)
＝|cos 〈u，n〉|＝
·
＝
·
.
例1 [2023·河北沧州模拟]如图，在三棱锥P - ABC中，AB是△ABC外
接圆的直径，△PAC是边长为2的等边三角形，E，F分别是PC，PB的
中点，PB＝AB，BC＝4.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求直线AB与平面AEF所成角的正弦值．
A．直线BC1与DA1所成的角为90°
B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
答案：ABD
)
2.[2022·新高考Ⅰ卷 ]如 图，直三棱柱ABC - A1B1C1 的体积为4 ，
△A1BC的面积为2 2.
(1)求A到平面A1BC的距离；
＝2.
(1)证明：BD⊥EA.
(2)求平面EDCF与平面EAB夹角的余弦值．
题型三 (空间距离)点到平面的距离
已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过
点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P
到平面α的距离就是AP到直线l上的投影向量QP的长度．因此PQ＝
(1)证明：A1C⊥AB1；
(2)若三棱锥B1 -
2 2
A1AC的体积为 ，求二面角A1
3
- B1C - A的大小．
题后师说
用法向量求二面角的关键是正确写出点的坐标和法向量，再利用两
个平面的夹角公式求解．
巩固训练2
[2023·河南安阳模拟]在多面体EF - ABCD中，平面EDCF⊥平面
ABCD，EDCF是面积为 3的矩形，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点高中数学必修知识点：空间向量知识点一、空间向量的概念与表示空间向量是指具有大小、方向和作用线的量，可以用一个有向线段来表示。
设 A、B 是空间中的两点，用线段 AB 表示的向量称为向量AB，记作⃗AB 或 AB。
二、向量的加法与减法1. 向量的加法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的和，记作⃗AB + ⃗BC = ⃗AC。
2. 向量的减法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的差，记作⃗AB - ⃗BC = ⃗AC。
三、数量积与向量积1. 数量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量 ⃗b = (x₂, y₂, z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的数量积为 a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂。
2. 数量积的性质：- 交换律：⃗a·⃗b = ⃗b·⃗a- 结合律：(k⃗a)·⃗b = k(⃗a·⃗b) = ⃗a·(k⃗b) (k 为常数)- 分配律：⃗a·(⃗b + ⃗c) = ⃗a·⃗b + ⃗a·⃗c- ⃗a·⃗a ≥ 0，当且仅当⃗a = ⃗0 时，⃗a·⃗a = 03. 向量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量⃗b = (x₂, y₂,z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的向量积为⃗a × ⃗b = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)。
4. 向量积的性质：- ⃗a × ⃗b = -⃗b × ⃗a- (k⃗a) × ⃗b = ⃗a × (k⃗b) = k(⃗a × ⃗b) (k 为常数)- ⃗a × ⃗b = ⃗0，当且仅当⃗a 与 ⃗b 共线或其中一个为⃗0 时，⃗a × ⃗b = ⃗0四、平面与空间向量的关系1. 平面方程的向量表示：设平面过点 A(x₁, y₁, z₁)，且法向量为 ⃗n = (A, B, C)，则平面上任意一点 M(x, y, z) 满足向量⃗AM·⃗n = 0。
空间向量知识点总结公式
空间向量知识点总结公式一、空间向量的定义在三维空间中，空间向量通常用坐标表示，其中一个点P的坐标为（x，y，z），另一个点Q的坐标为（a，b，c），那么PQ的空间向量为向量（a-x，b-y，c-z）。
二、空间向量的运算1. 空间向量的加法运算若有两个向量A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的和为C（a1+a2，b1+b2，c1+c2）。
2. 空间向量的减法运算若有两个向量A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的差为C（a1-a2，b1-b2，c1-c2）。
3. 空间向量的数乘运算若有一个向量A（a，b，c），一个实数k，则kA为（ka，kb，kc）。
4. 空间向量的数量积数量积指两个向量的数量乘积，设A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的数量积为a1a2+b1b2+c1c2。
5. 空间向量的向量积向量积又称为叉积，设A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的向量积为（b1c2-c1b2，c1a2-a1c2，a1b2-b1a2）。
6. 空间向量的混合积定义为A·（B×C），其中A、B、C分别为三个向量，其中A·表示数量积，B×C表示向量积。
三、空间向量的坐标表示空间向量通常有两种常见的表示方法，即点坐标表示和参数方程表示。
1. 点坐标表示点坐标表示指的是根据两个点的坐标来表示一条向量。
设两点P（x1，y1，z1）和Q（x2，y2，z2），则以P为起点Q为终点的向量为（x2-x1，y2-y1，z2-z1）。
2. 参数方程表示参数方程表示指的是以一个点为起点，以一个方向向量为方向，通过参数t来表示。
设点P（x0，y0，z0）是向量的起点，向量v=（a，b，c）是方向向量，那么向量的参数方程为X=x0+at，Y=y0+bt，Z=z0+ct。
四、空间向量的应用1. 物理学中的运动学在物理学中，空间向量常常用于描述物体在三维空间中的运动和位置，如速度、加速度等。
高考数学常考知识点之空间向量
空间向量1．空间向量的概念： 具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 b a AB OA OB +=+=b a -=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)( 3 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．4．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t +=a ．其中向量a 叫做直线l 的方向向量.5．向量与平面平行： 已知平面α和向量a ，作OA a = ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α ． 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的6．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面M AB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ ① ①式叫做平面MAB 的向量表达式7 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB =++8 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,O A aO B b == ，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<> ；若,2a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥ . 9．向量的模：设OA a = ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .10．向量的数量积： a b ⋅= ||||cos ,a b a b ⋅⋅<> ．已知向量AB a = 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B '' 叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影.可以证明A B '' 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅ ．11．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<> ．（2）0a b a b ⊥⇔⋅= ．（3）2||a a a =⋅ ．12．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ．（2）a b b a ⋅=⋅ （交换律）（3）()a b c a b a c⋅+=⋅+⋅ （分配律）．空间向量的坐标运算一．知识回顾：（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅ a ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==(=⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅⋅>=< ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥那么向量叫做平面α的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α.②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，21,n n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使μλ+=.（常设μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.AB。
2013二轮备考方略
2012年 三角函数与 平面向量 9,13,17
三角函数定义, 向量的基本 向量的基本运 三角恒等变形, 运算,二倍 算，二倍角公 内容 解三角形 角公式,三 式，辅助角公 角函数的图 式，正弦定理， 象与性质辅 余弦定理 助角公式， 正弦定理 分值 15 20 22
2013高考数学二轮复习备考方略
12
框图
5
立体几何
15
选讲内容
7,14,20
双曲线的离 心率，椭圆 的定义，求 轨迹方程及 参数的取值 范围
4,19
概率， 分布列， 统计
8
二项式定理
3
程序 框图
6,15,18
三视图，球 与棱锥组合 体，空间线 面关系与二 面角
22,23,24
极坐标与参 数方程，不 等式，平面 几何
知识点
分值
22
17
函数的性质,零点, 函数的图象,线性 规划,导数及应用
17
等比数列 的通项公 式及数列 求和
13
向量的基本 运算
7,11,16
二倍角公式， 辅助角公式， 余弦定理及面 积公式
分值 板块
5
解析几何
5
概率与 统计
32
立体几何
12
框图
5
选讲内容
15
题号
知识点
4,9,20
椭圆的离心率， 抛物线的方程， 圆的方程,直线 与圆的位置关 系
8
程序 框图
22,23,24
极坐标与参 数方程，不 等式，平面 几何
分值
22
17
22
5
10
2013高考数学二轮复习备考方略 2013年8月19日9时38分 洛阳一高 二、近三年新课标高考试题分析：（ 2011年理科）
空间向量知识点归纳总结
空间向量知识点归纳总结空间向量是高中数学中的一个重要概念，出现在向量代数、几何问题、解析几何以及线性代数等多个数学分支中。
下面是空间向量知识点的归纳总结：1.空间向量的定义：空间向量是具有大小和方向的量，它可以用有序三元数组表示，例如(a,b,c)。
2.空间向量的运算：(1)向量加法：两个向量相加得到一个新的向量，加法满足交换律和结合律。
(2)向量数乘：一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量，数乘满足分配律。
(3)内积：两个向量的内积是一个实数，可以用数量积的公式计算。
(4)外积：两个向量的外积是一个向量，可以用矢量积的公式计算。
3.空间向量的基本性质：(1)零向量：长度为零的向量，与任何向量的加法的结果都是原向量本身。
(2)单位向量：长度为1的向量，可以用一个非零向量除以其长度得到。
(3)向量的长度：向量的长度定义为该向量的模。
(4)向量的方向：向量的方向可以用与该向量共线的单位向量表示。
4.空间向量的共线与异面：(1)两个向量共线意味着它们的方向相同或者相反。
(2)三个向量共面意味着它们位于同一个平面上。
(3)两个向量异面意味着它们不共线，且它们所在的直线与另外一个直线垂直。
5.空间向量的投影：(1)向量在一些方向上的投影是一个标量，可以用点积的公式计算。
(2)向量在一些方向上的单位向量是该方向的基向量。
(3)向量在一些方向上的分量是该方向的基向量的数乘。
6.空间向量的表示：(1)分解：一个向量可以表示为它在不同方向上的分量的和。
(2)基底：一个空间中的向量可以表示为基底向量的线性组合。
(3)坐标：一个向量可以用它在基底向量上的投影的值表示。
7.空间向量的几何意义：(1)位移向量：两点之间的位移可以用一个向量表示。
(2)向量的数量积：两个向量的数量积等于一个向量在另一个向量的方向上的投影乘以另一个向量的长度。
(3)向量的矢量积：两个向量的矢量积的大小等于这两个向量张成的平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所在平面。
高考数学总复习教材复习课“空间向量”相关基础知识课件理
解析：对于选项 B，设 b＝(1，－1,0)．a· b＝(1,0，－1)· (1， －1,0)＝1，且|a|＝|b|＝ 2， a· b 1 1 ∴cos〈a，b〉＝ ＝ ＝ ，又 0°≤〈a，b〉≤180°， |a||b| 2· 2 2 ∴向量 a 与向量(1，－1,0)的夹角为 60°. 答案：B
a· b＝0 (a，b 为非零向量)； (2)a⊥b⇔__________
2 a (3)|a| ＝___，|a|＝ x2＋y2＋z2.
2
2．向量的坐标运算
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 向量差 数量积 共线 垂直 夹角 公式
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a＋b＝_______________________
a1b1＋a2b2＋a3b3 2 2 2 2 2 2 a ＋ a ＋ a b ＋ b ＋ b 1 2 3 1 2 3 cos〈a，b〉＝______________________
[小题速通]
1．已知 a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若 a⊥(a－λb)，则实数 λ 的 值为 A．－2 14 C． 5 14 B．－ 3 D．2 ( )
解析：由题意得 c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)， t＝33， 7 17 μ ＝ ， ∴ 7 65 λ＝ . 7
7＝2t－μ， ∴5＝－t＋4μ， λ＝3t－2μ. 答案：D
数量积及坐标运算
[过双基] 1．两个向量的数量积 (1)a· b＝|a||b|cos〈a，b〉 ；
向量法证明平行与垂直
[过双基]
1．两个重要向量 (1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量， 一 条直线的方向向量有 无数个． (2)平面的法向量 直线 l⊥平面 α， 取直线 l 的方向向量， 则这个向量叫做平面 α 的法向量．显然一个平面的法向量有无数 个，它们是共线向量．
高中数学中的空间向量重点知识点归纳
高中数学中的空间向量重点知识点归纳在高中数学中，空间向量是一个十分重要的概念，它不仅在几何学中有广泛的应用，还在物理学等学科中起到关键作用。
掌握空间向量的相关知识对于解决现实生活和学习中的问题具有重要意义。
本文将对高中数学中空间向量的重点知识点进行归纳总结。
1. 空间向量的概念空间向量是指空间中的有方向的线段，它由起点和终点确定，并且可以平移。
空间向量常用字母表示，如AB、CD等。
空间向量具有大小和方向两个重要特征，可以用坐标表示，也可以用向量的箭头和尾巴表示。
2. 向量的坐标表示向量的坐标表示是指用数值表示向量在坐标系中的位置。
在三维直角坐标系中，空间向量可以用三个有序实数表示。
通常我们用尖括号 < a, b, c > 表示一个向量，其中a、b、c分别表示向量在x、y、z轴上的分量。
例如向量AB可以表示为< x2-x1, y2-y1, z2-z1 >，其中A的坐标为(x1, y1, z1)，B的坐标为(x2, y2, z2)。
3. 向量的运算(1) 向量的加法向量的加法是指将两个向量相连接形成一个新的向量的运算。
假设有向量AB和向量BC，将它们的起点和终点相连得到一条新的向量AC，表示为向量AC = 向量AB + 向量BC。
向量的加法满足“平行四边形法则”，即将两个向量的起点相连得到的向量与两个向量终点相连得到的向量是相等的。
(2) 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
假设有向量AB，将其与实数k相乘得到一个新的向量kAB。
当k>1时，新向量与原向量的方向相同；当0<k<1时，新向量与原向量的方向相反；当k<0时，新向量与原向量的方向相反。
(3) 向量的点积向量的点积是指将两个向量进行数量乘法后再求和得到一个实数的运算。
假设有向量AB和向量AC，将它们的数量乘法相加得到一个实数AB·AC，表示为AB·AC = |AB| |AC| cosθ，其中θ表示两个向量之间的夹角，|AB|和|AC|分别表示两个向量的模长。
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的知识点，它为我们解决空间几何问题提供了全新的思路和方法。
接下来，就让我们一起深入了解一下空间向量的相关知识。
一、空间向量的基本概念空间向量是指具有大小和方向的量。
它与平面向量类似，但存在于三维空间中。
一个空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系中，若向量的起点坐标为\（（x_1,y_1,z_1)＼），终点坐标为\（（x_2,y_2,z_2)＼），则该向量的坐标为\（（x_2 x_1, y_2 y_1, z_2 z_1)＼）。
零向量：长度为\（0\）的向量，其方向任意。
单位向量：长度为\（1\）的向量。
二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法运算遵循三角形法则和平行四边形法则。
若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_1 ＋ x_2, y_1 ＋ y_2, z_1 ＋ z_2)＼），＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_1 x_2, y_1 y_2, z_1z_2)＼）2、数乘运算若\（＼lambda\）为实数，＼（＼overrightarrow{a} ＝（x,y,z)＼），则\（＼lambda\overrightarrow{a} ＝（＼lambda x, ＼lambda y, ＼lambda z)＼）数乘运算的规律：＼（＼lambda （＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b}）＝＼lambda\overrightarrow{a} ＋＼lambda\overrightarrow{b}＼）3、数量积空间向量的数量积\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼cos ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼）若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ x_1x_2 ＋ y_1y_2 ＋ z_1z_2\）数量积的性质：＼（＼overrightarrow{a} ＼perp ＼overrightarrow{b} ＼Leftrightarrow ＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ 0\）＼（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{a} ＝｜＼overrightarrow{a}｜＾2\）4、向量积空间向量的向量积\（＼overrightarrow{a} ＼times ＼overrightarrow{b}＼）是一个向量，其模长为\（｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼sin ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼），方向垂直于\（＼overrightarrow{a}＼）和\（＼overrightarrow{b}＼）所确定的平面，遵循右手定则。
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即〈m，n〉＝45°，其补角为 135°，
∴两平面所成的二面角为 45°或 135°.
利用空间向量求空间距离 例3：如图 12，在四棱锥 O－ABCD 中，底面 ABCD 是边
长为1的菱形，∠ABC＝
π ，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为 4
方法二：如图 11，建立空间直角坐标系， 则 B(2,0,0) ，C(2,2 2，0)，E(1， 2，1)， → → ∴AE＝(1， 2，1)，BC＝(0,2 2，0)． → → 设AE与BC的夹角为 θ， → AC → AE· 4 2 则 cosθ＝ ＝ ＝ . → ||AC| 2×2 2 2 |AE → π π 又∵0＜Q≤ ，∴θ＝ . 2 4 → BC → AE· 4 2 cosθ＝ ＝ ＝ ， → ||BC| 2×2 2 2 |AE → π 故异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 4.
3．(2011 年北京)已知向量 a＝( 3 ，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，
1 3 )．若 a－2b 与 c 共线，则 k＝_________. 解析：a－2b＝( 3，3)，由 a－2b 与 c 共线，得 3 · 3 ＝3k ⇒k＝1.
在近几年的高考试卷中，立体几何常常以锥体或柱体为载
体，命题呈现一题两法的新格局．一直以来立体几何解答题都
(2)求直线 A′C 与 DE 所成角的余弦值； (3)求直线 AD 与平面 B′EDF 所成角的余弦值；
(4)求平面 B′EDF 与平面 ABCD 所成角的余弦值．
(1)证明： 如图 2， 由勾股定理， B′E＝ED＝DF＝FB′ 得 5 ＝ 2 a.下证 B′， D， 四点共面： AD 中点 G， E， F 取 连接 A′G， EG.由 EG AB A′B′，知：四边形 B′EGA′是平行四边 DG，∴四边形 A′GDF 为平行
图5
(4)解法一：如图6，连接EF，B′D 相交于点 O，显然O 为
B′D 的中点，从而O 为正方体ABCD—A′B′C′D 的中心．
图6 作OH⊥平面 ABCD，则 H 为正方形 ABCD 的中心． 再作HM⊥DE，垂足为 M，连接 OM，则 OM⊥DE，
故∠OMH 为二面角 B′—DE—A 的平面角．
第 19 课时 空间向量
1．(2012 年陕西)如图 1，在空间直角坐标系中有直三棱柱
ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的
余弦值为(
)
5 A. 5 2 C. 5 5
5 B. 3 3 D. 5
图1
解析：设|CB|＝a，则|CA|＝|CC1|＝2a，A(2a,0,0)，B(0，0， a)，C1(0,2a,0)，B1(0,2a，a)， → → ∴AB1＝(－2a,2a，a)，BC1＝(0,2a，－a)， → BC → AB1· 1 5 → → >＝ ∴cos<AB1，BC1 ＝ .故选 A. → ||BC | 5 |AB →
a 则 ED ＝－a，2，0，
a EB ＝0，－2，a.
图7
a → －a＋2y＝0， n· ＝0， ED ∵ ⇒ n· → ＝0 －ay＋az＝0 EB′ 2 ∴n＝(1,2,1)． 6 n· m ∴cos〈n，m〉＝ ＝ . |n||m| 6
解法二：建立如图4 的空间直角坐标系，则
a A′(0,0，a)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，Ea， ，0， 2
则 AC ＝(a，a，－a)，
a DE ＝a，－2，0， 则 cos〈 AC ， DE 〉 AC DE 15 ＝ AC DE ＝ . 15
形．∴B′E∥A′G.又 A′F
四边形．
∴A′G∥FD.∴B′E∥FD.
∴B′，E，D，F 四点共面． 故四边形 B′EDF 是菱形． 图2
(2)解法一：如图3，在平面ABCD 内，过点C 作CP∥DE， 交直线AD 于点P，则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C 与DE 所成的角．
图3
5 13 在△A′CP 中，A′C＝ 3a，CP＝DE＝ 2 a，A′P＝ 2 a. 15 由余弦定理，得 cos∠A′CP＝ . 15
是让广大考生又喜又忧．为之而喜是因为只要能建立空间直角
坐标系，基本上可以处理立体几何的绝大多数问题；为之而忧 是因为对于不规则的图形来讲，建立直角坐标系的难度较大， 问题不能得到很好的解决.2011 年广东的立体几何问题的建系 就存在着这样的问题，很多考生由于建系问题导致立体几何的 完成情况不是很好，而利用传统的方法来解题却相当容易．
3. 3
解法二：∵∠ADE＝∠ADF， ∴AD 在平面 B′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上． 又∵四边形 B′EDF 为菱形，∴DB′为∠EDF 的平分线， 故直线 AD 与平面 B′EDF 所成的角为∠ADB′. 在图 5 中建立空间直角坐标系，则
A(0,0,0)，B′(a,0，a)，D(0，a,0)． 则 DA＝(0，－a,0)， DB ＝(a，－a，a)， 3 DADB ∴cos〈 DA， DB 〉＝ = 3 . DA DB
1 1
答案：A
2．(2010 年广东)若向量 a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)， 满足条件(c－a)· b)＝－2，则 x＝________. (2 2 解析：c－a＝(0,0,1－x)，(c－a)· b)＝2(0,0，1－x)· (2 (1,2,1)
＝2(1－x)＝－2，解得 x＝2.
2 3 5 在 Rt△DOE 中，OE＝ 2 a，OD＝ 2 a，斜边 DE＝ 2 a， OD· OE 30 则 OM＝ ＝ 10 a. DE OH 30 在 Rt△OHM 中，sin∠OMH＝ ＝ 6 ， OM 6 则 cos∠OMH＝ 6 . 6 故平面 B′EDF 与平面 ABCD 所成角的余弦值为 6 .
a A(0,0,0)， A′(0,0， B′(a,0， D(0， a)， a)， a,0)， a， ，0， E 2
解法二：如图7，建立空间直角坐标系，则
则平面 ABCD 的法向量为 m＝ AA ＝(0,0，a)．
下面求平面 B′EDF 的法向量 n： 设 n＝(1，y，z)，
图4
(3)解法一：∵∠ADE＝∠ADF， ∴AD 在平面 B′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上． 又∵四边形 B′EDF 为菱形， ∴DB′为∠EDF 的平分线， 故直线 AD 与平面 B′EDF 所成的角为∠ADB′. 在Rt△B ′AD 中，AD＝a，B′D＝ a， 3
则 cos∠ADB′＝
图8
(1)证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E. ∵AA1∥BB1，∴OE⊥BB1.
∵A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥BC.
∵AB＝AC，OB＝OC， 得AO⊥BC，∴BC⊥平面AA1O，∴BC⊥OE， ∴OE⊥平面BB1C1C.
又 AO＝ AB2－BO2＝1，AA1＝ 5， AO2 5 ∴AE＝ ＝ . AA1 5
F 四点共面．
【配对练习】 1．(2012 年江西)如图 8，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，已知
AB＝AC＝AA1＝ 5 ，BC＝4，点 A1 在底面 ABC 的投影是线段 BC 的中点 O.
(1)证明：在侧棱 AA1 上存在一点
E，使得 OE⊥平面 BB1C1C，并求出 AE 的长；
(2)求平面 A1B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值．
(2)解：如图 D33，分别以 OA，OB，OA1 所在直线为 x，y，
z 轴建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，C(0，－2,0)，A1(0,0,2)， B(0,2,0)．
→ ＝1AA ， 由AE 5 →1 得点 E
4 2 的坐标为 ，0， . 5 5 4 2 的法向量是5，0，5.
图 11
【思维点拨】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位 置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中
两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公
式的运用．本题源于《必修2》立体几何章节的复习题，复习
时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，此题属
于中档题．
【配对练习】 2．已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则 两平面所成的二面角的大小为( C ) A．45° B．135° C．45°或 135° D．90°
图 D33
由(1)可知，平面 BB1C1C
设平面 A1B1C 的法向量 n＝(x，y，z)，
→ －x＋2y＝0， n×AB＝0， 由 得 y＋z＝0. → n×A1C＝0， 令 y＝1，得 x＝2，z＝－1，即 n＝(2,1，－1)， → OE×n 30 → ，n>＝ ∴cos<OE ＝ ， → |×|n| 10 |OE 30 即平面 A1B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值是 10 .
(2)解：∵CD∥AB， ∴∠MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角)． 作 AP⊥CD 于点 P，连接 MP. ∵OA⊥平面 ABCD，∴CD⊥MP.
π 2 ∵∠ADP＝4，∴DP＝ 2 ，MD＝ MA2＋AD2＝ 2. DP 1 π ∴cos∠MDP＝ ＝ ，∠MDC＝∠MDP＝ . 3 MD 2 π ∴AB 与 MD 所成角的大小为3.
OA 的中点，N 为 BC 的中点．
(1)证明：直线 MN∥平面 OCD；
(2)求异面直线 AB 与 MD 所成
角的大小；
(3)求点 B 到平面 OCD 的距离． 图 12
解法一(综合法)：(1)证明：取OB 中点E，连接ME，NE， 如图13. ∵ME∥AB，AB∥CD， ∴ME∥CD. 又∵NE∥OC， ∴平面 MNE∥平面 OCD， ∴MN∥平面 OCD. 图 13